中考數(shù)學專項復習：解直角三角形（解析版）

專題18解直角三角形（10個高頻考點）（舉一反三）

【考點1銳角三角函數(shù)的定義】.................................................................1

【考點2銳角三角函數(shù)的增減性】..............................................................5

【考點3同角三角函數(shù)的關系】.................................................................7

【考點4互余兩角三角函數(shù)的關系】............................................................9

【考點5特殊角的三角函數(shù)】..................................................................13

【考點6解直角三角形】......................................................................16

【考點7解直角三角形的應用之仰角俯角問題】.................................................24

【考點8解直角三角形的應用之方位角問題】...................................................29

【考點9解直角三角形的應用之坡度坡比問題】.................................................35

【考點10解直角三角形應用之其他問題】.......................................................40

..%1'"一?

?加蘆->工二

【要點1銳角三角函數(shù)】

在及AABC中，NC=90°,則NA的三角函數(shù)為

定義表達式取值范圍關系

正弦..ZA的對邊.Aa0<sinA<l

sinA=-------------smA=—

斜邊c（/A為銳角）sinA=cosB

余弦,的鄰邊0<cosA<lcosA=sinB

cosA=------------cosA,=—b

斜邊c（/A為銳角）sin2A+cos2A=1

正切.ZA的對邊tanA>0“1

tanA=------人、?tanA=—tanA=------

/A的鄰邊b（ZA為銳角）tan5

【考點1銳角三角函數(shù)的定義】

【例1】（2022?湖北荊州?統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，點A,8分別在x軸負半軸和y軸正

半軸上,點C在08上,OC:BC=1:2,連接AC,過點O作OPIIAB交AC的延長線于P.若則tan/。4P

的值是（）

【答案】C

【分析】由P（l,l）可知，0P與無軸的夾角為45。，又因為。PIIAB,則A。48為等腰直角形，設OC=x,0B=2x,

用勾股定理求其他線段進而求解.

【詳解】EIP點坐標為（1,1）,

則。尸與x軸正方向的夾角為45。，

又自。P||AB,

貝崛瓦1。=45。，AOZB為等腰直角形，

S\OA=OB,

設OC=x,則OB=2OC=2x,

貝1|02=04=3尤，

EltanN04P=-=—=

OA3x3

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質、平行線的性質、勾股定理和銳角三角函數(shù)的求解，根據(jù)P點坐標

推出特殊角是解題的關鍵.

【變式1-1］（2022?上海?上海市進才中學?？家荒＃┰赗tA4BC中，ZC=90°,AB=5,AC=4.下列四

個選項，正確的是（）

3444

A.tanB=-B.sinB=-C.sinB=-D.cosB=-

4355

【答案】C

【分析】根據(jù)勾股定理求出BC的長，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義判斷即可.

【詳解】解：如圖,

90°,AB=5,AC=4

酬艮據(jù)勾股定理得：BC=7AB2—心=V根-42=3,

Ar4.AC4BC3

WanB=—smB=—cosB=—

BC3AB5AB5

故選：C.

【點睛】本題考查了勾股定理，銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關鍵.

【變式1-2]（2022?山東濱州?陽信縣實驗中學校考模擬預測）如圖所示，已知。。是△ABC的外接圓，4）

，若ZO=3,AC=2,貝Ijcos。的值為（）

V5

C.匹D.-

2323

【答案】B

【分析】由直徑所對圓周角為直角，得出：“昨9。。，再由勾股定理求得CD的長，由cos。，即可求

得結果.

【詳解】解：???4。是。。的直徑,

Z.ACD=90°,

AD=3,AC=2,

團CO=V5,

?CDV5

團cos。n=—=—

AD3

故選：B.

【點睛】本題考查了圓中直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，靈活運用這些知識求銳角三角函數(shù)是關鍵.

【變式1-3]（2022?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形紙片A3CD中，AB=5,BC=3,將△8C0沿

折疊到△BED位置，DE交AB于點、F,則cos/ADR的值為（）

DC

A'-----zX----------^B

F\/

E

A.—B.—C.—D.—

17151715

【答案】c

【分析】先根據(jù)矩形的性質和折疊的性質，禾辨"AAS"證明A4FD三AEFB,得出4F=EF,DF=BF,設AF=

EF=x,貝/F=5-x,根據(jù)勾股定理列出關于x的方程，解方程得出x的值，最后根據(jù)余弦函數(shù)的定義求

出結果即可.

