條件異方差模型

條件異方差模型

§6.1自回歸條件異方差模型自回歸條件異方差(AutoregressiveConditionalHeteroscedasticityModel，ARCH)模型是特別用來建立條件方差模型并對其進(jìn)行預(yù)測的。ARCH模型是1982年由恩格爾(Engle,R.)提出，并由博勒斯萊文(Bollerslev,T.,1986)發(fā)展成為GARCH(GeneralizedARCH)——廣義自回歸條件異方差。這些模型被廣泛的應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)的各個領(lǐng)域。尤其在金融時間序列分析中。按照通常的想法，自相關(guān)的問題是時間序列數(shù)據(jù)所特有，而異方差性是橫截面數(shù)據(jù)的特點。但在時間序列數(shù)據(jù)中，會不會出現(xiàn)異方差呢？會是怎樣出現(xiàn)的？

第2頁,共103頁，星期六，2024年，5月

恩格爾和克拉格（Kraft,D.,1983）在分析宏觀數(shù)據(jù)時，發(fā)現(xiàn)這樣一些現(xiàn)象：時間序列模型中的擾動方差穩(wěn)定性比通常假設(shè)的要差。恩格爾的結(jié)論說明在分析通貨膨脹模型時，大的及小的預(yù)測誤差會大量出現(xiàn)，表明存在一種異方差，其中預(yù)測誤差的方差取決于后續(xù)擾動項的大小。

第3頁,共103頁，星期六，2024年，5月從事于股票價格、通貨膨脹率、外匯匯率等金融時間序列預(yù)測的研究工作者，曾發(fā)現(xiàn)他們對這些變量的預(yù)測能力隨時期的不同而有相當(dāng)大的變化。預(yù)測的誤差在某一時期里相對地小，而在某一時期里則相對地大，然后，在另一時期又是較小的。這種變異很可能由于金融市場的波動性易受謠言、政局變動、政府貨幣與財政政策變化等等的影響。從而說明預(yù)測誤差的方差中有某種相關(guān)性。為了刻畫這種相關(guān)性，恩格爾提出自回歸條件異方差(ARCH)模型。ARCH的主要思想是時刻

t的ut的方差(=

t2

)依賴于時刻(t

1)的擾動項平方的大小，即依賴于

?t2-1

。

第4頁,共103頁，星期六，2024年，5月

6.1.1ARCH模型

為了說得更具體，讓我們回到k-變量回歸模型：(6.1.1)

如果ut的均值為零，對yt取基于(t-1)時刻的信息的期望，即Et-1(yt)，有如下的關(guān)系：(6.1.2)由于yt的均值近似等于式（6.1.1）的估計值，所以式（6.1.1）也稱為均值方程。第5頁,共103頁，星期六，2024年，5月在這個模型中，變量yt的條件方差為

（6.1.3）其中：var(yt

Yt-1)表示基于(t-1)時刻的信息集合Yt-1={yt-1,yt-2,…,y1}的yt的條件方差，

假設(shè)在時刻

(t1)

所有信息已知的條件下，擾動項

ut的條件分布是：~(6.1.7)

也就是，ut遵循以0為均值，(

0+

1u2t-1)為方差的正態(tài)分布。第6頁,共103頁，星期六，2024年，5月

由于(6.1.7)中ut的方差依賴于前期的平方擾動項，我們稱它為ARCH(1)過程：通常用極大似然估計得到參數(shù)

0,

1,

2,

,

k,

0,

1的有效估計。

容易加以推廣，ARCH

(p)過程可以寫為：(6.1.8)這時方差方程中的(p+1)個參數(shù)

0,

1,

2,

,

p也要和回歸模型中的參數(shù)

0,

1,

2,

,

k一樣，利用極大似然估計法進(jìn)行估計。第7頁,共103頁，星期六，2024年，5月

如果擾動項方差中沒有自相關(guān)，就會有H0：這時

從而得到擾動項方差的同方差性情形。恩格爾曾表明，容易通過以下的回歸去檢驗上述虛擬假設(shè)：其中，?t表示從原始回歸模型（6.1.1）估計得到的OLS殘差。第8頁,共103頁，星期六，2024年，5月在ARCH(p)過程中，由于ut是隨機(jī)的，ut2不可能為負(fù)，所以對于{ut}的所有實現(xiàn)值，只有是正的，才是合理的。為使ut2協(xié)方差平穩(wěn)，所以進(jìn)一步要求相應(yīng)的特征方程（6.1.9）的根全部位于單位圓外。如果

i（i=1,2,…,p）都非負(fù)，式（6.1.9）等價于

1+

2+…+

p

1。第9頁,共103頁，星期六，2024年，5月6.1.2ARCH的檢驗

下面介紹檢驗一個模型的殘差是否含有ARCH效應(yīng)的兩種方法：ARCHLM檢驗和殘差平方相關(guān)圖檢驗。

1.ARCHLM檢驗Engle在1982年提出檢驗殘差序列中是否存在ARCH效應(yīng)的拉格朗日乘數(shù)檢驗（Lagrangemultipliertest），即ARCHLM檢驗。自回歸條件異方差性的這個特殊的設(shè)定，是由于人們發(fā)現(xiàn)在許多金融時間序列中，殘差的大小與最近的殘差值有關(guān)。ARCH本身不能使標(biāo)準(zhǔn)的OLS估計無效，但是，忽略ARCH影響可能導(dǎo)致有效性降低。第10頁,共103頁，星期六，2024年，5月ARCHLM檢驗統(tǒng)計量由一個輔助檢驗回歸計算。為檢驗原假設(shè)：殘差中直到q階都沒有ARCH，運(yùn)行如下回歸：

式中?t是殘差。這是一個對常數(shù)和直到q階的滯后平方殘差所作的回歸。這個檢驗回歸有兩個統(tǒng)計量：（1）F統(tǒng)計量是對所有殘差平方的滯后的聯(lián)合顯著性所作的一個省略變量檢驗；（2）T

