平面向量及其應(yīng)用（知識(shí)歸納+題型突破）（15題型清單）（解析版）

與向量長度相等,方向相反的向量,叫做的相反向量，記作-.②任意向量與其相反向量的和是零向量，即向量a加上b的相反向量，叫做a與b的差，即a-b）；）；如圖,設(shè)a,b是兩個(gè)非零向量,AB=a,CD=b,作如下變換:過AB的起點(diǎn)做向量在向量上的投影向量.2,y1+y2)；a-b=(x1-x2,y1-y2)坐標(biāo)表示:=(x,y),則λ=(λx,λy).,y1),,y1)=λ(x2,y2),即：=λy2消去λ得到：x1y2-xy2-x2y1=0y2-x2y1=02a2ax+y2,y2)，θ是與的夾角，則cosθ=x2倍.a22b222-2accosB c222-2abcosC②asinB=bsinA；bsinC=csinB；asinC=csinA；③sinA:sinB:sinC=a:b:c⑤④a=2RsinA，b=2RsinB，c=2Rs⑥⑤sinA=，sinB=，sinC=可實(shí)現(xiàn)角到邊的轉(zhuǎn)化）×底×高；）；例題124-25高一上·遼寧·期末）關(guān)于平面向量，下列說法正確的是()【詳解】向量既有大小又有方向，A不正確.其中不正確的命題的個(gè)數(shù)為()【答案】B22222又22124-25高一下·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是()【答案】C22024高三·全國·專題練習(xí)）下列命題錯(cuò)誤的是()3多選23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的有() AC=4AN，D在邊BC上（不包含端點(diǎn)）．若AD=xAM+yAN，則+的最小值是()xyxy【詳解】因?yàn)镈在邊BC上（不包含端點(diǎn)），不妨設(shè)BD=λBC，其中0<λ,y=4λ,其中x、y均為正數(shù)，〔4xy?lxy【答案】C28例題3（23-24高一下·湖北·階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且【答案】18λ>0)，），注意到A,B,D三點(diǎn)共線，所以λλ+2，-=+μ，若A，B，C三點(diǎn)共A．-2B．-1.C．1D．2λ與μ的關(guān)系，最后得出λμ的值.由λ=k，將其代入2=kμ可得2=λμ.22024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，已知A,B,C是圓O上不同的三點(diǎn)，CO與AB交于點(diǎn)D（點(diǎn)O與點(diǎn)D），λ,μ∈R)，則λ+μ的取值范圍是.【詳解】因?yàn)镃O與AB交于點(diǎn)D，所以O(shè),C,D三點(diǎn)共線， 2因此λ+解得λ=，則例題1（2025高三·全國·專題練習(xí)）在△ABC中，若I是△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交BC于D，則有【答案】C【詳解】因?yàn)镮是△ABC的內(nèi)心，AI的延長線交BC于D，AC=2，BC=3，AB=4，又因?yàn)锽C=3，BD=2，且BI為DABD的角平分線，例題2（24-25高三上·湖南常德·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，M是邊BC的中點(diǎn)，P是AM上一點(diǎn)，且2345【答案】B因?yàn)镸是邊BC的中點(diǎn)，所以AM=2xAB+yAC，則xy的最大值三角形的外心，P為三角形垂心（O點(diǎn)與P點(diǎn)不重合），且OP∥AM=2xAB+yAC，則xy的最大值【詳解】設(shè)G為VABC重心，則由歐拉線定理可知G在OP上，連接AG交BC于點(diǎn)D，所以AD為VABC的中線，所以點(diǎn)M在直線OP上，設(shè)所以xy=-2x2+當(dāng)x=時(shí)取最大值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于找出x和y的代數(shù)關(guān)系.【答案】C=,分別由A,F,D三點(diǎn)共線和B,F,E三點(diǎn)共線，因A,F,D三點(diǎn)共線，故存在λ∈R，使得{，解得{.得{，解得{.llx-y=0ly=1【答案】-4––)，〔λ=2所以{l-2λ=k〔λ=2故答案為：-4.共線，則tana=()A．-2B．-C．D．222則有4cosa=-2sina，變形可得tana=-2.–共線，則sinθ的值為() θ+2sinθ=4sinθ,所以cosθ=2sinθ,因?yàn)閟in2θ+cos2θ=1，所以5sin2θ=1，因?yàn)棣葹榈谌笙藿牵詓inθ=-.故答案為：3【分析】由三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為兩個(gè)向量共線，即AB,【詳解】Q=-=(2,2-k)，=-=(k+3,-k)，則2×(-k)=(2-k)(k+3)，解得k=3或-2，Qk≥0，:k=3.A．-1B．1C．3或-1D．1或-1【答案】C所以(m-2)m-3=0，解得m=3或m=-1.323-24高一下·四川巴中·階段練習(xí)）已知向量=(-m,4),=(m-1,-2)，若//，則=.若a//b，則2m=4(m-1)，解得m=2，【詳解】因?yàn)橄蛄咳鬭//b，則2m=4(m-1)，解得m=2，A．-12B．-6C．6D．