中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：方程與不等式綜合復(fù)習(xí)知識講解提高

方程與不等式綜合復(fù)習(xí)

【考綱要求】

1.會從定義上推斷方程（組）的類型，并能依據(jù)定義的雙重性解方程（組）和探討分式方程的增

根狀況；

2.駕馭解方程（組）的方法，明確解方程組的實(shí)質(zhì)是“消元降次”、“化分式方程為整式方程”、

“化無理式為有理式”；

3.理解不等式的性質(zhì)，一元一次不等式（組）的解法，在數(shù)軸上表示解集，以和求特別解集；

4.列方程（組卜列不等式（組）解決社會關(guān)注的熱點(diǎn)問題；

5.解方程或不等式是中考的必考點(diǎn)，運(yùn)用方程思想與不等式（組）解決實(shí)際問題是中考的難點(diǎn)

和熱點(diǎn).

【學(xué)問網(wǎng)絡(luò)】

一元一次方程

一元二次方程

方

程

與

方

程

組

列方程（組）解應(yīng)用題

方

(程

不等式的定義

m)與

不

等T不等式的解集1一|數(shù)軸表示法

式

Z

1一|解不等式

V

m)

不等式的性質(zhì)應(yīng)

用

一元一次不等式的解法

一元一次不等式組及其解法」

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)一、一元一次方程

1.方程

含有未知數(shù)的等式叫做方程.

2.方程的解

能使方程兩邊相等的未知數(shù)的值叫做方程的解.

3.等式的性質(zhì)

（1）等式的兩邊都加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，所得結(jié)果仍是等式.

（2）等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)數(shù)（除數(shù)不能是零），所得結(jié)果仍是等式.

4.一元一次方程

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方

程辦+人=0（x為未矢口數(shù)，a。0）叫做一元一次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，a是未知數(shù)x的系數(shù)，b是常數(shù)

項(xiàng).

5.一元一次方程解法的一般步驟

整理方程一一去分母——去括號——移項(xiàng)——合并同類項(xiàng)——系數(shù)化為1——（檢

驗(yàn)方程的解）.

6.列一元一次方程解應(yīng)用題

（1）讀題分析法：多用于“和，差，倍，分問題”

細(xì)致讀題，找出表示相等關(guān)系的關(guān)鍵字，例如：“大，小，多，少，是，共，合，為，完

成，增加，削減，配套”，利用這些關(guān)鍵字列出文字等式，并且依據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，最終利

用題目中的量與量的關(guān)系填入代數(shù)式，得到方程.

（2）畫圖分析法：多用于“行程問題”

利用圖形分析數(shù)學(xué)問題是數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的體現(xiàn)，細(xì)致讀題，依照題意畫出有關(guān)

圖形，使圖形各部分具有特定的含義，通過圖形找相等關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，從而取得布

列方程的依據(jù)，最終利用量與量之間的關(guān)系（可把未知數(shù)看作已知量），填入有關(guān)的代數(shù)式是獲

得方程的基礎(chǔ).

要點(diǎn)詮釋：

列方程解應(yīng)用題的常用公式:

速度=需時(shí)間二黑；

⑴行程問題:距離=速度X時(shí)間

時(shí)間

工效=小

(2)工程問題:工作量=工效X工時(shí)工時(shí)=

工時(shí)

比率=禁41_部分.

⑶比率問題：部分=全體X比率全4體7f-?,

全體比率

⑷順逆流問題：順流速度=靜水速度+水流速度，逆流速度=靜水速度-水流速度;

⑸商品價(jià)格問題：售價(jià)=定價(jià)?折?小利潤:售價(jià)一成本，利潤率二宣之X1。。％；

⑹周長、面積、體積問題：C圓=2兀R,S圓=7iR2,C長方形=2(a+b),S長方形=ab,C正方形=4a,

S正方形=a2,S環(huán)形=兀僅2-臼,V長方體=abh,V正方體=a3,V圓柱=nR2h,V圓錐=g7iR2h.

考點(diǎn)二、一元二次方程

1.一元二次方程

含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式

a/+6x+c=0(aw0),它的特征是：等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)X的二次多項(xiàng)式，等式右

邊是零，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫

做常數(shù)項(xiàng).

