高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019選擇性必修一）第33講261雙曲線的標準方程

2.6.1雙曲線的標準方程TOC\o"13"\h\z\u題型1雙曲線定義辨析 3題型2求雙曲線方程 8◆類型1定義法 9◆類型2標準方程法 13◆類型3一般方程法 16題型3雙曲線定義的應(yīng)用 18題型4焦點三角形 23◆類型1周長 23◆類型2面積 27◆類型3角度 32◆類型4乘積與比值 35◆類型5其他相關(guān) 40◆類型6內(nèi)切圓相關(guān) 45題型5和差最值問題 55題型6軌跡方程 60◆類型1定義法 60◆類型2方程法 65◆類型3相關(guān)點法 69知識點一.雙曲線的定義1.定義：在平面內(nèi)，到兩個定點、的距離之差的絕對值等于常數(shù)（大于0且）的動點的軌跡叫作雙曲線.2.焦距：這兩個定點、叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距.注意：1.若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；若（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；2.若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線（包括端點）；3.若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；4.若常數(shù)，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線。知識點二.雙曲線的標準方程雙曲線的標準方程：1、當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中；2、當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中注意：方程Ax2+By2=C（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件方程Ax2+By2=C可化為，即，所以只有A、B異號，方程表示雙曲線。當時，雙曲線的焦點在x軸上；當時，雙曲線的焦點在y軸上。知識點三橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：橢圓雙曲線根據(jù)|MF1|+|MF2|=2a根據(jù)|MF1|－|MF2|=±2aa＞c＞0，a2－c2=b2（b＞0）0＜a＜c，c2－a2=b2（b＞0），（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）（a最大）（c最大）標準方程統(tǒng)一為：題型1雙曲線定義辨析【例題11】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點F10,?2，F(xiàn)20,2A．PF1?C．PF1?【答案】B【分析】涉及雙曲線上一點與兩焦點構(gòu)成的三角形問題往往考慮用雙曲線的定義求解.【詳解】由于F1F2PF滿足PF而滿足PF故選：B．【變式11】1.（2022·高二課時練習(xí)）下列說法中，①方程x2②方程x+12③方程x+12④方程x?22+y以上敘述正確的有（寫出所有序號）【答案】①②④【分析】①④將兩邊平方并整理即可判斷，②③根據(jù)幾何意義，結(jié)合橢圓、雙曲線的定義判斷即可.【詳解】①兩邊平方得x2+y②幾何意義為點(x,y)到(?1,0),(1,0)的距離和為4且(?1,0),(1,0)的距離小于4，故(x,y)的軌跡為橢圓，正確；③幾何意義為點(x,y)到(?1,0)的距離與到(1,0)的距離差為1且(?1,0),(1,0)的距離大于1，故(x,y)的軌跡為雙曲線的一支，錯誤；④兩邊平方并整理得x2+4x+y2=0故答案為：①②④【變式11】2.（2023秋·高二課時練習(xí)）已知M(?2,0),N(2,0)，PM?A．雙曲線 B．雙曲線左支C．一條射線 D．雙曲線右支【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，得PM?【詳解】因為M(?2,0),N(2,0)，于是有PM?所以動點P的軌跡是一條射線．故選：C【變式11】3.（2021·北京·高三強基計劃）已知動圓M與兩圓x2+yA．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．拋物線 D．前三個答案都不對【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義可求圓心軌跡.【詳解】題中兩圓分別記為圓A:x2+設(shè)動圓圓心為M(x,y)，半徑為r，則MA=1+r于是MB?故選：B.【變式11】4.（多選）（2023秋·河南焦作·高二?？茧A段練習(xí)）平面內(nèi)到兩定點F1?3,0、A．橢圓 B．一條直線 C．兩條射線 D．雙曲線【答案】BCD【分析】由雙曲線的定義判斷．【詳解】當a=0時，點M的軌跡為F1當2a=|F當0<2a<|F當2a>|F1F故選：BCD【變式11】5.（2023秋·全國·高二期中）若點M在雙曲線x216?y24=1A．2 B．4 C．8 D．12【答案】B【分析】先由雙曲線方程求出a，再根據(jù)雙曲線定義結(jié)合已知條件解方程組可得結(jié)果.【詳解】雙曲線中a2=16，得a=4，則由雙曲線的定義可得MF因為MF1=3MF故選：B【例題12】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）設(shè)F1,F2分別是雙曲線x2A．5 B．3C．7 D．6【答案】BC【分析】由雙曲線的定義可知PF1?【詳解】由雙曲線的定義可知PF1?所以PF2=3故選：BC．【變式12】1.（2023春·四川遂寧·高二射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）雙曲線y264?x216=1的焦點為F【答案】20【分析】先由雙曲線方程求出a，然后根據(jù)雙曲線的定義求解即可.【詳解】由y264?x2因為PF1?所以4?PF2解得PF2=?12故答案為：20【變式12】2.（2023秋·高二課時練習(xí)）如果雙曲線x264?y236=1上一點P【答案】22【分析】由雙曲線定義得到方程，進行求解.【詳解】由題意得PF1?PF故答案為：22【變式12】3.（2023·上海·華師大二附中?？寄M預(yù)測）已知平面上的點A,B,M,N滿足AB=6,MA?【答案】?36【分析】根據(jù)雙曲線和圓的定義，求出M,N所在曲線的的方程，聯(lián)立方程組，求出M,N的橫坐標，再利用向量數(shù)量積的坐標公式即可求解.【詳解】以AB中點O為原點，OB為x軸正方向，建立平面直角坐標系，則A?3,0因為MA?MB=4<所以點M?N分別在以A，B為焦點的雙曲線的右支和左支上，且2a=4，2c=6，所以a=2，c=3，所以雙曲線方程為x2因為BM=2，所以點M在以B為圓心，半徑為2即點M在圓(x?3)2因為AN=3，所以點N在以A為圓心，半徑為3即點N在圓(x+3)2聯(lián)立x24?y2聯(lián)立x24?y2因為AB=(6,0)，MN故AB?故答案為：?36.

