山東省日照市2024-2025學(xué)年高二年級上冊校際聯(lián)合開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

數(shù)學(xué)試題

考生注意：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束，將試題卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

2

1.已知集合人={巾<°},B={x\-x-x+2>Q]^

則)

A.B.0<x<1}C.,^x|-2<x<01D.2}

【答案】B

【解析】

【分析】求出集合3、\A,再求交集即可.

A)c5=1x|0<x<1j.

【詳解】3={無卜2<x<",3KA={小20},

故選：B.

x

Xa

2.函數(shù)y=仃（。>1）的圖象的大致形狀是（）

J

A.________________B.

7rO\x

V

C.________________>D

【答案】c

【解析】

【分析】分類討論龍>0與x<0,結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解.

x

Xa

【詳解】因為丁=/(力=口(。>1),

rl

當(dāng)x>0時，f(x)=—=ax,由于a>l,所以"％)在(0,+e)上單調(diào)遞增，排除BD；

當(dāng)％<0時，f(%)—...——優(yōu),由于a>l，所以/(%)在(f,0)上單調(diào)遞減，排除A；

—X

而C選項滿足上述性質(zhì)，故C正確.

故選：C.

3.VA3C的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若VA3C的面積為"一'，則。=

4

兀兀7T兀

A.一B.-C.—D.一

2346

【答案】C

【解析】

【詳解】分析：利用面積公式山3一小加叱和余弦定理〃+〃-八2欣市進行計算可得.

]2人22

詳解：由題可知S△A/lBocC=-2absinC=°一'

所以4+廿―02=2absinC

由余弦定理?2+^2-c2=labcosC

所以sinC=cosC

?.?Ce(0,7i)

.-.c=-

4

故選C.

點睛：本題主要考查解三角形，考查了三角形的面積公式和余弦定理.

(3〃-l)x+4a,(x<l)

4.已知函數(shù)/(%)=〃,八在R上單調(diào)遞減，則實數(shù)〃的取值范圍為()

一,(L)

lx

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)各段函數(shù)的單調(diào)性和分段點處的高低可得關(guān)于。的不等式組，故可得其取值范圍.

3a—1<0

【詳解】因為/(%)在R上單調(diào)遞減，故(?！?,

3a—\+^a>a

故!<a<L

63

故選：D.

711

5.己知a=cosM,Z?=5，c=log52,則()

A.c<b<aB.b<a<c

C.b<c<aD.c<a<b

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)及對數(shù)的運算性質(zhì)可判斷反c的大小，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷6的大小，故

可得正確的選項.

c

【詳解】=l°g52==^-=b,a=cos—>cos—=—=/?,

lg5lg42532

故a>b>c.

故選：A.

6.已知VABC是邊長為6的等邊三角形，點。是AB的中點，點G是線段C￡>上一點，滿足

.—.1.

AG^AAB+-AC,則瓦.恁=()

72367236

A.-----B.—C.——D.-----

5555

【答案】A

【解析】

__.1_.1__.9

【分析】根據(jù)題意，得到AG=XAB+gAC=2240+^4。，由C,D,G三點共線，求得4=二，得到

—>2—>1—>

AG^-AB+-AC,結(jié)合向量的數(shù)量積的運算公式，即可求解.

【詳解】因為。為A3的中點，AG=2AB+|AC=22AD+|AC,

17__.2—■1.

因為C,Q,G三點共線，可得2幾+1=1,解得即

又因為VA3C是邊長為6的等邊三角形，

—?—?2—-1—1?—?2—,—?1--2

所以GAAC=—(《AB+yAC)?AC=—(不454。+14。)

=-(||AB||AC|cosj+||A^2)=-(|x6x6x1+|x62)=-y.

故選：A.