3.一元二次方程的解法

(1)干脆開平方法

利用平方根的定義干脆開平方求一元二次方程的解的方法叫做干脆開平方法.干脆開平

方法適用于解形如(x+a)2=6的一元二次方程.依據(jù)平方根的定義可知，x+a是b的平方根，

當(dāng)時(shí)，x+a=±4b,x=-a土&,當(dāng)b＜。時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.

(2)配方法

配方法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，它不僅在解一元二次方程上有所應(yīng)用，而且在數(shù)學(xué)的其

他領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.配方法的理論依據(jù)是完全平方公式片±2"+戶=(。土6)2,把公式中

的a看做未知數(shù)x,并用x代替，則有/±2法+/=(x±4.

(3)公式法

公式法是用求根公式求一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.

2

一元二次方程ax~+bx+c^0(a豐0)的求根公式：x12='——曲^(Z?-4ac>0)

2a

(4)因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡潔易行，是解

一元二次方程最常用的方法.

4.一元二次方程根的判別式

一元二次方程+6x+c=0(aw0)中，b2-4ac叫做一元二次方程以？+bx+c=0(aw0)的

根的判別式，通常用“A”來表示，即A=/—4ac.

5.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

假如方程+6x+c=0(aW0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是否，/，那么看+招=一2,’?也就是

aa

說，對于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系

數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.

要點(diǎn)詮釋：

一元二次方程的解法中干脆開平方法和因式分解法是特別方法，比較簡潔，但不是全部

的一元二次方程都能用這兩種方法去解，配方法和公式法是一般方法，一元二次方程都可以

用這兩種方法去解.

(1)推斷一個(gè)方程是不是一元二次方程，應(yīng)把它進(jìn)行整理，化成一般形式后再進(jìn)行推斷,

留意一元二次方程一般形式中。工0.

(2)用公式法和因式分解的方法解方程時(shí)要先化成一般形式.

(3)用配方法時(shí)二次項(xiàng)系數(shù)要化1.

(4)用干脆開平方的方法時(shí)要記得取正、負(fù).

考點(diǎn)三、分式方程

1.分式方程

分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.

2.解分式方程的一般方法

解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”.它的一般解法是：

①去分母，方程兩邊都乘以最簡公分母；

②解所得的整式方程；

③驗(yàn)根：將所得的根代入最簡公分母，若等于零，就是增根，應(yīng)當(dāng)舍去；若不等于零,

就是原方程的根.

口訣：“一化二解三檢驗(yàn)”.

3.分式方程的特別解法

換元法：

換元法是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想，其應(yīng)用特別廣泛，當(dāng)分式方程具有某種特

別形式，一般的去分母不易解決時(shí)，可考慮用換元法.

要點(diǎn)詮釋：

解分式方程時(shí)，有可能產(chǎn)生增根，增根肯定適合分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程，但增根不

適合原方程，可使原方程的分母為零，因此必需驗(yàn)根.

增根的產(chǎn)生的緣由：

對于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取

那些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件.當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為

整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，假如轉(zhuǎn)化后的整

式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會出現(xiàn)增根.

考點(diǎn)四、二元一次方程（組）

1.二元一次方程

含有兩個(gè)未知數(shù)，并且未知項(xiàng)的最高次數(shù)是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形

式是ax+by=c(awO,bwO).

2.二元一次方程的解

使二元一次方程左右兩邊的值相等的一對未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的一個(gè)解.

3.二元一次方程組

兩個(gè)(或兩個(gè)以上)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組.

4.二元一次方程組的解

使二元一次方程組的兩個(gè)方程左右兩邊的值都相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方

程組的解.

5.二元一次方程組的解法

①代入消元法；②加減消元法.

6.三元一次方程(組)

(1)三元一次方程

把含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程叫三元一次方程.

(2)三元一次方程組

由三個(gè)(或三個(gè)以上)一次方程組成，并且含有三個(gè)未知數(shù)的方程組，叫做三元一次方

程組.

要點(diǎn)詮釋：

二元一次方程組的解法：

消元：將未知數(shù)的個(gè)數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想.