【詳解】解：國四邊形A5C。為矩形，

0CD=AB=5,AB=BC=3,乙4=NC=90°,

根據(jù)折疊可知，BE=BC=3,DE=DE=5,NE=NC=90。，

24=NE=90°

El在EL4FZ)和ELEFB中，/.AFD=/.EFB,

、4。=BE=3

^AFD=l^EFB(AAS),

EL4F=EF,DF=BF,

設4F=EF=x,貝!JBF=5-%,

在RtABEF中，BF2=EF2+BE2,

即(5—萬＞=/+32,

解得：%=I，則DF=BF=5—1=y,

OCOSZTIOF=絲=2=竺，故C正確.

DF—17

5

故選：c.

【點睛】本題主要考查了矩形的折疊問題，三角形全等的判定和性質，勾股定理，三角函數(shù)的定義，根據(jù)

題意證明A4FDmAEFB,是解題的關鍵.

【考點2銳角三角函數(shù)的增減性】

【例2】（2022?上海靜安?統(tǒng)考一模）如果0。<NA<45。，那么sinA與cosA的差（）

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能確定

【答案】B

【分析】cos4=sin（90。-乙4）,再根據(jù)正弦函數(shù)隨著角的增大而增大進行分析即可.

【詳解】0COS71=sin（90°-乙4）,正弦函數(shù)隨著角的增大而增大，

回當0°<A4<45°時，45°<90°-ZX<90°,

sinX<COST1=sin（90°—zX）,即sinA—cos4<0,

故選B.

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，正弦函數(shù)值隨著角的增大而增大.

【變式2-1］（2022,上海??？寄M預測）如果銳角A的度數(shù)是25。，那么下列結論中正確的是（）

A.0<sinX<-B.0<cosTl<—

22

C.一<tanX<1D.1<cot4<遮

3

【答案】A

【分析】根據(jù)"正弦值隨著角度的增大而增大"解答即可.

【詳解】解：00°<25°<300

00<sin25°<-

2

00<sinX<

2

故選A.

【點睛】本題主要考查了銳角三角形的增減性，當角度在0°~90。間變化時，①正弦值隨著角度的增大（或

減?。┒龃螅ɑ驕p小）；②余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?；③正切值隨著角度的

增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）.

【變式2-2］（2022?甘肅張掖?統(tǒng)考模擬預測）若（T<a<90。，則下列說法不正確的是（）

A.sina隨a的增大而增大B.cosa隨a的減小而減小C.tana隨a的增大而增大

D.0<sincr<l

【答案】B

【分析】如圖，作半徑為1的O0,CDCD,EF均為直徑,10C,4GJ.OC,4,B都在O。上，利用

銳角三角函數(shù)的定義分析可得答案.

【詳解】解：如圖，作半徑為1的。O,CD1EF,CD,EF均為直徑，BH1OC,AG10C,

4B都在。。上，

0A=OB=1,

DZJAC'

由sin/B。"=—sin乙40G="=4G,

OBOA

顯然，LBOHC乙AOG,而

所以當0。<a<90。時，sina隨a的增大而增大，故A正確；

同理可得：

當0。<a<90。時，cosa隨a的減小而增大，故B錯誤；

當0。<。<90。時，tana隨a的增大而增大，故C正確；

當a=^40G,當點4逐漸向F移動，邊4G逐漸接近。4,

sina=smZ-AOG=絲逐漸接近1.

0A

當0。<戊<90。時,0<sina<l,故D正確;

故選B.

【點睛】本題考查的是銳角的正弦，余弦，正切的增減性，掌握利用輔助圓理解銳角三角函數(shù)的增減性是

解題的關鍵.

【變式2-3］（2022,浙江寧波?校聯(lián)考一模）sin70。，cos70。，tan70。的大小關系是（）

A.tan70"<cos70°<sin70°B.cos70°<tan70"<sin70"

C.sin700<cos70°<tan70°D.cos70°<sin70°<tan70°

【答案】D

【分析】首先根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知：sin70。和cos70。都小于1,tan70。大于1,故tan70。最大;只需

比較sin70。和cos70。，又cos7(r=sin20。，再根據(jù)正弦值隨著角的增大而增大，進行比較.