R2統(tǒng)計量是Engle’sLM檢驗統(tǒng)計量，它是觀測值個數(shù)T乘以回歸檢驗的R2；第11頁,共103頁，星期六，2024年，5月普通回歸方程的ARCH檢驗都是在殘差檢驗下拉列表中進(jìn)行的，需要注意的是，只有使用最小二乘法、二階段最小二乘法和非線性最小二乘法估計的方程才有此項檢驗。Breusch-Pagan-GodfreyHarveyGlejserARCHWhiteCustomTestWizard…圖6.4普通方程的ARCH檢驗列表第12頁,共103頁，星期六，2024年，5月2.殘差平方相關(guān)圖

顯示直到所定義的滯后階數(shù)的殘差平方?t2的自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)，計算出相應(yīng)滯后階數(shù)的Ljung-Box統(tǒng)計量。殘差平方相關(guān)圖可以用來檢查殘差自回歸條件異方差性（ARCH）。如果殘差中不存在ARCH，在各階滯后自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)應(yīng)為0，且Q統(tǒng)計量應(yīng)不顯著?？蛇m用于LS，TSLS，非線性LS方程。在圖6.4中選擇ResidualsTests/CorrelogramSquaredResiduals項，它是對方程進(jìn)行殘差平方相關(guān)圖的檢驗。單擊該命令，會彈出一個輸入計算自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)的滯后階數(shù)設(shè)定的對話框，默認(rèn)的設(shè)定為36，單擊OK按鈕，得到檢驗結(jié)果。

第13頁,共103頁，星期六，2024年，5月

例6.1滬市股票價格指數(shù)波動的ARCH檢驗

為了檢驗股票價格指數(shù)的波動是否具有條件異方差性，本例選擇了滬市股票的收盤價格指數(shù)的日數(shù)據(jù)作為樣本序列，這是因為上海股票市場不僅開市早，市值高，對于各種沖擊的反應(yīng)較為敏感，因此，本例所分析的滬市股票價格波動具有一定代表性。在這個例子中，我們選擇的樣本序列{sp}是1996年1月1日至2006年12月31日的上海證券交易所每日股票價格收盤指數(shù)，為了減少舍入誤差，在估計時，對{sp}進(jìn)行自然對數(shù)處理，即將序列{ln(sp)}作為因變量進(jìn)行估計。第14頁,共103頁，星期六，2024年，5月

由于股票價格指數(shù)序列常常用一種特殊的單位根過程——隨機(jī)游動（RandomWalk）模型描述，所以本例進(jìn)行估計的基本形式為：(6.1.12)首先利用最小二乘法，估計了一個普通的回歸方程，結(jié)果如下：(6.1.13)(2.35)(951)

R2=0.997

第15頁,共103頁，星期六，2024年，5月

可以看出，這個方程的統(tǒng)計量很顯著，而且，擬合的程度也很好。但是需要檢驗這個方程的誤差項是否存在條件異方差性，。第16頁,共103頁，星期六，2024年，5月圖6.1

股票價格指數(shù)方程回歸殘差

觀察上圖，該回歸方程的殘差，我們可以注意到波動的“成群”現(xiàn)象：波動在一些較長的時間內(nèi)非常小，在其他一些較長的時間內(nèi)非常大，這說明殘差序列存在高階ARCH效應(yīng)。第17頁,共103頁，星期六，2024年，5月

因此，對式(6.1.26)進(jìn)行條件異方差的ARCHLM檢驗，得到了在滯后階數(shù)p=3時的ARCHLM檢驗結(jié)果如下。此處的P值為0，拒絕原假設(shè)，說明式（6.1.26）的殘差序列存在ARCH效應(yīng)?？梢杂嬎闶剑?.1.26）的殘差平方?t2的自相關(guān)（AC）和偏自相關(guān)（PAC）系數(shù)，結(jié)果說明式（6.1.26）的殘差序列存在ARCH效應(yīng)。第18頁,共103頁，星期六，2024年，5月

例6.2中國CPI模型的ARCH檢驗本例建立CPI模型，因變量為中國的消費(fèi)價格指數(shù)（上年同月=100）減去100，記為cpit；解釋變量選擇貨幣政策變量：狹義貨幣供應(yīng)量M1的增長率，記為m1rt；3年期貸款利率，記為Rt，樣本期間是1994年1月～2007年12月。由于是月度數(shù)據(jù)，利用X-12季節(jié)調(diào)整方法對cpit和m1rt進(jìn)行了調(diào)整，結(jié)果如下：

t=(19.5)(-5.17)(2.88)(-2.74)

R2=0.99對數(shù)似然值=-167.79AIC=2.045SC=2.12

第19頁,共103頁，星期六，2024年，5月這個方程的統(tǒng)計量很顯著，擬合的程度也很好。但是觀察該回歸方程的殘差圖，也可以注意到波動的“成群”現(xiàn)象：波動在一些時期內(nèi)較小，在其他一些時期內(nèi)較大，這說明誤差項可能具有條件異方差性。第20頁,共103頁，星期六，2024年，5月從自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)可以看出：殘差序列存在著一階ARCH效應(yīng)。再進(jìn)行條件異方差的ARCHLM檢驗，得到了在滯后階數(shù)p=1時的ARCHLM檢驗結(jié)果：

因此計算殘差平方?t2的自相關(guān)（AC）和偏自相關(guān)（PAC）系數(shù)，結(jié)果如下：

第21頁,共103頁，星期六，2024年，5月從自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)可以看出：殘差序列存在著一階ARCH效應(yīng)。因此利用ARCH(1)模型重新估計模型（6.1.14），結(jié)果如下：均值方程：

z=(12.53)(-1.53)(4.72)(-3.85)方差方程：

z=(5.03)(3.214)