題型2求雙曲線方程【方法總結(jié)】用待定系數(shù)法求雙曲線方程的一般步驟為：◆類型1定義法【例題21】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知點F1?4,0,F2A．x29?C．y29?【答案】A【分析】由題意可得PF【詳解】由題意可得PF由雙曲線定義可知，所求曲線方程為雙曲線一支，且2a=6,2c=8,即a=3,c=4，所以b2又因為焦點在x軸上，所以曲線方程為x2故選:A.【變式21】1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線的焦距為16，且雙曲線上的任意一點到兩個焦點的距離的差的絕對值等于6，雙曲線的方程為（

）A．x29?C．x2100?【答案】A【分析】根據(jù)題意列式求解a,b,c，即可得結(jié)果.【詳解】∵雙曲線的焦點在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為x2a2由題意可得c2=a∴雙曲線的方程為x2故選：A.【變式21】2.（2023秋·高二課時練習(xí)）已知點M?2,0,N2,0，動點P滿足PMA．x22?C．x24?【答案】A【分析】由雙曲線的定義可知，動點P的軌跡是以M,N為焦點的雙曲線的右支，利用待定系數(shù)法求軌跡方程.【詳解】∵M?2,0,N2,0，∴MN=4∴動點P的軌跡是以M,N為焦點的雙曲線的右支，設(shè)雙曲線方程為x2則有c=2,a=2動點P的軌跡方程為x2故選：A．【變式21】3.（2023秋·全國·高二期中）已知F1?5,0、F2(1)MF(2)MF(3)MF【答案】(1)y=0（x≥5）(2)x216?(3)x【分析】（1）由MF1?MF2=（2）（3）根據(jù)雙曲線的定義求出軌跡方程；【詳解】（1）因為F1?5,0、F2又MF所以點M的軌跡是x軸上以F2為端點向右的一條射線，則軌跡方程為y=0（x≥5（2）因為MF所以點M的軌跡是以F1?5,0、F25,0為焦點的雙曲線的右支，且所以b=c所以軌跡方程為x216?（3）因為MF所以點M的軌跡是以F1?5,0、F25,0為焦點的雙曲線，且所以b=c所以軌跡方程為x2【變式21】4.（2023春·廣東廣州·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知A(0,7)，B(0,?7)，C(12,2)，以C為焦點的橢圓過A、B兩點，則橢圓的另一個焦點F的軌跡方程為（

）A．y2?xC．y248?【答案】A【分析】由兩點間距離公式可得AC=13,BC=15,【詳解】因為A0,7，B0,?7，所以AC=122+7?2因為A,B都在橢圓上，所以AF+AC=故F的軌跡是以A，B為焦點的雙曲線的下支，又2c=AB=14，2a=AF?BF=2，即因此F的軌跡方程是y2?x故選：A.【變式21】5.（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二海拉爾第一中學(xué)?？计谀┰O(shè)橢圓C1的離心率為513，焦點在x軸上且長軸長為26，若曲線C2上的點到橢圓CA．x216?C．x29?【答案】A【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線中a,b,c的關(guān)系，結(jié)合雙曲線定義可解.【詳解】在橢圓C1中，由題知2a=26ca所以橢圓C1的焦點為F1?5,0因為曲線C2上的點到F1，F(xiàn)2所以曲線C2是以F1，所以曲線C2的虛半軸長為5故C2的標準方程為：x故選：A.◆類型2標準方程法【例題22】（2023秋·高二課時練習(xí)）在雙曲線的標準方程中，若a=6,b=8，則其標準方程是（

）A．y236?x264=1 B．x2【答案】D【分析】雙曲線的標準方程有兩種情形，一是焦點在x軸，另一種焦點在y軸，根據(jù)a與b寫出標準方程即可．【詳解】在雙曲線的標準方程中，a=6,b=8，當雙曲線的焦點在x軸上時，它的標準方程是x2當雙曲線的焦點在y軸上時，它的標準方程是y2所以雙曲線標準方程是x236?故選：D【變式22】1.（2023秋·高二課時練習(xí)）已知雙曲線的一個焦點為5,0，一個頂點為3,0，則雙曲線方程的標準方程為（

）A．y216?C．x225?【答案】D【分析】根據(jù)雙曲線中a,b,c的關(guān)系求解.【詳解】由題可知，雙曲線的焦點在x軸上，所以可設(shè)方程為x2且c=5,a=3，所以b2所以雙曲線方程為x2故選:D.【變式22】2.（2019秋·廣西來賓·高二象州縣中學(xué)校考階段練習(xí)）已知雙曲線的焦點在y軸上，并且雙曲線經(jīng)過點M(3,?42)和A．y216?C．x216?【答案】A【分析】由題意設(shè)雙曲線的方程為y2a2?x2b【詳解】解：由題意設(shè)雙曲線的方程為y2因為雙曲線經(jīng)過點M(3,?42)和所以{32a2所以雙曲線方程為y2故選：A【變式22】3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C:y2a2?x2b2=1(a>0,b>0),O為坐標原點，A．y24?C．y23?【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義及勾股定理得出P?abc【詳解】設(shè)F1為雙曲線的下焦點，F(xiàn)如圖所示，過點P作PH⊥F1F

