江蘇省基地大聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024屆高三第一次質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)本試卷共6頁，22小題，滿分150分.考試時間120分鐘.注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4．考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式再結(jié)合交集以及區(qū)間的概念即可求解.【詳解】一方面把不等式變形為，解得；另一方面若，則；結(jié)合交集以及區(qū)間的概念可知.故選：A.2若復(fù)數(shù)滿足，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】分析】由求出復(fù)數(shù)，從而可求出【詳解】由，得，，所以，故選：B3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】通過不等式性質(zhì)分別求解出與的范圍，從而再進(jìn)行判斷.【詳解】由，可得或，即或，由，可得或，即或，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.4.下列可能是函數(shù)的圖象的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域和特殊值可排除ABD.【詳解】函數(shù)定義域為R，排除選項AB，當(dāng)時，，排除選項D，故選：C.5.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的求解方法，根據(jù)題意，得出滿足在區(qū)間單調(diào)遞減且，即可求解.【詳解】設(shè)，可得的對稱軸的方程為，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，則滿足在區(qū)間單調(diào)遞減且，即且，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：D.6.甲、乙、丙等六人相約到電影院觀看電影《封神榜》，恰好買到了六張連號的電影票．若甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為（）A.360 B.480 C.600 D.720【答案】B【解析】【分析】先求得六人的全排列數(shù)，結(jié)合題意，利用定序排列的方法，即可求解.【詳解】由題意，甲、乙、丙等六人的全排列，共有種不同的排法，其中甲、乙、丙三人的全排列有種不同的排法，其中甲、乙在丙的同側(cè)有：甲乙丙、乙甲丙、丙甲乙，丙乙甲，共4種排法，所以甲、乙兩人必須坐在丙的同一側(cè)，則不同的坐法種數(shù)為種.故選：B.7.已知正方體的棱長為2，則以點為球心，為半徑的球面與平面的交線長為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用等體積法可求出點到平面的距離，根據(jù)交線為圓可求出其長度.【詳解】設(shè)點到平面的距離為，因為，所以，因為正方體的棱長為2，所以等邊的邊長為，所以，所以，解得，所以點為球心，為半徑球面與平面的交線是以為半徑的圓，所以交線長為，故選：C8.對，當(dāng)時，，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先將不等式等價變形，再構(gòu)造函數(shù)，，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、最值即可求解．【詳解】由，當(dāng)時，則等價于，即等價于，即等價于，即等價于，令，，即等價于對，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，即對，，即，由，則，所以，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：D．【點睛】關(guān)鍵點點睛：將題目中的不等式條件等價轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下圖為甲、乙兩人在同一星期內(nèi)每日步數(shù)的折線統(tǒng)計圖，則（）A.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的中位數(shù)為11600B.這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的極差大于乙的日步數(shù)的極差C.這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的方差大于甲的日步數(shù)的方差D.這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的上四分位數(shù)是7030【答案】AB【解析】【分析】對于A：直接求出中位數(shù)；對于B：分別計算出甲、乙日步數(shù)的極差，即可判斷；對于C：分別計算出甲、乙方差，即可判斷；對于D：將乙的日步數(shù)從小到大排列，計算可得；【詳解】對于A：甲的步數(shù)：16000，7965，12700，2435，16800，9500，11600.從小到大排列為：2435，7965，9500，11600，12700，16000，16800,中位數(shù)是11600.