高考數(shù)學(xué)（文）高分計(jì)劃一輪高分講義第2章函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用23　函數(shù)的奇偶性與周期性

2.3函數(shù)的奇偶性與周期性[知識梳理]1．函數(shù)的奇偶性(1)定義：一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)；一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)．(2)奇偶函數(shù)的性質(zhì)①奇函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱．②若奇函數(shù)在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有單調(diào)性，則其單調(diào)性相同；若偶函數(shù)在關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有單調(diào)性，則其單調(diào)性相反．2．函數(shù)奇偶性的五個重要結(jié)論(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關(guān)于原點(diǎn)對稱的非空數(shù)集．(4)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性．(5)偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值，取最值時的自變量互為相反數(shù)；奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)，取最值時的自變量也互為相反數(shù)．3．對稱性的三個常用結(jié)論(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱；(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱；(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對稱．4．函數(shù)的周期性定義：一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個不為零的實(shí)數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．對于周期函數(shù)f(x)，如果在它的所有周期中存在一個最小正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．5．函數(shù)周期的常見結(jié)論設(shè)函數(shù)y＝f(x)，x∈R，a>0.(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，則函數(shù)的周期為2a；(2)若f(x＋a)＝－f(x)，則函數(shù)的周期為2a；(3)若f(x＋a)＝eq\f(1,fx)，則函數(shù)的周期為2a；(4)若f(x＋a)＝－eq\f(1,fx)，則函數(shù)的周期為2a；(5)若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝a與x＝b對稱，那么函數(shù)f(x)的周期為2|b－a|；(6)若函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0)對稱，又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對稱，則函數(shù)f(x)的周期是2|b－a|；(7)若函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝a對稱，又關(guān)于點(diǎn)(b,0)對稱，則函數(shù)f(x)的周期是4|b－a|；(8)若函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝a對稱，則其周期為2a；(9)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x＝a對稱，則其周期為4a.6．掌握一些重要類型的奇偶函數(shù)(1)函數(shù)f(x)＝ax＋a－x為偶函數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax－a－x為奇函數(shù)；(2)函數(shù)f(x)＝eq\f(ax－a－x,ax＋a－x)＝eq\f(a2x－1,a2x＋1)(a>0且a≠1)為奇函數(shù)；(3)函數(shù)f(x)＝logaeq\f(b－x,b＋x)為奇函數(shù)；(4)函數(shù)f(x)＝loga(x＋eq\r(x2＋1))為奇函數(shù)．[診斷自測]1．概念思辨(1)偶函數(shù)圖象不一定過原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)．()(2)已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，若在(－∞，0)上是減函數(shù)，則在(0，＋∞)上是增函數(shù)．()(3)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．()(4)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b,0)中心對稱．()答案(1)×(2)√(3)√(4)√2．教材衍化(1)(必修A1P39A組T6)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)＝x2＋eq\f(1,x)，則f(－1)＝()A．－2 B．0C．1 D．2答案A解析f(－1)＝－f(1)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(12＋\f(1,1)))＝－2.故選A.(2)(必修A1P39B組T3)設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且在(－∞，0)內(nèi)是減函數(shù)，f(－2)＝0，則xf(x)<0的解集為()A．