【詳解】根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念，知sin70yLeos70°<l,tan70°>l.

又cos70°=sin20°,正弦值隨著角的增大而增大，0sin7O°>cos7O°=sin2O°.

故選D.

【考點3同角三角函數(shù)的關系】

【例3】(2022春,湖南邵陽?九年級邵陽市第二中學?？甲灾髡猩?已知機為實數(shù)，且sina,cosa是關于x

的方程4/-6久+1=0的兩根，則sin’a+cos4a的值為()

A.-B.-C.-D.1

848

【答案】c

1

sina-cosa=-

【分析】先由一元二次方程根與系數(shù)的關系得到｛3再將原式變形為sin4a+8s4a=

sina+cosa=—

4

(sin2a+cos2a)2-2sin2a-cos2a,再根據(jù)二倍角公式進行化簡求值即可.

【詳解】sina,cosa是關于x的方程4——血％+1=o的兩根

1

sina-cosa=-

由一元二次方程根與系數(shù)的關系，可得｛tn

sincr+cosa=—

4

???sin%+cos%=(sin2er+cos2a產_2sin2a-cos2a

=(sin2a+cos2a)2—2(sina?cosa)2

=l-2x(i)2=l-i=-

88

故選：c.

【點睛】本題屬于初升高題目，考查了二倍角公式的運用，一元二次方程根與系數(shù)的關系，即如果方程a%2+

bx+c=0(a豐0)的兩個實數(shù)根是勺,%2，那么+亞=-%久1久2=也就是說，對于任何一個有實數(shù)根

的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數(shù)除以二次項系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)

項除以二次項系數(shù)所得的商.

【變式3-1](2022?陜西西安?交大附中分校?？寄M預測)在RtAABC中，0C=9O°,若sinA=|,則cosA

=()

【答案】C

【分析】根據(jù)siMA+cos2A=1,進行計算即可解答.

【詳解】解：由題意得：siMA+cos2A=1,

團cos2/=

99

LAV5

團cosZ=一，

3

故選c.

【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)值的關系.解題的關鍵在于熟練掌握siMA+cos2A=1.

【變式3-2】（2。22?陜西西安?交大附中分校?？寄M預測）已知tana=5,則就*

【答案】

17

【分析】由于tana=3吧=5,貝！Jsina=5cosa,然后把sina=5cosa代入；■“：—一：中利用分式的性質計

cosa2sinza+cosza

算即可.

【詳解】解：「tana=2竺=5,

cosa

???sina=5cosa,

3sinacosa_15cos2a_15cos2a_5

2sin2a+cos2a50cos2a+cos2a51cos2a17'

故答案是：*

22

【點睛】本題考查了同角三角函數(shù)的關系：解題的關鍵是掌握平方關系：sin/l+cos?l=l;正余弦與正

切之間的關系（積的關系）：一個角的正切值等于這個角的正弦與余弦的比，即tanA=嗎或sinA=tanA,

C0Si4

cosA.

【變式3-3］（2022?湖北?校聯(lián)考一模）已知：實常數(shù)a、b、c、d同時滿足下列兩個等式:回asinJ+bcos。-c=

0；團acosB-bsin。+d=0（其中。為任意銳角），貝!Ja、b、c、d之間的關系式是：

【答案】a2+b2=c2+d2

【分析】把兩個式子移項后，兩邊平方，再相加，利用siMe+cos2e=L即可找到這四個數(shù)的關系.

【詳解】由①得asine+bcos。二c,

兩邊平方，a2sin20+b2cos20+2absinOcos0=c2（3）,

由②得acos0-bsin6=-d,

兩邊平方，a2cos20+b2sin20-2absin0cos0=d2(4),

③+④得a?(siMe+cos?。)+b2(sin20+cos2O)=c2+d2,

0a2+b2=c2+d2.

【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式的應用，Sin2e+bcos2e=l的應用是解題的關鍵，屬于基礎

題.