R2=0.99對數(shù)似然值=-151.13AIC=1.87SC=1.98

方差方程中的ARCH項的系數(shù)是統(tǒng)計顯著的，并且對數(shù)似然值有所增加，同時AIC和SC值都變小了，這說明ARCH(1)模型能夠更好的擬合數(shù)據(jù)。第22頁,共103頁，星期六，2024年，5月再對這個方程進(jìn)行條件異方差的ARCHLM檢驗，得到了殘差序列在滯后階數(shù)p=1時的統(tǒng)計結(jié)果：此時的相伴概率為0.69，接受原假設(shè)，認(rèn)為該殘差序列不存在ARCH效應(yīng)，說明利用ARCH(1)模型消除了式（6.1.14）的殘差序列的條件異方差性。式（6.1.15）的殘差平方相關(guān)圖的檢驗結(jié)果為：自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)近似為0。這個結(jié)果也說明了殘差序列不再存在ARCH效應(yīng)。

第23頁,共103頁，星期六，2024年，5月

6.1.3

GARCH模型

擾動項ut的方差常常依賴于很多時刻之前的變化量（特別是在金融領(lǐng)域，采用日數(shù)據(jù)或周數(shù)據(jù)的應(yīng)用更是如此）。因此必須估計很多參數(shù)，而這一點很難精確的做到。但是如果我們能夠意識到方程(6.1.8)不過是

t2的分布滯后模型，我們就能夠用一個或兩個

t2的滯后值代替許多ut2的滯后值，這就是廣義自回歸條件異方差模型(generalizedautoregressiveconditionalheteroscedasticitymodel，簡記為GARCH模型)。在GARCH模型中，要考慮兩個不同的設(shè)定：一個是條件均值，另一個是條件方差。

第24頁,共103頁，星期六，2024年，5月在標(biāo)準(zhǔn)化的GARCH(1,1)模型中：均值方程：(6.1.17)方差方程：

(6.1.18)其中：xt是(k+1)×1維外生變量向量，

是(k+1)×1維系數(shù)向量。

(6.1.17)中給出的均值方程是一個帶有擾動項的外生變量函數(shù)。由于

t2是以前面信息為基礎(chǔ)的一期向前預(yù)測方差，所以它被稱作條件方差，式（6.1.18）也被稱作條件方差方程。第25頁,共103頁，星期六，2024年，5月

(6.1.18)中給出的條件方差方程是下面三項的函數(shù)：1．常數(shù)項（均值）：

2．用均值方程(6.1.11)的擾動項平方的滯后來度量從前期得到的波動性的信息：ut2-1（ARCH項）。3．上一期的預(yù)測方差：

t2-1

（GARCH項）。GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指階數(shù)為1的GARCH項（括號中的第一項）和階數(shù)為1的ARCH項（括號中的第二項）。一個普通的ARCH模型是GARCH模型的一個特例，GARCH(0,1)，即在條件方差方程中不存在滯后預(yù)測方差

t2-1的說明。

第26頁,共103頁，星期六，2024年，5月

在EViews中ARCH模型是在擾動項是條件正態(tài)分布的假定下，通過極大似然函數(shù)方法估計的。例如，對于GARCH(1,1)，t

時期的對數(shù)似然函數(shù)為：(6.1.19)

其中(6.1.20)

這個說明通?？梢栽诮鹑陬I(lǐng)域得到解釋，因為代理商或貿(mào)易商可以通過建立長期均值的加權(quán)平均（常數(shù)），上期的預(yù)期方差（GARCH項）和在以前各期中觀測到的關(guān)于變動性的信息（ARCH項）來預(yù)測本期的方差。如果上升或下降的資產(chǎn)收益出乎意料地大，那么貿(mào)易商將會增加對下期方差的預(yù)期。這個模型還包括了經(jīng)常可以在財務(wù)收益數(shù)據(jù)中看到的變動組，在這些數(shù)據(jù)中，收益的巨大變化可能伴隨著更進(jìn)一步的巨大變化。第27頁,共103頁，星期六，2024年，5月

有兩個可供選擇的方差方程的描述可以幫助解釋這個模型：1．如果我們用條件方差的滯后遞歸地替代（6.1.18）式的右端，就可以將條件方差表示為滯后擾動項平方的加權(quán)平均：

（6.1.21）我們看到GARCH(1,1)方差說明與樣本方差類似，但是，它包含了在更大滯后階數(shù)上的，擾動項的加權(quán)條件方差。第28頁,共103頁，星期六，2024年，5月

2．設(shè)vt=ut2

t2。用其替代方差方程（6.1.18）中的方差并整理，得到關(guān)于擾動項平方的模型：

（6.1.22）因此，擾動項平方服從一個異方差A(yù)RMA(1,1)過程。決定波動沖擊持久性的自回歸的根是

加

的和。在很多情況下，這個根非常接近1，所以沖擊會逐漸減弱。第29頁,共103頁，星期六，2024年，5月

方差方程的回歸因子

方程(6.1.18)可以擴(kuò)展成包含外生的或前定回歸因子z的方差方程：

（6.1.23）注意到從這個模型中得到的預(yù)測方差不能保證是正的?？梢砸氲竭@樣一些形式的回歸算子，它們總是正的，從而將產(chǎn)生負(fù)的預(yù)測值的可能性降到最小。例如，我們可以要求：第30頁,共103頁，星期六，2024年，5月

高階GARCH(p,q)模型

高階GARCH模型可以通過選擇大于1的p或q得到估計，記作GARCH(q,p)。其方差表示為：（6.1.24）

這里，q是GARCH項的階數(shù)，p是ARCH項的階數(shù)，p>0并且,

(L)和

(L)是滯后算子多項式。

第31頁,共103頁，星期六，2024年，5月為了使GARCH(q,p)模型的條件方差有明確的定義，相應(yīng)的ARCH(∞)模型（6.1.25）的所有系數(shù)都必須是正數(shù)。只要

(L)和

(L)沒有相同的根并且

(L)的根全部位于單位圓外，那么當(dāng)且僅當(dāng)