(－1,0)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2,0)∪(0,2)答案C解析∵f(x)為奇函數(shù)，且在(－∞，0)內(nèi)單調(diào)遞減，∴f(x)在(0，＋∞)內(nèi)也單調(diào)遞減，又∵f(－2)＝0，∴f(2)＝0，函數(shù)f(x)的大致圖象如右圖，∴xf(x)<0的解集為(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故選C.3．小題熱身(1)(2015·全國卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))為偶函數(shù)，則a＝________.答案1解析由已知得f(－x)＝f(x)，即－xln(eq\r(a＋x2)－x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))，則ln(x＋eq\r(a＋x2))＋ln(eq\r(a＋x2)－x)＝0，∴l(xiāng)n[(eq\r(a＋x2))2－x2]＝0，得lna＝0，∴a＝1.(2)(2018·山西四校聯(lián)考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，且f(2)＝3，則f(2018)＝________.答案3解析∵f(x)＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))，∴f(x＋3)＝feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＋\f(3,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3,2)))＝f(x)．∴f(x)是以3為周期的周期函數(shù)．則f(2018)＝f(672×3＋2)＝f(2)＝3.題型1函數(shù)奇偶性的判斷eq\o(\s\do1(典例))判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝(1－x)eq\r(\f(1＋x,1－x))；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋1，x>0，,x2＋2x－1，x<0；))(3)f(x)＝eq\f(\r(4－x2),|x＋3|－3).用定義法，性質(zhì)法．解(1)當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1＋x,1－x)≥0時函數(shù)有意義，所以－1≤x<1，由于定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱，所以函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù)．(2)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)x>0時，－x<0，f(－x)＝x2－2x－1＝－f(x)，當(dāng)x<0時，－x>0，f(－x)＝－x2－2x＋1＝－f(x)．所以f(－x)＝－f(x)，即函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．(3)解法一：因?yàn)閑q\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4－x2≥0，,|x＋3|≠3))?－2≤x≤2且x≠0，所以函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱．所以f(x)＝eq\f(\r(4－x2),x＋3－3)＝eq\f(\r(4－x2),x)，又f(－x)＝eq\f(\r(4－－x2),－x)＝－eq\f(\r(4－x2),x)，所以f(－x)＝－f(x)，即函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．解法二：求得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－2,0)∪(0,2]．化簡函數(shù)f(x)，可得f(x)＝eq\f(\r(4－x2),x)，由y1＝x是奇函數(shù)，y2＝eq\r(4－x2)是偶函數(shù)，可得f(x)＝eq\f(\r(4－x2),x)為奇函數(shù)．方法技巧判斷函數(shù)奇偶性的方法1．定義法：利用奇、偶函數(shù)的定義或定義的等價形式：eq\f(f－x,fx)＝±1(f(x)≠0)判斷函數(shù)的奇偶性．2．圖象法：利用函數(shù)圖象的對稱性判斷函數(shù)的奇偶性．3．驗(yàn)證法：即判斷f(x)±f(－x)是否為0.4．性質(zhì)法：設(shè)f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上，有下面結(jié)論：沖關(guān)針對訓(xùn)練1．(2018·廣東模擬)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是()A．y＝eq\r(1＋x2) B．y＝x＋eq\f(1,x)C．y＝2x＋eq\f(1,2x) D．y＝x＋ex答案D解析易知y＝eq\r(1＋x2)與y＝2x＋eq\f(1,2x)是偶函數(shù)，y＝x＋eq\f(1,x)是奇函數(shù)．故選D.2．判斷下列各函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝eq\f(lg1－x2,|x2－2|－2)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋xx<0，,0x＝0，,－x2＋xx>0.))解(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2>0，,|x2－2|－2≠0))得函數(shù)的定義域?yàn)?－1,0)∪(0,1)，所以f(x)＝eq\f(lg1－x2,－x2－2－2)＝－eq\f(lg1－x2,x2).因?yàn)閒(－x)＝－eq\f(lg[1－－x2],－x2)＝－eq\f(lg1－x2,x2)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．(2)當(dāng)x<0時，－x>0，則f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；當(dāng)x>0時，－x<0，則f(－x)＝(－x)2－x＝－(－x2＋x)＝－f(x)．