【考點4互余兩角三角函數(shù)的關系】

【例4】（2022?福建南平?統(tǒng)考二模）如圖，將矩形ABC。放置在一組等距的平行線中，恰好四個頂點都在

平行線上，已知相鄰平行線間的距離為1,若乙DCE=/3,則矩形A8C。的周長可表示為（）

A

CE

【答案】B

【分析】構造直角三角形，運用三角函數(shù)的定義求得線段和CD的表達式，進而求得矩形的周長.

【詳解】解：如圖，過。作次唱CE于點R過2作8G0CE于點G,

A

0ZOFC=90°,乙DCE=6,DF=2,

(3DC=黑=三，

sm萬sin夕

團矩形ABCD,

團4BCO=90°,

^BCG+^DCF=90°,

團乙BGC=90°,

⑦乙GBC+乙BCG=90°,

⑦LBCG+乙DCF=90°,

國乙DCF=Z.GBC=B，

^BGC=90°,（GBC=0,BG=5,

?BC=M=島,

團DC=黑=

smpsinp

團矩形ABCD的周長為2（BC+DC）=2（高+扁）

故選：B.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)的定義，構造直角三角形，運用三角函數(shù)的定義求相應線段的表達式是解題

關鍵.

【變式4-1］（2022?安徽宣城?校聯(lián)考一模）在RtA43C中，0C=9O°,下列式子不一定成立的是（）

A.sinA=sin8B.cosA=sinB

C.sinA=cosBD.sin（A+3）=sinC

【答案】A

【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義依次分析各項即可.

【詳解】如圖，

B

a

C

A.團sinA=2,sinB=-,團當awb時，sinA^sinB,符合題意;

CC

B.團COSA=2,sinB=-,回cosA=sin3,不符合題意；

CC

C.0sinA=-,cosB=~,團sinA=cos3,不符合題意；

CC

D.00A+0B=0C,Esin(A+B)=sinC,不符合題意；

故選A.

【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解答本題的關鍵是熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，在直角三角

形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊.

【變式4-2］（2022?湖北武漢?統(tǒng)考三模）如圖，在AABC中，tan0BAC-tan0ABC=l,0。經過A、B兩點，分

若DE=10,AB=24,則回。的半徑為（

B.8V3

C.13D后

【答案】C

【分析】連接BO并延長，交圓。于點G,連接AG,AE,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得回GAB=90。，從

而證出I3G+EIGBA=9O。，然后根據(jù)圓的內接四邊形的性質可得EIAECWG,根據(jù)銳角三角函數(shù)的性質可得EIABC

為直角三角形，回C=90。，然后根據(jù)圓周角定理證出AG可得AG=DE=10,最后根據(jù)勾股定理求出直徑

即可求出結論.

【詳解】解：連接BO并延長，交圓。于點G,連接AG,AE

00G+0GBA=9O0

El四邊形AEBG是圓。的內接四邊形

00AEC=0G

00AEC+0GBA=9O°

團tan回BAOtan國ABC==1,

H3ABC為直角三角形，0C=9O°

EBAEC+回EAC=90°

00GBA=0EAC

0AG=ETE

0AG=DE=1O

在RtBAGB中

BG=y/AG2+AB2=26

000的半徑B0=|BG=13

故選c.

【點睛】此題考查的是圓周角定理及推論、圓的內接四邊形的性質、銳角三角函數(shù)的性質和勾股定理，掌

握圓周角定理及推論、圓的內接四邊形的性質、銳角三角函數(shù)的性質和勾股定理是解決此題的關鍵.

【變式4-3](2022?山東荷澤?中考真題)如圖，E1ABC與I3AEU都是等腰三角形，且AB=AC=5,A'B^A^S,

若配+配'=90°,貝IjlBABC與回A'B'C'的面積比為()

A.25：9B.5：3C.泥：MD.5巡：3M

【答案】A

【詳解】試題分析：過A作ADI3BC于D,過A‘作A'D'IBB'C'于D',EBABC與EIABC都是等腰三角形，00B=0C,

配'=%'，BC=2BD,B'C'=2B'D',EIAD=AB?sinB,A'D'=A'B'?sinB',BC=2BD=2AB?cosB,B'C'=2B'D'=2A'B'?cosB',

EEB+E1B'=9C)°,回sinB=cosB',sinB'=cosB,EISABAc:=|AD?BC=|AB?sinB?2AB?cosB=25sinB?cosB,

,,,,,,,,,,,,

SAA'B-c-=|AD*BC=|AB?cosB?2AB?sinB=9sinB?cosB,0SABAC：SANBC=25：9.故選A.