0=

0/(1-

(L))，

(L)=

(L)/(1-

(L))的所有系數(shù)都非負(fù)時，這個正數(shù)限定條件才會滿足。例如，對于GARCH(1,1)模型

（6.1.26）這些條件要求所有的3個參數(shù)都是非負(fù)數(shù)。第32頁,共103頁，星期六，2024年，5月6.1.4IGARCH模型如果限定GARCH模型的方差方程中的參數(shù)和等于1，并且去掉常數(shù)項：（6.1.27）其中（6.1.28）這就是Engle和Bollerslev（1986）首先提出的單整GARCH模型（IntergratedGARCHModel，IGARCH）。第33頁,共103頁，星期六，2024年，5月6.1.5約束及回推1．約束在估計一個GARCH模型時，有兩種方式對GARCH模型的參數(shù)進(jìn)行約束（restrictions）。一個選擇是IGARCH方法，它將模型的方差方程中的所有參數(shù)之和限定為1。另一個就是方差目標(biāo)（variancetarget）方法，它把方差方程（6.1.24）中的常數(shù)項設(shè)定為GARCH模型的參數(shù)和無條件方差的方程：（6.1.29）這里的是殘差的無條件方差。第34頁,共103頁，星期六，2024年，5月2．回推在計算GARCH模型的回推初始方差時，首先用系數(shù)值來計算均值方程中的殘差，然后計算初始值的指數(shù)平滑算子（6.1.30）其中：?t

是來自均值方程的殘差，是無條件方差的估計：（6.1.31）平滑參數(shù)

為0.1至1之間的數(shù)值。也可以使用無條件方差來初始化GARCH過程：（6.1.32）第35頁,共103頁，星期六，2024年，5月6.1.6GARCH模型的殘差分布假設(shè)在實踐中我們注意到，許多時間序列，特別是金融時間序列的無條件分布往往具有比正態(tài)分布更寬的尾部。為了更精確地描述這些時間序列分布的尾部特征，還需要對誤差項ut的分布進(jìn)行假設(shè)。GARCH模型中的擾動項的分布，一般會有3個假設(shè)：正態(tài)（高斯）分布、學(xué)生t-分布和廣義誤差分布（GED）。給定一個分布假設(shè)，GARCH模型常常使用極大似然估計法進(jìn)行估計。下面分別介紹這3種分布，其中的

代表參數(shù)向量。1．對于擾動項服從正態(tài)分布的GARCH(1,1)模型，它的對數(shù)似然函數(shù)為（6.1.33）這里的

t2是ut的條件方差。第36頁,共103頁，星期六，2024年，5月2．如果擾動項服從學(xué)生t分布，GARCH(1,1)模型的對數(shù)似然函數(shù)的形式就是

（6.1.34）這樣，參數(shù)的估計就變成了在自由度k>2的約束下使對數(shù)似然函數(shù)（6.1.34）最大化的問題。當(dāng)k

時，學(xué)生t-分布接近于正態(tài)分布。[注]式（6.1.34）和（6.1.35）中的

(

)代表

函數(shù)：若N是偶整數(shù)，則

(N/2)=1

2

3

…

[(N/2)-1]，有

(2/2)=1；若N是奇整數(shù)，則，有。第37頁,共103頁，星期六，2024年，5月3．?dāng)_動項的分布為廣義誤差分布（GED）時，GARCH(1,1)模型的對數(shù)似然函數(shù)的形式為

（6.1.35）這里的參數(shù)r>0。如果r=2，那么GED就是一個正態(tài)分布。第38頁,共103頁，星期六，2024年，5月6.1.7

ARCH-M模型金融理論表明具有較高可觀測到風(fēng)險的資產(chǎn)可以獲得更高的平均收益，其原因在于人們一般認(rèn)為金融資產(chǎn)的收益應(yīng)當(dāng)與其風(fēng)險成正比，風(fēng)險越大，預(yù)期的收益就越高。這種利用條件方差表示預(yù)期風(fēng)險的模型被稱為ARCH均值模型(ARCH-in-mean)或ARCH-M回歸模型。在ARCH-M中我們把條件方差引進(jìn)到均值方程中:（6.1.38）ARCH-M模型的另一種不同形式是將條件方差換成條件標(biāo)準(zhǔn)差：（6.1.41）

或取對數(shù)

（6.1.42）

第39頁,共103頁，星期六，2024年，5月ARCH-M模型通常用于關(guān)于資產(chǎn)的預(yù)期收益與預(yù)期風(fēng)險緊密相關(guān)的金融領(lǐng)域。預(yù)期風(fēng)險的估計系數(shù)是風(fēng)險收益交易的度量。例如，我們可以認(rèn)為某股票指數(shù)，如上證的股票指數(shù)的收益率（returet）依賴于一個常數(shù)項及條件方差(風(fēng)險)：

這種類型的模型（其中期望風(fēng)險用條件方差表示）就稱為GARCH-M模型。第40頁,共103頁，星期六，2024年，5月在EViews中估計ARCH模型

估計GARCH和ARCH模型，首先選擇Object/NewObject/Equation，然后在Method的下拉菜單中選擇ARCH，得到如下的對話框。圖6.5ARCH模型定義對話框第41頁,共103頁，星期六，2024年，5月

與選擇估計方法和樣本一樣，需要指定均值方程和方差方程。

一、均值方程(Meanequation)

在因變量編輯欄中輸入均值方程形式，均值方程的形式可以用回歸列表形式列出因變量及解釋變量。如果方程包含常數(shù)，可在列表中加入C。如果需要一個更復(fù)雜的均值方程，可以用公式的形式輸入均值方程。

第42頁,共103頁，星期六，2024年，5月如果解釋變量的表達(dá)式中含有ARCH—M項，就需要點擊對話框右上方對應(yīng)的按鈕。EViews中的ARCH-M的下拉框中，有4個選項：1.選項None表示方程中不含有ARCH?M項；2.選項Std.Dev.表示在方程中加入條件標(biāo)準(zhǔn)差

