第7章軸向拉伸和壓縮7拉伸和壓縮課件上課講義

第7章軸向拉伸和壓縮7.1拉伸和壓縮7.2拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力7.3軸力圖7.4軸向拉伸與壓縮時的應力7.5拉（壓）桿斜截面上的應力7.6軸向拉伸（壓縮）時的彈性變形、變形能7.7材料拉伸時的力學性能7.8材料壓縮時的力學性質(zhì)7.9拉伸（壓縮）桿件的強度計算

7.10應力集中7.11拉壓超靜定問題1拉伸和壓縮軸向拉伸，對應的外力稱為拉力。軸向壓縮，對應的外力稱為壓力。2拉（壓）桿橫截面上的內(nèi)力以圖示為例，用截面法確定桿件橫截面mm上的內(nèi)力。用假想平面將桿件沿橫截面mm截開根據(jù)平衡，如圖

mmN{mmN}PP桿件左右兩段在橫截面mm上相互作用的內(nèi)力，是一個分布力系。

N}mmPmmP{N設其合力為有平衡條件，可得

(2-1)N與軸線重合，稱為軸力。 一般規(guī)定：拉伸時的軸力為正，壓縮時的軸力為負。軸力圖的意義：①反映出軸力與截面位置的變化關系，較直觀；②反映出最大軸力的數(shù)值及其所在面的位置，即危險截面位置，為強度計算提供依據(jù)。軸力的正號使微元區(qū)段有伸長趨勢的軸力正。軸力的負號例：桿件受力如圖（a）所示，試繪制軸力圖。(b)解：（1）計算各段桿的軸力AB段：軸力假設為拉力，用表示

得

(負號說明為壓力)(a)P2PBCDABNPA同理：求得BC、CD、段的軸力分別為：PP2PABCDPPABPP2PABC(a)(d)(c)BCNCDN

（2）軸力圖如圖（e）所示。NxP(e)2P在軸力圖中，突變值=集中載荷PP2PABCD

例2-1等截面直桿受力如圖a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，試繪制該桿的軸力圖。3P1P2PABCD(a)1m2m1.5m3PR1P2PABCDIIIIIIIIIIII(b)解

（1）求支座反力設支反力為R如b圖根據(jù)整個桿的平衡條件求得

例2-1等截面直桿受力如圖a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，試繪制該桿的軸力圖。AIIR1N(c)（2）計算各段桿的軸力AB段：用假想平面在AB段內(nèi)將桿截開，取左段為研究對象（圖c），截面上的軸力假設為拉力，用N1表示。由平衡條件IIIIIIIIII3P1P2P

例2-1等截面直桿受力如圖a所示，P1=120kN，P2=90kN，P3=60kN，試繪制該桿的軸力圖。AII(c)IIIIIIIIII3P1P2P同理求得:BC段（圖d）、CD段（圖e）的軸力：1PABIIIIR2NN3P3IIIIII(e)(d)（3）繪制軸力圖軸力圖如圖f所示。從軸力圖可見，AB段內(nèi)的軸力值最大，Nmax=N1=120kN。軸力是內(nèi)力，它與外力有關，但又不同于外力。3P1P2PABCD(a)N/kNx(f)60904軸向拉伸與壓縮時的應力一.正應力公式：

僅由上述靜力關系式還不能確定σ和N之間的具體關系。下面從研究桿件的變形入手來尋求σ的變化規(guī)律。如左圖：變形后可觀察到如下現(xiàn)象：變形前變形后（1）桿件被拉長。但各橫向線仍保持為直線，任意兩相鄰橫向線相對地沿軸線平行移動了一段距離；（2）變形后，橫線仍垂直于軸線。扭轉彎曲由以上的觀察可得，桿件變形的平截面假設拉壓

桿件的橫截面在拉壓、扭轉或彎曲變形過程中始終保持是平面，并始終保持與軸線垂直。根據(jù)平面假設和材料均勻、連續(xù)的性質(zhì)，可知：橫截面各點處的分布內(nèi)力集度（即正應力σ）均相等，于是有因此拉（壓）桿橫截面上的正應力為σ的符號規(guī)定與N相同，拉應力為正，壓應力為負。上述正應力公式的推導過程用到了變形幾何，物理和靜力平衡三方面的規(guī)律。材料力學的分析方法力學分析力學分析物理分析力學分析物理分析幾何分析三類分析的綜合力學分析物理分析幾何分析力學分析物理分析幾何分析力學分析物理分析幾何分析物理分析幾何分析力學分析幾何分析力學分析物理分析1.

