2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-多選題加練（一）函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【含答案】

多選題加練(一)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用1.(2024·無錫模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x＋2)為奇函數(shù)，f(2x＋1)為偶函數(shù)，則()A.f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱 B.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對稱C.f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱 D.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2，0)對稱2.(2024·長沙模擬)已知不恒為0的函數(shù)f(x)，滿足?x，y∈R都有f(x)＋f(y)＝2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x－y,2)))，則()A.f(0)＝0 B.f(0)＝1C.f(x)為奇函數(shù) D.f(x)為偶函數(shù)3.若定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)在(4，＋∞)上單調(diào)遞減，且函數(shù)y＝f(x＋4)為偶函數(shù)，則()A.f(2)>f(3) B.f(2)＝f(6)C.f(3)＝f(5) D.f(3)>f(6)4.(2024·杭州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，f(x＋2)＝f(－x)且f(1)＝2，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則()A.f(2025)＝2 B.f′(x)的周期是4C.f′(x)是偶函數(shù) D.f′(1)＝15.(2024·遼寧大聯(lián)考)若f(x)，g(x)，h(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)，則下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()A.y＝f(h(x))g(x) B.y＝f(g(x))＋h(x)C.y＝f(g(x))h(x) D.y＝f(x)|g(x)|h(x)6.(2024·淮安模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x＋1)是奇函數(shù)，g(x)＝(1－x)f(x)，函數(shù)g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則下列命題為真命題的是()A.f(－x－1)＝－f(x＋1) B.函數(shù)g(x)在(－∞，1]上遞減C.若a<2－b<1，則g(1)<g(b)<g(a) D.若g(a)>g(a＋1)，則a<eq\f(1,2)7.(2024·威海模擬)已知函數(shù)f(x)及其導(dǎo)函數(shù)f′(x)的定義域均為R，記g(x)＝f′(x)，若f(x＋2)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，則()A.f(x)＝f(4－x) B.g(x)＝－g(4－x)C.f(x)＝－f(x＋4) D.g(x)＝g(x＋4)8.(2024·重慶模擬)已知R上的偶函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－1，0]上單調(diào)遞增，且恒有f(1－x)＋f(1＋x)＝0成立，則下列說法正確的是()A.f(x)在[1，2]上是增函數(shù) B.f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對稱C.函數(shù)f(x)在x＝2處取得最小值 D.函數(shù)y＝f(x)沒有最大值9.(2024·河北名校聯(lián)考)函數(shù)f(x)與g(x)的定義域?yàn)镽，且f(x)g(x＋2)＝4，f(x)g(－x)＝4.若f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，2)的對稱.則()A.f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－1對稱 B.eq\o(∑,\s\up6(2024),\s\do4(k＝1))f(k)＝2048C.g(x)的一個周期為4 D.g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，2)對稱10.(2024·臨汾模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)＝(ax－x2)(x2＋bx＋4)滿足f(4－x)－f(x)＝0，則下列說法正確的是()A.函數(shù)f(2－x)是奇函數(shù) B.函數(shù)f(3x＋2)是偶函數(shù)C.函數(shù)f(sin(x＋2))是周期函數(shù) D.若函數(shù)f(x)有4個零點(diǎn)，則函數(shù)f(x)的最大值為多選題加練(一)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用1．AD[因?yàn)閒(x＋2)為奇函數(shù)，所以f(x＋2)＝－f(－x＋2)，所以函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(2，0)對稱，又f(2x＋1)為偶函數(shù)，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，所以函數(shù)f(x)關(guān)于直線x＝1對稱．故選AD.]2．BD[令x＝y(tǒng)＝0，則f(0)＋f(0)＝2f(0)·f(0)，∴f(0)＝0或1.令y＝x，則f(x)＋f(x)＝2f(x)·f(0)，若f(0)＝0，則f(x)＝0，與f(x)不恒為0矛盾，∴f(0)＝1，∴B正確，A錯誤；令y＝－x，則f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)＝2f(x)，∴f(x)＝f(－x)，∴f(x)為偶函數(shù)，∴D正確，C錯誤．]3．BCD[∵y＝f(x＋4)為偶函數(shù)，∴f(－x＋4)＝f(x＋4)，∴y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝4對稱，∴f(2)＝f(6)，f(3)＝f(5)．又y＝f(x)在(4，＋∞)上單調(diào)遞減，∴f(5)>f(6)，∴f(3)>f(6)．]4．ABC[因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，對f(－x)＝－f(x)左、右兩側(cè)分別求導(dǎo)，可得f′(－x)＝f′(x)，則函數(shù)f′(x)是偶函數(shù)，C正確；又f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，所以f′(x＋4)＝f′(x)，所以函數(shù)f′(x)是以4為周期的周期函數(shù)，B正確；f(2025)＝f(1)，A正確；由f(x＋2)＝f(－x)可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，所以f′(1)＝0，D錯誤．]5．