(1)代入消元法：將一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個(gè)方程,

實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個(gè)二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法.

(2)加減消元法：當(dāng)兩個(gè)方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時(shí)，將兩個(gè)方程的兩邊分別

相加或相減，就能消去這個(gè)未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法.

(3)二元一次方程組的解有三種狀況，即有唯一解、無解、無限多解.教材中主要是探討

有唯一解的狀況，對于其他狀況，可依據(jù)學(xué)生的接受實(shí)力賜予滲透.

考點(diǎn)五、不等式(組)

L不等式的概念

(1)不等式

用不等號表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式.

(2)不等式的解集

對于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，任何一個(gè)適合這個(gè)不等式的未知數(shù)的值，都叫做這個(gè)不

等式的解.

對于一個(gè)含有未知數(shù)的不等式，它的全部解的集合叫做這個(gè)不等式的解的集合，簡稱這

個(gè)不等式的解集.

求不等式的解集的過程，叫做解不等式.

2.不等式基本性質(zhì)

(1)不等式兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)整式，不等號的方向不變；

(2)不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變；

(3)不等式兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向變更.

3.一元一次不等式

(1)一元一次不等式的概念

一般地，不等式中只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1,且不等式的兩邊都是整式，這

樣的不等式叫做一元一次不等式.

(2)一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步驟：

①去分母；②去括號；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤將x項(xiàng)的系數(shù)化為1.

4.一元一次不等式組

(1)一元一次不等式組的概念

幾個(gè)一元一次不等式合在一起，就組成了一個(gè)一元一次不等式組.

幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它們所組成的一元一次不等式組的解集.

求不等式組的解集的過程，叫做解不等式組.

當(dāng)任何數(shù)X都不能使不等式同時(shí)成立，我們就說這個(gè)不等式組無解或其解為空集.

（2）一元一次不等式組的解法

①分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集；

②利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集.

由兩個(gè)一元一次不等式組成的一元一次不等式組的解集的四種狀況如下表.

不等式組圖示解集口訣

（其中a>

b）

x>a

x>a（同大取大）

*―1-

x>bba

x<ax<b

-c（同小取?。?/p>

x<bt)-----a-----?

b<x<a

x<a（大小取中

*------c

x>bt)-----a----?

11

）

x>a」』.無解（大大、小小

x<bba

（空集）找不到）

注：不等式有等號的在數(shù)軸上用實(shí)心圓點(diǎn)表示.

要點(diǎn)詮釋:

用符號“V”“W”“力”表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式.

（1）不等式的其他性質(zhì)：①若a>b,貝!JbVa;②若a>b,b>c,則a>c;③若

b,且b>a,?貝ija=b;④若a2&0,則a=0;⑤若ab>0或9>0,則a、b同號；⑥若ab

b

V?；?？<0,貝i」a、b異號.

b

(2)隨意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b的大小關(guān)系：①a-b>Ooa>b;②a-b=Ooa=b;③a-bv

OoaVb.

不等號具有方向性，其左右兩邊不能隨意交換：但avb可轉(zhuǎn)換為8>a,可轉(zhuǎn)換為d4

【典型例題】

類型一、方程的綜合運(yùn)用

.如圖所示，是在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出的一次函數(shù)yi、丫2的圖象4、，2,設(shè)%=匕％+4,

則方程組箕出的解是()

一

_T1

卜+

卜+—F+++T

卜+丁++++T

卜+

-++>H

卜+++

-+A

卜+++4+++T

+

卜+++-++++H

士

卜+++r++++H

」\++++H

-L_!__!_

【思路點(diǎn)撥】圖象八/?的交點(diǎn)的坐標(biāo)就是方程組的解.

【答案】B;

【解析】由圖可知圖象4、4的交點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,3),

所以方程組的解為廣二2，

[y2=k2x+b2[y=3.

【總結(jié)升華】

方程組與函數(shù)圖象結(jié)合體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，這也是中考所考學(xué)問點(diǎn)的綜合與相

互滲透.

.近年來，由于受國際石油市場的影響，汽油價(jià)格不斷上漲.請你依據(jù)下面的信息，幫

小明計(jì)算今年5月份汽油的價(jià)格.如圖所示.

今年5月份的汽油價(jià)格比去年5月

份每升多L8元，用150元給汽車加的

油量比去年少18.75升.

今年5月份的汽油

價(jià)格是多少呢？

【思路點(diǎn)撥】依據(jù)“用15。元給汽車加油今年比去年少18.75升”列方程.

【答案與解析】

解：設(shè)今年5月份汽油價(jià)格為x元/升，則去年5月份的汽油價(jià)格為(x-1.8)元/升.

150

依據(jù)題意，得—=18.75,

x—1.8X

整理，得爐―1.8%—14.4=0.

解這個(gè)方程，得Xi=4.8,X2=-3.

經(jīng)檢驗(yàn)兩根都為原方程的根，但X2=-3不符合實(shí)際意義，故舍去.

【總結(jié)升華】

解題的關(guān)鍵是從對話中挖掘出有效的數(shù)學(xué)信息，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，從而解決問題，讓同學(xué)

們更進(jìn)一步地體會到數(shù)學(xué)就在我們身邊.

類型二、解不等式(組)

.已知A=a+2,B=a2-a+5,C=a2+5a-19,其中a>2.

(1)求證：B-A>0,并指出A與B的大小關(guān)系;

(2)指出A與C哪個(gè)大?說明理由.

【思路點(diǎn)撥】

計(jì)算B-A結(jié)果和。比大小，從而推斷A與B的大小；同理計(jì)算C-A,依據(jù)結(jié)果來比較A

與c的大小.

【答案與解析】

(1)證明：B-A=a2-2a+3=(a-l)2+2.

...a>2,(a-l)2>0,/.(a-l)2+2>0.

/.a2-2a+3>0,即B-A>0.

由此可得B>A.

⑵解:C-A=a2+4a-21=(a+7)(a-3).

,/a>2,/.a+7>0.

當(dāng)2<a<3時(shí)，a-3<0,

/.(a+7)(a-3)<0.

當(dāng)2vav3時(shí)，A比C大；

當(dāng)a=3時(shí)，a-3=0,

(a+7)(a-3)=0.

A當(dāng)a=3時(shí)，A與C一樣大；

當(dāng)a>3時(shí)，a-3>0,

/.(a+7)(a-3)>0.

當(dāng)a>3時(shí)，C比A大.

【總結(jié)升華】

比較大小通常用作差法，結(jié)果和。比大小，此時(shí)經(jīng)常用到因式分解或配方法.本題考查

了整式的減法、十字相乘法分解因式，滲透了求差比較大小的思路和分類探討的思想.

舉一反三：

【變式1】已知：A=2tz2-a+2,B=2,C=/—2a+4,其中a>l.

⑴求證：A-B>0;⑵試比較A、B、C的大小關(guān)系，并說明理由.

【答案】

(1)A-B=2a2-〃+2-2=2/—〃=a(2a—1)

?/a>1,tz>0,2a-l>0

.\A-B>0

(2),.CB=Q2—2o+4-2=/—2o+2=(a-iy+1>0

/.C>B

*.*A_C=2/-q+2-a?+2a—4=a?+q—2=(a+2)(a—1)

a>l9a+2>0,tz-l>0

/.A>C>B

【變式2】如圖，要使輸出值y大于100,則輸入的最小正整數(shù)x是

【答案】

解：設(shè)刀為正整數(shù)，由題意得

5(2//-1)>100,87

解得〃>一

2nx4+13>100.8

則刀可取的最小正整數(shù)為11.

若x為奇數(shù)，即x=21時(shí)，y=105;

若x為偶數(shù),即x=22時(shí)，y=101.

?.?滿意條件的最小正整數(shù)x是21.

類型三、方程（組）與不等式（組）的綜合應(yīng)用

▼4.宏志中學(xué)高一年級近幾年來招生人數(shù)逐年增加，去年達(dá)到55。名，其中有面對全省

招收的“宏志班”學(xué)生，也有一般一般班的學(xué)生.由于場地、師資等限制，今年招生最多比

去年增加1。。人，其中一般班學(xué)生可多招2。%,“宏志班”學(xué)生可多招10%,問今年最少可

招收“宏志班”學(xué)生多少名？

【思路點(diǎn)撥】

依據(jù)招生人數(shù)列等式，依據(jù)今年招生最多比去年增加1。。人列不等式.

【答案與解析】

設(shè)去年招收“宏志班”學(xué)生x名，一般班學(xué)生y名，由條件得/sc

10%x+20%y<100.

將y=550-x代入不等式，可解得x>100,于是(l+10%)x>110.

故今年最少可招收“宏志班”學(xué)生11。名.

【總結(jié)升華】本題屬于列方程與不等式組綜合題.

舉一反三：

【變式】為了加強(qiáng)學(xué)生的交通平安意識，某中學(xué)和交警大隊(duì)聯(lián)合實(shí)行了“我當(dāng)一日小交警”

活動，星期天選派部分學(xué)生到交通路口值勤，幫助交通警察維持交通秩序，若每一

個(gè)路口支配4人，那么還剩下78人；若每個(gè)路口支配8人，那么最終一個(gè)路口不

足8人，但不少于4人.求這個(gè)中學(xué)共選派值勤學(xué)生多少人?共有多少個(gè)交通路口

支配值勤？

【答案】

設(shè)這個(gè)學(xué)校選派值勤學(xué)生x人，共到y(tǒng)個(gè)交通路口值勤.依據(jù)題意得

X—4y=78,①

<4<x-8(y-l)<8.②

由①可得x=4y+78,代入②，得4&78+4y-8(y-l)v8,解得19.5VyW20.5.

依據(jù)題意y取20,這時(shí)x為158,即學(xué)校派出的是158名學(xué)生，分到了20個(gè)交通

路口支配值勤.

■5.已知關(guān)于x的一兀二次方程(機(jī)-2)好一(根-1?+%=0.(其中m為頭數(shù))

(1)若此方程的一個(gè)非零實(shí)數(shù)根為長

①當(dāng)左=m時(shí)，求m的值；

②若記相(左+；)-2左+5為y,求尸與相的關(guān)系式；

(2)當(dāng):VmV2時(shí)，推斷此方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)并說明理由.

4

【思路點(diǎn)撥】

(1)由于k為此方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，故把k代入原方程，即可得到關(guān)于k的一元二次

方程，

①把k=m代入關(guān)于k的方程，即可求出m的值；

②由于k為原方程的非零實(shí)數(shù)根，故把方程兩邊同時(shí)除以k,便可得到關(guān)于y與m

的關(guān)系式；

(2)先求出根的判別式，再依據(jù)m的取值范圍探討△的取值即可.

【答案與解析】

(1)K為O-2)%2_(加_1)%+帆=0的實(shí)數(shù)根，

(m—2)k2—(m—l)k+m=0

①當(dāng)女=m時(shí)，

:女為非零實(shí)數(shù)根，

/.m豐0,方程※兩邊都除以m,得(租-2)〃Z-(〃L1)+1=0.

整理，得機(jī)2-3m+2=0.

解得4=1,g=2.

,.,(祖-2"-(m-1)%+〃2=0是關(guān)于才的一元二次方程，

m豐2.

了.m=1.

②;女為原方程的非零實(shí)數(shù)根，

?s?將方程※兩邊都除以k,得0-2)攵-(川-1)+[=0.

k

整理，得m(k+—)—2k=m—1.

k

y=機(jī)(左+：)—2左+5=加+4?

(2)解法一：A=[—(m-1)]2-4m(m-2)=—3m2+6m+l=—3m(m-2)+l.

當(dāng);VmV2時(shí)，m>0,m—2<0.

-3m(m—2)>0,-3m(m—2)+1>1>0,A>0.

「?當(dāng);vmv2時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

解法二：干脆分析:VmV2時(shí)，函數(shù)好(切-2)彳2-(7〃-1)》+7”的圖象,

該函數(shù)的圖象為拋物線，開口向下，與y軸正半軸相交，

???該拋物線必與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn).

???當(dāng);vmv2時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

解法三：A=[-(m-1)]2-4m(m-2)=—3m2+6m+l=—3(m—l)2+4.