力學分析研究構件中的各個力學要素（包括外力和內(nèi)力；包括力和力偶矩）之間的關系。2.物理分析研究材料的力學性能，研究構件的力學要素（有時還包括熱學要素）與幾何要素之間的關系。荷載與變形量之間的關系溫度變化與應力、變形量之間的關系構件內(nèi)部應力與應變之間的關系3.幾何分析研究構件和結構中各幾何要素之間的關系。構件中應變和變形量之間的關系結構中各構件變形量之間的關系二.正應力公式的使用條件1.外力合力作用線必須與桿軸線重合。2.桿件必須是等直桿。若橫截面尺寸沿軸線變化，對于變化緩慢的桿：（2-4）3.公式只在距外力作用點一定距離外才是正確的。PP/2P/2P/AP圣維南原理——雖然力作用于桿端的方式不同，只要它們是靜力等效的，則桿件中應力分布僅在作用點附近不大的范圍內(nèi)(不大于桿的橫向尺寸)有明顯影響。

應力等效PP/2P/2P/AP例2-2圖所示鉸接支架，AB為圓截面桿，直徑為d=16mm，BC為正方形截面桿，邊長為a=14mm。若載荷P=15kN，試計算各桿橫截面上的應力。ACBP解（1）計算各桿軸力用截面法，截取結點B為研究對象，各桿軸力假定為拉力。由平衡方程得BPABNBCN例2-2圖所示鉸接支架，AB為圓截面桿，直徑為d=16mm，BC為正方形截面桿，邊長為a=14mm。若載荷P=15kN，試計算各桿橫截面上的應力。ACBP（2）計算各桿應力，得BPABNBCN5拉（壓）桿斜截面上的應力沿斜截面kk（如圖），將桿截分為二。研究左段桿的平衡，得到斜截面kk上內(nèi)力

pp(a)(b)kkppkk（a）斜截面kk的面積為，橫截面積為A，于是有

pp(a)(b)kkppkk式中為橫截面（）上的正應力。（b）A斜截面全應力的分解：垂直于斜截面的正應力：（2-5）相切于斜截面的剪應力：

可見，斜截面上不僅存在正應力，而且還存在剪應力，其大小隨截面的方位而變化。Patasaa（2-6）x、、的符號規(guī)定如下x1.當時（橫截面）

即橫截面上的正應力是所有各截面上正應力的最大值。（2-5）（2-6）

3.當時當時即在斜截面上，剪應力有最大、最小值，且其數(shù)值為最大正應力的一半。（2-5）（2-6）一、縱向變形虎克定律一等直桿如圖所示，設桿的原長為，橫截面面積為A。在軸向拉力P作用下，桿的長度由變?yōu)椤?軸向拉伸（壓縮）時的彈性變形、變形能pp軸線方向總伸長為(a)pp試驗表明：引入比例系數(shù)E，則有（b）對于僅在兩端受軸向外力作用的等直桿，由于N=P，故式（b）可改寫為桿件拉伸時，為正；桿件壓縮時，為負。（2-7）式（2-7）就是軸向拉伸與壓縮時等直桿軸向變形的計算公式，通常稱為虎克定律。E——與材料的性質(zhì)有關，稱為材料的拉壓彈性模量，其值可由實驗確定。EA——反映了桿件抵抗拉伸（壓縮）變形的能力，稱為桿件的抗拉（壓）剛度。（2-7）pp若將和代入公式（2-7）可得或（2-8）這是虎克定律的另一種表示形式。虎克定律又可表述為：當應力不超過某一極限值時，應力與應變成正比。因為應變ε沒有量綱，彈性模量E有與應力相同的量綱。最后指出，公式（2-7）只有當軸力N、橫截面面積A、材料的彈性模量E在桿長l內(nèi)為常量時才能應用。（2-7）對于階梯桿或軸力分段變化的桿件：

當軸力和橫截面積沿桿軸線x方向連續(xù)變化時，有 二、橫向變形泊松比

設桿件變形前的橫向尺寸為b，變形后為b1，則桿的橫向線應變?yōu)?/p>

（2-9）（2-10）

試驗表明：橫向應變與縱向應變ε之間滿足如下關系

因ε’與ε的符號相反，故有μ——稱為泊松比或橫向變形系數(shù)，是一個無量綱的量，其值隨材料的不同而不同。E、μ都是材料本身所固有的彈性常數(shù)，是反映材料彈性變形能力的參數(shù)。（2-11）（2-12）例1階梯鋼桿如圖所示。已知AC段的截面面積為A1=500mm2，CD段的截面面積為A2=200mm2，鋼桿的彈性模量E=200GPa。試求：（1）各段桿橫截面上的內(nèi)力和應力；（2）桿的總伸長。BACD1P=30KN2P=10KN1001001002P1P1122R解（1）內(nèi)力計算2P1P1N2P2N用截面法沿11、22面截開，計算軸力,得：繪出軸力圖。20+10_xN(KN)BACD（2）應力計算（3）桿的總伸長計算結果為負，說明整個桿是縮短的。例2尺寸為=的鋼板如圖所示，其材料的彈性模量E=200GPa，泊松比。求鋼板在兩端受到合力為140kN的均布載荷作用時厚度的變化。2501050140KN{140KN}2501050140KN{140KN}解在兩端的均布載荷作用下，鋼板發(fā)生軸向拉伸變形。其橫截面上正應力可按公式（2-1）計算，即（a）由虎克定律（b）

2501050140KN{140KN}橫向線應變?yōu)橛谑牵╟）2501050140KN{140KN}將式（b）代入式（c），并考慮式（a），得

即鋼板的厚度減小了0.0035mm。三、軸向拉壓時的變形能

在外力作用下，彈性體因變形而儲存的能量，成為變形能或應變能。彈性體變形儲存能量外力做功外力減小變形減小釋放能量如圖，受軸向拉伸的直桿，下端受從零開始逐漸增加的拉力作用，直至最終數(shù)值P。作用點的位移也逐漸增大至,在應力小于比例極限的范圍內(nèi)，拉力P與成正比。pp(a)(b)

顯然dW等于圖中畫陰影線部分的微分面積。W等于圖中三角形的面積:若不計任何能量損耗，根據(jù)功能原理，彈性體內(nèi)儲存的變形能U應等于拉力P所做的功W。即

考慮軸力，并引出虎克定律，得

（2-13）（2-14）變形能的單位為焦（J）引入單位體積內(nèi)的變形能的概念，我們稱為變形比能（簡稱比能），記作u。

由虎克定律，上式又可寫成

比能的單位是（2-15）（2-16）7材料拉伸時的力學性能

材料的力學性能——材料在受力變形過程中所表現(xiàn)出來的變形、破壞等方面的特性。1.實驗條件：材料在室溫下，以緩慢平穩(wěn)加載方式進行的拉伸試驗和壓縮試驗2.實驗對象：圓截面的拉伸標準試件如圖所示：ppllpp——標矩?！獔A試件的直徑在國家標準中標矩，與直徑d有兩種比例：即和一、低碳鋼拉伸時的力學性質(zhì)

低碳鋼是指含碳量在0.25%以下的各種碳素鋼。用它來闡明塑性材料的一些特性。下圖是低碳鋼拉伸時繪制的曲線，這個曲線也稱為拉伸圖。efgpl0abcdh1.在低碳鋼的整個拉伸試驗過程中，其曲線可以分為如下四個階段：

hgbd0aec一、彈性階段二、屈服階段三、強化階段四、局部變形階段f2.延伸率和截面收縮率延伸率是衡量材料塑性的主要指標。（1）延伸率：（2-17）（2）截面收縮率

A1

——試件斷裂后斷口處最小橫截面面積，A0——試件原來的橫截面面積截面收縮率ψ也是衡量材料塑性的指標。（2-18）3.卸載定律和冷作硬化

（1）卸載定律

超過彈性范圍后的任一點d所對應的總應變包含彈性應變和塑性應變兩部分。hgef0abcd

（2）冷作硬化

efhg0abcd在常溫下，把材料拉到塑性變形，然后卸載，當再次加載時，比例極限提高而塑性降低工程上某些塑性材料沒有明顯的屈服階段，通常規(guī)定塑性應變時的應力為名義屈服極限，用表示。se0.2%二、其他塑性材料拉伸時的力學性能灰口鑄鐵是典型的脆性材料斷裂時的應力就是強度極限它是唯一的強度指標。有時選一條割線來確定E值，并認為材料服從虎克定律。三、鑄鐵拉伸時的力學性質(zhì)12510075502500.150.300.452(MN/m)s(%)e8材料壓縮時的力學性質(zhì)

（一）塑性材料黃色線—低碳鋼壓縮時的曲線綠色線—低碳鋼拉伸時的曲線Pesss（二）脆性材料如圖：鑄鐵壓縮時的曲線。實驗表明：曲線沒有“屈服點”，試件在較小變形下突然破壞，破壞面與軸線大致成45度的傾角。pp600500(%)e2MN/m

s1100200300400423506（三）幾種常用材料的主要力學性能

比例極限彈性極限屈服極限（）強度極限彈性模量E延伸率截面收縮率衡量材料力學性能的主要指標有：——材料允許承受的最大應力?！茐膽Σ牧掀茐臅r的應力值， 或稱極限應力n——為大于1的數(shù)，稱為安全系數(shù)。(2-19)塑性材料脆性材料9拉伸（壓縮）桿件的強度計算一、許用應力與安全系數(shù)二、強度條件

對等截面桿

式（2-20a，b）即是軸向拉（壓）桿件的強度條件。產(chǎn)生最大工作應力的截面稱為危險截面。(2-20a)（2-20b）利用強度條件，可以解決工程中下列三個方面的強度計算問題：1.強度校核2.設計截面由上式算出需要的橫截面面積，然后確定截面尺寸。3.確定許用載荷例２－８簡單結構受力如圖，q是均布在水平長度上的載荷集度，設AC為剛性桿，BD桿為圓截面，，。計算BD桿的直徑以及C點的鉛垂位移。q=17.3kN/m1m1m1mABDC30P=20kN解（１）設BD桿的拉力為N，由平衡條件得再由強度條件得q=17.3kN/m1m1m1mABDC30可取d=26mm(2)計算C點的鉛垂位移。剛性桿AC轉到新位置AC1，D點移到D1。在小變形時，用作垂線代替作弧，可知CC３就是C的鉛垂位移，可得BD桿的伸長再由幾何關系ABDCD2D1C1C2C330于是討論：對于本題，如規(guī)定C點的鉛垂位移不超過，即要求整個結構具有一定的剛度。這時，可先算出C點的鉛垂位移，再和容許位移進行比較，如能滿足，剛度是足夠的，我們稱此條件為剛度條件。對于某些結構或系統(tǒng)，如桁架，汽閥機械等要考慮剛度條件，即要求某些點的位移不能過大。對于大多數(shù)承受拉壓的工程構件，往往只要求強度足夠，而不用討論它的剛度例3等圓截面直桿受力如圖所示，材料為鑄鐵，其拉伸許用應力，壓縮許用應力，彈性模量。求：（1）畫出軸力圖；（2）設計橫截面直徑；（3）計算桿的總伸長。2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII解（1）畫軸力圖。由截面法求得N1=20kN、N2=0、N3=-30kN,由此可畫出軸力圖如圖所示。20KNN(b)2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII30KN（2）設計橫截面直徑。I、III兩段中的截面都是危險截面。按拉伸強度設計2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII按壓縮強度設計故該桿直徑應取20.6。結果表明，盡管該桿的軸向拉力比軸向壓力小，但是桿件的橫截面尺寸還是由拉力決定，這是因為鑄鐵的抗拉能力比抗壓能力低。2m2m2m20KN20KN30KN30KN(a)IIIIII（3）計算桿的總伸長。根據(jù)公式（2-6），該桿的總伸長為“-”表示桿件實際上是縮短了。例4鉚釘連接結構如圖a所示，已知主板受到的軸向拉力P=110kN，其材料許用應力，板寬b=80mm，板厚t=12mm。若各鉚釘?shù)牟牧虾椭睆骄嗤?，且鉚釘孔直徑d=16mm。試校核板的強度。PP(a)dP(b)P解（1）分析內(nèi)力，做出上主板的軸力圖。（2）確定危險截面。得出2-3段和1-2段都是危險截面。1-2段2-3段因為板的各段都滿足強度要求，故此主板安全。2345P321(c)45123PSx(d)1例5薄壁圓筒容器承受內(nèi)壓p作用，如圖a所示。若已知圓筒直徑為D，壁厚為t，試求其橫截面上的應力及縱截面上的應力。mnABCDs￠s￠s￠￠s￠￠mnl(a)s￠nn(b)s￠￠s￠￠lmnnmp(c)

pyttDNNj(d)解因為圓筒承受內(nèi)壓，故其橫截面和縱截面上的應力都是拉應力。求：橫截面上的應力。平衡方程：得P是沿圓筒軸線作用于筒低的總壓力，其值為

s￠nn(a)(b)N是圓筒橫截面上的軸力，由于薄壁圓筒橫截面面積為，故軸力為而(a)、(b)式為(a)(b)將式（b）、(c)代入式（a），得(c)s￠nn（2）求縱截面上的應力取上半圓環(huán)為研究對象，其受力圖如圖c、d所示。由平衡方程得由此求得即薄壁圓筒受內(nèi)壓作用時，周向應力為軸向應力的兩倍。s￠￠s￠￠lmnnmp(c)

pyttDNNj(d)10應力集中

應力集中——在構件截面突然改變的局部區(qū)域內(nèi)，應力急劇增加，而離開這個區(qū)域稍遠處，應力又趨于緩和。PPP(a)PPP(b)應力集中系數(shù):——發(fā)生應力集中的截面上的最大應力——截面上的平均應力AApp(a)p(b)Amaxsmaxs比較均質(zhì)的脆性材料灰口鑄鐵這類非均質(zhì)的脆性材料在靜載下，不同材料對應力集中的敏感程度是不同的(d)SsSsAAp(c)SsSsAp11拉壓超靜定問題

一、超靜定的概念作用于研究對象上的未知力數(shù)多于靜力平衡方程的數(shù)目，就不能單憑靜力平衡方程求出未知力，這種問題稱為超靜定問題（或靜不定問題）。未知力多于靜力平衡方程的數(shù)目稱為超靜定次數(shù)。ABCDQQ1N2N3NB123二、超靜定問題的解法

以圖為例，說明超靜定問題的解法。兩端固定的桿，在C、D兩截面有一對力P作用，桿橫截面積為A，彈性模量為E，現(xiàn)計算桿內(nèi)最大應力。（1）平衡方程：

——A、B兩端的約束反力ARBRPPACBDlll(a)PP(b)(a)ACBDlllPPPPARBR(a)(b)兩端固定的桿，在C、D兩截面有一對力P作用，桿橫截面積為A，彈性模量為E，現(xiàn)計算桿內(nèi)最大應力。（2）變形協(xié)調(diào)方程：（3）通過物理關系將變形用未知力表示(b)ACBDlllPPPPARBR(a)(b)兩端固定的桿，在C、D兩截面有一對力P作用，桿橫截面積為A，彈性模量為E，現(xiàn)計算桿內(nèi)最大應力。帶入(b)式得：(b)ACBDlllPPPPARBR(a)(b)兩端固定的桿，在C、D兩截面有一對力P作用，桿橫截面積為A，彈性模量為E，現(xiàn)計算桿內(nèi)最大應力。整理后得：(c)（c）式稱為補充方程(b)(a)聯(lián)立（a）、（c）求解得ACBDlllPPPPARBR(a)(b)各段內(nèi)力：可見CD段內(nèi)力最大，故求解超靜定問題的一般步驟歸納為：

平衡方程；

幾何方程——變形協(xié)調(diào)方程；物理方程——胡克定律；補充方程：由幾何方程和物理方程得；

解由平衡方程和補充方程組成的方程組。例2-3由三根桿組成的結構，如下圖所示。若1、2桿的抗拉剛度同為，3桿的抗拉剛度為，在P力作用下，試求三桿的內(nèi)力。aaABCD123EP解：（1）靜力平衡關系設三桿軸力皆為拉力，有節(jié)點A的平衡條件

（2）變形幾何關系在中有以下變形諧調(diào)條件

aaABCD123E1AP3lDl1D(a)A2N1N3NP(b)（b）（a）aaABCD123E1AP3lDl1D(a)A2N1N3NP(b)（3）物理關系