陜西省榆林市2024-2025學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)第一次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

陜西省榆林市2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬檢測(cè)數(shù)學(xué)

試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.設(shè)集合4={-2,-1,0,1,2},5={尤|尤2-2尤-320},則Ac08=()

A.{-2,-1,0}B.{-1,-2）C.{0,1,2}D.{1,2}

復(fù)數(shù)二在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

2.z=）

1-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.“尤<1”是的（）

X

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

4.已知曲線y=x+在點(diǎn)（1,1）處的切線與曲線y=a/+x+2相切，則"=（）

5.下圖是學(xué)校體育場(chǎng)經(jīng)常使用的籃球收納筐（有蓋），已知一個(gè)籃球的半徑為12厘米，收

納筐底面的長(zhǎng)和寬分別為72cm和48cm.若要放下8個(gè)這樣的籃球,則籃球收納筐的高度〃的

最小整數(shù)值為（）

A.39B.40C.41D.42

6.在等腰梯形中，CD,AB=4,C￡>=2,E為線段CD上的動(dòng)點(diǎn)，則通.通的值

不可能為（）

A.15B.12C.9D.6

2x-4_i

7.已知函數(shù)"x）=\^+x-l在區(qū)間卜,句上的值域?yàn)閇私閡.若a+b=4,貝l]m+M的

值為（）

A.8B.6C.4D.2

8.已知正三棱柱ABC-A4G的底面邊長(zhǎng)為6,高為2出,則該正三棱柱的外接球的體積

為（）

A.號(hào)B.4&C.隔D.年

二、多選題

9.下列說(shuō)法正確的是（）

A.若—<—<0,則avZ?

ab

B.^a2x>a2y,則1>丁

C.丁=土上在（0,+。）上的最小值為2

x

149

D.若a+b=2,則一+7的最小值為t

ab2

10.函數(shù)〃x）=2simcosx-百cos2x,下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)〃x）在（0,力上單調(diào)遞增

B.函數(shù)八力的圖象可由函數(shù)g（x）=2cos2x的圖象向右平移2Sir個(gè)單位長(zhǎng)度得到

C.若關(guān)于x的方程2/（x）-機(jī)=0在聯(lián)卷上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則機(jī)式264]

D.函數(shù)〃（%）=sin2x-+4sinx的最大值為!.

11.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABC。是長(zhǎng)方形，PAL平面ABCD,E是棱產(chǎn)。

上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

A.存在點(diǎn)E,使得平面A￡C_L平面PCD

B.若三棱錐尸-ACE的體積為四棱錐尸-ABC。的體積的:，則E為尸。的中點(diǎn)

4

71

C.若P4=AB=AD,則不存在點(diǎn)E使得直線3P和AE的夾角為I

D.設(shè)平面AECI平面P2C=/,則點(diǎn)E從尸運(yùn)動(dòng)到。(點(diǎn)E不與點(diǎn)。重合)的過(guò)程中,

二面角A-1-3的平面角的大小逐漸減小

三、填空題

12.已知數(shù)歹支凡｝的前〃項(xiàng)和為S”.若S“=〃2+2〃-3(〃eN*),則6+%=.

13.已知tana和tanl^-ej是方程無(wú)？+px+q=0的兩個(gè)根，計(jì)算G^-p=.

14.將5個(gè)1,5個(gè)2,5個(gè)3,5個(gè)4,5個(gè)5共25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格內(nèi)(每格

填入1個(gè)數(shù))，使得同一列中任何兩數(shù)之差的絕對(duì)值不超過(guò)2,設(shè)第七列的所有數(shù)的和為

〃(左=1,2,3,4,5),小為小4,4，〃，4中的最小值，則機(jī)的最大值為.

四、解答題

15.在遞增數(shù)列｛4｝中，a^t-2nan+2n-l=0.

(1)求生,%的值；

⑵求數(shù)列｛2冊(cè)｝的前〃項(xiàng)和S..

