高二數(shù)學(xué)講義（人教A版2019）24圓的方程（七大題型）

2．4圓的方程目錄TOC\o"12"\h\z\u【題型歸納目錄】 2【思維導(dǎo)圖】 2【知識點(diǎn)梳理】 2【典型例題】 4題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 4題型二：圓的一般方程 7題型三：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 9題型四：二元二次曲線與圓的關(guān)系 11題型五：圓過定點(diǎn)問題 13題型六：軌跡問題 15題型七：與圓有關(guān)的對稱問題 19

【題型歸納目錄】【思維導(dǎo)圖】【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其中為圓心，為半徑．知識點(diǎn)詮釋：（1）如果圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，這時(shí)，圓的方程就是．有關(guān)圖形特征與方程的轉(zhuǎn)化：如：圓心在x軸上：b=0；圓與y軸相切時(shí)：；圓與x軸相切時(shí)：；與坐標(biāo)軸相切時(shí)：；過原點(diǎn)：（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓心為，半徑為，它顯現(xiàn)了圓的幾何特點(diǎn)．（3）標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)在于明確指出了圓心和半徑．由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，確定一個(gè)圓的方程，只需要a、b、r這三個(gè)獨(dú)立參數(shù)，因此，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程常用定義法和待定系數(shù)法．知識點(diǎn)二：點(diǎn)和圓的位置關(guān)系如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則有（1）若點(diǎn)在圓上（2）若點(diǎn)在圓外（3）若點(diǎn)在圓內(nèi)知識點(diǎn)三：圓的一般方程當(dāng)時(shí)，方程叫做圓的一般方程．為圓心，為半徑．知識點(diǎn)詮釋：由方程得（1）當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解．它表示一個(gè)點(diǎn)．（2）當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形．（3）當(dāng)時(shí)，可以看出方程表示以為圓心，為半徑的圓．知識點(diǎn)四：用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟求圓的方程常用“待定系數(shù)法”．用“待定系數(shù)法”求圓的方程的大致步驟是：（1）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程．（2）根據(jù)已知條件，建立關(guān)于或的方程組．（3）解方程組，求出或的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程．知識點(diǎn)五：軌跡方程求符合某種條件的動點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量之間的方程．1、當(dāng)動點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；當(dāng)動點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定義（如圓）時(shí)，常采用定義法；當(dāng)動點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線上的動點(diǎn)運(yùn)動時(shí)，可采用代入法（或稱相關(guān)點(diǎn)法）．2、求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分“軌跡”與“軌跡方程”；二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等．3、求軌跡方程的步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用表示軌跡（曲線）上任一點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）列出關(guān)于的方程；（3）把方程化為最簡形式；（4）除去方程中的瑕點(diǎn)（即不符合題意的點(diǎn)）；（5）作答．【典型例題】題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例11】（2024·高二·河南南陽·階段練習(xí)）已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓心的坐標(biāo)為.因?yàn)閳A心在直線上，所以①，因?yàn)槭菆A上兩點(diǎn)，所以，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，有，即②，由①②可得.所以圓心的坐標(biāo)是），圓的半徑.所以，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選:C.【典例12】（2024·高二·河北張家口·階段練習(xí)）圓關(guān)于直線對稱的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心為，半徑.