12【答案】B以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如圖所例題3（24-25高三上·天津南開·期末）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，過中心O2OP=λOB+(1-λ)OC(λ∈R)，則PM.【答案】[-1,0]-2-2-2，由|2--M--→2，所以QM.QN取值范圍為[-1,2-而1≤|OM|≤2，因此PM.PN=PO而1≤|OM|≤2，因此PM.PN=PO-OM≥-2=-，44-.A．-2B．-2C．2D．2 2AP.PC=AP.(AC-AP)=AP.AC-AP=-8.以AC,BD為x,y建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，由已知A(-22,0),C(22,0),D(0,22)，因此半圓弧AD的方程為(x+2)2+(y-2)2=4（在直線AD上方的部分 P(x,y)在半圓弧AD（包括端點(diǎn)）上，則-2-2≤x≤0，由對(duì)稱軸，當(dāng)P在半圓弧CD（包括端點(diǎn)）故答案為：-8；[-8-82,8+82].【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示求得a，再由向量的 得m=-8， 2+-82-2+-82 【答案】C所以(3a-b)=9a-6a.b+b=9-6×3+1例題3（24-25高三上·天津河?xùn)|·期末） 【答案】-833【分析】作出輔助線，求出各邊長，建立平面直角坐標(biāo)系，得5-m,--m)，故【詳解】過點(diǎn)D作DO⊥AB于點(diǎn)O，因?yàn)榈妊菪蜛BCD中，AB//DC,AB=4,BC=以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OD所在直線分別為x,y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，(5?故P(m-1,m)，5-m,--m)， 故答案為：-8，33124-25高三上·河北邢臺(tái)·期末）已知單位向量和的夾角為θ,且cosθ=-則2-=(324-25高三上·吉林白城·期末）在等腰梯形ABCD中，AB∥DC,AB=2BC=2CD=2，P是腰AD上的2PB-PC 2PB-PC如圖，過點(diǎn)D作DE丄AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF丄AB于點(diǎn)F，以A為原點(diǎn)，射線AB為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系，則B(2,0),C， :當(dāng)a=4時(shí)，2PB-PC取最小值 22 C．-D．-【答案】C故選：C2,y12-1,)，所以cosθ=【分析】根據(jù)垂直關(guān)系可得數(shù)量積為零，由此構(gòu)造方程:a-.22.abab3b3與+夾角的余弦值為()A．B．-A．B．-323-24高一下·河北邢臺(tái)·期中）已知A(2,5),B(4,-1),C(-2,1),D為BC的中點(diǎn)，則cos上ADB為() A．-2B．-4C．2D．4-4所以=2，解得t=-2.t例題2（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）已知向量，滿足-2)=0，則在上的投影向量為()A．2aA．2a【答案】B【分析】利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求得2=2.，再利用投影向量的定義可求得在上的投影向=從而在上的投影向量為cosθ.=b.ab.a = =a 55 【答案】B-1,).-,1224-25高二上·陜西渭南·階段練習(xí)）已知向量與的夾角為60o，=2,=6，則2-在方向上【答案】1故答案為：1【答案】B又θ.【答案】(1)-8(2)θ=若.所以實(shí)數(shù)x的值為-8.93937373A．B．-C．D．-22223232【答案】C,:-3，解得m=解c.(2)若ka+b與2a-b共線，求k的值.(2)若ka+b與2a-b共線，求k的值. 【分析】(1)利用向量垂直求參數(shù)的值2）利用向量共線求參數(shù)的值即可.則m=-.則=(-2,-),則是()【答案】B【詳解】由【詳解】由a.b<0Tm-4<由a//bT-2m-2=由a//bT-2m-2=0Tm=-1.【答案】(-∞,-)è(-,0) 即x>0且x≠±2.即得(-∞,-)è(-,0).故答案為：(-∞,-)è(-,0).3-è2=3+2×-1=1.2222.2-:{,坐標(biāo).32所以λ的取值范圍是:t=2；:t的取值范圍為例題1（23-24高一下·湖北·期中）根據(jù)下列條件，判斷三°B．a(chǎn)°°D．a(chǎn)°例題2（24-25高三上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，A=，件的a的整數(shù)值.要使sinB有兩個(gè)值，則a<b且a>bsinA，即5<a<10.所以滿足條件的一個(gè)整數(shù)值a=8（答 【答案】(6,43) 故答案為：(6,43)ABC，則x的取值范圍是()D．,2)【答案】C22(3π?22(3π?在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出曲線y=sinA，A 【答案】(42,8)【分析】依題意得，由ABsin<BC<AB求解【詳解】若△ABC恰有兩解，則ABsin<BC<AB，解得4<BC<8， 即邊BC長度的取值范圍為(42,8). 