又f(0)＝0，故對任意的x∈(－∞，＋∞)，都有f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù).題型2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用角度1已知函數(shù)奇偶性求值eq\o(\s\do1(典例))(2018·湖南質(zhì)檢)已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝()A．－3 B．－1C．1 D．3本題用轉(zhuǎn)化法，將f(x)－g(x)轉(zhuǎn)化為f(x)＋g(x)．答案C解析∵f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，∴f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，又由題意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，∴f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝1.故選C.角度2已知函數(shù)奇偶性求解析式eq\o(\s\do1(典例))設(shè)函數(shù)y＝f(x)(x∈R)為偶函數(shù)，且?x∈R，滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，當(dāng)x∈[2,3]時，f(x)＝x，則當(dāng)x∈[－2,0]時，f(x)＝()A．|x＋4| B．|2－x|C．2＋|x＋1| D．3－|x＋1|利用函數(shù)的周期性結(jié)合奇偶性轉(zhuǎn)化求解．答案D解析?x∈R，滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))，∴f(x＋2)＝f(x)，故y＝f(x)(x∈R)是周期為2的函數(shù)．①當(dāng)x∈[－2，－1]時，x＋4∈[2,3]，∴f(x)＝f(x＋4)＝x＋4；②當(dāng)x∈(－1,0]時，－x∈[0,1)，－x＋2∈[2,3)，又函數(shù)y＝f(x)(x∈R)為偶函數(shù)，∴f(x)＝f(－x)＝f(－x＋2)＝－x＋2，綜合①②可知，f(x)＝3－|x＋1|.故選D.角度3已知函數(shù)奇偶性求參數(shù)eq\o(\s\do1(典例))(2017·安徽蚌埠二模)函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋2x＋a,x)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________.根據(jù)f(x)＋f(－x)＝0，利用待定系數(shù)法求解，本題還可用賦值法．答案－2解析解法一：函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，f(x)＝eq\f(x2＋a＋2x＋2a,x)＝x＋eq\f(2a,x)＋a＋2.因函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，即－x－eq\f(2a,x)＋a＋2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2a,x)＋a＋2))＝－x－eq\f(2a,x)－(a＋2)，則a＋2＝－(a＋2)，即a＋2＝0，則a＝－2.解法二：由題意知f(1)＝－f(－1)，即3(a＋1)＝a－1，得a＝－2.將a＝－2代入f(x)的解析式，得f(x)＝eq\f(x＋2x－2,x)，經(jīng)檢驗(yàn)，對任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都滿足f(－x)＝－f(x)，故a＝－2.角度4函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用eq\o(\s\do1(典例))(2017·合肥三模)定義在R上的函數(shù)y＝f(x)在(－∞，a)上是增函數(shù)，且函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，當(dāng)x1<a，x2>a，且|x1－a|<|x2－a|時，有()A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)≥f(x2)C．f(x1)<f(x2) D．f(x1)≤f(x2)本題用平移法，利用圖象的對稱性結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．答案A解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，把這個函數(shù)圖象平移|a|個單位(a<0左移，a>0右移)可得函數(shù)y＝f(x)的圖象，因此函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱，此時函數(shù)y＝f(x)在(a，＋∞)上是減函數(shù)．由于x1<a，x2>a且|x1－a|<|x2－a|，說明x1與對稱軸的距離比x2與對稱軸的距離小，故f(x1)>f(x2)．故選A.方法技巧1．利用函數(shù)奇偶性轉(zhuǎn)移函數(shù)值的策略將待求的函數(shù)值利用f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解．見角度1典例．2．利用函數(shù)奇偶性求解析式的策略將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式．見角度2典例．3．利用函數(shù)的奇偶性求解析式中參數(shù)值的策略利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到含有待求參數(shù)的關(guān)于x的恒等式，由恒等性得到關(guān)于待求參數(shù)滿足的方程(組)并求解．見角度3典例．4．函數(shù)性質(zhì)綜合應(yīng)用問題的常見類型及解題策略(1)函數(shù)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合．注意函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性．見角度4典例．(2)周期性與奇偶性結(jié)合．此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行變換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解．