16.記AASC的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知島sin3=6+bcosA.

(1)求角A的大??；

(2)若VA2C外接圓的半徑為立，求VABC周長(zhǎng)的最大值.

3

17.如圖，在四棱錐P-ABCD中，24_L平面ABC￡>,四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為2的正方形,

E是叢的中點(diǎn).

⑴求證：尸C〃平面3￡(E；

(2)若直線BE與平面PCD所成角的正弦值為巫，求PA的長(zhǎng)度.

10

18.已知函數(shù)/(x)=flx—ln(x+l)+l.

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求/'(X)的最小值;

(2)求/(x)的極值;

⑶當(dāng)a42時(shí)，證明：當(dāng)一1<%<0時(shí)，〃x)>e\

19.不動(dòng)點(diǎn)在數(shù)學(xué)和應(yīng)用中具有重要作用，不動(dòng)點(diǎn)是指被函數(shù)映射到其自身的點(diǎn).對(duì)于函數(shù)

“X),我們把滿(mǎn)足〃。)=。的。稱(chēng)為函數(shù)“X)的不動(dòng)點(diǎn)，已知函數(shù)〃尤)=尤3一/+3尤+；.

(1)證明：/("在有唯一的不動(dòng)點(diǎn)與；

⑵已知占=0,xn+1=/(x?%+]=〃％),%=%-%,且｛a“｝的前〃項(xiàng)和為S“,〃eN*.

證明：

①卜/為遞增數(shù)列，｛%｝為遞減數(shù)列，且％〉尤”；

?Sn<l~.

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

題號(hào)12345678910

答案CBBDCADABCABD

題號(hào)11

答案AB

1.C

【分析】求出求出ACaB.

【詳解】因?yàn)閈B={x|X2-2X-3<0)={X|-1<X<3},

所以4門(mén)露8={0,1,2}.

故選：C.

2.B

【分析】求復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定其象限.

【詳解】復(fù)數(shù)z=^+i=2i(l+i)

+i=-l+2i

(>i)(l+i)

則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(-1,2)位于第二象限，

故選：B.

3.B

【分析】解不等式x<』，即可確定選項(xiàng).

X

【詳解】解法1：當(dāng)%>0時(shí)，由得/<1,解得0<兄<1,

x

當(dāng)xvO時(shí)，由得了2>1,解得了<_1,

X

故由可得：或

X

所以“X<L，是，，o<%<1"的必要不充分條件.

X

故選B.

解法2：設(shè)A={無(wú)x<：，，3={x|0<尤<1},可得：—2eA,—2e8,

對(duì)于VxeB,者B有xeA,故“彳<：是"0<x<l”的必要不充分條件

故選：B.

答案第1頁(yè)，共17頁(yè)

4.D

【分析】求導(dǎo)，計(jì)算曲線y=x+i皿在點(diǎn)(1,1)處的切線方程，利用切線與曲線＞=依2+彳+2

相切可得結(jié)果.

【詳解】解法1：由y=x+lnx得y=l+，,當(dāng)x=l時(shí)，y=2,

X

所以曲線y=x+lnx在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為：y-l=2(x-l),即y=2犬-1.

2

ty=ox+x+2c

由〈得，ax2—x+3=0,

[y=2x-l

所以△=1—12〃=0,角軍得。=在，

故選：D.

解法2：由y=x+lnx得y=1+,，當(dāng)％=1時(shí)，y=2,

x

所以曲線尸工+9在點(diǎn)(1,1)處的切線方程為：j-l=2(x-l),即y=2x-1.

因?yàn)槎?。/+%+2,所以y'=2辦+1,

令y=2ox+l=2,得了=，，

2a

所以y=2尤-1與曲線，=辦2+犬+2的切點(diǎn)為+

\2a4a)

311

由切點(diǎn)在切線y=2無(wú)一1得;+2=__1,解得a=G，

4aa12

故選：D.