7.已知函數(shù)/'(x)=In3一-+ax+a+btan(x-2),則/(%)圖像有如下性質(zhì)(

3-x

A.關(guān)于點(2,2a)中心對稱B.關(guān)于直線x=b軸對稱

C.關(guān)于點(2,2加中心對稱D.關(guān)于點(2,3。)中心對稱

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)解析式可得/(4-x)+f(x)=6a,故可得正確的選項.

【詳解】由題意，函數(shù)f(x)的定義域為。,3),

4—Y—1

且/(4-x)=In-——----j+a(4-x)+4+/7tan(4-x-2)

2—x

=In------+a(4-x)+a+btan(2-x)

x1

=-ln------F6z(4-x)+^-Z?tan(x-2),

3x

故/(4-x)+/(x)=a(4-x)+a+or+a=6a,

故/(x)圖像關(guān)于點(2,3a)中心對稱,

故選：D.

11,

8.設(shè)囚,%€1＜，且2+cos（z+2+cos（2o）=則R兀一%一％|的最小值等于（）

兀兀3兀

A.—B.—C.—D.兀

424

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用余弦函數(shù)性質(zhì)，得至Ucos/=-1,COS2A2=-1,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求得

37r

|8兀一%—%|=871+--（2^+左2）兀，左1￡Z,左2￡Z,即可求解.

【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)知，COS/G[-1,1],cos2a2G[-1,1],

2+coscif,G[1,3],2+COS（26/）G[1,3],--------e-,1,------------e-,1

'972+cos/13J2+cos（24）13.

112c

---------1-------7---re-,2,

2+cos42+cos（2a2）\_3_

11c

要使得T------+T----不~；=2,可得cos/=-1,COS2%=-1,

2+cos%2+cos（2%）

兀

則/=一兀+2匕兀,41wZ,2%=—兀+242兀，左2￡Z,即％=一,+左2兀，左2wZ,

3兀

可得4+a2=---+（2^+左2）兀，勺eZ,GZ,

3兀

所以18兀一%—%|=8兀H———（2左]+左2）兀,k\￡Z,左2￡Z,

當(dāng)2左]+修49時，]8兀一%-cx，2128兀H■-——971——

當(dāng)2左]+—10時,可得|8TI—%—6^21—8兀H———IOTI——,

所以當(dāng)%+&=9或％+&=1。時，|8兀一』一%|的最小值等于y.

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設(shè)為兩個隨機事件，以下命題正確的是（

A.若A與3對立，則尸(AB)=1

B.若A與3互斥，P(A)=-,P(B)=-,則P(A+B)=3

326

-1-11

C.若P(A)=—,P(B)=—,且P(A5)=—,則A與B相互獨立

326

D.若A與3相互獨立，P(A)=1,P(B)=|,則。(四)=：

【答案】BD

【解析】

【分析】根據(jù)互斥(或?qū)α?事件概率的性質(zhì)可判斷AB的正誤，根據(jù)獨立事件的定義和性質(zhì)可判斷CD的

正誤.

【詳解】對于A,若A與3對立，則P(AB)=O,故A錯誤；

對于B,A與3互斥，則P(A+3)=P(A)+P(3)=9,故B正確；

6

-1-121

對于C,因為P(A)=—,P(3)=—,故尸(A)=一,尸(3)=—,

3232

故P(A)P(B)=gwP(A3),故A與3不相互獨立，故C錯誤；

2-1

對于D,因為尸(3)=§,所以P(3)=§,

__111

而A與3相互獨立，故A與方相互獨立，故P(AB)=§><§=§,故D正確.

故選：BD.

10.已知函數(shù)/(x)=sina?x+acos0x(xeR,0>0)的最大值為2,其部分圖象如圖所示，貝?。?)