見角度2典例．(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性結(jié)合．解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用奇偶性和單調(diào)性求解．沖關(guān)針對訓(xùn)練1．(2017·河南模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時f(x)＝3x＋m(m為常數(shù))，則f(－log35)的值為()A．4 B．－4C．6 D．－6答案B解析∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x≥0時，f(x)＝3x＋m.∴f(0)＝0，即m＝－1.∴f(x)＝3x－1(x≥0)．f(－log35)＝－f(log35)＝－(3log35－1)＝－(5－1)＝－4.故選B.2．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)答案C解析∵f(x)是奇函數(shù)，∴當(dāng)x<0時，f(x)＝－x2＋2x.作出函數(shù)f(x)的大致圖象如圖中實(shí)線所示，結(jié)合圖象可知f(x)是R上的增函數(shù)，由f(2－a2)>f(a)，得2－a2>a，解得－2<a<1.故選C.題型3函數(shù)的周期性及應(yīng)用eq\o(\s\do1(典例1))(2016·山東高考)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x<0時，f(x)＝x3－1；當(dāng)－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)；當(dāng)x>eq\f(1,2)時，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))).則f(6)＝()A．－2 B．－1C．0 D．2本題綜合奇偶性、周期性求解．答案D解析當(dāng)x>eq\f(1,2)時，由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))可得f(x)＝f(x＋1)，所以f(6)＝f(1)，而f(1)＝－f(－1)，f(－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f(6)＝f(1)＝2.故選D.eq\o(\s\do1(典例2))已知定義在R上的函數(shù)f(x)，對任意實(shí)數(shù)x有f(x＋4)＝－f(x)＋2eq\r(2)，若函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，f(1)＝2，則f(2017)＝________.綜合用奇偶性、周期性解決．答案2解析由函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，故f(x)為偶函數(shù)．由f(x＋4)＝－f(x)＋2eq\r(2)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＋2eq\r(2)＝f(x)，所以f(x)是周期T＝8的偶函數(shù)，所以f(2017)＝f(1＋252×8)＝f(1)＝2.方法技巧函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用1．判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．見典例1.2．根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能．在解決具體問題時，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．見典例2.沖關(guān)針對訓(xùn)練1．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋6)＝f(x)，當(dāng)－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當(dāng)－1≤x<3時，f(x)＝x.則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)等于()A．336 B．339C．1678 D．2012答案B解析∵f(x＋6)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)的周期T＝6.∵當(dāng)－3≤x<－1時，f(x)＝－(x＋2)2；當(dāng)－1≤x<3時，f(x)＝x，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＋f(2016)＝1×eq\f(2016,6)＝336.又f(2017)＝f(1)＝1，f(2018)＝f(2)＝2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2018)＝339.故選B.2．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(x＋3)＝－eq\f(1,fx)，當(dāng)1<x≤3時，f(x)＝coseq\f(πx,3)，則f(2017)＝________.答案2解析由已知可得f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－eq\f(1,fx＋3)＝－eq\f(1,－\f(1,fx))＝f(x)，故函數(shù)f(x)的周期為6.∴f(2017)＝f(6×336＋1)＝f(1)．∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(1)＝f(－1)，而f(－1＋3)＝－eq\f(1,f－1)，所以f(1)＝f(－1)＝－eq\f(1,f2)＝－eq\f(1,cos\f(2π,3))＝2.∴f(2017)＝2.題型4抽象函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性eq\o(\s\do1(典例1))已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則()A．f(－25)<f(11)<f(80)B．f(80)<f(11)<f(－25)C．f(11)<f(80)<f(－25)D．