5.C

【分析】法i：過(guò)ON，平面。。2。3°4于N,求得正四棱錐a-QQQO,的高。聲即可.

法2：建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求得正四棱錐。7-。。2。3。4的高.

【詳解】解法1：底層正好容納6個(gè)球，當(dāng)高度最低時(shí)，8個(gè)球的球心組成了下圖所示的幾

何體，

則四棱錐。7-。02。3。4為棱長(zhǎng)均為24的正四棱錐，

過(guò)ON，平面0。夕3。4于N,可得N是正方形O,O2O3O4的中心,

因?yàn)?02=24,可得?N=120,由RtAQO,N,可得

答案第2頁(yè)，共17頁(yè)

QN=也0；_0］儲(chǔ)=小不-(120y=120,

此時(shí)〃=24+120=24+V288e(40,41).

解法2：底層正好容納6個(gè)球，當(dāng)高度最低時(shí)，

左側(cè)的5個(gè)球的球心組成了棱長(zhǎng)均為24的正四棱錐O,-，

以。1為坐標(biāo)原點(diǎn)，QU，。。2所在直線為％、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則a(12,12,/7—24),007=J12?+122+(/7—24)2=24,/?=24+>/288e(40,41),

故選:C.

6.A

【分析】解法1：建系，設(shè)后(。力)，lWa43,結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解；解法2：根據(jù)

數(shù)量積的幾何意義分析求解.

【詳解】解法1：以A為原點(diǎn)，48所在的直線為無(wú)軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則4(0,0),3(4,0),設(shè)E(a,6),l<a<3,

可得通=(a,b),通=(4,0),則通.用=(a,b)-(4,0)=4ae[4,12],

結(jié)合選項(xiàng)可知選項(xiàng)A的值不可能成立；

答案第3頁(yè)，共17頁(yè)

解法2設(shè)通在荏上的數(shù)量投影為帆目1,3］,則通?荏=4根e［4,12］,

結(jié)合選項(xiàng)可知選項(xiàng)A的值不可能成立；

故選：A.

7.D

【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)/(X)在目上遞增，利用a+b=4可得利+V的值.

21_［

【詳解】解法1：因?yàn)?

所以"4一x)+/(x)=2,

所以“X)關(guān)于(2,1)對(duì)稱(chēng).

因?yàn)閍+b=4,函數(shù)/(x)在區(qū)間［a,b］上的值域?yàn)椴贰?,所以〃?+M=2.

解法2:因?yàn)椤巴?力^+尤-1=61-02-，+；1-1在［。,可上遞增，

所以機(jī)+Af=〃a)+/(b)=/(4-a)+/g)=2.

解法3：取“=0,6=4,因?yàn)?(x)=y/+x-l=e"2_e2f+X-1在［0,4］上遞增，

所以加+M=/(O)+"4)=2.

故選D.

8.A

【分析】解法1：先利用正弦定理求出正三棱柱的底面圓半徑，再借助于勾股定理建立方程，

求出外接球半徑即得.解法2：先判斷正三棱柱的外接球球心在高線。。2的中點(diǎn)，即可判斷

外接球半徑R>6,繼而得出外接球體積范圍，排除其他三項(xiàng)即得.

【詳解】

小產(chǎn)三~方-------刁G

答案第4頁(yè)，共17頁(yè)

解法1：如圖，設(shè)正三棱柱4BC-A瓦G外接球的球心為。，半徑為R.

記VABC和△4瓦&外接圓的圓心分別為01和。2,其半徑為「，

由正弦定理得：r=4—=1.而。為。。2的中點(diǎn)，

2sin60°

所以R2=『+(6『=4,R=2,則V=g兀必=2|土

故選:A.

