中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)題型訓(xùn)練壓軸題14以四邊形為背景的幾何類比探究壓軸問題（原卷版）

壓軸題14以四邊形為背景的幾何類比探究壓軸問題例1．（2023?金牛區(qū)模擬）已知矩形ABCD，點(diǎn)E、F分別在AD、DC邊上運(yùn)動(dòng)，連接BF、CE，記BF、CE交于點(diǎn)P．（1）如圖1，若ABAD=35，CF＝4，∠AEP+∠ABP＝180（2）如圖2，若∠EBF＝∠DEC，BPAD=2（3）如圖3，連接AP，若∠EBF＝∠DEC，AP＝AB＝2，BC＝3，求PB的長度．例2．（2023?浠水縣二模）四邊形ABCD是正方形，E是直線BC上一點(diǎn)，連接AE，在AE右側(cè)，過點(diǎn)E作射線EP⊥AE，F(xiàn)為EP上一點(diǎn)．（1）如圖1，若點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，且EF＝AE，連接CF，則∠DCF＝°；（2）如圖2，若點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)（不與B，C重合）．∠DCF＝45°，判斷線段EF與AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）若正方形邊長為1，且EF＝AE，當(dāng)AF+BF取最小值時(shí)，求△BCF的面積．例3．（2023?新鄭市模擬）“矩形的折疊”活動(dòng)課上引導(dǎo)學(xué)生對矩形紙片進(jìn)行折疊．如圖，將矩形紙片ABCD折疊，點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)C與點(diǎn)B重合，將紙片展開，折痕為EF，在AD邊上找一點(diǎn)P，沿CP將△PCD折疊，得到△PCQ，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q．問題提出：（1）若點(diǎn)Q落在EF上，CD＝2，連接BQ．①△CQB是三角形；②若△CQB是等邊三角形，則AD的長為．深入探究：（2）在（1）的條件下，當(dāng)AD＝22時(shí)，判斷△CQB的形狀并證明；拓展延伸；（3）若AB＝6，AD＝8，其他條件不變，當(dāng)點(diǎn)Q落在矩形ABFE內(nèi)部（包括邊）時(shí)，連接AQ，直接寫出AQ的取值范圍．例4．（2023?萊西市一模）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，AD＝10cm，點(diǎn)P、Q分別是線段CD和AD上的動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)P以2cm/s的速度從點(diǎn)D向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q以1cm/s的速度從點(diǎn)A向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，將PQ沿AD翻折得到QP'，連接PP'交直線AD于點(diǎn)E，連接AC、BQ．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），回答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥AC？（2）求四邊形BCPQ的面積S（cm2）關(guān)于時(shí)間t（s）的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某時(shí)刻t，使點(diǎn)Q在∠PP'D平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．1．（2023?南關(guān)區(qū)校級模擬）實(shí)踐與探究操作一：如圖①，將矩形ABCD對折，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)B與點(diǎn)C重合，折痕為EF．展平后，將矩形ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，折痕為BG，點(diǎn)G在AD邊上，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′落在EF上，連接A′C．若點(diǎn)G、A′、C共線，求證：△BA′C≌△GDC；操作二：如圖②，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，若矩形ABCD沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)G在AD邊上，折痕為BG，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′落在矩形ABCD的內(nèi)部．（1）連接A′D，A′D的最小值為；（2）如圖③，將矩形ABCD再沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C在直線A′B邊上．折痕為BH，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C′，將矩形沿過點(diǎn)H的直線繼續(xù)折疊，點(diǎn)R在AD上，折痕為HR，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D′．我們發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)R的位置不同，點(diǎn)D′的位置也不同，當(dāng)點(diǎn)D′恰好與點(diǎn)C′重合時(shí)，線段RD的長為．2．（2023?范縣一模）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師與同學(xué)們以“特殊的三角形”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．（1）操作判斷如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點(diǎn)E在AC上（且不與點(diǎn)A、C重合）在△ABC的外部作△CED，使∠CED＝90°，ED＝EC，連接AD，過點(diǎn)B作BF∥AD，過點(diǎn)D作DF∥AB，BF交DF于點(diǎn)F，連接AF．根據(jù)以上操作，判斷：四邊形ABFD的形狀是；三角形△AEF的形狀是；?（2）遷移探究明明同學(xué)所在的“認(rèn)真?堅(jiān)持”學(xué)習(xí)小組“異想天開”，將△CED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如圖2，當(dāng)點(diǎn)E落在線段BC上時(shí)，請你：①求證：四邊形ABFD的是矩形；②連接AE、AF，若AE＝3，求AF的長；（3）拓展應(yīng)用亮亮同學(xué)所在的“感恩?責(zé)任”學(xué)習(xí)小組受此啟發(fā)，將△CED繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，能使四邊形ABFD為菱形，若AB＝6，CE＝2，請你直接寫出線段AF的長．