f(－25)<f(80)<f(11)利用奇偶性和周期性將自變量轉(zhuǎn)化到已知單調(diào)區(qū)間，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小．答案D解析因?yàn)閒(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，所以f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，所以f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．故選D.eq\o(\s\do1(典例2))(2018·南昌期末)已知函數(shù)f(x)對于任意m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且當(dāng)x>0時f(x)>1.(1)求證：函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)；(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2.利用抽象函數(shù)的特殊條件，結(jié)合定義法解決函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而化抽象不等式為具體不等式求解．解(1)證明：設(shè)x1，x2∈R，且x1<x2，則x2－x1>0，則f(x2－x1)>1.∵函數(shù)f(x)對于任意m，n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1成立，∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0，∴函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)．(2)∵f(3)＝f(1＋2)＝f(1)＋f(2)－1＝f(1)＋f(1)＋f(1)－2＝3f(1)－2＝4，∴f(1)＝2.∴f(a2＋a－5)<2，即為f(a2＋a－5)<f(1)，由(1)知，函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，a2＋a－5<1，即a2＋a－6<0，∴－3<a<2.∴不等式f(a2＋a－5)<2的解集是{a|－3<a<2}．方法技巧把不給出具體解析式只給出函數(shù)的特殊條件或特征的函數(shù)稱為抽象函數(shù)．這類題目能全面考查學(xué)生對函數(shù)概念的理解，解答抽象函數(shù)的題目，掌握常見的基本函數(shù)及性質(zhì)是關(guān)鍵．同時注意特殊值法、賦值法、圖象法的應(yīng)用．沖關(guān)針對訓(xùn)練1．(2018·太原檢測)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)，當(dāng)x<0時，f(x)>0，則函數(shù)f(x)在[a，b]上()A．有最小值f(a) B．有最大值feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))C．有最小值f(b) D．有最大值f(b)答案C解析令y＝－x，則由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)(x，y∈R)得f(0)＝f(x)＋f(－x)，①再令x＝y(tǒng)＝0得f(0)＝f(0)＋f(0)得f(0)＝0，代入①式得f(－x)＝－f(x)．得f(x)是一個奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱．∵當(dāng)x<0時，f(x)>0，即f(x)在R上是一個減函數(shù)，可得f(x)在[a，b]上有最小值f(b)．故選C.2．(2017·池州模擬)已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且滿足下列三個條件：①對任意的x1，x2∈[4,8]，當(dāng)x1<x2時，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0；②f(x＋4)＝－f(x)；③y＝f(x＋4)是偶函數(shù)．若a＝f(6)，b＝f(11)，c＝f(2017)，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是()A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．a(chǎn)<c<b D．c<b<a答案B解析根據(jù)題意，若對任意的x1，x2∈[4,8]，當(dāng)x1<x2時，都有eq\f(fx1－fx2,x1－x2)>0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[4,8]上為增函數(shù)，若f(x＋4)＝－f(x)，則f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為8，若y＝f(x＋4)是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝4對稱，a＝f(6)，b＝f(11)＝f(3)＝f(5)，c＝f(2017)＝f(252×8＋1)＝f(1)＝f(7)，又由函數(shù)f(x)在區(qū)間[4,8]上為增函數(shù)，則有b<a<c.故選B.1．(2017·全國卷Ⅰ)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)．若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是()A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]答案D解析∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)單調(diào)遞減，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.故選D.2．(2017·河南測試)已知函數(shù)f(x)＝ln(2x＋eq\r(4x2＋1))－eq\f(2,2x＋1)，若f(a)＝1，則f(－a)＝()A．0 B．－1C．－2 D．