解法2：設(shè)正三棱柱ABC-44Q外接球的半徑為R,

因正三棱柱的高為2石，由對(duì)稱(chēng)性知其外接球球心必在高線的中點(diǎn)，

故R>也,此時(shí)丫=3兀尺3>4岳.

故選:A.

9.BC

【分析】利用不等式的性質(zhì)可得選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；根據(jù)基本不等式可得選項(xiàng)C正

確；舉反例可得選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

【詳解】解法1：因?yàn)長(zhǎng)<;<0,所以“。>0,。>匕，A錯(cuò)誤.

ab

因?yàn)椤ㄋ浴?>0,x>y,B正確.

當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y=x+，22,當(dāng)且僅當(dāng)尤=1時(shí)取等號(hào)，C正確.

X

14

當(dāng)4=3,6=-1時(shí)t，—+—<0,D錯(cuò)誤.

ab

解法2：因?yàn)閥=/在(-叫0)上遞減，：<(<。，所以“>0，A錯(cuò)誤.

因?yàn)樗?(X)=/彳(4/0)在R上遞增，x>y,B正確.

因?yàn)楹瘮?shù)丫=x+，在(0,1)上遞減，在(1,+8)上遞增，所以當(dāng)x=l時(shí)，y=x+>!■取得最小值

XX

2,C正確.

14Aa+b3（2+214

因?yàn)椤?6=2,所以廠廠當(dāng)〃>2時(shí)，—I—<0,D錯(cuò)誤.

ab〃（2-〃）’ab

故選：BC.

10.ABD

【分析】根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)/(x)解析式，畫(huà)出函數(shù)圖象或整體思想分

析可得選項(xiàng)A正確；根據(jù)函數(shù)圖象平移左加右減的原則可得選項(xiàng)B正確；方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)

答案第5頁(yè)，共17頁(yè)

題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題可得選項(xiàng)c錯(cuò)誤；利用同角三角函數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)函數(shù)解析

式可得選項(xiàng)D正確

【詳解】解法1：〃x)=sin2x->/§cos2x=2sin(2x-；J,其函數(shù)圖象如下圖所示:

由圖象可得：/(x)在上單調(diào)遞增，A正確.

函數(shù)g(x)=2cos2x的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)

y=2cos^2x-^-^=y=2cos^2x-^--^=2sin^2x-^的圖象，

S

所以〃X)的圖象可由函數(shù)g(x)的圖象向右平移I7Ir個(gè)單位得到，B正確.

因?yàn)?/(“一加=0,所以〃x)=T，

"77T7T

所以>=￡與y=/Q)在上有兩個(gè)交點(diǎn)，

即：/^=V3<y<2,故機(jī)e[2括,4),C錯(cuò)誤.

/z(x)=A/3COS2x+4sinx=V3(1-2sin2x)+4sinx=-273sinx.#]+|-A/3>

當(dāng)且僅當(dāng)sinx=立時(shí)取等號(hào)，D正確.

3

故選：ABD.

解法2：當(dāng)xe(0,0時(shí)，故〃x)在(0,￡|上單調(diào)遞增，A正確.

因?yàn)間(x)=2cos2x=2sin+將其向右平移||可得：

=2sinf2x-^j=/(x),B正確.

機(jī)=4時(shí)，y=2/(%)取得最大值，該函數(shù)在上最多一個(gè)最大值，C錯(cuò)誤.

h^x)--2y/3sin2x+4smx+y/3,令f=sinx(-l<r<l),貝！jy=-2如/+4/+代，當(dāng)/=立時(shí),

答案第6頁(yè)，共17頁(yè)

y取得最大值g石，D正確.

故選：ABD.