因為PF1=3因為PO=b,所以PF22故12OP?因為HO|2+HP|將P?abc即b2c2b4解得b2a2故選：B.【變式22】4.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知等軸雙曲線Γ經(jīng)過點A3,2，則ΓA．x25?y25=1 B．【答案】A【分析】先設(shè)出雙曲線的方程為x2?y【詳解】設(shè)雙曲線的方程為x2?y代入點A3,2，得λ=9?4=5故所求雙曲線的方程為x2其標準方程為x2故選：A．【變式22】5.（2023·全國·高二專題練習(xí)）若雙曲線C1與雙曲線C2:x27?A．x26?C．x26?y22=1【答案】C【分析】利用待定系數(shù)法，分焦點在x軸上和焦點在y軸上兩種情況，分別設(shè)出雙曲線的標準方程，再利用條件建立方程，即可求出結(jié)果.【詳解】因為C1和C2有相同的焦距，又雙曲線C2:x27?y2=1當C1的焦點在x軸上，設(shè)雙曲線C1的方程為若將點3,1代入x2a2又a2+b2=c2=8②，聯(lián)立①②兩式得當C1的焦點在y軸上，設(shè)雙曲線C1的方程為y2a2?x2b聯(lián)立③④兩式得a2=9?73，b2=綜上所述，雙曲線C1的標準方程為x26故選：C.◆類型3一般方程法【例題23】（2023秋·高二課時練習(xí)）雙曲線Γ經(jīng)過兩點A?2,?3，【答案】x【分析】設(shè)雙曲線的方程為mx2+n【詳解】設(shè)雙曲線的方程為mx由題意可得：2m+3n=153m+2n=1所以雙曲線Γ的標準方程是x2故答案為：x2【變式23】1.（2021·全國·高二專題練習(xí)）經(jīng)過點P?3,27和【答案】y【分析】依題意設(shè)雙曲線的方程為mx【詳解】解：設(shè)雙曲線的方程為mx2+ny2故雙曲線的標準方程為y2故答案為：y【點睛】本題考查待定系數(shù)法求雙曲線方程，屬于基礎(chǔ)題.【變式23】2.（2020·高二課時練習(xí)）求經(jīng)過點P?3,2【答案】y【分析】設(shè)雙曲線的方程為Ax【詳解】依題意,設(shè)雙曲線的方程為Ax∵雙曲線過點P(?3,27)∴9A?28B=1,解得A=?175,故雙曲線的標準方程為y2【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程；解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)焦點在x軸或在y軸上時，雙曲線的方程的共同特征，設(shè)出雙曲線的方程Ax題型3雙曲線定義的應(yīng)用【例題3】（多選）（2023秋·高二課時練習(xí)）已知關(guān)于x,y的方程mx2+ny2A．若m=n>0，則曲線C表示圓B．若mn>0，則曲線C表示橢圓C．若mn<0，則曲線C表示雙曲線D．若mn=0，m+n>0，則曲線C表示四條直線【答案】ACD【分析】就m,n滿足的不同條件逐項討論對應(yīng)的方程的形式，故可得正確的選項.【詳解】若m=n>0，則x2+y若m<0,n<0，滿足mn>0，方程mx故C不表示任何曲線，故B錯誤；若mn<0，則C表示焦點在x軸或y軸上的雙曲線，故C正確；若mn=0，m+n>0，則m>0,n=0或m=0,n>0，則x=±1m或y=±1故選：ACD.【變式31】1.（多選）（2023春·湖北武漢·高二統(tǒng)考期末）已知α∈[0,π]，則方程A．兩條直線 B．圓C．焦點在x軸上的橢圓 D．焦點在x軸上的雙曲線【答案】ABD【分析】分類討論α=0，0<α<π2，α=π【詳解】對于方程x2當α=0時，cosα=1，方程為x當0<α<π2時，0<cos此時方程x2+y2cos當α=π2時，cosα=0，此時方程x當π2<α≤π時，?1≤此時方程x2+y2cos綜上可得符合依題意的有ABD.故選：ABD.【變式31】2.（多選）（2023秋·高二課時練習(xí)）已知方程x2A．當1<t<4時，曲線C是橢圓 B．當t>4或t<1時，曲線C是雙曲線C．若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則1<t<52 【答案】BCD【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓、雙曲線方程的特征逐項判斷作答.【詳解】對于A，當t=52時，4?t=3對于B，當t>4或t<1時，(4?t)(t?1)<0，曲線C是雙曲線，B正確；對于C，若曲線C是焦點在x軸上的橢圓，則4?t>t?1>0，解得1<t<5對于D，若曲線C是焦點在y軸上的雙曲線，則4?t<0<t?1，解得t>4，D正確．故選：BCD【變式31】3.（多選）（2023秋·高二課時練習(xí)）已知曲線C：mxA．若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上B．若m=n>0，則C是圓，其半徑為nC．若mn<0，則C是雙曲線D．若m=0，n>0，則C是兩條直線【答案】ACD【分析】根據(jù)m，【詳解】對于選項A，∵m>n>0，∴0<1m<1n∴該方程表示焦點在y軸上的橢圓，故A正確；對于選項B，∵m=n>0，∴方程mx2+ny2對于選項C，∵mn<0，∴該方程表示雙曲線，故C正確；對于選項D，∵m=0，n>0，∴方程mx2+n故選：ACD.【變式31】4.(多選)（2023秋·江蘇淮安·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）若α∈?π2A．當α=πB．當α=0時，曲線C表示兩條直線C．當α∈0,D．當α∈?【答案】AB【分析】根據(jù)直線、圓、橢圓、雙曲線的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，α=π4，即x2B選項，α=0，x2即x2=1，所以C選項，α∈0,π41<1cosα<1表示焦點在y軸上的橢圓，C選項錯誤.D選項，α∈?π2方程x2cosα+表示焦點在x軸上的雙曲線，D選項錯誤.故選：AB【變式31】5.(多選)（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知m∈R，則方程2?mx2+A．當m∈12,2時，曲線CB．當曲線C表示雙曲線時，m的取值范圍是2,+C．當m=2時，曲線C表示兩條直線D．存在m∈R，使得曲線C為等軸雙曲線【答案】AC【分析】根據(jù)二元二次方程表示橢圓、雙曲線的基本要求依次判斷ABD選項即可；由m=2時，曲線C的方程可知C正確.【詳解】對于A，當m∈12,2∴x212?m+y21m+1對于B，若曲線C表示雙曲線，則2?mm+1<0，解得:m<?1或即實數(shù)m的取值范圍為?∞對于C，當m=2時，曲線C:3y2=1即曲線C表示兩條直線，故選項C正確；對于D，若曲線C為等軸雙曲線，則2?mm+1<0?∴不存在m∈R，使得曲線C為等軸雙曲線，故選項D錯誤．故選：AC．【變式31】6.(多選)（2023·全國·高二專題練習(xí)）關(guān)于x、y的方程m?1xA．橢圓 B．雙曲線 C．直線 D．拋物線【答案】BC【分析】對實數(shù)m的取值進行分類討論，化簡原方程，結(jié)合圓的方程以及圓錐曲線方程可得出結(jié)論.【詳解】當m=1時，該方程表示的軌跡是直線y=0；當m=3時，該方程表示的軌跡是直線x=0；當m≠1且m≠3時，原方程可化為x2當m<1或m>3時，m?13?m當1<m<3，又m∈Z，則m=2，此時方程為x2綜上所述，方程所表示的曲線不可能是橢圓或拋物線.故選：BC.題型4焦點三角形【方法總結(jié)】求雙曲線中焦點三角形面積的方法：①根據(jù)雙曲線的定義求出||PF1|－|PF2||＝2a；②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之間滿足的關(guān)系式；③利用公式＝eq\f(1,2)×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面積．利用公式＝eq\f(1,2)×|F1F2|×|yP|(yP為P點的縱坐標)求得面積④結(jié)論：S◆類型1周長【例題41】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C:x2?y2m2=1(m>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】結(jié)合雙曲線的定義來解決即可.【詳解】雙曲線x2?y由雙曲線的定義，可得A所以AF則三角形ABF1的周長為故選：B【變式41】1.（2023秋·高二課時練習(xí)）設(shè)點P在雙曲線x29?y216=1上，F(xiàn)【答案】22【分析】根據(jù)雙曲線方程可求得F1F2，結(jié)合雙曲線定義以及P【詳解】由題意知F1F2又PF∴PF1=3故△F1P故答案為：22【變式41】2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）若F1、F2是雙曲線8x2?【答案】16【分析】根據(jù)條件首先可得PF1=【詳解】雙曲線的標準方程為x2?y因為△PF1F2是等腰三角形，不設(shè)所以PF2=6?2=4故答案為：16.【變式41】3.（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考三模）已知雙曲線C:x24?y2=1的左右焦點分別為F【答案】6【分析】利用雙曲線的定義，即可求解.【詳解】C:x24?y易得雙曲線的實軸長2a=4,焦距2c因為A,B都在右支上，則AF△ABF1的周長AB=6故答案為：6【變式41】4.（2021秋·高二課時練習(xí)）已知F1、F2是雙曲線x216?y2【答案】16【分析】由雙曲線的定義可得答案.【詳解】由雙曲線方程得，2a=8，由雙曲線的定義得PFQF①＋②，得PF所以PF故答案為：16.【變式41】5.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線C:x24?y2=1的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F【答案】6或400【分析】分情況，利用雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理求解.【詳解】C:x24?y易得雙曲線的實軸長2a=4,焦距2c若A,B都在右支上，則AF1△ABF1的周長|AB|=6；否則，不妨設(shè)是如圖的情況：AF1所以AF2=10，所以設(shè)AB=t,則BF由余弦定理得cosA=6故答案為：6或400◆類型2面積【例題42】（2023春·陜西安康·高二校聯(lián)考期末）設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線x29?y2【答案】4【分析】由雙曲線定義和勾股定理可得2PF1【詳解】