－3答案D解析令g(x)＝ln(2x＋eq\r(4x2＋1))，則g(－x)＋g(x)＝ln(－2x＋eq\r(4x2＋1))＋ln(2x＋eq\r(4x2＋1))＝ln1＝0，所以函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，則f(－a)＝g(－a)－eq\f(2×2a,1＋2a)＝－g(a)－eq\f(2×2a,1＋2a).又f(a)＝g(a)－eq\f(2,2a＋1)，兩式相加，得f(－a)＋f(a)＝－eq\f(2×2a＋1,1＋2a)＝－2.又f(a)＝1，所以f(－a)＝－3.故選D.3．(2014·全國卷Ⅱ)已知偶函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，f(2)＝0.若f(x－1)>0，則x的取值范圍是________．答案(－1,3)解析∵f(2)＝0，f(x－1)>0，∴f(x－1)>f(2)，又∵f(x)是偶函數(shù)，∴f(|x－1|)>f(2)，又f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，∴|x－1|<2，∴－2<x－1<2，∴－1<x<3，∴x∈(－1,3)．4．(2016·四川高考)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0<x<1時，f(x)＝4x，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(1)＝________.答案－2解析∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(x)＝－f(－x)，又∵f(x)的周期為2，∴f(x＋2)＝f(x)，∴f(x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋2)＋f(－x)＝0，令x＝－1，得f(1)＋f(1)＝0，∴f(1)＝0.又∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－4eq\f(1,2)＝－2.∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＋f(1)＝－2.[基礎(chǔ)送分提速狂刷練]一、選擇題1．(2017·重慶測試)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()A．y＝x3＋3x2 B．y＝eq\f(ex＋e－x,2)C．y＝xsinx D．y＝log2eq\f(3－x,3＋x)答案D解析函數(shù)y＝x3＋3x2既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，排除A；函數(shù)y＝eq\f(ex＋e－x,2)是偶函數(shù)，排除B；函數(shù)y＝xsinx是偶函數(shù)，排除C；函數(shù)y＝log2eq\f(3－x,3＋x)的定義域是(－3,3)，且f(－x)＝log2eq\f(3＋x,3－x)＝－f(x)，是奇函數(shù)，D正確．故選D.2．下列函數(shù)中，既是定義域內(nèi)的偶函數(shù)又在(－∞，0)上單調(diào)遞增的函數(shù)是()A．f(x)＝x2 B．f(x)＝2|x|C．f(x)＝log2eq\f(1,|x|) D．f(x)＝sinx答案C解析函數(shù)f(x)＝x2在(－∞，0)上單調(diào)遞減，排除A；當(dāng)x∈(－∞，0)時，函數(shù)f(x)＝2|x|＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在(－∞，0)上單調(diào)遞減，排除B；當(dāng)x∈(－∞，0)時，函數(shù)f(x)＝log2eq\f(1,|x|)＝－log2(－x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)是偶函數(shù)，C正確；函數(shù)f(x)＝sinx是奇函數(shù)，排除D.故選C.3．(2017·唐山統(tǒng)考)f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x3＋ln(1＋x)．則當(dāng)x<0時，f(x)＝()A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x)答案C解析當(dāng)x<0時，－x>0，f(－x)＝(－x)3＋ln(1－x)，∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴當(dāng)x<0時，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋ln(1－x)]，∴f(x)＝x3－ln(1－x)．故選C.4．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并且f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)，當(dāng)2≤x≤3時，f(x)＝x，則f(105.5)＝()A．－0.5 B．0.5C．－2.5 D．2.5答案D解析∵f(x＋2)＝－eq\f(1,fx)，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－eq\f(1,fx＋2)＝－eq\f(1,－\f(1,fx))＝f(x)．∴函數(shù)f(x)的周期為4.∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)．∵2≤2.5≤3，∴f(2.5)＝2.5.∴f(105.5)＝2.5.故選D.5．(2017·金版創(chuàng)新)已知函數(shù)f(x)在?x∈R都有f(x－2)＝－f(x)，且當(dāng)x∈[－1,0]時，f(x)＝2x，則f(2017)等于()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．1 D．－1答案B解析由f(x－2)＝－f(x)，得f(x－4)＝－f(x－2)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)的周期為4.所以f(2017)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－eq\f(1,2).故選B.6．(2018·青島模擬)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，若f(x＋1)為偶函數(shù)，且f(1)＝2，則f(4)＋f(5)的值為()A．2 B．