考點：互余兩角三角函數(shù)的關系.

【要點2特殊角的三角函數(shù)值】

三角函數(shù)30°45°60°

J_V2V3

sincr~2~2

V2

cosaV3

F~2

V3

tan。1V3

亍

【考點5特殊角的三角函數(shù)】

【例5】（2022?山東濟寧?校考二模）如圖，在正方形ABC%中，AB=6,48與直線1所夾銳角為60。，延

長CB1交直線/于點為,作正方形力IBIC/2，延長6殳交直線/于點4，作正方形2c2B3,延長C2B3交直

線/于點43，作正方形3c3/…，依次規(guī)律，則線段4202142022=（）

/與2\019/后\2020//'20212022

A.2X(rB.2X(號C.2x(f)D.2X

【答案】C

【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值分別求出4/1、人2殳、&叢，以此類推找到規(guī)律求出力2022^022,最后

根據(jù)Rt△4202142022殳022中匕”2021殳02242022=9?！?^-^2022-^2021^2022=3?！?即可求解.

【詳解】解：回與直線/所夾銳角為60。，且4員4名是正方形/Be/的一個頂角，

團NB1A4]=180°-60°-90°=30°,

又團4ZBi/i=90°,

團在Rt△ABrAr中,A1B1=ABrxtan乙的/當，

回正方形/Be/的邊長48=V3,

回A/i=ABrxtan/-A1AB1=V3xy,

同理可求得：A2B2=V3xg),A3B3=V3x(日),

202220212021

以此類推可知:A2022B2022=V3x(^)=V3xx(f)=(y).

團Rt△402M2022B2022中乙42021殳0224022=9°。，^-^2022^2021^2022=30。，

^2021-^2022=2X2O22^2O22=2X（石）'故C正確?

故選：C.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質、含特殊角的銳角三角函數(shù)等知識，含30。的直角三角形的性質.利

用從特殊到一般尋找規(guī)律是解題的關鍵.

【變式5-1]（2022?山東日照?統(tǒng)考中考真題）在實數(shù)VLx0（"0）,cos30。，遮中，有理數(shù)的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【分析】根據(jù)零指數(shù)幕，特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的意義，即可解答.

【詳解】解：在實數(shù)VLx°（*0）=1,cos30°=y,遮=2中，有理數(shù)是遮=2,

所以，有理數(shù)的個數(shù)是2,

故選：B.

【點睛】本題考查了零指數(shù)累，特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)，熟練掌握這些數(shù)學概念是解題的關鍵.

【變式5-2]（2022?福建泉州,統(tǒng)考二模）如圖，在菱形ABC。中，AC=CD,則cosB的值為（）

【答案】D

【分析】證明是等邊三角形，得出ae=60。，由特殊角的三角函數(shù)值，即可得出結論.

【詳解】解：回四邊形48CO是菱形，

^\AB=BC=CD,

^AC=CD,

^1AB=BC=AC,

團弘15。是等邊三角形，

團團3=60°,

l?]cosB=cos600=-,

2

故選：D.

【點睛】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握菱形的性質

是解題的關鍵.

【變式5-3］（2022?陜西渭南?統(tǒng)考二模）如圖，在0ABe中，0ABe=45。，點H是高和BE的交點，0CAD

=30。，8=4,則線段8反的長度為（）

A.6B.4V3C.8D.4V6

【答案】C

【分析】結合題意，根據(jù)直角三角形兩銳角互余、三角函數(shù)、分式方程的性質，得4）=4四，再根據(jù)等腰

三角形和三角函數(shù)的性質分析，即可得到答案.