；3.選項Variance則表示在方程中含有條件方差

2。

4.選項Log(Var)，表示在均值方程中加入條件方差的對數(shù)ln(

2)作為解釋變量。

第43頁,共103頁，星期六，2024年，5月

二、方差設(shè)定和分布設(shè)定(Varianceanddistributionspecification)

EViews的選擇模型類型列表

(1)在下拉列表中可以選擇所要估計的ARCH模型的類型。第44頁,共103頁，星期六，2024年，5月設(shè)定了模型形式以后，就可以選擇ARCH項和GARCH項的階數(shù)。缺省的形式為包含一階ARCH項和一階GARCH項的模型，這是現(xiàn)在最普遍的設(shè)定。如果估計一個非對稱的模型，就應(yīng)該在Threshold編輯欄中輸入非對稱項的數(shù)目，缺省的設(shè)置是不估計非對稱的模型，即該選項的個數(shù)為0?？梢怨烙嫼卸鄠€非對稱項的非對稱模型。這里需要注意，EViews只能估計ComponentARCH(1,1)模型，也就是說如果選擇該項，則不能再選擇ARCH項和GARCH項的階數(shù)，但可以通過選擇包含非對稱項來估計非對稱ComponentARCH模型，但該模型也只能包含一個非對稱項。第45頁,共103頁，星期六，2024年，5月（2）在Variance欄中，可以根據(jù)需要列出包含在方差方程中的外生變量。由于EViews在進(jìn)行方差回歸時總會包含一個常數(shù)項作為解釋變量，所以不必在變量表中列出C。（3）約束（Restriction）下拉列表則允許我們進(jìn)行IGARCH約束或者方差目標(biāo)（variancetarget）約束，當(dāng)然也可以不進(jìn)行任何約束（None）。第46頁,共103頁，星期六，2024年，5月

(4)Error組合框可以設(shè)定誤差的分布形式：缺省的形式：Normal（Gaussian），備選的選項有：Student’s-t；GeneralizedError（GED）；Student’s-twithfixeddf.；GEDwithfixedparameter。需要注意，選擇了后兩個選項的任何一項都會彈出一個選擇框，需要在這個選擇框中分別為這兩個分布的固定參數(shù)設(shè)定一個值。第47頁,共103頁，星期六，2024年，5月

三、估計選項（Options）

EViews為我們提供了可以進(jìn)入許多估計方法的設(shè)置。只要點擊Options按鈕并按要求填寫對話即可。

第48頁,共103頁，星期六，2024年，5月

1.回推(Backcasting)

在缺省的情況下，MA初始的擾動項和GARCH項中要求的初始預(yù)測方差都是用回推方法來確定初始值的。如果不選擇回推算法，EViews會設(shè)置殘差為零來初始化MA過程，用無條件方差來設(shè)置初始化的方差和殘差值。但是經(jīng)驗告訴我們，使用回推指數(shù)平滑算法通常比使用無條件方差來初始化GARCH模型的效果要理想。

第49頁,共103頁，星期六，2024年，5月2.系數(shù)協(xié)方差(CoefficientCovariance)

點擊HeteroskedasticityConsistentCovariances計算極大似然（QML）協(xié)方差和標(biāo)準(zhǔn)誤差。如果懷疑殘差不服從條件正態(tài)分布，就應(yīng)該使用這個選項。只有選定這一選項，協(xié)方差的估計才可能是一致的，才可能產(chǎn)生正確的標(biāo)準(zhǔn)差。注意如果選擇該項，參數(shù)估計將是不變的，改變的只是協(xié)方差矩陣。第50頁,共103頁，星期六，2024年，5月

3.導(dǎo)數(shù)方法(Derivatives)

EViews現(xiàn)在用數(shù)值導(dǎo)數(shù)方法來估計ARCH模型。在計算導(dǎo)數(shù)的時候，可以控制這種方法達(dá)到更快的速度（較大的步長計算）或者更高的精確性（較小的步長計算）。

4.迭代估計控制(Iterativeprocess)

當(dāng)用默認(rèn)的設(shè)置進(jìn)行估計不收斂時，可以通過改變初值、增加迭代的最大次數(shù)或者調(diào)整收斂準(zhǔn)則來進(jìn)行迭代控制。

5．算法選擇

(Optimizationalgorithm)

ARCH模型的似然函數(shù)不總是正規(guī)的，所以這時可以利用選擇迭代算法（Marquardt、BHHH/高斯-牛頓）使其達(dá)到收斂。第51頁,共103頁，星期六，2024年，5月例6.3滬市股票價格指數(shù)波動的GARCH模型

在例6.1中，檢驗了方程（6.1.13）含有ARCH效應(yīng)。因此利用GARCH(1，1)模型重新估計式（6.1.12），結(jié)果如下：第52頁,共103頁，星期六，2024年，5月

ARCH估計的結(jié)果可以分為兩部分：上半部分提供了均值方程的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)果；下半部分，即方差方程包括系數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)誤差，z-統(tǒng)計量和方差方程系數(shù)的P值。在方程(6.1.12)中ARCH的參數(shù)對應(yīng)于

，GARCH的參數(shù)對應(yīng)于

。在表的底部是一組標(biāo)準(zhǔn)的回歸統(tǒng)計量，使用的殘差來自于均值方程。

注意如果在均值方程中不存在回歸量，那么這些標(biāo)準(zhǔn)回歸統(tǒng)計量，例如R2也就沒有意義了。

第53頁,共103頁，星期六，2024年，5月利用GARCH(1,1)模型重新估計例6.1的方程如下：

均值方程：

(2.74)(1480)方差方程：

(13.49)(17.69)(75.61)R2=0.997

第54頁,共103頁，星期六，2024年，5月

方差方程中的ARCH項和GARCH項的系數(shù)都是統(tǒng)計顯著的，說明這個模型能夠更好的擬合數(shù)據(jù)。再對這個方程進(jìn)行條件異方差的ARCH—LM檢驗，取滯后階數(shù)p=3。結(jié)果統(tǒng)計量的相伴概率為P=0.927，說明利用GARCH模型消除了原殘差序列的異方差效應(yīng)。ARCH項和GARCH項的系數(shù)和小于1，滿足參數(shù)約束條件。第55頁,共103頁，星期六，2024年，5月