故A正確；對于B：這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的極差,這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)的極差,這一星期內(nèi)甲的日步數(shù)的極差大于乙的日步數(shù)的極差,故B正確；對于C：由圖知甲的波動程度越大，故方差大故C錯誤；乙的步數(shù)從小到大排列為：5340，7030，10060，11600，12300，12970，14200，，故這一星期內(nèi)乙的日步數(shù)上四分位數(shù)是12970，故D錯誤.故選：AB.10.已知事件A，B，且，則（）A.如果，那么B.如果，那么C.如果A與B相互獨立，那么D.如果A與B相互獨立，那么【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)事件關(guān)系及運算有、，由事件的相互獨立知，結(jié)合事件的運算求、.【詳解】A：由，則，正確；B：由，則，正確；C：如果A與B相互獨立，則，，錯誤；D：由C分析及事件關(guān)系知：，正確.故選：ABD.11.已知函數(shù)的定義域為，且，函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，，則（）A.是偶函數(shù) B.的圖像關(guān)于直線對稱C. D.【答案】BCD【解析】【分析】先根據(jù)的圖像關(guān)于點對稱，得出是奇函數(shù)，從而判斷A項；由利用賦值法求出，再結(jié)合是奇函數(shù)可判斷B項；利用結(jié)合可判斷C項；求出的周期可判斷D項.【詳解】因為函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱，所以的圖像關(guān)于原點對稱，即是奇函數(shù)，故A錯誤；因為，所以令得，又因為是奇函數(shù)，所以，所以，即，所以的圖像關(guān)于直線對稱，故B正確；因為，，是奇函數(shù)，所以，故C正確；因為，所以的周期為8，又，，所以，故D正確；故選：BCD.12.已知，則下列不等式中一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先利用指數(shù)與對數(shù)互化求出，然后利用對數(shù)的運算性質(zhì)及基本不等式逐項判斷即可.【詳解】因為，所以，，因為，所以，即，故A正確；因為，，所以，故B正確；因為，故C錯誤；因為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在二項式的展開式中，常數(shù)項是______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)二項展開式的公式可知，進(jìn)而可得常數(shù)項.【詳解】其展開式第項為，當(dāng)，即時，展開式第項為常數(shù)項，此時，故答案為：14.已知同一平面內(nèi)的單位向量，滿足，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得，兩邊平方得到，從而求出.【詳解】因為，所以，兩邊平方得，因為均是單位向量，所以，所以，所以，所以.故答案為：.15.已知隨機變量，，且，，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項分布和正態(tài)分布的期望公式可得，再由可得，求解即可.【詳解】由題意，，，，又，故，即，解得：.故答案為：16.已知直線與曲線和都相切，請寫出符合條件的兩條直線的方程：______，______．【答案】①.②.【解析】【分析】設(shè)出切點，利用切點求出切線方程，聯(lián)立方程求出切點處的值，代入求出切線方程.【詳解】因為，，所以，，設(shè)直線與曲線和分別切于點，，所以切線方程分別為，，即，，因此，則，又，所以，化簡得，解得或，當(dāng)時，切線方程為，當(dāng)時，切線方程為.故答案為：，.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.市場監(jiān)管部門統(tǒng)計了某網(wǎng)紅飲品小店在2023年4月至8月的銷售收入（單位：萬元），得到以下數(shù)據(jù)：月份45678銷售收入1012111220（1）根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程，并估計2023年9月份該小店的銷售收入；（2）為調(diào)查顧客對該小店的評價情況，隨機抽查了200名顧客，得到如下列聯(lián)表，請?zhí)顚懴旅娴牧新?lián)表，并判斷能否有的把握認(rèn)為“顧客是否喜歡該網(wǎng)紅飲品小店與性別有關(guān)聯(lián)”．喜歡不喜歡總計男100女30總計110附：線性回歸方程：，其中，，0.0100.0050.0016.6357.87910.828【答案】（1），估計為19萬元（2）列聯(lián)表見解析，有【解析】【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)及公式求出，可得線性回歸方程，將代入可估計2023年9月份該小店的銷售收入；（2）由已知寫出列聯(lián)表，根據(jù)公式求的值，結(jié)合獨立檢驗的基本思想得到結(jié)論．【小問1詳解】由已知得：，，，，則關(guān)于的線性回歸方程為，當(dāng)時，，∴估計2023年9月份該小店的銷售收入19萬元．