設(shè)圓的圓心為，則，解得，圓的半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A【方法技巧與總結(jié)】確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，即列出關(guān)于a、b、r的方程組，求a、b、r或直接求出圓心和半徑r，一般步驟為：（1）根據(jù)題意，設(shè)所求的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a、b、r的方程組；（3）解方程組，求出a、b、r的值，并把它們代入所設(shè)的方程中去，就得到所求圓的方程．【變式11】（2024·高二·四川成都·期末）已知圓的圓心在直線上，且圓與軸的交點(diǎn)分別為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意設(shè)圓心坐標(biāo)為，再由圓與軸的交點(diǎn)分別為，可得，解得，則圓心坐標(biāo)為，半徑．該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．故選：B．【變式12】（2024·高二·四川成都·階段練習(xí)）已知圓的圓心在直線上，且與軸正半軸相切，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由已知設(shè)圓心，半徑r，再根據(jù)已知得，從而求出圓心和半徑，進(jìn)而得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.因?yàn)閳A心在上，設(shè)圓心，半徑r又點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為，，解得：又圓與軸正半軸相切，可知：，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.【變式13】（2024·北京·模擬預(yù)測）已知圓與軸的正半軸相切于點(diǎn)，圓心在直線上，若點(diǎn)在直線的左上方且到該直線的距離等于，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】∵圓的圓心在直線上，則可設(shè)，∵圓與軸正半軸相切與點(diǎn)，且圓的半徑，.到直線的距離，，解得：或，或，在直線的左上方，，，，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：D.【變式14】（2024·高二·內(nèi)蒙古包頭·期中）已知圓的圓心是直線與軸的交點(diǎn)，且圓與直線相切，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】圓的圓心是直線與軸的交點(diǎn)，.又圓與直線相切，.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：.【變式15】（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）若圓與軸相切于點(diǎn)，與軸的正半軸交于，兩點(diǎn)，且，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出圓的半徑和圓心坐標(biāo)，即可寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．如圖所示，由題意，圓的半徑為，圓心坐標(biāo)為，，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；故選：．題型二：圓的一般方程【典例21】（2024·高一·浙江·期末）圓心為且過原點(diǎn)的圓的一般方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】原點(diǎn)與的距離為，則圓心為半徑為的圓的方程為，則該圓的一般方程是故選：D【典例22】（2024·高二·浙江寧波·期中）過三點(diǎn)的圓的一般方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓的方程為，將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，整理可得，解得，故所求的圓的一般方程為，故選：D．【方法技巧與總結(jié)】（1）若一個(gè)圓可用一般方程表示，則它具備隱含條件，解題時(shí)，應(yīng)充分利用這一隱含條件．（2）一般地，當(dāng)給出了圓上的三點(diǎn)坐標(biāo)，特別是當(dāng)這三點(diǎn)的橫坐標(biāo)和橫坐標(biāo)之間、縱坐標(biāo)和縱坐標(biāo)之間均不相同時(shí)，選用圓的一般方程比選用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程簡捷；而在其他情況下的首選應(yīng)該是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，此時(shí)要注意從幾何角度來分析問題，以便找到與圓心和半徑相聯(lián)系的可用條件．【變式21】（2024·高二·廣東佛山·階段練習(xí)）已知，則的外接圓的一般方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)外接圓的方程為：，由題意可得：，解得：，即的外接圓的方程為：．故選：C.【變式22】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）經(jīng)過點(diǎn)和，且圓心在x軸上的圓的一般方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓的方程為，因?yàn)閳A心在x軸上，所以，即．又圓經(jīng)過點(diǎn)和，所以即解得故所求圓的一般方程為．故選：D【變式23】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知圓過三點(diǎn)，點(diǎn)，則圓的一般方程為，點(diǎn)在圓（內(nèi)/上/外）．【答案】外【解析】設(shè)圓的一般方程為，因?yàn)閳A過三點(diǎn)，可得，解得，滿足，所以圓的方程為，將點(diǎn)代入方程得，所以點(diǎn)在圓外．故答案為：；外.【變式24】（2024·高二·安徽合肥·期中）已知點(diǎn)，，，四點(diǎn)共圓，則.【答案】1【解析】設(shè)過，，的圓的方程為，，則，解得，所以過，，的圓的方程為，又點(diǎn)在此圓上，所以，即，所以，故答案為：1題型三：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【典例31】（2024·高二·全國·隨堂練習(xí)）對于圓：，下列說法正確的為（）A．點(diǎn)圓的內(nèi)部 B．點(diǎn)圓的外部C．圓的圓心為 D．圓的半徑為3【答案】A【解析】對于A，B，將點(diǎn)代入圓C中，得，所以點(diǎn)圓C的內(nèi)部，故A正確，B錯誤；對于C，D，由得，所以圓的圓心為，半徑為，故C，D錯誤.故選：A.【典例32】（2024·高二·河北石家莊·期末）點(diǎn)P與圓的位置關(guān)系為（