如圖：由x29?y2c2=9+4=13，由題意：PF12PF所以S△故答案為：4【變式42】1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線x24?y29=1，F(xiàn)【答案】9【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線定義、余弦定理求出|MF【詳解】雙曲線x24?y29=1在△F1M即有|F因此(213)2所以△F1M故答案為：9

【變式42】2.（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）如圖，雙曲線C:x29?y216=1的左、右焦點分別為

【答案】48【分析】過點F2作PF1【詳解】如圖，

由C:x29∴F∵P∴??過點F2作PF1邊上的高A∴???所以△PF1F【變式42】3.（2023秋·高二課時練習(xí)）已知雙曲線x216?y29=1的兩焦點分別為F1、【答案】9【分析】由雙曲線定義得到PF1?PF2=8【詳解】不妨設(shè)P為雙曲線右支上一點，由題意得PF又F1因為∠F1P故PF12解得PF1?

【變式42】4.（2022秋·浙江·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓x2m2+y25=1與雙曲線x2【答案】5【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理和三角形面積公式進行求解即可.【詳解】因為橢圓x2m2所以有m2因為該橢圓與雙曲線是中心對稱圖形和軸對稱圖形，所以不妨設(shè)點P是在第一象限，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)設(shè)PF1=s,由余弦定理可知：cos∠所以有sin∠因此△PF1F故答案為：5【變式42】5.（2023秋·高二單元測試）雙曲線16x2?9y2=144的左、右兩焦點分別為F1【答案】16【分析】根據(jù)給定條件，利用雙曲線的定義結(jié)合余弦定理求出∠F【詳解】雙曲線方程16x2?9y2=144化為解得a=3,c=5，于是F1?5,0,由雙曲線的定義知m?n=2a=6，又mn=64在△PF1=m2+而0°<∠F1P所以△PF1F2的面積

【變式42】6.2023秋·高二課時練習(xí)）橢圓y249+x224=1【答案】2424【分析】橢圓的性質(zhì)和雙曲線的性質(zhì),分別計算出P,F【詳解】應(yīng)用橢圓性質(zhì),可以得到F聯(lián)立方程組{y因為橢圓及雙曲線線的對稱性可以取第一象限點P的坐標為245P所以△PF1F故S△P故答案為：24，24.◆類型3角度【例題43】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知F1、F2分別是雙曲線C:x24?y23A．13 B．12 C．35【答案】A【分析】設(shè)點P在雙曲線的右支上，利用雙曲線的定義以及PF1、PF【詳解】