【小問2詳解】因為200名顧客中男顧客有100名，則女顧客有100名，女顧客中不喜歡該網(wǎng)紅飲品小店有30名，則喜歡的有70名，200名顧客中喜歡該網(wǎng)紅飲品小店的有110名，則男顧客中喜歡的有40名，不喜歡的有60名，則2×2列聯(lián)表如下所示：喜歡不喜歡總計男4060100女7030100總計11090200根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，，所以有的把握認(rèn)為“顧客是否喜歡該網(wǎng)紅飲品小店與性別有關(guān)聯(lián)”．18.設(shè)為實數(shù)，函數(shù)，.（1）求的極值；（2）對于，，都有，試求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）極大值，極小值（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)的極大值和極小值；（2）分析可知，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)在上的最小值，求出函數(shù)在上的最大值，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，由此可解得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：函數(shù)的定義域為，，令，可得或，列表如下：增極大值減極小值增故函數(shù)的極大值為，極小值為.【小問2詳解】解：對于，，都有，則.由（1）可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，，因為，且，則且不恒為零，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，由題意可得，故.19.如圖，直三棱柱中，，平面平面．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）過點作，根據(jù)題意證得平面，得到，再由三棱柱為直三棱柱，證得，利用下面垂直的判定定理，證得平面，即可得到；（2）以點為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面和平面的一個法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.小問1詳解】如圖所示，過點作于點，因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又因為平面，所以，由三棱柱為直三棱柱，可得平面，因為平面，所以，又因為，且平面，所以平面，因為平面，所以.【小問2詳解】如圖所示，以點為坐標(biāo)原點，以所在的直線分別為軸、軸和軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因為，可得，則,設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，則，設(shè)二面角的平面角為為銳角，可得，所以，即二面角的正弦值為.20.第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在中國杭州舉辦．中國田徑隊擬派出甲、乙、丙三人參加男子100米比賽．比賽分為預(yù)賽、半決賽和決賽，只有預(yù)賽和半決賽都獲得晉級才能進(jìn)入決賽．已知甲在預(yù)賽和半決賽中晉級的概率均為；乙在預(yù)賽和半決賽中晉級的概率分別為和；丙在預(yù)賽和半決賽中晉級的概率分別為和，其中，甲、乙、丙三人晉級與否互不影響．（1）試比較甲、乙、丙三人進(jìn)入決賽的可能性大??；（2）若甲、乙、丙三人都進(jìn)入決賽的概率為，求三人中進(jìn)入決賽的人數(shù)的分布列和期望．【答案】（1），即進(jìn)入決賽的可能性甲丙乙.（2）分布列見解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出甲、乙、丙三人初賽的兩輪中均獲勝的概率并比較大小即可；（2）根據(jù)題意先求出與所有的可能取值，然后分別求出每一個值對應(yīng)的概率，列出分布列，并計算出期望即可求解.【小問1詳解】甲在初賽的兩輪中均獲勝的概率為，乙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為，丙在初賽的兩輪中均獲勝的概率為，因為，所以，所以，即甲進(jìn)入決賽的可能性最大.【小問2詳解】設(shè)甲、乙、丙都進(jìn)入決賽的概率為，則，且，解得，所以丙在初賽的第一輪和第二輪獲勝的概率分別為和，兩輪中均獲勝的概率為，進(jìn)入決賽的人數(shù)的可能取值為0，1，2，3，則，，，.所以的分布列為0123所以.21.如圖，四棱錐的底面為菱形，，底面，分別是線段的中點，是線段上的一點.（1）若是直線與平面的交點，試確定的值；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求三棱錐體積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面的法向量，由可解得得到答案；（2）設(shè)，根據(jù)直線與平面所成角的正弦值為，求出確定的位置，求出平面的法向量，計算點到平面的距離，計算的面積，代入體積公式計算可得答案.【小問1詳解】取的中點，連接，則，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，設(shè)，則設(shè)平面的法向量，則，所以，取，易知，所以，解得，此時；【小問2詳解】設(shè)，則則，整理得，解得或（舍去），，，設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，又，則點到平面的距離即點到平面的距離為，由已知條件，在中，，可得所以，.22.已知函數(shù)．（