第四章彎曲內(nèi)力

Chapter4Internalforcesinbeams第四章彎曲內(nèi)力§4-1

基本概念及工程實例(Basicconceptsandexampleproblems)第四章彎曲內(nèi)力(Internalforcesinbeams)§4-4剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖(Shear-force&bending-momentequations;shear-force&bending-momentdiagrams)§4-3

梁的剪力和彎矩(Shear-forceandbending-momentinbeams)§4-6

平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖(Internaldiagramsforframemembers&curvedbars)

§4-5

剪力、彎矩與分布荷載集度間的關(guān)系(Relationshipsbetweenload,shear

force,andbendingmoment)一、工程實例(Exampleproblem)§4-1基本概念及工程(Basicconceptsandexampleproblems)工程實例(Exampleproblem)

二、基本概念(Basicconcepts)2.梁(Beam)

以彎曲變形為主的桿件外力（包括力偶）的作用線垂直于桿軸線.（1）

受力特征（2）

變形特征

變形前為直線的軸線,變形后成為曲線.1.彎曲變形(Deflection)3.平面彎曲(Planebending)

作用于梁上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi),彎曲變形后的軸線是一條在該縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面曲線,這種彎曲稱為平面彎曲.AB對稱軸縱向?qū)ΨQ面梁變形后的軸線與外力在同一平面內(nèi)梁的軸線FRAF1F2FRB（3）支座的類型§

4.2梁的力學(xué)模型的簡化(Representingarealstructurebyanidealizedmodel)（1）梁的簡化通常取梁的軸線來代替梁。（2）載荷類型集中力(concentratedforce)集中力偶(concentratedmoment)分布載荷(distributedload)

可動鉸支座(rollersupport)

FRAAAAA一、支座的幾種基本形式集中載荷集中力偶分布載荷固定鉸支座(pinsupport)固定端(clampedsupportorfixedend)AAAFRAyAFRAxFRyFRxM二、靜定梁的基本形式

(Basictypesofstaticallydeterminatebeams)懸臂梁(cantileverbeam)外伸梁(overhangingbeam)簡支梁(simplysupportedbeam)起重機(jī)大梁為No.25a工字鋼,如圖所示,梁長L=10m,單位長度的重量為38.105kg/m,起吊重物的重量為100kN,試求起重機(jī)大梁的計算簡圖.q

=38.105kN/mF=100kN一、內(nèi)力計算(Calculatinginternalforce)

[舉例]已知如圖，F(xiàn)，a，l.

求距A端x處截面上內(nèi)力.解:求支座反力

§4-3

梁的剪力和彎矩(Shear-forceandbending-momentinbeams)BAalFFRAyFRAxFRBABF求內(nèi)力——截面法彎曲構(gòu)件內(nèi)力剪力彎矩1.彎矩(Bendingmoment)M

構(gòu)件受彎時，橫截面上其作用面垂直于截面的內(nèi)力偶矩.MFRAyFRAxFRBABFmmxFRAyFSCFFRBFSCM2.剪力(Shearforce)

FS

構(gòu)件受彎時，橫截面上其作用線平行于截面的內(nèi)力.FSdxmmFS+1.剪力符號(Signconventionforshearforce)使dx

微段有左端向上而右端向下的相對錯動時,橫截面m-m上的剪力為正.或使dx微段有順時針轉(zhuǎn)動趨勢的剪力為正.二、內(nèi)力的符號規(guī)定(Signconventionforinternalforce)使dx微段有左端向下而右端向上的相對錯動時,橫截面m-m上的剪力為負(fù).或使dx微段有逆時針轉(zhuǎn)動趨勢的剪力為負(fù).dxmmFSFS-