在雙曲線中，a=2，b=3，則c=根據(jù)對稱性，不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，則PF因為F1所PF1=t+4在△PF1F28=t在△PF1F2中，O是F1所以40=t所以t2+4t=940=2t∴cos故選：A.【變式43】1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)雙曲線x24?y23=1的左、右焦點分別為F1，【答案】π3/【分析】根據(jù)雙曲線方程求出a、b、c，再由雙曲線的定義求出|PF1|【詳解】因為雙曲線x24?y23=1因為P為雙曲線右支上一點，所以|PF1|?|P所以|PF1|=6，|P由余弦定理F1即272=62所以∠F故答案為：π【變式43】2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C:x2?【答案】34/【分析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)計算得到PF1=4，P【詳解】PF1=2PF2，PFcos∠故答案為：34【變式43】3.（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）若F1，F(xiàn)2是雙曲線x29?【答案】π【分析】在焦點三角形中，利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖，

由x29?設(shè)|PF則|d1?所以d1在△Fcos又因為0<∠F∴∠F【變式43】4.（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）設(shè)點P在雙曲線x29?y216=1上，F(xiàn)【答案】22?【分析】根據(jù)給定的雙曲線方程，結(jié)合雙曲線定義、余弦定理求解作答.【詳解】在雙曲線x29?y216=1顯然||PF2|?|PF1所以△F1Pcos∠故答案為：22；?◆類型4乘積與比值【例題44】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知點M?5,0，點P在曲線x29?y216【答案】20【分析】作出圖形，分析可知PM=PC+6，PQ【詳解】如下圖所示：在雙曲線x29?y216=1圓x?52+y2=1所以，雙曲線x29?y2由雙曲線的定義可得PM=PC+2a=所以，PM2當且僅當Q為射線PC與圓C的交點，且PC=4故PM2PQ的最小值是故答案為：20.【變式44】1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C:xA．16 B．18 C．8+42 D．【答案】A【分析】利用雙曲線的定義表示PF【詳解】因為F1，F(xiàn)2為雙曲線所以PF所以P=PF2+16因為c=a2+b2=6故選：A.【變式44】2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）橢圓x2m2+y2n2=1m>n>0和雙曲線x2A．m2?aC．m?a D．a(chǎn)【答案】A【分析】不妨設(shè)P在雙曲線的右支上，結(jié)合橢圓與雙曲線的定義列式，由此即可求得|PF【詳解】解：若點P為兩曲線的一個交點，不妨設(shè)P在雙曲線的右支上，則|PF1∴|PF1∴|P故選：A．【變式44】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知P22,5在雙曲線x24?y2A．22?1 B．22+1 C．【答案】C【分析】由已知點的坐標求得b，根據(jù)內(nèi)切圓性求得M點坐標，然后由數(shù)量積的坐標運算計算．【詳解】P22,5在雙曲線x24?y如圖，設(shè)Mx,0，內(nèi)切圓與x軸的切點是點M，PF1∵由雙曲線的定義可得PF1?故NF1?則點M的橫坐標為x，故x+3?3?x=4，∴MP?故選：C．【變式44】4.（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）過雙曲線C:x22?y22=1的左焦點F的直線交C的左?右支分別于A．AB=22FPC．AFBF=AP【答案】BCD【分析】設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，利用點差法可求兩點坐標，求出各線段的長度后可判斷各項的正誤，我們可可以根據(jù)雙曲線中F(?2,0)【詳解】法1：設(shè)Ax1,由題設(shè)可得F?2,0，故9AF=故9x1?x2故x222所以9x1+x2故x1=?139x故AB的直線方程為：y=75故AB=AF=FP=1+7AP=1+7故AB≠2而4AF又AFBF又1AP?1故D成立，故選：BCD.法2：如圖，點F(?2,0)的極線是x=?1，故F,A,P,B又9AF=BF，所以|AP|所以4|AF|=5|AP|，故B正確；4|AF|=5|AP|??|AB|=40|AF||BF|故選：BCD【變式44】5.（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線M:x2?y23=1的左，右焦點F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線上左支上動點，則三角形PF1F2的內(nèi)切圓的圓心為G，若△GP【答案】1【分析】由圓的切線性質(zhì)結(jié)合雙曲線的定義可求圓心G的坐標，再利用三角形面積公式S,S'及其比值，由此可得SS'【詳解】如圖設(shè)切點分別為M，N，Q，由切線的性質(zhì)可得GQ⊥F1F2，由雙曲線的定義，PF1﹣PF2＝2a．由圓的切線性質(zhì)因為F1Q+F2Q＝因為雙曲線M:x2?y23=1的a＝1，b＝3，c＝2，可設(shè)G可得SS'=12故答案為：14◆類型5其他相關(guān)【例題45】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知雙曲線Γ:x24?y22=1的左右焦點分別為F1,A．5+4 B．25+4 C．2【答案】C【分析】利用雙曲線的定義和性質(zhì)表示出各邊長，再利用直角三角形的邊角關(guān)系及余弦定理求出BF【詳解】由雙曲線Γ:x2因為∠F2AB=∠作F2設(shè)F2A=可得F1故cos∠又由余弦定理得cos∠所以4x=x故選：C

【變式45】1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點F1，F(xiàn)2是雙曲線C:x2?y2A．2 B．7 C．3 D．4【答案】C【分析】延長F2Q，交PF1于點T，則可得|PT|?=?|PF2|【詳解】如圖所示，延長F2Q，交PF1于點T，則因為PQ平分∠F1P因為P在雙曲線x2?y23連接OQ，則|OQ|?因為AO=所以QA≤OQ+即點A(?3故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查雙曲線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用已知條件結(jié)合雙曲線的性質(zhì)可得|OQ|?=1，【變式45】2.（2023·全國·高二課堂例題）已知雙曲線的方程是x216?y28=1【答案】1或9/9或1【分析】根據(jù)雙曲線的定義計算出|PF2|【詳解】設(shè)雙曲線的另一個焦點為F2，連接P易得ON是△PF所以O(shè)N=因為PF1?PF2=2a=8故ON=1或ON故答案為：1或9.