利用GARCH(0,1)模型重新估計例6.2的中國CPI模型

均值方程：

(12.53)(-1.53)(4.72)(-3.85)方差方程：

(5.03)(3.21)R2=0.997

第56頁,共103頁，星期六，2024年，5月方差方程中的ARCH項的系數(shù)是統(tǒng)計顯著的，并且對數(shù)似然值有所增加，同時AIC和SC值都變小了，這說明ARCH(1)模型能夠更好的擬合數(shù)據(jù)。再對這個方程進(jìn)行異方差的ARCHLM檢驗，得到的殘差序列在滯后階數(shù)p=1時的統(tǒng)計結(jié)果：

接受原假設(shè)，認(rèn)為該殘差序列不存在ARCH效應(yīng)，說明利用ARCH(1)模型消除了殘差序列的條件異方差性。第57頁,共103頁，星期六，2024年，5月殘差平方相關(guān)圖的檢驗結(jié)果為：

自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)近似為0。這個結(jié)果也說明了殘差序列不再存在ARCH效應(yīng)。

第58頁,共103頁，星期六，2024年，5月

例6.4

估計我國股票收益率的ARCH—M模型選擇的時間序列是1996年1月1日至2006年12月31日的上海證券交易所每日股票價格收盤指數(shù){sp}，股票的收益率是根據(jù)公式：re

ln(spt/spt-1)，即股票價格收盤指數(shù)對數(shù)的差分計算出來的。ARCH-M模型：re

+

t+ut

第59頁,共103頁，星期六，2024年，5月第60頁,共103頁，星期六，2024年，5月估計出的結(jié)果寫成方程:均值方程:(-2.5)(2.9)方差方程:(12.46)(18.38)(74.8)

對數(shù)似然值=8126AIC=-5.66SC=-5.65

在收益率方程中包括

t

的原因是為了在收益率的生成過程中融入風(fēng)險測量，這是許多資產(chǎn)定價理論模型的基礎(chǔ)——“均值方程假設(shè)”的含義。在這個假設(shè)下，

應(yīng)該是正數(shù)，結(jié)果

=0.21，因此我們預(yù)期較大值的條件標(biāo)準(zhǔn)差與高收益率相聯(lián)系。估計出的方程的所有系數(shù)都很顯著。并且方差方程系數(shù)

+

之和小于1，滿足平穩(wěn)條件。均值方程中

t

的系數(shù)為0.21，表明當(dāng)市場中的預(yù)期風(fēng)險增加一個百分點時，就會導(dǎo)致收益率也相應(yīng)的增加0.21個百分點。

第61頁,共103頁，星期六，2024年，5月ARCH模型的視圖與過程

一旦模型被估計出來，EViews會提供各種視圖和過程進(jìn)行推理和診斷檢驗。

一、ARCH模型的視圖

1.Actual,Fitted,Residual

窗口列示了各種殘差形式，例如，表格，圖形和標(biāo)準(zhǔn)殘差。

2.條件SD圖

顯示了在樣本中對每個觀測值繪制向前一步的標(biāo)準(zhǔn)偏差

t。t

時期的觀察值是由t-1期可得到的信息得出的預(yù)測值。

第62頁,共103頁，星期六，2024年，5月

3.協(xié)方差矩陣

顯示了估計的系數(shù)協(xié)方差矩陣。大多數(shù)ARCH模型（ARCH—M模型除外）的矩陣都是分塊對角的，因此均值系數(shù)和方差系數(shù)之間的協(xié)方差就十分接近零。如果在均值方程中包含常數(shù)，那么在協(xié)方差矩陣中就存在兩個C；第一個C是均值方程的常數(shù)，第二個C是方差方程的常數(shù)。

4.

系數(shù)檢驗

對估計出的系數(shù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)檢驗。第63頁,共103頁，星期六，2024年，5月

5.殘差檢驗/相關(guān)圖-Q-統(tǒng)計量

顯示了標(biāo)準(zhǔn)殘差的相關(guān)圖（自相關(guān)和偏自相關(guān)）。這個窗口可以用于檢驗均值方程中的剩余的序列相關(guān)性和檢查均值方程的設(shè)定。如果均值方程是被正確設(shè)定的，那么所有的Q—統(tǒng)計量都不顯著。

第64頁,共103頁，星期六，2024年，5月二、ARCH模型的過程

1．構(gòu)造殘差序列

將殘差以序列的名義保存在工作文件中，可以選擇保存普通殘差

ut或標(biāo)準(zhǔn)殘差

ut/

t

。殘差將被命名為RESID1，RESID2等等?？梢渣c擊序列窗口中的name按鈕來重新命名序列殘差。

2．構(gòu)造GARCH方差序列

將條件方差

t2以序列的名義保存在工作文件中。條件方差序列可以被命名為GARCH1，GARCH2等等。取平方根得到如View/ConditionalSDGragh所示的條件標(biāo)準(zhǔn)偏差。第65頁,共103頁，星期六，2024年，5月

3．預(yù)測

例3

假設(shè)我們估計出了如下的ARCH(3)(采用Marquardt方法)模型：(留下2001年11月—2001年12月的2個月做檢驗性數(shù)據(jù))第66頁,共103頁，星期六，2024年，5月

使用估計的ARCH模型可以計算因變量的靜態(tài)的和動態(tài)的預(yù)測值，和它的預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)誤差和條件方差。為了在工作文件中保存預(yù)測值，要在相應(yīng)的對話欄中輸入名字。如果選擇了Dogragh選項EViews就會顯示預(yù)測值圖和兩個標(biāo)準(zhǔn)偏差的帶狀圖。第67頁,共103頁，星期六，2024年，5月