11.AB

【分析】利用線面垂直證明面面垂直可得選項(xiàng)A正確；轉(zhuǎn)化棱錐體積可得E到平面PAC的

距離為點(diǎn)。到平面PAC的距離的一半，故E為的中點(diǎn)，選項(xiàng)B正確；將該四棱錐放入

7T

正方體，E為尸。的中點(diǎn)時(shí)，3尸和AE的夾角為三，可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤；利用二面角的變化趨

勢(shì)可得選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

【詳解】解法1：

因?yàn)镽4_L平面ABC。，CDu平面A3CD,所以B4_LCD,

又因?yàn)锳DJ_CD,PAcAD=A,且兩直線在平面內(nèi)，所以CD平面PAD,因?yàn)锳Eu平面

PAD,所以CDLAE.

當(dāng)于E時(shí)，CDCPD=D,且兩直線在平面內(nèi)，所以AE_L平面尸CD,因?yàn)锳Eu平

面AEC,所以平面A￡C_L平面PCD,A正確.

因?yàn)樨埃?ACE=~^P-ABCD,^P-ABCD=^P-ACD，所以^P-AEC=^P-ACD，即^E-PAC=~^D-PAC,所

以點(diǎn)E到平面PAC的距離為點(diǎn)O到平面PAC的距離的一半，故E為PD的中點(diǎn)，B正確.

當(dāng)E為尸。的中點(diǎn)時(shí)，連接80交AC于0,連接0E,則OE〃的，則直線3P和AE的夾

角等于直線0E和AE的夾角，

由曰==得，PB=PD=BD,故"。石為等邊三角形，故存在點(diǎn)E使得直線3尸和

7T

AE的夾角為C錯(cuò)誤.

過(guò)尸作P/〃AD交AE的延長(zhǎng)線于尸，則尸e/.過(guò)A作AG_LPS于G,連接CG,過(guò)G作

GHLCF于H,連接

4GAG

設(shè)二面角AT—8的平面角為凡NAHG=dtan：=》=".,AG,GC均為定

3HGC?smZGCr

答案第7頁(yè)，共17頁(yè)

值，當(dāng)點(diǎn)E從尸運(yùn)動(dòng)到。的過(guò)程中，sin/GC產(chǎn)先增加到1,而后逐漸減小，故tan。先減小

后增大，二面角平面角的大小也先減小后增大，D錯(cuò)誤.

解法2：將該四棱錐放入長(zhǎng)方體，

當(dāng)于E時(shí)，平面AECL平面PCD,A正確.

若三棱錐P-ACE的體積為四棱錐尸-ABCD體積的］,則E為9的中點(diǎn)，B正確.

4

兀

^PA=AB=AD,將該四棱錐放入正方體，E為尸。的中點(diǎn)時(shí)，3尸和AE的夾角為孑，C

錯(cuò)誤.

當(dāng)北的長(zhǎng)度趨于正無(wú)窮大，當(dāng)點(diǎn)E在尸處時(shí)，二面角A-的平面角趨于—ACS,當(dāng)點(diǎn)E

7T

在。處時(shí)，二面角A-/-3的平面角趨于5,D錯(cuò)誤.

故選：AB.

12.11

【分析】根據(jù)數(shù)列前〃項(xiàng)和求數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別計(jì)算％,%即可得到結(jié)果.

【詳解】解法1：當(dāng)”=1時(shí)，％=1=0.

2

當(dāng)〃N2時(shí)，cin—Sn~Sn_x—n+2〃-3-1)?+2(〃-1)-3]=2〃+l.

所以“5=11,4+%=11.

解法2：ai+a5=+S5—S4=0+32—21=11.

故答案為：11.

13.3

【分析】解法1和解法2利用韋達(dá)定理結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)可得，解法3取特殊值求解.

【詳解】解法1：tana+tan=-7?,tanatan=Q,

答案第8頁(yè)，共17頁(yè)

所以百一@+2=0,即可一p=g.

解法2：

71

=V3tancr?tana+1—tanstantanj.

3

jr

解法3：令a=§,貝！Jg和0是方程Y+px+q=。的兩個(gè)根,

貝！Jp=-石,q=0,\[?>q-p=y/3.