1C．－1 D．－2答案A解析∵f(x＋1)為偶函數(shù)，f(x)是R上的奇函數(shù)，∴f(－x＋1)＝f(x＋1)，f(x)＝－f(－x)，f(0)＝0，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)＝－f(x－1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，故4為函數(shù)f(x)的周期，則f(4)＝f(0)＝0，f(5)＝f(1)＝2，∴f(4)＋f(5)＝0＋2＝2.故選A.7．(2018·襄陽四校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽.當(dāng)x<0時，f(x)＝x5－1；當(dāng)－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)；當(dāng)x>0時，f(x＋1)＝f(x)，則f(2018)＝()A．－2 B．－1C．0 D．2答案D解析因?yàn)楫?dāng)x>0時，f(x＋1)＝f(x)，所以當(dāng)x>0時，函數(shù)f(x)是周期為1的周期函數(shù)，所以f(2018)＝f(1)，又因?yàn)楫?dāng)－1≤x≤1時，f(－x)＝－f(x)，所以f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)5－1]＝2.故選D.8．已知函數(shù)f(x)是R上的偶函數(shù)，g(x)是R上的奇函數(shù)，且g(x)＝f(x－1)，若f(2)＝2，則f(2018)的值為()A．2 B．0C．－2 D．±2答案A解析∵f(x)是R上的偶函數(shù)，g(x)是R上的奇函數(shù)，且g(x)＝f(x－1)，∴g(－x)＝f(－x－1)＝f(x＋1)＝－g(x)＝－f(x－1)．即f(x＋1)＝－f(x－1)．∴f(x＋2)＝－f(x)．∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)．∴函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，且周期為4.∴f(2018)＝f(2)＝2.故選A.9．(2017·石家莊模擬)已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)<1，f(5)＝eq\f(2a－3,a＋1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．(－1,4) B．(－2,0)C．(－1,0) D．(－1,2)答案A解析∵f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數(shù)，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)<1，f(5)＝eq\f(2a－3,a＋1)，∴eq\f(2a－3,a＋1)<1，即eq\f(a－4,a＋1)<0，解得－1<a<4.故選A.10．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2－3x，則函數(shù)g(x)＝f(x)－x＋3的零點(diǎn)所構(gòu)成的集合為()A．{1,3} B．{－3，－1,1,3}C．{2－eq\r(7)，1,3} D．{－2－eq\r(7)，1,3}答案D解析當(dāng)x<0時，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3x]＝－x2－3x，易求得g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3，x≥0，,－x2－4x＋3，x<0，))當(dāng)x2－4x＋3＝0時，可求得x1＝1，x2＝3；當(dāng)－x2－4x＋3＝0時，可求得x3＝－2－eq\r(7)，x4＝－2＋eq\r(7)(舍去)．故g(x)的零點(diǎn)為1,3，－2－eq\r(7).故選D.二、填空題11．(2018·武昌聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝eq\f(k－2x,1＋k·2x)在定義域上為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)k＝________.答案±1解析∵f(－x)＝eq\f(k－2－x,1＋k·2－x)＝eq\f(k·2x－1,2x＋k)，∴f(－x)＋f(x)＝eq\f(k－2x2x＋k＋k·2x－1·1＋k·2x,1＋k·2x2x＋k)＝eq\f(k2－122x＋1,1＋k·2x2x＋k).由f(－x)＋f(x)＝0，可得k2＝1，∴k＝±1.12．設(shè)f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1，1)上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋a，－1≤x<0，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)－x))，0≤x<1，))其中a∈R.若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))，則f(5a)的值是________．答案－eq\f(2,5)解析∵f(x)是周期為2的函數(shù)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，又∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即－eq\f(1,2)＋a＝eq\f(1,10)，解得a＝eq\f(3,5)，則f(5a)＝f(3)＝f(4－1)＝f(－1)＝－1＋eq\f(3,5)＝－eq\f(2,5).13．(2017·鄭州聯(lián)考)對于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)a≠0，使得取定義域內(nèi)的每一個x值，都有f(x)＝－f(2a－x)，則稱f(x)為準(zhǔn)奇函數(shù)．給出下列函數(shù)：①f(x)＝(x－1)2，②f(x)＝eq\f(1,x＋1)，③f(x)＝x3，④f(x)＝cosx，其中所有準(zhǔn)奇函數(shù)的序號是________．答案②④解析對于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)a≠0，