故答案為：(42,8)a,cosb,cosc,cos共線，則△ABC的形狀為()則acosB=bcosA，由正弦定理可得：sinAcosB=sinBcosA，2222AABBBA222222ABAB2222,acosB+(2c-b)cosA=c，則△ABC的形狀為()【詳解】由acosB+(2c-b)cosA=c及正弦定理，得sinAcosB+(2sinC-sinB)cosA=sin所以sinAcosB+2sinCcosA-sinBcosA=sinπ-(A+B)=sin(A+B),所以sinAcosB+2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB,即2sinCcosA-sinBcosA=cosAsinB，），cosA+b.cosAcosC=b.cosB又c.cosBcosA+b.cosAcosC=b.cosB，所以sinCcosBcosA+sinBcosAcosC=sinBcosB，所以cosAsin(B+C)=sinBcosB，所以2A=2B或2A+2B=π所以A=B或A+B=，【答案】C整理得sinAcosA=sinBcosB，即所以A=B或A+B=，即△ABC為等腰三角形或直角三角.所以2bsin2CcosC=2csin2BcosB，所以c2(a2+b2-c2)=b2(a2+c2-b2)，所以a2b2-a2c2+c4-b4=0，所以a2(b2-c2)+(c2+b2)(c2-b2)=0，所以(b2-c2)[a2-(c2+b2)]=0，所以b2-c2=0或a2-(c2+b2)=0，所以b=c或a2=c2+b2，32024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，若sin2A=sin2B，則△ABCa2-b2)(c2-a2-b2)=0，進(jìn)而得到答案.整理得a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)，即a2c2-a4-b2c2+b4=0，即c2(a2-b2)-(a2-b2)(a2+b2)=0，可得(a2-b2)(c2-a2-b2)=0，所以a=b或a2+b2=c2，所以△ABC是等腰三角形或直角三角形.題型十三：求三角形周長（邊長） C的長為() 【分析】由三角形的面積公式求解即可. 3133【詳解】因?yàn)椤鰽BC的面積為，所以S=AB.AC.sin60°=AC 31332222所以AC=1.例題2（23-24高二下·重慶·期中） 【分析】由三角形面積公式可得c，結(jié)合余弦定理b2=a2+c2-2accosB可求得b，進(jìn)而可求得周長.【詳解】因?yàn)镾△ABC=acsinB，a=2，B=60°,S△ABC=2，所以c=4，例題3（23-24高一下·福建莆田·期中）在銳角三角形ABC中，已知a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，且b=2asinB，a=，則三角形ABC的周長的取值范圍是()A．【答案】C由正弦定理化簡已知可得sinA，再由A是銳角，得到A=，然后根據(jù)正弦定理和三角形內(nèi)角和將周長用A表示，結(jié)合三角恒等變化和三角函數(shù)圖象即可求得范圍. π所以A=，π3又因?yàn)锳=，所以π-B， 【答案】C形周長.2 223-24高一下·山東菏澤·期中）已知△ABC是直徑為55的圓內(nèi)接三角形，三角形的一個(gè)內(nèi)角a滿足 【分析】由cosa求出sina，再由正弦定理得到a=55sina=45，進(jìn)而利用余弦定理和基本不等式求出因?yàn)閏osa=，所以sina=不妨設(shè)a所對(duì)的邊為a，32024·全國·模擬預(yù)測）在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且【答案】B2sinB-sinCsinAcosCcosA例題1（24-25高三上·山東濟(jì)寧·期末）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知【詳解】（1）在△ABC中，由余弦定理得a2+c2-b2=2accosB，即1-2cosA=整理得b(1-2cosA)=2acosB，由正弦定理得sinB(1-2cosA)=由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA，即9=4c2+c2-2.2.ccos解得c=s3，b=2，例題2（24-25高三上·河南·階段練習(xí)）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C，所對(duì)的邊分別為a，b，c，且asinB+bsinA=2(c-acosB).(1)求A； 若sinB=sinC，△ABC的面積為，求a.ππ3（2）由正弦定理得結(jié)合面積公式bcsinA得到再利用余弦定理求a【詳解】（1）由題意及正弦定理得，sinAsinB+sinBsinA=2(sinC-sinAcosB)，有sinBsinA=(sinC-sinAcosB)， （2）由正弦定理及sinB=sinC，有，求f在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊長分別是a,b,c，若f,c=2，求△ABC面積的最大值. 232232π6π62-ab2-所以三角形面積absinC=absin 2即sin2A-sin2B-sin2C=-sinCsinB，由正弦定理，得a2-b2-c2=-bc，即b2+c2-a2=bc，所以AD=1，由BD=DC，所以22所以S△ABCatanB-bcosC=