估計期間是1/02/1995-10/30/2001，預(yù)測期間是11/01/2001-12/31/2001左圖表示了由均值方程和SP的預(yù)測值的兩個標(biāo)準(zhǔn)偏差帶。第68頁,共103頁，星期六，2024年，5月第69頁,共103頁，星期六，2024年，5月§6.2非對稱ARCH模型

在資本市場中，經(jīng)?？梢园l(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：資產(chǎn)的向下運(yùn)動通常伴隨著比之程度更強(qiáng)的向上運(yùn)動。為了解釋這一現(xiàn)象，Engle和Ng（1993）繪制了好消息和壞消息的非對稱信息曲線，波動性

0

信息第70頁,共103頁，星期六，2024年，5月資本市場中的沖擊常常表現(xiàn)出一種非對稱效應(yīng)。這種非對稱性是十分有用的，因為它允許波動率對市場下跌的反應(yīng)比對市場上升的反應(yīng)更加迅速，因此被稱為“杠桿效應(yīng)”，是許多金融資產(chǎn)的一個重要事實特征。例如，許多研究人員發(fā)現(xiàn)了股票價格行為的非對稱實例——負(fù)的沖擊似乎比正的沖擊更容易增加波動。本節(jié)將介紹2種能夠描述這種非對稱沖擊的模型：TARCH模型和EGARCH模型。第71頁,共103頁，星期六，2024年，5月6.2.1TARCH模型

TARCH或者門限(Threshold)ARCH模型由Zakoian(1990)和Glosten，Jafanathan，Runkle(1993)獨立的引入。條件方差指定為：(6.2.1)其中，dt-1是虛擬變量：當(dāng)ut-1<0時，dt-1=1；否則，dt-1=0。

在這個模型中，好消息(ut>0)和壞消息(ut<0)對條件方差有不同的影響：好消息有一個

的沖擊；壞消息有一個對+

的沖擊。如果

0，則信息是非對稱的，如果

>0

，我們說存在杠桿效應(yīng)，非對稱效應(yīng)的主要效果是使得波動加大；如果

<0

，則非對稱效應(yīng)的作用是使得波動減小。第72頁,共103頁，星期六，2024年，5月許多研究人員發(fā)現(xiàn)了股票價格行為的非對稱的實例。負(fù)的沖擊似乎比正的沖擊更容易增加波動。因為較低的股價減少了相對公司債務(wù)的股東權(quán)益，股價的大幅下降增加了公司的杠桿作用從而提高了持有股票的風(fēng)險。估計TARCH模型，EViews要在Threshold選項中填“1”，表明有1個非對稱項，可以有多個。第73頁,共103頁，星期六，2024年，5月

對于高階TARCH模型的制定，EViews將其估計為：

(6.2.2)第74頁,共103頁，星期六，2024年，5月例6.5

中國CPI的TARCH模型本例利用例6.2的我國消費(fèi)價格指數(shù)CPI和貨幣政策變量數(shù)據(jù)建立TARCH模型:均值方程：方差方程：

第75頁,共103頁，星期六，2024年，5月估計結(jié)果如下：第76頁,共103頁，星期六，2024年，5月寫成方程：均值方程：

z=(13.14)(-2.59)(3.67)(-2.77)方差方程：

z=(8.14)(2.55)(-1.87)

R2=0.99

對數(shù)似然值=-150.27AIC=1.87SC=2.0第77頁,共103頁，星期六，2024年，5月在TARCH模型中，非對稱效應(yīng)項的系數(shù)

顯著不等于零，說明本例的CPI波動具有非對稱效應(yīng)。ut-1

>0是“好消息”，此時CPI大于貨幣政策的擬合值；ut-1<0是“壞消息”，此時CPI小于貨幣政策的擬合值。由于

=

0.568，小于零，說明“好消息”能比“壞消息”產(chǎn)生更大的波動。當(dāng)出現(xiàn)“好消息”時，ut-1

>0，則dt-1

0，所以該沖擊會給CPI帶來一個

=0.69倍的沖擊。而出現(xiàn)“壞消息”時，ut-1<0，此時dt-1

1，則“壞消息”僅會帶來一個

=0.69+(-0.568)=0.122倍的沖擊。由于非對稱效應(yīng)項的系數(shù)

是負(fù)數(shù)，因此所帶來的沖擊是減少CPI的波動，表明貨幣政策的實施能夠減少價格的波動。第78頁,共103頁，星期六，2024年，5月6.2.2EGARCH模型

EGARCH或指數(shù)（Exponential）GARCH模型由納爾什（Nelson，1991）提出。條件方差被指定為：(6.2.3)等式左邊是條件方差的對數(shù)，這意味著杠桿影響是指數(shù)的，而不是二次的，所以條件方差的預(yù)測值一定是非負(fù)的。杠桿效應(yīng)的存在能夠通過<0的假設(shè)得到檢驗。當(dāng)<0時，好消息(ut

>0)和壞消息(ut

<0)對條件方差有不同的影響：好消息有一個+

的沖擊；壞消息有一個對+(-1)

的沖擊。如果

0，則信息是非對稱的。第79頁,共103頁，星期六，2024年，5月EViews指定了更高階的EGARCH模型：(6.2.4)