3．（2023?息縣模擬）某數(shù)學(xué)興趣小組在數(shù)學(xué)實(shí)踐課上開展了“菱形折疊”研究活動(dòng)．第一步：每人制作內(nèi)角不同，邊長都為2的菱形若干個(gè)，四個(gè)頂點(diǎn)為A，B，C，D（為保持一致，活動(dòng)中，小組內(nèi)制作圖形各點(diǎn)名稱命名規(guī)則相同）；第二步：對折找到一條對角線BD并展開；第三步：將邊AB折疊到對角線BD所在直線上，頂點(diǎn)A的落點(diǎn)為F，所得折痕與邊AD交于點(diǎn)E；第四步：測量∠A，∠FDE，∠FED的度數(shù)．（1）小組長在研究大家測得的數(shù)據(jù)后仔細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)可以通過∠A的度數(shù)，計(jì)算得到∠FED和∠FDE的度數(shù)．如圖，若一位同學(xué)制作的菱形中∠A＝30°，請你給出此時(shí)∠FDE和∠FED的度數(shù)：∠FDE＝°，∠FED＝°．（2）若∠A＜60°，請?zhí)骄俊螦的度數(shù)為多少時(shí)，△DEF為等腰三角形，并說明理由；（3）請直接寫出△DEF為直角三角形時(shí)DF的長．?4．（2023?南湖區(qū)校級二模）如圖，在菱形ABCD中，AB＝25．tan∠A=247，點(diǎn)O是AD邊的中點(diǎn)．連結(jié)BD．點(diǎn)P是折線AB﹣BD上一點(diǎn)，連結(jié)OP．點(diǎn)A關(guān)于OP的對稱點(diǎn)為A（1）對角線BD的長為；（2）當(dāng)點(diǎn)A′落在△ABD的邊上（點(diǎn)A′不與點(diǎn)A、D重合）時(shí)，求AP的長；（3）連結(jié)A′C，求線段A′C的長的最小值；（4）當(dāng)OA′所在的直線垂直于AB時(shí)，直接寫出線段BP的長．5．（2023?天山區(qū)一模）某校數(shù)學(xué)活動(dòng)小組探究了如下數(shù)學(xué)問題：（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．點(diǎn)P是底邊BC上一點(diǎn)，連接AP，以AP為腰作等腰Rt△APQ，且∠PAQ＝90°，連接CQ、則BP和CQ的數(shù)量關(guān)系是；（2）變式探究：如圖2，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．點(diǎn)P是腰AB上一點(diǎn)，連接CP，以CP為底邊作等腰Rt△CPQ，連接AQ，判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題解決；如圖3，正方形ABCD的邊長為10，點(diǎn)P是邊AB上一點(diǎn)，以DP為對角線作正方形DEPQ，連接AQ．若設(shè)正方形DEPQ的面積為y，AQ＝x．求y與x的函數(shù)關(guān)系式．6．（2023?泰山區(qū)一模）問題：如圖，在?ABCD中，AB＝9，AD＝6，∠DAB，∠ABC的平分線AE，BF分別與直線CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求EF的長．探究：（2）把“問題”中的條件“AB＝9”去掉，其余條件不變．當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求EF的長．（3）把“問題”中的條件“AB＝9，AD＝6”去掉，其余條件不變，當(dāng)點(diǎn)C，D，E，F(xiàn)相鄰兩點(diǎn)間的距離相等時(shí)，求ADAB7．（2023?靖江市模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=33．點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，四邊形BEDF（1）利用尺規(guī)作圖在圖1中作出菱形BEDF（不寫作法，保留作圖痕跡）．（2）如圖2，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)E出發(fā)沿射線ED方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)F出發(fā)沿射線DF方向運(yùn)動(dòng)，且M、N兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度相同，BM、EN相交于點(diǎn)P．①求∠EPM的度數(shù)．②連接CP，線段CP長度的最小值為．8．（2023?城陽區(qū)一模）已知：如圖①，菱形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC＝12cm，BD＝16cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；同時(shí)，直線EF從點(diǎn)D出發(fā)，沿DB方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，EF⊥BD，且與AD，BD，CD分別交于點(diǎn)E，Q，F(xiàn)；當(dāng)直線EF停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也停止運(yùn)動(dòng)．連接PC、PE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜8）．解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)A在線段PE的垂直平分線上？（2）設(shè)四邊形PCFE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖②，連接PO、EO，是否存在某一時(shí)刻t，使∠POE＝90°？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．9．（2023?雁塔區(qū)校級模擬）問題情?境如圖，在四邊形ABCD中，連接BD，∠ABD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，∠BDC＝45°，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，連接CE．以點(diǎn)D為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△DEC，得到△DGF，點(diǎn)E，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G，F(xiàn)．問題探究（1）如圖①，則CE的長為；（2）如圖②，在△DFG旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)B，F(xiàn)，G三點(diǎn)共線時(shí)，求△ABF的面積；（3）如圖③，在△DFG旋轉(zhuǎn)過程中，連接AF，AG，直接寫出△AFG面積的最大值．10．（2023?張店區(qū)一模）如圖1，邊長為22的正方形ABCD中，點(diǎn)P為邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，作MN⊥AP于點(diǎn)E，交邊AB于M，交邊CD于N．