）A．點(diǎn)在圓外 B．點(diǎn)在圓上 C．點(diǎn)在圓內(nèi) D．無法確定【答案】A【解析】因?yàn)閳A的圓心為：，半徑為：1.由點(diǎn)與圓心的距離為：，又.所以點(diǎn)在圓外.故選：A【方法技巧與總結(jié)】如果圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，則有（1）若點(diǎn)在圓上（2）若點(diǎn)在圓外（3）若點(diǎn)在圓內(nèi)【變式31】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知圓，則原點(diǎn)O在（

）A．圓內(nèi) B．圓外 C．圓上 D．圓上或圓外【答案】B【解析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，知圓心為，則原點(diǎn)與圓心的距離為，因?yàn)?，所以，即原點(diǎn)在圓外.故選：B.【變式32】（2024·江西·模擬預(yù)測）若點(diǎn)在圓的外部，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榭苫癁?，則，所以．又點(diǎn)在圓的外部，所以，故，綜上，．故選：A.【變式33】（2024·高三·全國·專題練習(xí)）已知兩直線與的交點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）.A． B．C． D．【答案】B【解析】圓的圓心為，半徑為2，由解得，則直線與的交點(diǎn)為，依題意，，解得，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是.故選：B題型四：二元二次曲線與圓的關(guān)系【典例41】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）若方程均表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．或 B．C．或 D．或【答案】C【解析】由題知方程均表示圓，則，解得或.故選：C.【典例42】（2024·高二·江蘇南通·期中）若方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，得，即,解得故選：【方法技巧與總結(jié)】待定系數(shù)法【變式41】（2024·高二·江蘇徐州·階段練習(xí)）方程所表示的圓的最大面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意整理可得：，則，解得，且圓的半徑，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即圓的半徑最大值為3，所以圓的最大面積為.故選：B.【變式42】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）若方程表示圓，則a的取值范圍為（

）A．R B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，若方程表示圓，則有，解得．故選：C.【變式43】（2024·高二·福建廈門·期中）若，則方程表示的圓的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】若方程表示圓，則，解得，又，所以或，即程表示的圓的個(gè)數(shù)為.故選：B【變式44】（2024·高二·廣東·期末）已知方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)榉匠瘫硎疽粋€(gè)圓，所以，即，所以或，故選：C.題型五：圓過定點(diǎn)問題【典例51】（2024·高二·河北滄州·期末）已知點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．則以為直徑的圓除過定點(diǎn)外還過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)垂直于直線，垂足為，則直線方程為：，由圓的性質(zhì)可知：以為直徑的圓恒過點(diǎn)，由得：，以為直徑的圓恒過定點(diǎn).故選：D.【典例52】（2024·高二·上海徐匯·期中）對任意實(shí)數(shù)，圓恒過定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為．【答案】或【解析】，即，令，解得，，或，，所以定點(diǎn)的坐標(biāo)是或．故答案為：或.【方法技巧與總結(jié)】合并參數(shù)，另參數(shù)的系數(shù)為零解方程即可．【變式51】（2024·高二·江西南昌·階段練習(xí)）已知圓，點(diǎn)，平面內(nèi)一定點(diǎn)（異于點(diǎn)），對于圓上的任意動點(diǎn)，都有為定值，定點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【解析】設(shè)，且，，因?yàn)闉槎ㄖ?，設(shè)，化簡得：，與點(diǎn)位置無關(guān)，所以，解得：或，因?yàn)楫愑邳c(diǎn)，所以定點(diǎn)N為.故答案為：.