【詳解】根據(jù)題意，得N4DC=乙BEC=90°

0ZCXD+A.ACD=乙CBE+A.ACD=90°

0ZCBF=ACAD=30°

EICD=4

4V3

^tan^CAD=—

AD3

BAD=4V3

經檢驗，4）=4舊是2=?的解

團朋3c=45°,回CAO=30°,

^ABE=Z.ABC-乙CBE=15°

^BAE=90°-AABE=75°

^BAD=^LBAE-/LCAD=45°

團4B/O=Z.ABE=45°

團BD=AD=4V3

BD4V3V3

^IcosZ.CBE=—=——

BHBH2

回BH=8

經檢驗，8”=8是券=手的解

BH2

故選：c.

【點睛】本題考查了三角函數(shù)、分式方程、等腰三角形、直角三角形的知識；解題的關鍵是熟練掌握三角

函數(shù)的性質，從而完成求解.

【例6】(2022?江蘇南通?統(tǒng)考中考真題)如圖，點。是正方形48CD的中心，4BRt△BEF中，4BEF=

BE,BF分別交A。,CD于點G,M,連接。E,OM,EM.^BG=DF.tan^ABG=貝的

周長為___________

【答案】3+3追

【分析】連接8。，則80過正方形4BCD的中心點O,作FH0CQ于點”，解直角三角形可得BG=2小,

AG=%8,然后證明△ABGEIAHF'D(AAS),DH=AG=^AB=^CD,BC=HF,進而可證ABCMSAFHM

(AAS),得到Affl=MC=(C￡>,BM=FM,然后根據(jù)等腰三角形三線合一求出則

=BM=2后再根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質和三角形中位線定理分別求出。〃、和OE即可解決問

題.

【詳解】解：如圖，連接3。，則8。過正方形力BCD的中心點O,作PH0CO于點

^\AB—3A/2,tanZ-ABG=

團tan/ABG=-=-

AB3

[?L4G=|AB=V2,

^\BG=yjAG2+AB2=2V5,

加BEF=90°,她Z)C=90°,

加EGO+團EZ)G=90°,^EDG+WDF=90°,

^1EGD=^HDF

^\AGB=^\EGD,

^\AGB=^\HDF,

'乙4=乙DHF=90°

在aABG和△〃尸。中，乙AGB=LHDF,

^BG=DF

^ABG^AHFD(AAS),

^AG=DH,AB=HF,

團在正方形ABC。中，AB=BC=CD=ADf回。=90。，

11

^\DH=AG=-AB=-CDBC=HF,

33f

(Z.C=Z.FHM=90°

在△BCM和中，^BMC=/-FMH,

BC=FH

團△BCMUAFHM(AAS),

^\MH=MC=-CD,BM=FM,

3

⑦DH=MH,

0FH0CZ),

^\DF=FM,

^1BG=DF=FM=BM=2V5,

回3尸=4而，

團M是5尸中點，O是瓦)中點，△BE尸是直角三角形,

SOM=-DF=V5,EM=-BF=275,

22

SBD=y/2AB=6,△BED是直角三角形,

^EO=-BD=3,

2

0AOEM的周長=EO+OM+EM=3+V^+2西=3+3小,

故答案為：3+3西.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，解直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性質，等腰三角

形的判定和性質，直角三角形斜邊中線的性質以及三角形中位線定理，綜合性較強，能夠作出合適的輔助

線，構造出全等三角形是解題的關鍵.

【變式6-1］（2022?浙江嘉興?統(tǒng)考中考真題）如圖，在AABC中，0ABe=90。，0A=6O。，直尺的一邊與BC

重合，另一邊分別交AB,AC于點。，E.點、B,C,D,E處的讀數(shù)分別為15,12,0,1,則直尺寬2。的

長為.

【答案】詈

【分析】先求解AB=百,4。=手，再利用線段的和差可得答案.

【詳解】解：由題意可得：DE=1,DC=15-12=3,

???ZX=60°,Z.ABC=90。,

BC3pz

???AABD=------=-p=\3,

tan60°V3

同rzzq工理用：A八D=--D-E---=-1^=—y/3

tan60°V33

.：BD=AB-AD=^-^=^

故答案為：竽

【點睛】本題考查的是銳角的正切的應用，二次根式的減法運算，掌握"利用銳角的正切求解三角形的邊長"

是解本題的關鍵.