A.a>0

B.函數(shù)/為偶函數(shù)

C.滿足條件的正實數(shù)。存在且唯一

D./(%)是周期函數(shù)，且最小正周期為兀

【答案】ACD

【解析】

TT

【分析】根據(jù)題意，求得函數(shù)/(x)=2sin(2x+1),結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐項判定，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/(九)=sinox+acosox=Jl+a?sin(。龍+哈，且tane=a，

因為函數(shù)/(光)的最大值為2,可得而/=2,解得a=±G，

又因為/(0)=a>0,所以a=6,所以A正確；

/(x)=sinox+百cos<yx=2sin

因為=2sin](o+m]=1,且函數(shù)/(%)在"I■的附近單調(diào)遞減，

7T7T5

所以一G+—=—兀+2為1,4wZ,所以0=2+8左，左wZ,

436

TH7T9jrjr

又因為一〉一，可得T>一，所以—>—，解得0vgv4,所以69=2,

242co2

TT

此時/(x)=2sin(2%+§),其最小正周期為7=兀，所以C、D正確；

設(shè)尸(%)=/2sin

尸(一x)=2sin[2(-x)]=-2sin2x=IF(x),所以F(%)為奇函數(shù),

7T

即函數(shù)/(x--)為奇函數(shù)，所以B不正確.

6

故選：ACD.

11.如圖，正方體ABC。-44GA棱長為2,點M是其側(cè)面A。。A上的動點(含邊界)，點P是線段

CG上的動點，下列結(jié)論正確的是()

A.存在點P,M,使得平面BRM與平面尸8。平行

B.當(dāng)點尸為cq中點時，過人p,2點的平面截該正方體所得的截面是梯形

c.當(dāng)點M是線段4。的中點時，不存在點P使直線4尸垂直平面”耳2

27r

D.當(dāng)尸為棱CG的中點且PM=2、/5時，點M的軌跡長度為T

【答案】ABD

【解析】

【分析】找到點尸，M使得平面42M與平面尸8。平行肯定選項A；作出過AP,2點的平面截該正方

體所得的截面判斷選項B；當(dāng)點P與點。重合時，直線4P垂直平面M耳A,否定選項C；求得點M的軌

跡長度判斷選項D.

【詳解】對于A選項，當(dāng)/為AA中點，尸為cq中點時，

連接用〃、B〔M、RM、PB、PD、BD,結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征有，

BD//BQi，又BDU平面PBD,BR<Z平面PBD,則//平面PBD,

MB】//PD,又PDu平面PBD,B]MU平面PBD,則ByM//平面PBD,

又BjMnBA=B]且都在面BRM內(nèi)，則平面BRM〃平面PBD.故A正確；

AG

對于B選項，取BC中點N,連接PN、NA、ADPPDPBCr

則PN//BC1,AD1//BQ,則ADX//PN,又AD［豐PN,則ADXPN為梯形.

則梯形ARPN為截面，故B正確;

對于c選項，當(dāng)/為4。中點，當(dāng)點尸與點c重合時,

由三垂線定理及逆定理易知：AiPLBxDl,\PLMDl,

根據(jù)線面垂直的判定，得直線AP1平面M耳2,故C錯誤;

對于D選項，取中點E,連接PE,ME,PM,則PEL平面明已。，

根據(jù)線面垂直的性質(zhì)有PEYME,則ME=^PM2-PE2=42血了—2?=2，

則點M在側(cè)面AA.D.D內(nèi)運動軌跡為以E為圓心半徑為2的劣弧，

7T

分別交A。、42于“2、加1，則//￡01=/知2￡0=耳，

7TTT2兀

則/〃］即%=§,劣弧的長為5x2=7.故D正確.

DiG

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若幕函數(shù)丁=/（耳的圖像過點（2,8）,則/（—1）=,

【答案】-1

【解析】

分析】設(shè)出入同=彳"，代入點(2,8),求出々=3,從而求出解析式，從而求出/(—1)=-L

【詳解】設(shè)〃x)=x。將(2,8)代入，2a=8,解得：々=3,

故/(x)=x3，/(-1)=-1.