【變式52】（2024·高三·上海徐匯·期末）已知二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為，則圓經(jīng)過定點(diǎn)的坐標(biāo)為（其坐標(biāo)與無關(guān)）【答案】和【解析】二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，記為，易知，滿足，，，，設(shè)圓方程為，則，①－②得，，∴，從而，代入③得，∴圓方程為，整理得，由得或．∴圓過定點(diǎn)和．題型六：軌跡問題【典例61】（2024·高二·江蘇徐州·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程是．【答案】【解析】設(shè)，則有，化簡得，即點(diǎn)的軌跡方程是.故答案為：.【典例62】（2024·高二·全國·隨堂練習(xí)）長度為6的線段的兩個(gè)端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】【解析】當(dāng)（或）中有一個(gè)在原點(diǎn)處時(shí)，則.當(dāng)均不在原點(diǎn)處時(shí)，三點(diǎn)構(gòu)成以O(shè)為直角頂點(diǎn)的直角三角形.由M為線段AB的中點(diǎn)，則所以，則M的軌跡是以O(shè)為圓心，2為半徑的圓，其方程為：故答案為：【方法技巧與總結(jié)】用直接法求曲線方程的步驟如下：（1）建系設(shè)點(diǎn)：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)曲線上任一點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）幾何點(diǎn)集：寫出滿足題設(shè)的點(diǎn)的集合；（3）翻譯列式：將幾何條件用坐標(biāo)、表示，寫出方程；（4）化簡方程：通過同解變形化簡方程；（5）查漏除雜：驗(yàn)證方程表示的曲線是否為已知的曲線，重點(diǎn)檢查方程表示的曲線是否有多余的點(diǎn)，曲線上是否有遺漏的點(diǎn)．求軌跡時(shí)常用的方法：代入法對于“雙動點(diǎn)”問題，即若已知一動點(diǎn)在某條曲線上運(yùn)動而求另一動點(diǎn)的軌跡方程時(shí)，通常用這一方法．代入法是先設(shè)所求軌跡的動點(diǎn)坐標(biāo)為，在已知曲線上運(yùn)動的點(diǎn)的坐標(biāo)為，用，表示，，即，，并將它代入到已知曲線方程，即求出所求動點(diǎn)的軌跡方程．一般情況下，證明可以省略不寫，如有特殊情況，可適當(dāng)予以說明，即扣除不合題意的解或補(bǔ)上失去的解．【變式61】（2024·高二·北京大興·期中）已知等腰三角形的頂點(diǎn)為，底邊的一個(gè)端點(diǎn)為，則底邊的另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡方程為．【答案】或除去點(diǎn)【解析】設(shè)底邊的另一個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，化簡可得，因?yàn)槿c(diǎn)構(gòu)成三角形，所以三點(diǎn)不共線且不重合，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，由直線的點(diǎn)斜式可得，化簡可得，所以點(diǎn)的軌跡方程為或除去點(diǎn).故答案為：或除去點(diǎn).【變式62】（2024·高二·河南南陽·階段練習(xí)）已知圓O：，A，B是圓上兩點(diǎn)，點(diǎn)且，則線段AB中點(diǎn)的軌跡方程是.【答案】【解析】如圖所示，是線段的中點(diǎn)，則，因?yàn)?，于是，在中，，，，由勾股定理得，整理得的軌跡是.故答案為：.【變式63】（2024·高二·廣東佛山·期末）已知點(diǎn)，圓上兩動點(diǎn)滿足，且四邊形是矩形．(1)當(dāng)點(diǎn)在第一象限且橫坐標(biāo)為3時(shí)，求邊所在直線的方程；(2)求點(diǎn)的軌跡方程．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，由，得，直線的斜率，而，所以直線的方程為，即.（2）由于線段是圓的弦，則線段的中垂線必過圓心，又線段的中垂線是矩形的對稱軸，因此該對稱軸垂直平分線段，即，顯然不重合，當(dāng)重合時(shí)，點(diǎn)重合，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓（除點(diǎn)外），所以點(diǎn)的軌跡方程是.【變式64】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知圓，圓心坐標(biāo)為1,0．(1)求圓的一般方程；(2)若點(diǎn)為圓上的動點(diǎn)，定點(diǎn)，求滿足條件的點(diǎn)的軌跡方程并判斷它的形狀．【解析】（1）因?yàn)閳A的圓心為1,0，所以，即，則圓的一般方程為．（2）設(shè)的坐標(biāo)為，Px0,易得．由得解得因?yàn)辄c(diǎn)Px0,所以滿足，所以，化簡得點(diǎn)的軌跡方程為．因?yàn)椋渣c(diǎn)的軌跡為圓．【變式65】（2024·高二·全國·專題練習(xí)）如圖，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，是以點(diǎn)為圓心的單位圓上的動點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，的角平分線交直線于點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程．【解析】由三角形的角平分線的性質(zhì)，可得，所以，設(shè)點(diǎn)，則，所以，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以，即，即點(diǎn)的軌跡方程為.【變式66】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）如圖，已知點(diǎn)A(1，0)與點(diǎn)B(1，0)，C是圓x2+y2=1上異于A，B兩點(diǎn)的動點(diǎn)，連接BC并延長至D，使得|CD|=|BC|，求線段AC與OD的交點(diǎn)P的軌跡方程.