山東省濟寧市2025屆高三上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題 （解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省濟寧市2025屆高三上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題2025.01注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為，，所以.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】由，得，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限.故選：B.3.已知向量，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若，則，，此時，所以；若，由向量共線定理，得，解得，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.已知函數(shù)的值域為，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為函數(shù)的值域為，而當(dāng)時，易知在上單調(diào)遞增，所以，即在上的值域為，所以當(dāng)時，在上的值域要包含，所以的圖象開口向下，又對稱軸為，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.故選：C.5.已知函數(shù)（且），若將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，再將函數(shù)的圖象向下平移2個單位長度，所得圖象與的圖象重合，則實數(shù)（）A. B. C. D.4【答案】C【解析】由題意可得，再將函數(shù)的圖象向下平移2個單位長度可得，即，故，又，故.故選：C.6.若，且，則的最小值為（）A. B. C.3 D.4【答案】B【解析】因為，所以，因為，則，即，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時最小值為，故選：B.7.已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過且斜率為的直線交的右支于點，且，則的離心率等于（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】設(shè)，因為過且斜率為的直線交的右支于點，且，所以，所以，解得，所以的離心率.故選：D.8.已知函數(shù)的定義域為，且，為奇函數(shù)，，則（）A.2025 B. C.4050 D.【答案】A【解析】因為fx+2+f所以，所以，所以的周期為4，因為為奇函數(shù)，所以②令，由②得，所以，①中令，得，所以，令，得，所以，綜上，，，，所以，由函數(shù)的周期性得，.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A. B.上單調(diào)遞增C.在上有兩個極值點 D.點是曲線y=fx的一個對稱中心【答案】BC【解析】對于A，因為經(jīng)過點，所以，即，又的圖象在點附近呈遞增狀，則，即，所以，故A錯誤；對于B，由選項A可得，由，得，而在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故B正確；對于C，由，得，而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在有兩個極值點，則在上有兩個極值點，故C正確；對于D，因為，所以點不是曲線y=fx的對稱中心，故D錯誤.故選：BC.10.已知，記數(shù)列的前項和為，且，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】因為，即，所以，，解得，故A正確；由此可得，，，，……所以當(dāng)為奇數(shù)時，為偶數(shù)，為奇數(shù)，所以，，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為2，所以，所以，所以，故B錯誤；當(dāng)為偶數(shù)時，為奇數(shù)，為偶數(shù)，則，，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為2，所以，所以，所以，故C正確；對于D，==，故D正確.故選：ACD.11.已知正方體的棱長為2，為棱的中點，則（）A.直線與所成的角為B.平面C.過點且與垂直的平面截正方體所得截面的面積為D.以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線的長度為【答案】BCD【解析】對于A，在正方體中，，故直線與所成的角即為直線與所成的角，即，在中，，則不為，A錯誤；對于B，連接，則，又平面平面,所以，平面，故平面，平面，故，同理可證，平面，故平面，B正確；對于C，由B可知平面，故過點且與垂直的平面截正方體所得截面與平面平行，設(shè)的重點為，依次連接，可得六邊形為正六邊形，而，平面，平面，故平面，同理可證平面，面，故面平面，即過點且與垂直的平面截正方體所得截面即為六邊形，邊長為，其面積為，C正確；對于D，過點P作的垂線，垂足為M，則M為的中點，且平面，設(shè)以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線上的點為K，則，平面，故，且，則以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線為平面上以M為圓心，以為半徑的圓弧，如圖：由于，故，則交線長度為，D正確，故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知點在拋物線：上，則點到拋物線的準(zhǔn)線的距離是______.【答案】【解析】由題意可得，即，故：，則拋物線的準(zhǔn)線方程為，故點到拋物線的準(zhǔn)線的距離為.故答案為：.13.已知，則______.【答案】【解析】由題意可得，所以，所以，故答案為：.14.已知點，點在曲線上，則（其中為坐標(biāo)原點）的最大值是______.【答案】【解析】由可知：，設(shè)，則，則，設(shè)，，則，所以為奇函數(shù)，時，時，時，故只需考察時情況；當(dāng)，因為，在都是單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞減，令，解得：，所以當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，所以的最大值為，即的最大值是,故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中，角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求證：；（2）若，，求的面積.（1）證明：在中，由余弦定理得，即，整理得，由正弦定理得，整理得，所以.（2）解：由（1）知，，由余弦定理得，即，解得，，所以的面積為.16.已知數(shù)列滿足，，記.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前項和.（1）證明：因為，所以數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列.（2）解：因為，所以，所以，所以，所以.17.如圖，在正三棱柱中，為棱的中點，.（1）證明：平面；（2）若直線到平面的距離等于，求平面與平面夾角的余弦值.（1）證明：連接交于點，則為的中點，連接∵為棱的中點∴又平面，平面，所以平面（2）解：（方法一）∵為棱的中點，∴直線到平面的距離即為點到平面的距離，∴點到平面的距離等于∴設(shè)，則，，，∴，∴∴過點作，則平面，如圖所示，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為m=則，即令，則，，所以平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為n=x則，即令，則，，所以平面的一個法向量，所以所以平面與平面夾角的余弦值為（2）（方法二）過點作，則平面，如圖所示，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，，，，所以，，，，，設(shè)平面的法向量為m=x則，即令，則，，所以平面的一個法向量，所以點到平面的距離，∴∴平面的一個法向量設(shè)平面的法向量為n=x則，即令，則，，所以平面的一個法向量，所以，所以，平面與平面夾角的余弦值為18.已知函數(shù)，.（1）討論函數(shù)零點的個數(shù)；（2）若，求的最大值.解：（1）因為，，當(dāng)時，，所以的零點個數(shù)為0；當(dāng)時，由得，令，則，當(dāng)或時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，；當(dāng)時，，，，作出的大致圖象，如圖，所以當(dāng)，即時，與的圖象沒有交點；當(dāng)，即時，與的圖象有3個交點；當(dāng)，即時，與的圖象有2個交點；當(dāng)，即時，與的圖象有1個交點；綜上，當(dāng)時，函數(shù)有0個零點；當(dāng)時，函數(shù)有1個零點；當(dāng)時，函數(shù)有2個零點；當(dāng)時，函數(shù)有3個零點.（2）因為，所以，因為，則，令，則，當(dāng)時，由與的性質(zhì)可知，當(dāng)時，，，所以不恒成立，不符合題意；當(dāng)時，，只需，所以；當(dāng)時，則當(dāng)時，h'x>0，此時h當(dāng)時，h'x<0，此時所以，即，所以，令，，則，易知當(dāng)時，φ'x>0，此時當(dāng)時，φ'x<0，此時所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時，，所以的最大值為.19.在平面直角坐標(biāo)系中，對于給定的點集，，若中的每個點在中都存在點使得兩點間的距離最小，且所有最小距離的最大值存在，則記此最大值為.已知橢圓：的離心率為，其短軸上的點的集合記為，橢圓上的點的集合記為，且.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓相切，且與圓：交于，兩點，線段上的點的集合記為，圓上的點的集合記為.①若點為圓上的一個動點，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求；②求值.解：（1）由題目條件，可得，又因為離心率為，所以，所以，，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)圓心到直線的距離為.①當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)的方程為，聯(lián)立消去得，由直線與橢圓相切，得，整理得，則，，，，即，則的面積為，設(shè)，，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；因此當(dāng)時，取得最大值432，此時的最大值為，當(dāng)直線的斜率不存在時，由（1）可知，直線的方程為，聯(lián)立，可求得，，由