估計EGARCH模型只要選擇ARCH指定設(shè)置下的EGARCH項即可?？死锼雇?Christie，1982)的研究認(rèn)為，當(dāng)股票價格下降時，資本結(jié)構(gòu)當(dāng)中附加在債務(wù)上的權(quán)重增加，如果債務(wù)權(quán)重增加的消息泄漏以后，資產(chǎn)持有者和購買者就會產(chǎn)生未來資產(chǎn)收益率將導(dǎo)致更高波動性的預(yù)期，從而導(dǎo)致該資產(chǎn)的股票價格波動。因此，對于股價反向沖擊所產(chǎn)生的波動性，大于等量正向沖擊產(chǎn)生的波動性，這種“利空消息”作用大于“利好消息”作用的非對稱性，在美國等國家的一些股價指數(shù)序列當(dāng)中得到驗證。第80頁,共103頁，星期六，2024年，5月6.2.3PARCH模型Taylor（1986）和Schwert（1989）介紹了標(biāo)準(zhǔn)差的GARCH模型。這個模型模擬的不是方差，而是標(biāo)準(zhǔn)差。這樣，大幅沖擊對條件方差的影響比在標(biāo)準(zhǔn)GARCH模型中要小?；谶@種思想，Dingetal.(1993)對該模型進(jìn)一步加以拓展，提出了PARCH（powerARCH）模型。該模型指定的條件方差方程的形式為（6.2.6）其中：

＞0，當(dāng)i=1,2,…,r時|

i|≤1，當(dāng)i＞r時，

i=0,r≤p。第81頁,共103頁，星期六，2024年，5月在PARCH模型中，標(biāo)準(zhǔn)差的冪參數(shù)

是估計的，而不是指定的，用來評價沖擊對條件方差的影響幅度；而

是捕捉直到r階的非對稱效應(yīng)的參數(shù)。在對稱的PARCH模型中，對于所有的i，

i=0。需要注意，如果對于所有的i，

=2且

i=0，PARCH模型就退化為一個標(biāo)準(zhǔn)的GARCH模型。和前面介紹的非對稱模型一樣，只要

i

0，非對稱效應(yīng)就會出現(xiàn)。第82頁,共103頁，星期六，2024年，5月

例6.6股票價格波動的TARCH模型和EGARCH模型

那么在我國的股票市場運(yùn)行過程當(dāng)中，是否也存在股票價格波動的非對稱性呢？利用滬市1996年1月1日至2006年12月31日的股票收盤價格指數(shù)數(shù)據(jù)，我們估計了股票價格波動的兩種非對稱模型，結(jié)果分別如下：

①TARCH模型：均值方程：

(3.5)(1598)

方差方程：(13.75)(12.41)(2.02)(72.97)

R2=0.997AIC=-5.66SC=-5.65第83頁,共103頁，星期六，2024年，5月第84頁,共103頁，星期六，2024年，5月

杠桿效應(yīng)項

由結(jié)果中的RESID(-1)^2(RESID(-1)<0)描述，它是顯著為正的，所以存在非對稱影響。在TARCH模型中，杠桿效應(yīng)項的系數(shù)顯著大于零，說明股票價格的波動具有“杠桿”效應(yīng)：利空消息能比等量的利好消息產(chǎn)生更大的波動：當(dāng)出現(xiàn)“利好消息”時，即當(dāng)?t0時，有一個

的沖擊；而出現(xiàn)“利空消息”時，即當(dāng)?t0時，則會帶來

的沖擊。TARCH模型:第85頁,共103頁，星期六，2024年，5月②EGARCH模型：均值方程：(8.4)(2525.4)

方差方程：

(-17.3)(27.68)(-3.6)(678.02)

R2=0.997AIC=-5.22SC=-5.2

第86頁,共103頁，星期六，2024年，5月第87頁,共103頁，星期六，2024年，5月

這個例子中，利空消息能比等量的利好消息產(chǎn)生更大的波動的結(jié)果在EGARCH模型中也能夠得到印證，在EGARCH模型中，，其非對稱項

的系數(shù)小于零，。當(dāng)?t0時，有一個

倍的沖擊；

當(dāng)?t

0時，有一個

倍沖擊。

此例中

是負(fù)的并在統(tǒng)計上是顯著的，這表明在樣本期間滬市的股票收盤價格指數(shù)中存在杠桿效應(yīng)。EGARCH模型:第88頁,共103頁，星期六，2024年，5月

③PARCH模型：均值方程：(2.68)(1417.7)

方差方程：

(1.38)(15.86)(-2.07)(57.84)

R2=0.997AIC=-5.66SC=-5.64

第89頁,共103頁，星期六，2024年，5月第90頁,共103頁，星期六，2024年，5月

這個例子中，利空消息能比等量的利好消息產(chǎn)生更大的波動的結(jié)果在PARCH模型中也能夠得到印證，在PARCH模型中，，其非對稱項

的系數(shù)。當(dāng)?t0時，有一個

倍的沖擊；

當(dāng)?t

0時，有一個

倍沖擊。

此例中

是正的并在統(tǒng)計上是顯著的，這表明在樣本期間滬市的股票收盤價格指數(shù)中存在杠桿效應(yīng)。PARCH模型:第91頁,共103頁，星期六，2024年，5月以估計出的EARCH模型的結(jié)果為例，可以繪制出相應(yīng)的信息曲線。在EGARCH模型的條件方差方程中（6.2.7）假設(shè)殘差ut服從條件正態(tài)分布。設(shè)（6.2.8）令zt

=ut

/

t，則（6.2.9）函數(shù)f(

)稱為“信息沖擊曲線”，f(

)包含了非對稱效應(yīng)，就是在沖擊ut

/

t下的描繪波動率

t2的曲線。

第92頁,共103頁，星期六，2024年，5月圖6.3滬市的股票價格收盤指數(shù)的信息沖擊曲線從圖6.3可以看出，這條曲線在信息沖擊小于0時，也就是代表負(fù)沖擊時，比較陡峭，而在正沖擊時則比較平緩。這就說明了負(fù)沖擊使得波動性的變化更大一些。

第93頁,共103頁，星期六，2024年，5月§6.3成分ARCH模型(ComponentARCHModel)

GARCH(1,1)模型將條件方差設(shè)定為：(6.3.1)令其中

是非條件方差或長期波動率，(6.3.1)變?yōu)椋?6.3.2)

表示了均值趨近于

，這個

在所有時期都為常數(shù)。

第94頁,共103頁，星期六，2024年，5月

成分ARCH模型允許均值趨近于一個變動的水平qt：

暫時成分: