高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修二）第31講63平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用

6.3平面向量線性運(yùn)算的應(yīng)用TOC\o"13"\h\z\u題型1向量在平面幾何中的應(yīng)用 1題型2向量在功力問題中的應(yīng)用 6題型3向量在速度問題中的應(yīng)用 10知識點(diǎn)一.用向量運(yùn)算解決平面幾何問題的“三步法”1.建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題.2.通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系.3.把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.知識點(diǎn)二.平面向量在物理中的應(yīng)用1.物理問題中常見的向量有力、速度、加速度、位移等．2.向量的加減法運(yùn)算體現(xiàn)在力、速度、加速度、位移的合成與分解.3.動量mv是向量的數(shù)乘運(yùn)算.題型1向量在平面幾何中的應(yīng)用【方法總結(jié)】用向量證明平面幾何問題的兩種基本思路（1）向量的線性運(yùn)算法的四個步驟：①選取基底；②用基底表示相關(guān)向量；③利用向量的線性運(yùn)算或數(shù)量積找相應(yīng)關(guān)系；④把幾何問題向量化.（2）向量的坐標(biāo)運(yùn)算法的四個步驟：①建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系；②把相關(guān)向量坐標(biāo)化；③用向量的坐標(biāo)運(yùn)算找相應(yīng)關(guān)系；④把幾何問題向量化.【例題1】（2022下·遼寧錦州·高一統(tǒng)考期末）已知△ABC，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，點(diǎn)D在BC邊上且BD=13BCA．3 B．32 C．33 【答案】D【分析】利用向量數(shù)量積去求AD長度即可.【詳解】△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上且BD=1則AD又AB=1，AC=2，則AD=19×4+4故選：D【變式11】1．（2023下·重慶沙坪壩·高一重慶南開中學(xué)校考期中）在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，|ABA．72 B．4 C．92【答案】D【分析】以B為原點(diǎn)，BC為x軸正方向，BA為y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解.【詳解】如圖示，以B為原點(diǎn)，BC為x軸正方向，BA為y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系.則B0,0,A0,2,C2d,0所以PC=2d?p,0，所以PC+3所以|PC+3PD所以|PC故選：D【變式11】2．（2023下·湖南常德·高一臨澧縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方形ABCD的邊長為6,E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M．

(1)求∠EMF的余弦值．(2)若點(diǎn)P自A點(diǎn)逆時針沿正方形的邊運(yùn)動到C點(diǎn)，在這個過程中，是否存在這樣的點(diǎn)P，使得EF⊥MP？若存在，求出MP的長度，若不存在，請說明理由．【答案】(1)2(2)存在MP=【分析】（1）如圖所示，建立以點(diǎn)A為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，由于∠EMF就是DE,（2）根據(jù)向量的共線表示聯(lián)立方程組可求解M187,67，分點(diǎn)P在AB【詳解】（1）如圖所示，建立以點(diǎn)A為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系．則D0,6由于∠EMF就是DE,

∴cos∠EMF=DE（2）設(shè)M∵AM∴x=18由題得EF=①當(dāng)點(diǎn)P在AB上時，設(shè)Px,0∴3x?54②當(dāng)點(diǎn)P在BC上時，設(shè)P6,y∴72綜上，存在P22【變式11】3．（2023下·江西上饒·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）在菱形ABCD中，O為菱形ABCD內(nèi)一點(diǎn).(1)用OA，OB，OC，表示OD；(2)若AB=2，∠DAB=60°，求AB+【答案】(1)OD(2)AB+AD【分析】（1）根據(jù)菱形對邊所在向量相等，利用向量的線性運(yùn)算即可求解；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)求出AB與AD的數(shù)量積，然后求模的平方再開方即可求解.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以BC=則OC?OB=（2）因?yàn)锳B=2，∠DAB=60所以AB?則AB+AB?【變式11】4．（2023下·河北滄州·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=4,AC=6,BD(1)求BC的長；(2)求AD的長.【答案】(1)2(2)2【分析】（1）確定DE=?13AC，DF=?（2）AD=23【詳解】（1）DE=DF=DE?DF=BC=（2）AD=AD=4題型2向量在功力問題中的應(yīng)用【例題2】（2023下·河南新鄉(xiāng)·高一統(tǒng)考期末）若平面上的三個力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3作用于一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)．已知F1=1N，F(xiàn)3=2NA．1N B．3N C．7N【答案】C【分析】根據(jù)三力平衡得到F1+F【詳解】根據(jù)三力平衡得F1+F兩邊同時平方得F1即F1即12解得F2故選：C.【變式21】1．（2023下·湖南長沙·高一長郡中學(xué)校考期中）如圖，某人用1.5m長的繩索，施力25N，把重物沿著坡度為30°的斜面向上拖了6mA．13J B．3013J C．125【答案】B【分析】利用正弦定理得出cos∠BAC=【詳解】在△ABC中，由正弦定理，ABsin∴W=F故選：B【變式21】2．（2023·高一課時練習(xí)）已知力F的大小為50N，與水平方向的夾角為30°（斜向上），使物體沿水平方向運(yùn)動20m，則力【答案】500【分析】由數(shù)量積的定義即可求解.【詳解】由題意可知力F所做的功為F?故答案為：500【變式21】3．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，質(zhì)量m=2.0kg的木塊，在平行于斜面大小為10N向上的拉力F的作用下，沿傾角θ=30°的光滑斜面向上滑行2.0m的距離．

(1)分別求物體所受各力在這一過程中對物體做的功；(2)求在這一過程中物體所受各力對物體做的功的代數(shù)和；(3)求物體所受合外力對物體所做的功，它與物體所受各個力對物體做功的代數(shù)和之間有什么關(guān)系？【答案】(1)拉力20J，支持力不做功，重力?19.6(2)0.4J(3)物體所受合外力對物體做的功與物體所受各力對物體做功的代數(shù)和相等.【分析】（1）分析物體受力，按功的定義式求解每個力做的功；（2）將（1）中各值累加即可;（3）計(jì)算物體所受合外力對物體所做的功，與物體所受各力對物體做功的代數(shù)和比較即可.【詳解】（1）木塊受三個力的作用，重力G，拉力F和支持力N，如圖所示.

拉力F與位移s方向相同，所以拉力對木塊所做的功為WF支持力N與位移方向垂直，不做功，所以WN重力G對物體所做的功為WG（2）物體所受各力對物體做功的代數(shù)和為W=20+0?19.6=0.4(J（3）設(shè)物體所受合外力的大小為F1則F1故合外力做功為W=0.2×2=0.4.故物體所受合外力對物體做的功與物體所受各力對物體做功的代數(shù)和相等.【變式21】4．（2023·高一課時練習(xí)）已知兩個力F1=5i+4j，F(xiàn)2=?2i+j，F(xiàn)1，F(xiàn)2作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使該質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)(1)F1，F(xiàn)(2)F1，F(xiàn)2的合力【答案】(1)120；9(2)111【分析】（1）由已知可得兩個力F1，F(xiàn)2和位移（2）先計(jì)算F1，F(xiàn)【詳解】（1）依題意有F1=5,4，F(xiàn)則F1做的功為WF2做的功為W（2）由F=所以F做的功為W=F題型3向量在速度問題中的應(yīng)用【方法總結(jié)】向量在物理中的應(yīng)用主要解題思路分四步：（1）轉(zhuǎn)化問題：將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；（2）建立模型：建立以向量為載體的數(shù)學(xué)模型；（3）求解參數(shù)：求向量的模長、夾角、數(shù)量積等；（4）回答問題：把所得到的數(shù)學(xué)結(jié)論回歸到物理問題。【例題3】（2023下·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟(jì)源第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知船在靜水中的速度大小為5m/s，且知船在靜水中的速度大小大于水流的速度大小，河寬為20m，船垂直到達(dá)對岸用的時間為【答案】3【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算，確定船行駛的方向與水流方向和船實(shí)際的方向之間的關(guān)系，進(jìn)而解三角形可得.【詳解】設(shè)船在靜水中的速度為a，船的實(shí)際速度為b，水流速度為c，如圖所示c⊥

∵a=5m∴c→=a故答案為：3.【變式31】1．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）雨滴在下落一定時間后的運(yùn)動是勻速的，無風(fēng)時雨滴下落的速度是4.0m/s．現(xiàn)在有風(fēng)，風(fēng)使雨滴以3.0m/s的速度水平向東移動，那么雨滴將以多大的速度著地？這個速度的方向怎樣？【答案】與地面成53.1°的方向，以5m/s的速度著地【分析】根據(jù)平面向量的平行四邊形法則分析即可.【詳解】如圖所示，AB為雨滴無風(fēng)時的下落速度，AD為雨滴有風(fēng)時的水平速度，由平行四邊形法則，雨滴實(shí)際下落的速度為：AC=AB+AD，

即雨滴將沿向下偏東，與地面成53.1°的方向，以5m/s的速度著地．【變式31】2．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，在一場足球比賽中，中場隊(duì)員在點(diǎn)A位置得球，將球傳給位于點(diǎn)B的左邊鋒，隨即快速直向插上．邊鋒得球后看到對方后衛(wèi)上前逼搶，于是將球快速橫傳至門前，球到達(dá)點(diǎn)C時前插的中場隊(duì)員正好趕到，直接射門得分．設(shè)BC=30m，∠ABC=37°．（取sin

(1)求中場隊(duì)員從傳球至射門這一過程中足球的位移；(2)這一過程中中場隊(duì)員的位移與球的位移是否相等？【答案】(1)位移大小為22.5m(2)相等【分析】（1）解直角三角形ABC求出AC，再根據(jù)AB+（2）根據(jù)向量加法得幾何意義即可得解.【詳解】（1）由題意，△ABC為直角三角形，由BC=30m，∠ABC=37°得AC=BC?tan又AB+所以中場隊(duì)員從傳球至射門這一過程中足球的位移大小為22.5m（2）因?yàn)锳B+所以中場隊(duì)員的位移與球的位移相等.【變式31】3．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）如圖，一艘船從長江南岸點(diǎn)A出發(fā)，以23

(1)試用向量表示江水速度、船速以及該船實(shí)際航行的速度；(2)求船實(shí)際航行速度的大小與方向（方向用與江水速度間的夾角表示）．【答案】(1)答案見解析(2)船實(shí)際航行速度的大小為4km/h，方向與江水速度間的夾角為【分析】（1）直接利用向量加法的平行四邊形法則作圖即可；（2）利用勾股定理求解船速的實(shí)際大小，在求解直角三角形即可得方向.【詳解】（1）如圖所示，AD表示船速，AB表示水速，以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABCD，則AC表示該船實(shí)際航行的速度；

（2）由題意AB⊥AD，在Rt△ABC中，AB則AC=22+2所以船實(shí)際航行速度的大小為4km/h，方向與江水速度間的夾角為60°【變式31】4．（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）飛機(jī)從A地向西北飛行200km到達(dá)B地后，又從B地向東飛行1002km到達(dá)C地，再從C地向南偏東60°飛