BCD[若f(x)，g(x)，h(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù)，則f(x)＝f(－x)，g(x)＝－g(－x)，h(x)＝h(－x)，對于函數(shù)y＝F(x)＝f(h(x))g(x)，則F(－x)＝f(h(－x))g(－x)＝f(h(x))·(－g(x))＝－f(h(x))·g(x)＝－F(x)，則y＝f(h(x))g(x)為奇函數(shù)；對于函數(shù)y＝G(x)＝f(g(x))＋h(x)，則G(－x)＝f(g(－x))＋h(－x)＝f(－g(x))＋h(x)＝f(g(x))＋h(x)＝G(x)，則y＝f(g(x))＋h(x)為偶函數(shù)；對于函數(shù)y＝H(x)＝f(g(x))h(x)，則H(－x)＝f(g(－x))h(－x)＝f(－g(x))h(x)＝f(g(x))h(x)＝H(x)，則y＝f(g(x))h(x)為偶函數(shù)；對于函數(shù)y＝M(x)＝f(x)|g(x)|h(x)，則M(－x)＝f(－x)|g(－x)|h(－x)＝f(x)|－g(x)|h(x)＝M(x)，則y＝f(x)|g(x)|h(x)為偶函數(shù)．]6．BCD[對于A，因?yàn)閒(x＋1)是奇函數(shù)，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，故A錯誤；對于B，因?yàn)閒(x＋1)是奇函數(shù)，所以y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對稱，即有f(x)＝－f(2－x)，所以g(2－x)＝[1－(2－x)]f(2－x)＝(x－1)f(2－x)＝(1－x)f(x)＝g(x)，所以y＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，函數(shù)g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以g(x)在(－∞，1]上單調(diào)遞減，故B正確；對于C，因?yàn)閍<2－b<1，所以g(1)<g(2－b)<g(a)，即g(1)<g(b)<g(a)，故C正確；對于D，因?yàn)間(a)>g(a＋1)，且a<a＋1，由函數(shù)y＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，得eq\f(a＋（a＋1）,2)<1，解得a<eq\f(1,2)，故D正確．]7．ABD[由f(x＋2)為偶函數(shù)，得f(2－x)＝f(2＋x)，所以由2－x代替x得f(x)＝f(4－x)，故A正確；對f(x)＝f(4－x)左、右兩側(cè)分別求導(dǎo)，可得f′(x)＝－f′(4－x)，所以g(x)＝－g(4－x)，故B正確；因?yàn)間(x)為奇函數(shù)，所以g(x)＝－g(－x)，又因?yàn)間(x)＝－g(4－x)，所以－g(－x)＝－g(4－x)，即g(－x)＝g(4－x)，則g(x)＝g(x＋4)，故D正確；令f(x)＝cosπx，則f(x＋2)＝cos[π(x＋2)]＝cos(πx＋2π)＝cosπx為偶函數(shù)，g(x)＝f′(x)＝－πsinπx為奇函數(shù)，滿足題干，當(dāng)x＝1時，f(1)＝cosπ＝－1，f(x＋4)＝f(5)＝cos5π＝cosπ＝－1，所以f(1)≠－f(1＋4)，即存在x＝1，使得f(x)＝－f(x＋4)不成立，故C錯誤．]8．BC[因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，且f(1－x)＋f(1＋x)＝0，則f(1＋x)＝－f(1－x)＝－f[－(x－1)]＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x)，又f(x)在[－1，0]上單調(diào)遞增，從而f(x)在[1，2]上單調(diào)遞減，A錯誤；∵f(1－x)＋f(1＋x)＝0，∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)中心對稱，B正確；因?yàn)榕己瘮?shù)y＝f(x)(x∈R)在[－1，0]上單調(diào)遞增，f(x＋2)＝－f(x)，所以函數(shù)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞減，在[2，3]上單調(diào)遞增，所以在x＝2處取得最小值，C正確；顯然函數(shù)的最大值為f(0)，D錯誤．]9．AC[A中，由f(x)g(－x)＝4，得f(－x－2)g(x＋2)＝4，又f(x)g(x＋2)＝4，所以f(－x－2)＝f(x)，f(x)的圖象關(guān)于x＝－1對稱，A正確；B中，由f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，2)對稱，得f(－x)＋f(x)＝4，由A選項(xiàng)結(jié)論知f(x－2)＝f(－x)，所以f(x－2)＋f(x)＝4，從而f(x－4)＋f(x－2)＝4，故f(x)＝f(x－4)，即f(x)的一個周期為4，令x＝5，則f(5－4)＋f(5－2)＝f(1)＋f(3)＝4，令x＝6，則f(6－4)＋f(6－2)＝f(2)＋f(4)＝4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝8，所以eq\o(∑,\s\up6(2024),\s\do4(k＝1))f(k)＝506[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝4048，B錯誤；C中，由f(x)＝f(x＋4)，及f(x)g(－x)＝4，則f(x＋4)g(－x－4)＝4，得g(－x)＝g(－x－4)，函數(shù)g(x)的一個周期為4，C正確；D中，取f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x))＋2，g(－x)＝eq\f(4,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)x))＋2)，又g(－1)＋g(1)＝eq\f(16,3)，與g(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，2)對稱矛盾，D錯誤．]10．BCD[對于A，∵f(4－x)－f(x)＝0，即f(4－x)＝f(x)，∴f(2－x)＝f(2＋x)，∴f(2－x)是偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，∵f(4－x)－f(x)＝0，即f(4－x)＝f(x)，∴f(2－3x)＝f(3x＋2)，∴f(3x＋2)是偶函數(shù)，故B正確；對于C，∵f(sin(x＋2))＝f(sin(x＋2＋2kπ))，k∈Z，∴f(sin(x＋2))是周期函數(shù)，故C正確；對于D，f′(x)＝(a－2x)(x2＋bx＋4)＋(ax－x2)(2x＋b)，∵f(4－x)－f(x)＝0，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱，∴f(4)＝f(0)且f′(2)＝0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（4）＝（4a－16）（20＋4b）＝0，,f′（2）＝（4a－12）（4＋b）＝0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝－5，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－4，))當(dāng)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－4))時，f(x)＝(4x－x2)(x2－4x＋4)＝x(4－x)(x－2)2，易得函數(shù)f(x)只有3個零點(diǎn)，不符合題意．