結(jié)合△=-3(m-l)2+4關(guān)于m的圖象可知,

當(dāng):時(shí)，!|<A<4;

當(dāng)1VSV2時(shí)，IVAV4.

/.當(dāng):VmV2時(shí)，A>0.

A當(dāng):VmV2時(shí)，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.

【總結(jié)升華】和一元二次方程的根有關(guān)的問題往往可以借助于二次函數(shù)圖象解決，數(shù)形結(jié)合

使問題簡化.

舉一反三：

【變式1](2014秋?天河區(qū)期末)已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+4x+k-l=。有實(shí)數(shù)根,

k為正整數(shù).

(1)求k的值

(2)當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=2x?+4x+k-1的圖象向右平

移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，求平移后的圖象的解析式.

【答案】

解：(1).??方程2x?+4x+k—1=。有實(shí)數(shù)根，

...△=42—4*2義(k-1)>0,

」.kw3.

又為正整數(shù)，

「.k=l或2或3.

(2)當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，

當(dāng)k=l時(shí)，方程為2X2+4X=0,解得XI=0,x2=-2;不合題意，舍去.

當(dāng)k=2時(shí)，方程為2X2+4X+1=0,解得X]=-l+及，X2=-l-遐；不合題意，舍去.

22

當(dāng)k=3時(shí)，方程為2X2+4X+2=0,解得XI=X2=-1;符合題意.

因此y=2x2+4x+2的圖象向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，得出y=2x2-2.

【變式2】已知：關(guān)于x的方程/+(左一2卜+左一3=0

(1)求證：方程—+(左一2%+左一3=0總有實(shí)數(shù)根；

(2)若方程必+(左-2卜+左-3=0有一根大于5且小于7,求女的整數(shù)值；

⑶在⑵的條件下，對于一次函數(shù)%=x+〃和二次函數(shù)為=必+(左-2)x+4-3,當(dāng)-1<尤<7時(shí),

有力〉為，求6的取值范圍.

【答案】

⑴證明：.二△=(k-2)2—4依-3)

=群一4A+4—4A+12

=A2—8A+16

=(4—4)2>0

」?此方程總有實(shí)根。

⑵解：解得方程兩根為為=-1,x^3-k

??.方程有一根大于5且小于7,

5<3—k<7,—4<—2,

??2為整數(shù)，

...—3.

⑶解：由⑵知h-3,

2

y2=x-5x-6

*?<%>為，**?乃一必<0，

即/—6%-6-Z7v0

..,在-l<x<7時(shí)，有％〉為

/.b>l

類型四、用不等式(組)解決決策性問題

06.(2015春?重慶校級期中)某服裝店到廠家選購A、B兩種服裝，若購進(jìn)A種型號服

裝12件，B種型號服裝8件，須要1880元；若購進(jìn)A種型號服裝9件，B種型號服裝10

件，須要1810元.

(1)求A、B兩種服裝的進(jìn)價(jià)分別為多少元？

(2)若銷售一件A型服裝可獲利18元，銷售一件B型服裝可獲利3。元，依據(jù)市場需求，

服裝店老板確定：購進(jìn)A、B兩種服裝共34件，并使這批服裝全部銷售完畢后總獲利不少于

906元.問服裝店購進(jìn)B種服裝至少多少件？

(3)在(2)間的條件下，服裝店應(yīng)怎樣購進(jìn)A、B兩種服裝，才能使得兩種服裝的總成本

最低？最低為多少元？

【思路點(diǎn)撥】

(1)依據(jù)題意可知，本題中的相等關(guān)系是“A種型號服裝12件，B種型號服裝8件，須要

1880元”和“A種型號服裝9件，B種型號服裝10件，須要1810元”，列方程組求解即

可；

(2)若設(shè)購進(jìn)B種服裝m件，則購進(jìn)A種服裝的數(shù)量是34-m,列出不等式解答即可;

(3)設(shè)服裝店購進(jìn)B種服裝m件列出函數(shù)解析式，結(jié)合最值解答即可.

【答案與解析】

解(1)設(shè)A服裝進(jìn)