故答案為：瓜

14.10

【分析】依據(jù)5個(gè)1分布的列數(shù)的不同情形進(jìn)行討論，確定加的最大值.

【詳解】依據(jù)5個(gè)1分布的列數(shù)的不同情形進(jìn)行討論，

(1)若5個(gè)1分布在同一列，則\=5；

(2)若5個(gè)1分布在兩列中，則由題意知這兩列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3,

2m<5x1+5x3=20,故

(3)若5個(gè)1分布在三列中，則由題意知這三列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為3,

ft3m<5x1+5x2+5x3=30,故〃z410；

(4)若5個(gè)1分布在至少四列中，則其中某一列至少有一個(gè)數(shù)大于3,這與已知矛盾.

綜上所述，O/W10；

另一方面，如下表的例子說(shuō)明加可以取到10.

11145

11245

22245

33245

33345

故答案為：10

答案第9頁(yè)，共17頁(yè)

15.(l)^i=1,4=3,%=5；

⑵中,

【分析】（1）根據(jù)遞推式依次求出對(duì)應(yīng)項(xiàng)，結(jié)合單調(diào)性確定最終值;

（2）由題設(shè)得2%=221,應(yīng)用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和求S”.

【詳解】（1）因?yàn)槠?〃?！?2〃-1=。，所以—2%+1=0,解得％=1,

同理得出=1或3,%=1或5,又｛%｝是遞增數(shù)列，

所以=1,“2=3,〃3=5；

（2）因?yàn)椤?〃%+2〃—1=0,所以［凡一（2〃—-1）二。，

所以4=2〃-1或4=1,又｛〃〃｝是遞增數(shù)列，所以%=2”1,

2422+2

故2""=22"T,所以S=^-）="'".

〃1-43

71

⑹⑴3

⑵3

【分析】（1）先應(yīng)用正弦定理得出V^sinAsinB-sin5cosA-sinB=0結(jié)合sinB>0結(jié)合輔助角

公式或者二倍角公式即可求解；

（2）解法1：應(yīng)用正弦定理得出邊長(zhǎng)再結(jié)合余弦定理及基本不等式求解；

解法2先應(yīng)用正弦定理再應(yīng)用兩角和差公式結(jié)合正弦函數(shù)值域求解.

【詳解】（1）解法1：因?yàn)間asinB=6+bcosA,所以由正弦定理可得：

y/3sinAsinB-sinBcosA-sinB=0,

而sinB>0,所以出sinA-cosA-l=0,即：2sin[A-7

=1,

因?yàn)?<A<兀，所以A-J=m，A=/

oo5

解法2：因?yàn)間asiiiB=b+bcosA,所以由正弦定理可得：\Z3sinAsinB-sinBcosA-sinB=0,

而sinB>0，

r-AAA

所以^s^sinA—cosA—1=0,即：2v3sin—cos——2cos2=1

答案第10頁(yè)，共17頁(yè)

A

因?yàn)镺VAVTI,所以cos—>0,

2

所以681114-854=0,tan—=-,—=—,A=—

2223263

(2)解法1：因?yàn)閂A5C外接圓的半徑為且，所以〃叵sinA=l,

33

31

由余弦定理得：a2=b2+c2-bc=(.b+c)2-3bc>(b+c)2--(b+c)2=-(b+c)2,

44

所以b+c?2a=2,a+b+cK3,

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=c=l時(shí)等號(hào)成立，故三角形VABC周長(zhǎng)的最大值為3.

解法2：因?yàn)閂ABC外接圓的半徑為且，所以由正弦定理得：—=^,

3sinAsinBsinC3

72A/3/..\12A/3.2A/3.(兀)

所*以q+Z?+c=—-—(sinA+sini5+sinC*J—1H———sinSH———sinIJB+-I

=1+&sin3+cosB=1+2sin13+<3,

當(dāng)且僅當(dāng)2+9=3,即B=g時(shí)取等號(hào)，故VABC周長(zhǎng)的最大值為3.