故答案為：-1

13.己知扇形A05的半徑為10,以。為原點建立如圖所示的平面直角坐標系，已知4(10,0),8(8,6),則

弧4B的中點C的坐標為.

yjk

B

0AX

【答案】(3710,710)

【解析】

3]利用同角三角函數(shù)關(guān)系得到sina=典,

【分析】設(shè)NAOC=tz,則tan2a=—,求出tana=-

4210

coscr=3^^,求出答案.

10

【詳解】令NAOC=a,則NAOS=2i,

-32tantz“i1

tan2。=一=-------,解得tana=-,

41-tan6Z3

sina127

即二個，乂sin】+cosa

cosa3

又解得sine=叵，cosa=M0，

【2J1010

C10x^^,10x*[,即C(3AMA/IU).

故答案為：(3麗，而).

14.若存在實數(shù)加,使得對于任意的,不等式加2+sinxcosx<2sinx--,加恒成立,則

I4

.a+b

取得最大值時，sm^—=.

【答案】交

2

【解析】

【分析】以加為變量，結(jié)合一元二次不等式的存在性問題可得sin2x4』，解不等式結(jié)合題意得

2

77t7L

［d。仁k7t--,k7t+—,(keZ),由此可得答案.

【詳解】因為加2+sin%cosx<2sin?加恒成立,

即加2_2sin

若存在實數(shù)機，使得上式成立，則A=4sin21x——4sinxcosx20,

則A=2-2cos^2x-^-2sin2x=2-2sin2x-2sin2x=2-4sin2x>0,

177171

可得sin2%V—,可得2br-----<2x<2kn+—.kGZ,

266

771jr

角軍得女兀----<x<kn-\,keZ,

1212

77t7L

由［a,6仁hr--+—，(keZ),

則b-a取得最大值時a=?一［力=E+eZ),

,7兀，兀

jku-------FknH----仄

止匕時sina2=sin------------------=-^-,(keZ).

故答案為：—.

2

【點睛】關(guān)鍵點點睛：雙變量問題的解題關(guān)鍵是一次只研究其中一個變量，本題先以根為變量，轉(zhuǎn)化為存

在性問題分析求解.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

15.在VA3C中，角A&C的對邊分別為風(fēng)瓦c,且滿足2Asin4+。？一廿).

(1)求8的大小；

(2)若b=3,VA3C的面積為逑，求VA3C的周長.

4

TT

【答案】(1)-

3

(2)9

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，由余弦定理得AsinA=Jiacos3，再由正弦定理得sinB=J5cosB，即可求

解；

(2)由三角形的面積公式，求得ac=9,根據(jù)題意和余弦定理，化簡求得a+c的值，即可求解.

【小問1詳解】

解：因為2"5垣4=相(/+02—。2),可得26csm"=君義"一+"—‘-，

2aclac

由余弦定理得/?sinA=y[3acosB，

又由正弦定理得sinBsinA=若sinAcosB，

因0<Av兀，所以sinAW0,所以sinB=GcosB，所以tanB=y/3，

TT

又因為0<6<兀，所以3=—.

3

【小問2詳解】

解：由三角形的面積公式，可得s=LqcsinB=2?,可得ac=9,

24

又由余弦定理得b?-a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac,

因為Z?=3,所以(a+cP="+3ac=9+3x9=36,解得a+c=6,

所以VA3C的周長為a+Z?+c=9.

16.已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍球共4個，從中任取一球，得到紅球或黃球的概率是

31

一,得到黃球或藍球的概率是一.

42

(1)求盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)；

(2)設(shè)置游戲規(guī)則如下：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色.若取到兩個球顏色相同則

甲勝，否則乙勝，從概率的角度判斷這個游戲是否公平，請說明理由.

【答案】（1）盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)分別是2,1,1；

（2）不公平，理由見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題設(shè)的概率可得關(guān)于球數(shù)的方程組，求出其解后可得不同顏色的求出.