當(dāng)dx

微段的彎曲下凸（即該段的下半部受拉）時,橫截面m-m上的彎矩為正；2.彎矩符號(Signconventionforbendingmoment)mm+（受拉）MM

當(dāng)dx

微段的彎曲上凸（即該段的下半部受壓）時,橫截面m-m上的彎矩為負(fù).mm（受壓）MM-解：（1）求梁的支反力FRA

和FRB例題2圖示梁的計算簡圖.已知F1、F2,且F2>F1,尺寸a、b、c和l亦均為已知.試求梁在E

、F

點(diǎn)處橫截面處的剪力和彎矩.FRBBdEDAabclCFF1F2FRA

記E

截面處的剪力為FSE

和彎矩

ME，且假設(shè)FSE

和彎矩ME

的指向和轉(zhuǎn)向均為正值.BdEDAabclCFF1F2FRAAEcFSEFRAME解得取右段為研究對象AEcFSEFRAMEa-cb-cCDl-cBEFSEF1F2MEFRB解得++

計算F點(diǎn)橫截面處的剪力FSF

和彎矩MF

.BdEDAabclCFF1F2FRAFdBFSFMFFRB解得：-+解：1.確定支反力FAyFBy2.用截面法研究內(nèi)力FAyFSEME目錄例題

求圖示簡支梁E截面的內(nèi)力FAyFByFByFAyFSEMEO分析右段得到：FSEMEO目錄左側(cè)梁段：向上的外力引起正值的剪力向下的外力引起負(fù)值的剪力右側(cè)梁段：向下的外力引起正值的剪力向上的外力引起負(fù)值的剪力三、計算規(guī)律(Simplemethodforcalculatingshear-forceandbending-moment)1.剪力

(Shearforce)不論在截面的左側(cè)或右側(cè)向上的外力均將引起正值的彎矩，而向下的外力則引起負(fù)值的彎矩.2.彎矩(Bendingmoment)左側(cè)梁段順時針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩 逆時針轉(zhuǎn)向的外力偶引起負(fù)值的彎矩右側(cè)梁段逆時針轉(zhuǎn)向的外力偶引起正值的彎矩順時針轉(zhuǎn)向的外力偶引起負(fù)值的彎矩例題3軸的計例算簡圖如圖所示，已知F1=F2=F=60kN，a=230mm，b=100mm

和c=1000mm.求C、D點(diǎn)處橫截面上的剪力和彎矩.F2=FACDBbacF1=FFRAFRB

解：（1）求支座反力（2）計算C橫截面上的剪力FSC和彎矩

MC看左側(cè)F2=FACDBbacF1=FFRAFRB（3）計算D橫截面上的剪力FSD

和彎矩MD

看左側(cè)解:例題4求圖示梁中指定截面上的剪力和彎矩.（1）求支座反力FRA=4kNFRB=-4kNC12M（2）求1-1截面的內(nèi)力（3）求2-2截面的內(nèi)力B1m2.5m10kN·mAC12FRAFRB求圖示外伸梁中的1－1、2－2、3－3、4－4和5－5各截面上的內(nèi)力1212343455練習(xí)

§4-4

剪力方程和彎矩方程·剪力圖和彎矩圖

(Shear-force&bending-momentequations;

shear-force&bending-momentdiagrams)

FS=FS(x)M=M(x)一、剪力方程和彎矩方程

(Shear-force&bending-momentequations)

用函數(shù)關(guān)系表示沿梁軸線各橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律，分別稱作剪力方程和彎矩方程.1.剪力方程(Shear-forceequation)2.彎矩方程(Bending-momentequation)彎矩圖為正值畫在x軸上側(cè),負(fù)值畫在x軸下側(cè)二、剪力圖和彎矩圖(Shear-force&bending-momentdiagrams)

剪力圖為正值畫在x軸上側(cè),負(fù)值畫在x軸下側(cè)

以平行于梁軸的橫坐標(biāo)x表示橫截面的位置,以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上的剪力和彎矩.這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖xFS(x)FS

圖的坐標(biāo)系OM

圖的坐標(biāo)系xOM(x)例題5如圖所示的懸臂梁在自由端受集中荷載F作用,試作此梁的剪力圖和彎矩圖.BAFlx解:

列出梁的剪力方程和彎矩方程FSxFFlxM例題6圖示的簡支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載用.試作此梁的剪力圖和彎矩圖.解：（1）

求支反力lqFRAFRBABx（2）列剪力方程和彎矩方程.剪力圖為一傾斜直線繪出剪力圖x=0處，x=l

處,+ql/2ql/2BlqFRAAxFRB彎矩圖為一條二次拋物線lqFRAABxFRB令得駐點(diǎn)彎矩的極值繪出彎矩圖+l/2由圖可見，此梁在跨中截面上的彎矩值為最大但此截面上

FS=0兩支座內(nèi)側(cè)橫截面上剪力絕對值為最大lqFRAABxFRB+ql/2ql/2+l/2解:（1）求梁的支反力例題7圖示的簡支梁在C點(diǎn)處受集中荷載

F作用.試作此梁的剪力圖和彎矩圖.lFABCabFRAFRB因為AC段和CB段的內(nèi)力方程不同，所以必須分段列剪力方程和彎矩方程.將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端

AC段CB段xxlFABCabFRAFRB由（1）,（3）兩式可知，AC、CB兩段梁的剪力圖各是一條平行于x

軸的直線.xxlFABCabFRAFRB++

由（2），（4）式可知，AC、CB兩段梁的彎矩圖各是一條斜直線.在集中荷載作用處的左,右兩側(cè)截面上剪力值(圖)有突變,突變值等于集中荷載F.彎矩圖形成尖角,該處彎矩值最大.xxlFABCabFRAFRB++解：求梁的支反力例題8圖示的簡支梁在C點(diǎn)處受矩為M的集中力偶作用.試作此梁的的剪力圖和彎矩圖.將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端.因為梁上沒有橫向外力，所以全梁只有一個剪力方程lABCabFRAFRBM由(1)式畫出整個梁的剪力圖是一條平行于x

軸的直線.+AC段CB段AC

段和

BC

段的彎矩方程不同xxlABCabFRAFRBMAC,CB

兩梁段的彎矩圖各是一條傾斜直線.

x=a,

x=0,AC段CB段

x=a,x=l,M=0+

梁上集中力偶作用處左、右兩側(cè)橫截面上的彎矩值(圖)發(fā)生突變，其突變值等于集中力偶矩的數(shù)值.此處剪力圖沒有變化.lABCabFRAFRBM++

2.以集中力、集中力偶作用處、分布荷載開始或結(jié)束處,及支座截面處為界點(diǎn)將梁分段.分段寫出剪力方程和彎矩方程,然后繪出剪力圖和彎矩圖.

1.取梁的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),x軸向右為正:剪力圖向上為正;彎矩圖向上為正.

5.梁上的FSmax發(fā)生在全梁或各梁段的邊界截面處;梁上的Mmax發(fā)生在全梁或各梁段的邊界截面,或FS=0的截面處.小結(jié)

3.梁上集中力作用處左、右兩側(cè)橫截面上,剪力（圖）有突變,突變值等于集中力的數(shù)值.在此處彎矩圖則形成一個尖角.

4.梁上集中力偶作用處左、右兩側(cè)橫截面上的彎矩（圖）有突變,其突變值等于集中力偶矩的數(shù)值.但在此處剪力圖沒有變化.例題9一簡支梁受移動荷載F

的作用如圖所示.試求梁的最大彎矩為極大時荷載F

的位置.ABFlx解:先設(shè)F在距左支座A

為x

的任意位置.求此情況下梁的最大彎矩為極大.荷載在任意位置時，支反力為當(dāng)荷載F在距左支座為x的任意位置C時，梁的彎矩為令此結(jié)果說明，當(dāng)移動荷載F