623

17.(1)證明見(jiàn)解析

(2)2或4

【分析】(1)結(jié)合題目條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)B4=2a(a>0),表示各點(diǎn)坐標(biāo)，求定

和平面龐>E的法向量而，利用卮.石=0可證明結(jié)論.

(2)計(jì)算而和平面PCD的法向量，利用線面角的向量公式建立等量關(guān)系即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)解法1：因?yàn)镻A_L平面AB。，ABu平面ABC。，A￡>u平面ABC￡>,

所以R4_LAB,Rl_LAr>.

因?yàn)樗倪呅蜛3C￡>為正方形，所以AB_LAD.

以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)PA=2a（a>0）,則B（0,0,2）,C（2,0,2）,JD（2,0,0）,P（0,2a,0）,E（0,a,0）,

答案第II頁(yè)，共17頁(yè)

所以定=(2,-2a,2),麗=(2,0,-2),DE=(-2,a,0).

BDn=02x—2z=0

設(shè)平面的法向量為元=(x,y,z),由—.可得：

DEn=0—2x+ay=0

令y=2,貝!］同=(a,2,a).

因?yàn)槎?為=2。一4°+2。=0，PCU平面由汨，所以尸C〃平面

解法2：

如圖，連接AC交5。于。，連接OE,

因?yàn)镺,E分別為AC,AP的中點(diǎn)，所以O(shè)E〃尸C.

因?yàn)椤浮?平面8。2。石<=平面5￡>￡1,所以PC〃平面

(2)解法1：由(1)知，DC=(0,0,2),DP=(-2,2a,0),BE=(O,a,-2),

DC-m=02Z1=0

設(shè)平面尸8的法向量為用=(占,x，zj,由，一可得:

DP-m=0一2石+2ay1=0

令3=1,則/=(a,l,0),設(shè)直線BE與平面PCD所成角為

*，解得a=l或a=2,故上4長(zhǎng)為2或

sin0=|cosBE,ma

|BE||-|m|yja2++1

4.

解法2：

答案第12頁(yè)，共17頁(yè)

作直三棱柱ADP-BCQ,過(guò)點(diǎn)B作BGLCQ于G,過(guò)點(diǎn)E作即，。尸于H,

取BG的中點(diǎn)f，連結(jié)G8,Er,貝l|3G_L平面PCD,E"_L平面尸CD,所以BE在平面PCD的

投影即為G〃.

因?yàn)镋H//FG,EH=FG,所以四邊形ER汨為平行四邊形，所以跖〃G〃,

所以ZBEF為直線BE與平面PCD所成的角.

2-aa

設(shè)B4=2o(a>0),則g&2+4母=；BG一1?-----------

BFa吟，解得1=1或4=2,故P4長(zhǎng)為2或4.

貝UsinNBEF=——

BEJ/+4,J/+1

18.(1)1

(2)a<0時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)。>0時(shí)，極小值2-<7+ln<7,無(wú)極大值

(3)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，得到最小值；

(2)求定義域，求導(dǎo)，分aV0和a>0兩種情況，求出函數(shù)單調(diào)性，得到極值情況；

(3)解法1：令g(x)=〃x)-e￡,二次求導(dǎo)，結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值，得到其單調(diào)性，得到

g(x)>g(O)=O,即當(dāng)一l<x<。時(shí)，龍)〉e*；

解法2：根據(jù)題目條件得到〃力22%-111(%+1)+1,只需證2尤-ln(x+l)+l-e'>0,構(gòu)造函

數(shù)，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，結(jié)合特殊點(diǎn)函數(shù)值證明出結(jié)論.