（2）利用列舉法可求甲勝或乙勝的概率，從而可判斷游戲是否公平.

【小問1詳解】

設(shè)盒中紅球、黃球、藍球個數(shù)分別為x,y,z,從中任取一球，得到紅球或黃球為事件A,得到黃球或藍球

為事件B,

則P（A）=尸（3）=匕，

44

x+y+z=4

x=2

x+y3

由己知得＜解得＜y=l,

4-4

Z=1

y+z1

4-2

所以盒中紅球、黃球、藍球的個數(shù)分別是2,1,1；

【小問2詳解】

由（1）知紅球、黃球、藍球個數(shù)分別為2個，1個，1個,

用々表小紅球，用。表小黃球，用力表不藍球,

加表示第一次取出的球，7?表示第二次取出的球，（加,〃）表示試驗的樣本點,

則樣本空間Q=｛（5,6）,（5,弓），儲,a）,（q,垃（G，q）,（G，毛）,（如a）,（G，b）,（a,q）,（a，G）,

（a,a）,（a,b）,（b,^）,（b,r2）,（仇d）,（b,b）｝.

可得〃g）=i6,

記”取到兩個球顏色相同”為事件M，“取到兩個球顏色不相同”為事件N,

則〃（M）=6,所以P（M）=9=3,

168

35

所以P(N)=1—P(M)=1——,

88

53

因為一〉一，所以此游戲不公平.

88

17.在四棱錐P—ABCO中，平面平面ABC。，AB//CD,AB±BC,DC=BC=4,

AB=8,AD=442-

（1）證明：工平面B4Q；

（2）若△B4D為等邊三角形，求點C到平面尸3。的距離.

【答案】（1）證明見解析

（2）底.

【解析】

【分析】（1）根據(jù)梯形邊長利用勾股定理可得AD,3D,再利用面面垂直的性質(zhì)定理可得結(jié)論；

（2）利用面面垂直性質(zhì)可得三棱錐尸-BCD的高為/＞。=2指，再利用等體積法計算即可求得點C到

平面的距離為幾.

【小問1詳解】

因為ABHCD,DC=BC=4,所以6D=40，

又因為AZ）=4jI,AB=8,所以AD2+302=超2,則4￡），跳）.

因為平面PADJ_平面ABC。，且平面B4Z）C平面ABCD=AO，BDu平面ABC。，

所以8D1平面以D

【小問2詳解】

在面外。內(nèi)過點尸作POJ_AD,垂足為。，因為平面？平面ABCD,且平面B4Oc平面

ABCD=AD,

所以POL平面ABC，如下圖所示:

p

因為PA=AD=PD=40,PO=J(4?『_(2A/^『=2#，

由(1)知8D7,平面B4D,由？Du面外。可得BDLPD，

在Rt△曲中，S.f40x40=16,而％CL；X4X4=8,

VPBCD」PO-SBCD=LX2&X8=M^.

r-DCZy3ADC￡Z3?3

設(shè)點C到平面PBD的距離為h,

由Vp-BC￡>=Vc-PBD得一x16h=————，解得h=A/6，

33

所以點C到平面PBD的距離為n.

18.設(shè)a常數(shù)，函數(shù)/(x)=-Zsin?x-asinx+l.

(1)當(dāng)a=l時，求函數(shù)/(x)的值域；

(2)若函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,兀)上有兩個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍；

(3)當(dāng)—iWaWl時，設(shè)w為正整數(shù)，/(%)在區(qū)間(0,〃兀)上恰有2024個零點，求所有可能的正整數(shù)”的

值.

-9一

【答案】(1)-2,-

O_

(2)a>—1；

(3)1012,1349.