【變式45】3.（2023·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測）已知a>0，雙曲線x2?a2y2=1的左?右焦點分別為F1、F2，點M【答案】2?【分析】依題意求出c，由直線F1M的斜率為a求出sin∠MF1【詳解】雙曲線x2?a2y2=1又直線F1M的斜率為a，即tan∠M顯然∠MF1F2為銳角，所以設(shè)MF1=則r1另一方面，在△MF1F即r2a1+代入上述方程組，解得r1=2+22

故答案為：2?【變式45】4.2023·全國·高二專題練習(xí)）從雙曲線x2?y23=1的左焦點F引圓x2+y2=1的切線，切點為T，延長FT【答案】3?1/【分析】設(shè)出雙曲線右焦點F1，連接P【詳解】不妨將點P置于第一象限.設(shè)F1是雙曲線的右焦點，連接PF1,OT,OM.M,O分別為又由雙曲線定義得，PF故MO?故答案為：3【變式45】5.（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知雙曲線x26?y23=1的焦點為F1，【答案】6【分析】根據(jù)雙曲線的定義以及焦點三角形中利用等面積法求解即可.【詳解】

由題可得，a2所以F1設(shè)M(?3,yM)，則9由于對稱性，不妨取M(?3,62根據(jù)雙曲線的定義可得，MF2?設(shè)F1到直線F2M在直角三角形MF1F所以d=6【變式45】6.（2023·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2?y24【答案】25【分析】由PF1?PF2=0得△P【詳解】因為PF1?PF所以|PF1又a2=1，b2=4，所以所以PF1+不妨設(shè)點P在雙曲線的右支上，則|P又|P聯(lián)立①②解得|PF1所以PF1+故答案為：25；6◆類型6內(nèi)切圓相關(guān)【例題46】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知F1、F2分別為雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點，且FA．52 B．12 C．5?1【答案】C【分析】設(shè)IA⊥F1F2，IB⊥PF2，IC⊥F1P【詳解】如圖所示：

由題意I為△PF設(shè)IA⊥F1F2，IB⊥PF2，所以IA=IB=IC=r，又因為S△IP即12化簡得PF由雙曲線定義可知PF1?P注意到F1F2=2聯(lián)立并化簡得c2?a解得λ=ac=?1+5故選：C【變式46】1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點F1,F2分別為雙曲線C:x24?y25=1的左?右焦點，過點A．513 B．512 C．1 【答案】B【分析】利用雙曲線的焦點三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)，圓心在實軸上的射影點就是雙曲線對應(yīng)的頂點，從而構(gòu)造直角三角形，結(jié)合正切的二倍角公式求解.【詳解】如圖，設(shè)△F1PF2

P=c+|OH|?(c?|OH|)=2|OH|=2a，所以|OH|=a，即△F1PF2設(shè)直線的傾斜角為θ，即θ=∠PF1F所以在Rt△GF1所以tanθ=故選：B.【變式46】2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知雙曲線x24?y25=1的左、右焦點分別為FA．18,42 B．24,36C．30?65,30+65【答案】C【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)以及雙曲線的定義可得KF1=【詳解】設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓與PF由切線長的性質(zhì)以及雙曲線定義可得PF又F1F2=K設(shè)角∠PF1F2=2α所以tan2α=QK為內(nèi)切圓的半徑，不妨設(shè)r=QK故在Rt△QF1F=5×6+QM當QM//F1當QM，F(xiàn)1F2方向相同時，QM因此FM故選：C【點睛】解析幾何簡化運算的常見方法：（1）正確畫出圖形，利用平面幾何知識簡化運算；（2）坐標化，把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標運算；（3）巧用定義，簡化運算.【變式46】3.（多選）（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C:x2a2?y2b2A．點M在直線PQ上 B．點M在直線PQ的左側(cè)C．|PQ|=R+r D．PQ⊥【答案】ACD【分析】先證得焦點在x軸上的雙曲線焦點三角形的內(nèi)切圓圓心橫坐標為±a，進而可得點M在直線PQ上，則選項A判斷正確；選項B判斷錯誤；求得|PQ|判斷選項C；求得PQ,F【詳解】先證明一個結(jié)論：焦點在x軸上的雙曲線焦點三角形的內(nèi)切圓圓心橫坐標為±a.過F2的直線與C的右支交于A，B兩點，設(shè)點P為△A設(shè)圓P與AF1,A則AS=則AF1則切點W的坐標為(a,0).切點W與雙曲線C的右頂點M重合，則圓P與x軸的切點為雙曲線C的右頂點M，同理可得圓Q與x軸的切點為雙曲線C的右頂點M.則直線PQ的方程為x=a，雙曲線C的右頂點M的坐標為(a,0)，則點M在直線PQ上.則選項A判斷正確；選項B判斷錯誤；選項C：|PQ|=|PM|+|MQ|=R+r.判斷正確；選項D：由直線PQ的方程為x=a，可得PQ⊥F故選：ACD【變式46】4.（2023秋·上海浦東新·高三上海市實驗學(xué)校?？奸_學(xué)考試）設(shè)F1,F2分別是雙曲線C:x24?y212【答案】(2,215【分析】運用數(shù)量積幾何意義可求得|OP|=26【詳解】由題意知，a2=4，b2=12，所以c2所以F1(?4,0)，過F1作F1H⊥OP

所以O(shè)F1?又因為OF1?所以點P軌跡方程為x2+y2=24x2+y所以|PF1|=設(shè)△PF1F2的內(nèi)心為G，內(nèi)切圓分別與PF1、F1F2