解法3：令g(x)=〃x)-e"由(1)可知e，2x+l,當(dāng)且僅當(dāng)x=。時(shí)取等號(hào)，放縮得到

g'(x)=a--{-e*<a--(x+1)<a-240,得到函數(shù)單調(diào)性，故g(x)>g(0)=0,證

明出結(jié)論；

解法4：令g(/)=e'T?<0),求導(dǎo)得到其單調(diào)性，由(1)得到g[ln(x+l)]>g(x),即

答案第13頁(yè)，共17頁(yè)

x+l-ln(A：+l)>ex-x,故2x-ln(x+l)+l>e*,放縮得至[|/(x)22x-ln(x+l)+l>e，；

解法5：令g⑺="ln《Ovyl),求導(dǎo)得到其單調(diào)性，由⑴得到

0<x+l<e-<Lg(x+l)>g(e〃)，gpx+l-ln(x+l)>ex-x,放縮得至lj

/(x)>2x-ln(j;+l)+l>ex.

【詳解】(1)當(dāng)。=1時(shí)，/(x)=x-ln(x+l)+l,函數(shù)/■(*)的定義域?yàn)?一1,+口)"。)=—^,

當(dāng)一IvxvO時(shí)，/'(%)<0；當(dāng)兀>0時(shí)，/f(x)>0.

因此/(%)在(-L0)單調(diào)遞減，在(。,+。)單調(diào)遞增，故"％)的最小值為/(O)=L

(2)〃x)的定義域?yàn)?-1,+功,/(尤)=。-一二.

若aWO時(shí)，則〃(x)<0,故〃x)在(-1,+8)單調(diào)遞減，〃x)無(wú)極值;

若4>0時(shí)，令/''(x)=0得x=—1.當(dāng)一l<x<1時(shí)，

當(dāng)X>---1時(shí)，尸(尤)>。.

因此"X)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

故/(X)有極小值/1-=2-a+Ina,無(wú)極大值.

(3)解法1：令g(x)=/(x)-e"=<ix-ln(x+l)+l-3(-1<%<。),

1

/(%)=a-----

x+1

令/z(x)=a-------ex,則hr(x)=----------7

x+1」V7(x+1)2

1

因?yàn)橐?<彳<0,所以

。+1)2

因此〃(x)>O,/z(x)在(-1,0)單調(diào)遞增，h(x)<h(0)=a-2<0,即g,x)<0,

故g(x)在(TO)單調(diào)遞減,g(x)>g(O)=O,即當(dāng)-lvx<0時(shí),/(x)>e\

解法2：因?yàn)閍V2,-l<x<0,所以/(x)N2x-ln(x+l)+l,

要證當(dāng)-l<x<0時(shí)，/(^)>ex,即證2尤-ln(x+l)+l-e，>。，

令g(x)=2x-In(x+1)+1-e*(-l<x<0),g[x)=21-ex,

答案第14頁(yè)，共17頁(yè)

令/7(尤)=2-一工一爐，貝"-e',因?yàn)?/p>

'，x+1(X+1)

所以油產(chǎn)>Le'<l，因此"(x)>O,//(x)在(-1,0)單調(diào)遞增，心)<碓)=0,

即g'(x)<0,故g(x)在(TO)單調(diào)遞減，g(x)>g(O)=O,故原不等式成立.

解法3：令g(x)=/(x)-e*=ox-ln(x+l)+l-eX(T<x<0),

g'(x)=a—~~—e1,由(1)可知x—ln(x+l)2O,當(dāng)且僅當(dāng)x=O時(shí)取等號(hào)，

因此e'Nx+1,當(dāng)且僅當(dāng)x=。時(shí)取等號(hào)，

g'(x)=a------e*<a------(X+1)<Q—2W0,

')x+lx+1v7

即g'(x)<。，故g(尤)在(TO)單調(diào)遞減，g(x)>g(o)=o,

即當(dāng)一l<x<。時(shí)，/(x)>e*.

解法4令g?)=e'T(r<0),則g'?)=eJl<0,故g⑺在(