【變式6-2](2022?西藏?統(tǒng)考中考真題)如圖，已知BC為回。的直徑，點。為CE的中點，過點。作。G0CE,

交的延長線于點A,連接8。，交CE于點?

(1)求證：AD是回。的切線；

(2)若EF=3,CF=5,tan0GDB=2,求AC的長.

【答案】⑴見解析

(2)AC=y

【分析】(1)連接OD,BE,根據(jù)“同圓中，等弧所對的圓周角相等"及等腰三角形的性質得到NODB=乙EBD,

進而得到OD〃BE,根據(jù)圓周角定理結合題意推出4D10D,即可判定AO是回。的切線；

(2)根據(jù)平行線的性質得到aBFEWGDB,fflA=0ECB,解直角三角形求出OC,的長，根據(jù)線段的和差

求解即可.

(1)

證明：如圖，連接。。，BE,

回點￡)為CE的中點,

回⑦=片力，

回0?；谻E,回CBD=?EBD,

團03=00,

^\ODB=^CBD,

^1ODB=^EBD,

中0D“BE,

團5c為團。的直徑，

如。防=90°,

團CE08E,

^AD//CE,OD^CE,

胤4?；?。。，

回0。是團。的半徑，

0AD是回。的切線；

(2)

解：SDG//CE,

SSBFE=SGDB,EL4=H￡CB,

團tan回G￡)8=2,

回tan回BFE=2,

在R/ABE尸中，EF=3,tanHBF￡=—,

EF

[3BE=6,

0EF=3,CF=5,

^1CE=EF+CF=8,

HBC=VCE2+BE2=10,

0OD=OC=5,

在RMCE中，sin0ECB=—=—=-,

BC105

3

團sinA=sin回ECB=g,

在RdA。。中，sinA=—=OD=5,

0A5

25

團04=藝，

3

^AC=OA-OC=—.

3

【點睛】本題是圓的綜合題，考查了平行線的性質、切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的性質、解直

角三角形等知識，熟練掌握切線的判定、圓周角定理并作出合理的輔助線是解題的關鍵.

【變式6-3]（2022?遼寧撫順?統(tǒng)考中考真題）在AaBC中，/.BAC=9G°,ABAC,線段AB繞點A逆時針

旋轉至4D（2D不與4C重合），旋轉角記為a,AD4C的平分線力E與射線BD相交于點E,連接EC.

圖①圖②備用圖

（1）如圖①，當a=20。時，乙4EB的度數(shù)是；

（2汝口圖②，當0。<￡￡<90。時，求證：BD+2CE=

（3）當0。<a<180°,AE=2CE時,請直接寫出黑的值.

【答案】（1）45°

⑵見解析

⑶2a+2或2/-2

【分析】（1）根據(jù)旋轉的性質可知力B=4D,當a=20。時可根據(jù)等腰三角形的性質計算N4DB的角度，再

由NB4C=90°,4E是的平分線可知NZME=35°,由三角形外角的性質，通過N4EB=乙ADB-ADAE

即可得出答案；

（2）延長D8至1JF,使BF=CE,連接力尸，先證明AaCE=AACE,可推導N0E4=/.CEA,Z.ADE=/.ACE,

乙DE=CE,再由已知條件及等腰三角形的性質推導NDE4=NCE4=45。，然后證明△4BF三△4CE,推導

Z.FAE=90°,在RtAAFE中，由三角函數(shù)可計算EF=魚4m即可證明BD+2CE=企4邑

（3）分兩種情況討論：①當0。<。<90。時，借助（2）可知BD=（2&一2）CE,再求詈的值即可；②當

90°<a<180。時，在線段8。上取點R使得BF=CE,結合（2）中AADE=^ACE,可知DE=CE、乙ADE

/LACE,易證明AABF三AaCE,可推導NB4F=NC4E、AE=AF,AEAF=90°,^AEF=/LAFE=45°,

在RtAAFE中，由三角函數(shù)可計算EF=迎人員即可推導BD=(2/+2)CE,再求黑的值即可.