由雙曲線的定義知，|PF1|?|P又因為n+t=8，②所以由①②得：n=6，t=2，所以|ON|=|F1N|?|O所以設(shè)G(2,y由等面積法S△PF1即12×8×15=所以△PF1F故答案為：(2,2【變式46】5.（2023·湖南長沙·長沙一中校考模擬預(yù)測）設(shè)P是雙曲線x24?y212=1右支上的一個動點，F(xiàn)1、F2【答案】1【分析】三角形的內(nèi)角角平分線的交點為內(nèi)切圓的圓心，根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合三角形的內(nèi)切圓的切線長的性質(zhì)可得內(nèi)切圓的其中一個切點必與雙曲線的右頂點重合，最后再根據(jù)三角函數(shù)的定義表示出tanα【詳解】由雙曲線的方程x24?y2設(shè)△PF1F2的內(nèi)切圓C在F1F2，PF1，PF2因為|P=(c+m)?(c?m)=2m=2a，即m=a，切點D與雙曲線的右頂點重合，∴|DF1|=c+a根據(jù)題意可得∠PF1F2=α如圖所示，因此tanα2=所以tanα故答案為：13

【變式46】6.（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知雙曲線x2?y25=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M位于雙曲線的右支上，F(xiàn)1M交左支于N，△MNF2的內(nèi)切圓I的半徑為1，【答案】35/【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)結(jié)合雙曲線的定義求得n=2a=2，再根據(jù)三角恒等變換運算求解.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓與F2M切于點Q，MR=MQ=m，NR則MF1?MFNF2?①＋②得n=2a=2，∵IP⊥NP，且IP=1，則IN=IP2又∵NI平面分∠RNP，則cos∠RNP=1?2故答案為：35【變式46】7.（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C:x25【答案】68【分析】由題意，結(jié)合圖形，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)和雙曲線的定義可得F1A?F2A=25、F1A+【詳解】由題意知a=5如圖，⊙I為△MF1F則F1MF1?又F1A+得OA=F1又△MF1F所以xI因為xG=x代入雙曲線方程，得3525?y又F1(?3,0),F所以MF故答案為：68.題型5和差最值問題【方法總結(jié)】最值問題：利用三角形：和最小問題，兩邊之和≥第三邊，三點共線，動點必須在中間。差的絕對值最大問題，兩邊之差的絕對值≤第三邊，三點共線，動點必須在兩邊?！纠}5】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知F是雙曲線C：x2?y28A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】根據(jù)雙曲線的定義得PF=【詳解】由雙曲線方程x2?y28=1可知，a=1，當點P在雙曲線左支上運動時，由雙曲線定義知PF?PF從而PA+PF=所以PA+PF≥6，此時點P故選：B.【變式51】1.（2023秋·高二課時練習(xí)）已知F是雙曲線x216?y2【答案】8+17/【分析】利用雙曲線定義將PF轉(zhuǎn)化，用P到右焦點的距離表示，由點A與右焦點位于雙曲線右支異側(cè)，利用兩點之間線段最短可得最小值.【詳解】由題意知，a=4,b=3,c=5.設(shè)雙曲線的右焦點為F2由P是雙曲線右支上的點，則PF?則PF+當且僅當A,P,F又A4,4,F所以，PF+PA的最小值為故答案為：8+17

【變式51】2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）P為雙曲線x2?y215=1右支上一點，M，N分別是圓【答案】5【分析】由題意及圓的性質(zhì)知PMmax=PF1【詳解】雙曲線的兩個焦點F1?4,0，

兩圓的半徑分別為r1=2，r2=1，易知故PM?PN的最大值為故答案為：5【變式51】3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）過雙曲線x2a2?y【答案】9【分析】如圖所示，連接OT,連接PF'，求得MO?MT=4?a，由MO2?【詳解】如圖所示，連接OT,設(shè)雙曲線的右焦點為F'，連接PF'由MO?MT=因為MO2?MT設(shè)t=4?a，則1≤t≤2，f(t)=t+16可得函數(shù)f(t)在1,2上單調(diào)遞減，所以f(2)≤f(t)≤f(1)，即2≤f(t)≤9，故MO+MT的最大值為故答案為：9．【變式51】4.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知點M1,2，點P是雙曲線C:x29?y2【答案】5?25/【分析】根據(jù)雙曲線定義有PF2?|PD|=6，則|PM|≥PF【詳解】因為雙曲線的焦點為F2∴圓D的圓心D(?5,0),恰好為雙曲線的左焦點,∴P∵|PM|≥PF2|PN|≤|PD|+|DN|=|PD|+1(當且僅當D,N,P三點共線時取等號),∴|PM|?|PN|≥P|PM|?|PN|的最小值為5?25故答案為：5?25【變式51】5.（2023秋·全國·高二期中）已知點P是雙曲線x29?y216=1右支上的一點，點M、N【答案】9【分析】先由已知條件可知雙曲線的兩個焦點為兩個圓的圓心，再利用平面幾何知識把|PM|?|PN|轉(zhuǎn)化為雙曲線上的點到兩焦點之間的距離，結(jié)合雙曲線的定義即可求|PM|?|PN|的最大值.【詳解】∵x29?y216=1，∴故雙曲線的兩個焦點為F1(?5,0)，F(xiàn)1(?5,0)，F(xiàn)2所以|PM|max=則(|PM|?|PN|)max=|PM=PF1即PM?PN的最大值為