【解析】

【分析】(1)利用換元法結(jié)合三角函數(shù)值域，由二次函數(shù)性質(zhì)即可得出函數(shù)/(%)的值域；

(2)根據(jù)零點個數(shù)可得函數(shù)g(t)=-2/-G+1在(0,1)上僅有一個零點，再由二次函數(shù)根的分布可得

u>-1；

(3)由二次函數(shù)根的個數(shù)及其符號并對參數(shù)。的取值范圍分類討論，利用三角函數(shù)圖象性質(zhì)可得不同區(qū)間

內(nèi)的零點個數(shù)，即可得出結(jié)果.

【小問1詳解】

由題意/(%)=-2sin2x-asinx+1,

令/=sin九Jw[—1,1],貝！Jg(t)=—2產(chǎn)一at+1,

(]Y9

當(dāng)a=l時，gQ)=—2/—/+1=—2t+-+-,

I4j8

19

所以當(dāng)f=—-時，g(力取最大值二；

48

當(dāng)/=1時，g(t)取最小值—2，

-9一

所以/(%)的值域為-2=；

O_

【小問2詳解】

由題意函數(shù)/(%)在區(qū)間(0,兀)上有兩個不同的零點，

即函數(shù)g?)=-2t2-at+l在(0,1)上僅有一個零點，因為g(0)=l>0,

由零點存在性定理，只需g(l)=—。―1<0,得a>—1；

所以實數(shù)a的取值范圍為(—1,+").

【小問3詳解】

因為八="+8>0，所以g(/)=—2廠—at+1有兩個零點小馬,

又."2=—5<0，不妨：<0,廣2〉0

當(dāng)。=1時，得％=-1,%=；,即sinx=—1或sinx=；；

由三角函數(shù)圖象性質(zhì)可知/(幻在(0,2E)“為正整數(shù))內(nèi)零點個數(shù)為3左，在(0,(2左+1)兀)內(nèi)零點個數(shù)

為3左+2,

因為2024=3x674+2,所以〃=674x2+1=1349；

當(dāng)a=—l時，:=—g/2=L/(x)在(0,2E)“為正整數(shù))內(nèi)零點個數(shù)為弘，

在(0,(2左+1)兀)內(nèi)零點個數(shù)為弘+1,若3左+1=2024,此時不存在小

當(dāng)—1<。<1時，則—1<。<0,0</2<1，/(X)在(0,包)(左為正整數(shù))內(nèi)零點個數(shù)為"，

因為2024=2x1012,所以“=左=1012；

綜上n的所有可能值為1012,1349.

19.給定正整數(shù)〃22,設(shè)集合"={(七,9,…,怎)民e{0,l},i=l,2,…對于集合M中的任意元素

￡=(%，W，夕=(乂,力，…，”)，定義再一%|，|%2-%|，…，)一%|)，

16d=玉+々+….

(1)當(dāng)〃=3時,若夕=(1,1,0),|。。0=2,求所有滿足條件的a；

(2)當(dāng)〃=3時，(左22)均為M中的元素，且k,求上的最大值；

(3)當(dāng)〃上5時，若火,(左22)均為M中的元素，其中|4|=0,|%|=〃，且滿足

|?.O?i+i|=?-2(1<i<k-V),求左的最小值.

【答案】(1)[=(1,0,1)或(0,1,1)或(。,0,。)

(2)4(3)3

【解析】

【分析】⑴根據(jù)定義計算得出用T+HT+k—。|=2,西,孫七?0,1},可解得a；

⑵根據(jù)題意寫出集合M中的所有元素，根據(jù)|?,.O?7|>2(1<i<j<k)分情況討論即可得出結(jié)論；

(3)由四。/+1|=〃-2(04注左一1)可知在序列%,4,%--，氏中，任意一對相鄰的向量

%,%+i(0<i〈k—1)都恰有2個分量相等，即可知左22,經(jīng)檢驗可知左=2不合題意，當(dāng)左=3時可通過

舉例驗證可知符合題意.

【小問1詳解】

令a=(%，W，%),

由題意知歸-l|+|x2-1|+|^-0|=2,xpx2,x