ED

【詳解】(1)解：由旋轉可知，AB-AD,當a=20。時，

—可T知/rrNZABnOn=Z.A/iDnBn=-1-8-0-°---0-=--1-8-0-°---2-0-°=80°,

22

^BAC=90°,4E是乙ZX4C的平分線，

^DAE=ABAC-==35°,

22

回乙4EB=Z.ADB-Z.DAE=80°-35°=45°.

故答案為：45°；

(2)證明：延長08到尸，使=連接/工

^\AB—AC,AD—ABi

團4。=AC,

團/E平分乙。/。，

回匕DAE=Z.CAE,

團4E=AE,

[SAADE=△A^CE,

^\Z-DEA=Z.CEA,Z.ADE=Z-ACE,乙DE=CE,

團48=AD,

回匕ABD=Z-ADB,

團匕ADE+乙ADB=180°,

^ACE+4ABD=180°,

^BAC=90°,

⑦乙BEC=360°-{Z.ACE+/.ABD}-Z.BAC=360°-180°-90°=90°,

^DEA=A.CEA

EINDEA=ACEA=工x90°=45°,

2

^AABF+乙ABD=180°,/-ACE+匕ABD=180°,

^ABF=Z.ACE,

團48=AC,BF=CE,

0AABF=△ACE,

團/F=AE,Z.AFB=AAEC=45°,

^FAE=180°-Z,AFB一4DEA=180°-45°-45°=90°,

在R%ME中，Z.FAE=90°,

Ap

^CQSZ-AEF=—,

^EF=BF+BD+DE=CE+BD+CE=BD+2CE,

^\BD+2CE=y/2AE；

(3)①當0。＜仇＜90。時，由(2)可知，

DE=CE,BD+2CE=近AE,

回BD=V2AE-2CE,

當4E=2CE時，可知8。=V2X2CE-2CE=(2A/2-2)CE,

^BD(2V2-2)CE(2V2-2)CE、伉

□—=----------------=-----------------=ZVZ—oZ;

EDEDCE

②當90。Wa＜180。時，如下圖，在線段2。上取點R使得BF=CE,

由(2)可知，XADEmXACE,

⑦DE=CE,Z,ADE=Z.ACE,

團AB=AC,

^Z.ABF=Z.ADE,

團乙4BF=Z.ACE,

^BF=CE,

ABF三△ACE(SZS),

^\Z-BAF=Z-CAE,AE=AF,

國乙EAF=Z.CAF+^CAE=Z.CAF+Z.BAF=乙BAC=90°,

"EF="FE=三竺=45。,

在Rt△AFE中，COS/.AEF=—

EF

AE

團EF=」￡=y[2AE,

COSZ.AEFcos45°

^BDBF+EF+DECE+立AE+CE=y[2AE+2CE,

當4E=2CE時，可知BD=V2X2CF+2CE=(2&+2)CE,

(2V2+2)CE_(2V2+2)CE

=2V2+2.

EDCE

綜上所述，當0°<a<1800,2E=2CE時，處=2迎+2或皿=2魚一2.

EDED

【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的性質及三角函數(shù)解直角三

角形的知識，解題關鍵是熟練掌握相關性質，并通過作輔助線構建全等三角形.

【考點7解直角三角形的應用之仰角俯角問題】

【例7】（2022?山東聊城?統(tǒng)考中考真題）我市某轄區(qū)內的興國寺有一座宋代仿木樓閣式空心磚塔，塔旁有

一棵唐代古槐，稱為"宋塔唐槐"（如圖①）.數(shù)學興趣小組利用無人機測量古槐的高度，如圖②所示，當

無人機從位于塔基B點與古槐底D點之間的地面”點，豎直起飛到正上方45米E點處時，測得塔的頂

端A和古槐的頂端C的俯角分別為26.6。和76。（點3,H,。三點在同一直線上）.已知塔高為39米,

塔基8與樹底。的水平距離為20米，求古槐的高度（結果精確到1米）.（參考數(shù)據(jù)：sin26.6°?0.45,

cos26.6°?0.89,tan26.6°~0.50,sin76°~0.97,cos76°~0.24,tan76°~4.01)

【答案】古槐的高度約為13米

【分析】過點人作人順現(xiàn)/于跖過點C作CN3E8于N,在RA4ME中，根據(jù)銳角三角函數(shù)求出4