【變式51】6.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0，其一條漸近線方程為x+3y=0A．3?62,1?C．3+32,1+【答案】B【分析】根據(jù)三角形F1AB的面積結(jié)合漸近線方程可得a,b,c的值，再根據(jù)雙曲線的定義轉(zhuǎn)換可得當且僅當P,B,F2共線且B在P,F【詳解】設(shè)F1?c,0,F2c,0，則由三角形F1AB的面積為1+32可得12a+c×1=1+32，即a+c=2+3，又雙曲線一條漸近線方程為又由雙曲線的定義可得PF1?PB=23+此時直線BF2的方程為y=13?2x?2，即y=x?2，聯(lián)立x23?y2=1y=x?2可得2x2?12x+15=0故選：B題型6軌跡方程【方法總結(jié)】求軌跡方程的常見方法有:①直接法，設(shè)出動點的坐標x,y，根據(jù)題意列出關(guān)于x,y的等式即可；②定義法，根據(jù)題意動點符合已知曲線的定義，直接求出方程；③參數(shù)法，把x,y分別用第三個變量表示，消去參數(shù)即可；④逆代法，將x0=gx◆類型1定義法【例題61】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知曲線C上任意一點Px,y滿足方程(x+3)【答案】x【分析】根據(jù)雙曲線的定義分析求解即可得出答案.【詳解】設(shè)F1則(x+3等價于PF∴曲線C為以F1,F所以2a=2,2c=23故曲線C的方程為x2【變式61】1.（2023秋·江西宜春·高二江西省宜豐中學(xué)校考階段練習(xí)）已知動圓C與圓C1:(x?3)2+【答案】x【分析】設(shè)動圓圓心C的坐標為(x,y)，半徑為r，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系，得到CC【詳解】設(shè)動圓圓心C的坐標為(x,y)，半徑為r，由圓C1:(x?3)2+圓C2:(x+3)2根據(jù)題意，可得CC1=r+2所以CC1?C又因為C1C2根據(jù)雙曲線的定義，可得點C的軌跡為以C1且2a=4,2c=6，所以a=2,c=3，則b=c所以所求曲線的軌跡方程為x2故答案為：x2【變式61】2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知動圓P過點N?2,0，且與圓M:x?22【答案】x2?【分析】設(shè)動圓P的半徑為r，則有PN=r，再由兩圓外切得到PM=22【詳解】定圓的圓心為M2,0，與N?2,0設(shè)動圓P的半徑為r，則有PN=r，因為與圓M:所以PM=22+r所以點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的左支，則a=2，c=2，b所以軌跡方程為x22?y22=1故答案為：x2?【變式61】3.（2022秋·福建泉州·高二?？计谥校┮阎獔AF1：(x+1)2+y2=9，圓F2(1)若動圓M與圓F1內(nèi)切與圓F2外切.求動圓圓心M的軌跡(2)若動圓M與圓F3、圓F4都外切.求動圓圓心M的軌跡【答案】(1)x(2)x【分析】（1）根據(jù)題意，由橢圓的定義結(jié)合條件，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由雙曲線的定義結(jié)合條件，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)動圓M的半徑為r，∵動圓M與圓F1內(nèi)切，與圓F∴MF1=3?r于是MF所以動圓圓心M的軌跡是以F1,F從而a=2,c=1，所以b2故動圓圓心M的軌跡C1的方程為x（2）圓F3的圓心為F3?3,0，半徑為r3=3，圓F因為F3F4=6>r設(shè)圓M的半徑為R，由題意可得MF3=R+3所以，圓心C2的軌跡是以點F3、設(shè)圓心C2的軌跡方程為x由題意可得2a=2，則a=1，b2因此，圓心M的軌跡方程為x2【變式61】4.（2023秋·高二課時練習(xí)）在△ABC中，點A為動點，兩定點B,C的坐標分別為?2,0，2,0，且滿足sinC?sinB=【答案】x【分析】根據(jù)條件，利用正弦定理進行角轉(zhuǎn)邊，得到c?b=12a=2，從而得出點A【詳解】設(shè)動點A(x,y)，由題知，BC=a=4，又sinC?sinB=所以點A在以B,C為焦點，即2c=4，實軸長為2，即2a=2的雙曲線的右支上，所以b2又A,B,C構(gòu)成三角形，故點A與BC不共線，即點A不能在x軸上，所以動點A的軌跡方程為x2

【變式61】5.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知圓M:(x+4)2+y2=16，M為圓心，P為圓上任意一點，定點A(4,0)，線段PA的垂直平分線l與直線PM相交于點A．x24?C．x2?y【答案】B【分析】利用圓的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義進行求解即可．【詳解】解：因為線段PA的垂直平分線l與直線PM相交于點Q，所以有QA=QP，由圓M:(x+4)2+因為點P在圓上運動時，所以有QP?QM=4所以點Q的軌跡是以A，M為焦點的雙曲線，所以c=4，2a=4，可得a=2，所以b2所以點Q的軌跡方程為x2故選：B．【變式61】6.（2022秋·湖南郴州·高二湖南省資興市立中學(xué)?？计谀┮阎獔AM：x+22+y2=4，M為圓心，P為圓上任意一點，定點A2,0，線段PA的垂直平分線l與直線PM相交于點A．x24?y212=1(x≤?2) B．【答案】D【分析】利用圓的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義進行求解即可.【詳解】因為線段PA的垂直平分線l與直線PM相交于點Q，所以有QA=由x+22+y2=4因為點P在圓上運動時，所以有QP?QM=2所以點Q的軌跡是以A,M為焦點的雙曲線，所以2c=4,2a=2?c=2,a=1?b所以點Q的軌跡方程為x2故選：D◆類型2方程法【例題62】（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別是(?2,0)、(2,0)，且AC，BC所在直線的斜率之積等于2，則頂點C的軌跡方程是（

）A．x24?y28C．x24?y28【答案】A【分析】首先設(shè)點Cx,y【詳解】設(shè)Cx,y,x≠±2，所以yx+2?yx?2=2故選：A【變式62】1.（2023·全國·高二課堂例題）動點M(x,y)與定點F(4,0)的距離和它到定直線l:x=94距離的比是常數(shù)【答案】點M軌跡是焦點在x軸上，實軸長為6、虛軸長為27的雙曲線x【分析】利用兩點、點線距離公式列方程，并轉(zhuǎn)化整理即可得軌跡方程，進而判斷軌跡.【詳解】設(shè)d是點M到直線l的距離，根據(jù)題意，動點M的軌跡就是點的集合P=MMFd將上式兩邊平方，并化簡，得7x2?9所以，點M的軌跡是焦點在x軸上，實軸長為6、虛軸長為27的雙曲線x【變式62】2.(多選)（2023·全國·高二專題練習(xí)）過橢圓C:x28+y24=1外一點Px0,y0A．兩條直線 B．圓的一部分C．橢圓的一部分 D．雙曲線的一部分【答案】BCD【分析】設(shè)出切線方程且斜率為k，聯(lián)立橢圓化簡使判別式等于零得到關(guān)于k等式，根