在簡支梁的跨中時，梁的最大彎矩為極大.得最大彎矩值代入式將設(shè)梁上作用有任意分布荷載其集度§4-5

剪力、彎矩與分布荷載集度間的關(guān)系(Relationshipsbetweenload,shearforce,andbendingmoment)一、彎矩、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系(Differentialrelationshipsbetweenload,shearforce,andbendingmoment)q=q(x)規(guī)定

q(x)向上為正.將x軸的坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端.xyq(x)FMxyq(x)FMFS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)假想地用坐標(biāo)為x

和x+dx的兩橫截面m-m和n-n從梁中取出dx

微段.mmnnq(x)C

x+dx

截面處則分別為

FS(x)+dFS(x)，M(x)+dM(x).由于dx很小，略去q(x)

沿dx的變化.m-m截面上內(nèi)力為FS(x),M(x)nxmmn

dxFS(x)M(x)FS(x)+dFS(x)M(x)+dM(x)mmnnq(x)C寫出微段梁的平衡方程得到

略去二階無窮小量即得公式的幾何意義（1）剪力圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處荷載集度的大小;（2）彎矩圖上某點(diǎn)處的切線斜率等于該點(diǎn)處剪力的大小;（3）根據(jù)q(x)＞0或q(x)＜0來判斷彎矩圖的凹凸性.1.梁上無荷載區(qū)段，q(x)=0剪力圖為一條水平直線.彎矩圖為一斜直線.xFS(x)O當(dāng)FS(x)>0時,向右上方傾斜.當(dāng)FS(x)<0時,向右下方傾斜.xOM(x)OM(x)x二、q(x)、FS(x)圖、M（x）圖三者間的關(guān)系xxlFABCabFRAFRB++M(x)圖為一向上凸的二次拋物線.FS(x)圖為一向右下方傾斜的直線.xFS(x)O2.梁上均布載荷，即q(x)=常數(shù)xOM(x)若作用有向下的均布荷載,即q(x)<0Fs(x)

為

x的一次函數(shù)，剪力圖為斜直線；M(x)

為

x的二次函數(shù)，彎矩圖為拋物線。lqFRAABxFRB+ql/2ql/2+l/25.梁上最大剪力可能發(fā)生在集中力所在截面的一側(cè);或分布載荷發(fā)生變化的區(qū)段上.

梁上最大彎矩Mmax可能發(fā)生在FS(x)=0的截面上;或發(fā)生在集中力所在的截面上;或集中力偶作用處的一側(cè).

3.在集中力作用處剪力圖有突變,其突變值等于集中力的值.彎矩圖有轉(zhuǎn)折.4.在集中力偶作用處彎矩圖有突變，其突變值等于集中力偶的值，但剪力圖無變化.lABCabFRAFRBM++無荷載集中力FC集中力偶MC向下傾斜的直線上凸的二次拋物線在FS=0的截面水平直線一般斜直線或在C處有轉(zhuǎn)折在剪力突變的截面在緊靠C的某一側(cè)截面一段梁上的外力情況剪力圖的特征彎矩圖的特征Mmax所在截面的可能位置表4-1在幾種荷載下剪力圖與彎矩圖的特征q<0向下的均布荷載在C處有突變F在C處有突變M在C處無變化C三、分布荷載集度、剪力和彎矩之間的積分關(guān)系(Integralrelationshipsbetweenload,shearforce,andbendingmoment)若在x=x1

和x=x2處兩個橫截面無集中力則等號右邊積分的幾何意義是x1,x2兩橫截面間分布荷載圖的面積.若橫截面x=x1，x=x2

間無集中力偶作用則得式中M(x1)，M(x2)分別為在x=x1

和x=x2處兩個橫截面上的彎矩.等號右邊積分的幾何意義是x1,x2兩個橫截面間剪力圖的面積.式中，分別為在x=x1

和x=x2

處兩個橫截面上的剪力.lABCabFRAFRBM++例題10一簡支梁受兩個力F作用,如圖所示.已知F=25.3kN,有關(guān)尺寸如圖所示.試用本節(jié)所述關(guān)系作剪力圖和彎矩圖.解：（1）求梁的支反力將梁分為AC、CD、DB

三段.每一段均屬無載荷區(qū)段.BACD2001151265FFFRAFRB231（2）剪力圖每段梁的剪力圖均為水平直線AC段23.61.727+BFRBACD2001151265FFFRA231DB段最大剪力發(fā)生在DB段中的任一橫截面上CD段4.723.11+BACD2001151265FFFRAFRB231最大彎矩發(fā)生在C

截面（3）彎矩圖每段梁的彎矩圖均為斜直線.且梁上無集中力偶.（4）對圖形進(jìn)行校核在集中力作用的C,D

兩點(diǎn)剪力圖發(fā)生突變,突變值F=25.3kN.而彎矩圖有尖角.在AC段剪力為正值，彎矩圖為向上傾斜的直線.BACD2001151265FFFRAFRB2314.723.11+23.61.727+在CD和DB段，剪力為負(fù)值，彎矩圖為向下傾斜的直線.最大彎矩發(fā)生在剪力改變正、負(fù)號的

C截面處.說明剪力圖和彎矩圖是正確的.練習(xí)

一簡支梁受均布荷載作用，其集度q=100kN/m,如圖

所示.試用簡易法作此梁的剪力圖和彎矩圖.

FRAFRBEqABCD0.21.612小結(jié)彎矩、剪力與分布荷載集度間的微分關(guān)系q(x)、FS(x)圖、M（x）圖三者間的關(guān)系

q(x)=0

q(x)>0

q(x)<0分布荷載集度、剪力和彎矩之間的積分關(guān)系

例題12作梁的內(nèi)力圖.解：（1）支座反力為3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN將梁分為AC、CD、

DB、BE四段.（2）剪力圖AC段

向下斜的直線(

)CD段向下斜的直線(

)DB段水平直線(-)EB段

水平直線(-)3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kNAC段向下斜的直線(

)CD段向下斜的直線(

)F點(diǎn)剪力為零,令其距A截面的距離為x7kN1kN++3kN3kN2kNx=5mx=5m（3）彎矩圖CD段AC段DB段BE段201666+20.53m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN3m4mABCDE4m4mFRAFRBF1=2kNq=1kN/mM=10kN·mF2=2kN7kN1kN++3kN3kN2kNx=5m201666+20.5（4）校核解：支座反力為FRA

=81kNFRB=29kNMA=96.5kN·m例題13

用簡易法作組合梁的剪力圖和彎矩圖.10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/m將梁分為AE，EC，CD，DK，KB

五段。(1)剪力圖AE段

水平直線FSA右

=FSE左

=FRA

=81kNED段

水平直線DK

段向右下方傾斜的直線FSK=-FRB

=-29kNFSE右

=FRA

-F=31kNKB

段水平直線FSB左=-FRB=-29kN81kN31kN29kN+10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/m設(shè)距K截面為x

的截面上剪力FS=0.即x=1.4581kN31kN29kN+10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/m（2）彎矩圖

AE，EC，CD

梁段均為向上傾斜的直線96.515.53110.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/mKB

段向下傾斜的直線DK段

向上凸的二次拋物線在FS=0的截面上彎矩有極值96.53115.5x+5534510.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/m

中間鉸鏈傳遞剪力(鉸鏈左,右兩側(cè)的剪力相等)；但不傳遞彎矩(鉸鏈處彎矩必為零).++10.5113F=50kNM=5kN·mAECDKBFRAFRBMAq=20kN/m例題14已知簡支梁的剪力圖,作梁的彎矩圖和荷載圖.已知梁上沒有集中力偶作用.abcd18kN2kN14kN3m3m6m+解:(1)畫荷載圖AB段沒有荷載，在B處有集中力所以F=20kN方向向下CABDF=20kNBC段

無荷載CD

段有均布荷載q(

)abcd18kN2kN14kN3m3m6m+q=2kNCABDF=20kN(2)彎矩圖AB段向右上傾斜的直線BC段向右下傾斜的直線.abcd18kN2kN14kN3m3m6m+CD段向上凸的二次拋物線.該段內(nèi)彎矩沒有極值.48dab54c+例題15已知簡支梁的彎矩圖,作出梁的剪力圖和荷載圖.AB段因為M(x)=常量,剪力圖為水平直線,且FS(x)=0.40kN·mabcd2m2m2m+解：(1)作剪力圖BC段FS(x)=常量,剪力圖為水平直線CD段剪力圖為水平直線且FS(x)=0abcd20kNAB段無荷載Me=40kN·m(

)Me在A處有集中力偶(2)作荷載圖40KN·mabcd2m2m2m+abcd20kNBCADF=20kN(

)B

處有集中力.集中力BC段無荷載C處有集中力集中力F=20kN(

)CD段無荷載FF補(bǔ)充介紹：按疊加原理作彎矩圖(Drawingbending-momentdiagrambysuperpositionmethod)一、疊加原理(Superposition

principle)

多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力等于每個載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的內(nèi)力的代數(shù)和.二、適用條件(Applicationcondition)

所求參數(shù)（內(nèi)力、應(yīng)力、位移）必須與荷載滿足線性關(guān)系.即在彈性限度內(nèi)滿足胡克定律.

三、步驟(Procedure)

（1）分別作出各項荷載單獨(dú)作用下梁的彎矩圖;

（2）將其相應(yīng)的縱坐標(biāo)疊加即可（注意：不是圖形的簡單拼湊）

例16懸臂梁受集中荷載F

和均布荷載q

共同作用,試按疊加原理作此梁的彎矩圖xF=ql/3qlxF=ql/3ql解:懸臂梁受集中荷載F

和均布荷載q

共同作用，在距左端為x的任一橫截面上的彎矩為FxqxF

單獨(dú)作用q單獨(dú)作用F,q

作用該截面上的彎矩等于F,q單獨(dú)作用該截面上的彎矩的代數(shù)和FxFqxlqx++-2l/3l/3例題17圖示一外伸梁，a=425mm,F1、

F2

、

F3分別為685kN,575kN,506kN.試按疊加原理作此梁的彎矩圖,求梁的最大彎矩.BCF2F3aDEF1Aaaa解：將梁上荷載分開F1291acebdF2e122+acbd215acebdF3aaaa291acebdBCF2F3aDEF1Aaaa122+acebd215acebd291215131acebd1.平面剛架的內(nèi)力(Internalforcesforplaneframemembers)

剪力(shearforce);彎矩(bendingmoment);軸力(axialforce).ABC平面剛架是由在同一平面內(nèi),不同取向的桿件,通過桿端相互剛性連結(jié)而組成的結(jié)構(gòu).一、平面剛架的內(nèi)力圖(Internaldiagramsforplaneframemembers)§4-6

平面剛架和曲桿的內(nèi)力圖（Internaldiagramsforplaneframemembers&acurvedbars)平面剛架：某些機(jī)器的機(jī)身（壓力機(jī)等）由幾根直桿組成，而各桿在其聯(lián)接處的夾角不能改變，這種聯(lián)接稱為剛節(jié)點(diǎn)。有剛節(jié)點(diǎn)的框架稱為剛架。各直桿和外力均在同一平面內(nèi)的剛架為平面剛架。平面剛架的內(nèi)力一般有軸力、剪力和彎矩。彎矩圖(bendingmomentdiagram)畫在各桿的受壓側(cè),不注明正、負(fù)號.剪力圖及軸力圖(shearforceandaxialforcediagrams)

可畫在剛架軸線的任一側(cè)(通常正值畫在

剛架的外側(cè)).注明正,負(fù)號.2、內(nèi)力圖符號的規(guī)定(Signconventionforinternalforcediagrams)例題