（1）求證：MN＝AP；（2）如圖2，連接BD，線段MN交BD于點(diǎn)F，點(diǎn)E為AP的中點(diǎn)．①當(dāng)BP＝1時(shí)，求EF的長；②線段EF是否存在最小值和最大值，若存在，請直接寫出線段EF的最小值和最大值，若不存在，請說明理由．11．（2023?包河區(qū)校級一模）如圖，AM是△ABC的中線，D是線段AM上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）．DE∥AB交AC于點(diǎn)F，CE∥AM，連接AE．如圖1，當(dāng)點(diǎn)D與M重合時(shí)，四邊形ABDE是平行四邊形．（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D不與M重合時(shí)，判斷四邊形ABDE的形狀，并說明理由．（2）如圖3，延長BD交AC于點(diǎn)H，若BH⊥AC，且BH＝AM．①求∠CAM的度數(shù)；②當(dāng)FH=3，DM＝4時(shí)，求DH12．（2023?內(nèi)黃縣二模）綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師與同學(xué)們以“特殊的三角形”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．（1）操作判斷如圖1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點(diǎn)P是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)．操作一：連接BP，將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到PD，連接DC，如圖2．根據(jù)以上操作，判斷：如圖3，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，則四邊形ABCD的形狀是；（2）遷移探究①如圖4，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，連接DB，判斷四邊形ABDC的形狀，并說明理由；②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A，點(diǎn)C都不重合時(shí)，試猜想DC與BC的位置關(guān)系，并利用圖2證明你的猜想；（3）拓展應(yīng)用當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A，點(diǎn)C都不重合時(shí)，若AB＝3，AP＝2，請直接寫出CD的長．13．（2023?東莞市校級模擬）如圖（1），在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=3．點(diǎn)D是BC邊上任意一點(diǎn)（不與B，C重合），連接AD，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接CE，點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，連接CF，EF（1）當(dāng)BD＝2CD時(shí)，判斷四邊形CDEF的形狀，并證明．（2）點(diǎn)D在線段BC上的什么位置時(shí)，△DEF的面積最大？請說明理由．（3）如圖（1）中的△BDE繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到如圖（2）所示位置，得到△BD′E′，使得點(diǎn)A在直線D′E′上，連接CE′，點(diǎn)F′為AD′中點(diǎn)，AD′與BC交于點(diǎn)G，其他條件不變．求證：AE′﹣D′E′＝2CF′．14．（2023?利辛縣模擬）綜合與實(shí)踐問題解決：（1）已知四邊形ABCD是正方形，以B為頂點(diǎn)作等腰直角三角形BEF，BE＝BF，連接AE．如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，請判斷AE和CF的關(guān)系，并說明理由．問題探究：（2）如圖2，點(diǎn)H是AE延長線與直線CF的交點(diǎn)，連接BH，將△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)F在直線BC右側(cè)時(shí)，求證：AH?CH=2問題拓展：（3）將△BEF繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周，當(dāng)∠CFB＝45°時(shí)，若AB＝3，BE＝1，請直接寫出線段CH的長．15．（2023?臨安區(qū)一模）如圖，正方形ABCD，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OC上一點(diǎn)，以BE為邊在BD的右下方作等邊三角形BEF，連結(jié)DE，DF．（1）求證：△ABE≌△ADE．（2）∠BDF的度數(shù)改變嗎？若不變，請求出這個(gè)角的值．（3）若AB=22，求FD16．（2023?南明區(qū)校級模擬）利用“平行+垂直”作延長線或借助“平行+角平分線”構(gòu)造等腰三角形是我們解決幾何問題的常用方法．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，AB∥CD，CB平分∠ACD，求證：△ABC是等腰三角形．（2）探究：如圖2，AD∥BC，BD平分∠ABC，BD⊥CD于D，若BC＝6，求AB．（3）應(yīng)用：如圖3，在?ABCD中，點(diǎn)E在AD上，且BE平分∠ABC，過點(diǎn)E作EF⊥BE交BC的延長線于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)M，若AD＝7，CF＝3，tan∠EBF＝3，求BD的長．?17．（2023?虎林市校級一模）已知四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，CD上，DE＝DF，∠EBF=1（1）如圖1，當(dāng)∠ABC＝120°時(shí)，易證：AE+CF=2（2）當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，如圖2；當(dāng)∠ABC＝30°，如圖3，線段AE，CF，EF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，并對圖3加以證明．18．（2023?市南區(qū)一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm．點(diǎn)E從A出發(fā)，沿AB方向向B勻速運(yùn)動(dòng)，速度是1cm/s；同時(shí)，點(diǎn)F從B出發(fā)，沿BC方向向C勻速運(yùn)動(dòng)，速度是2cm/s．將△AEF沿AF折疊，E的對稱點(diǎn)為G．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜4），請回答下列問題：（1）t為何值時(shí)，BE＝BF；（2）設(shè)四邊形ABFG的面積為S（cm2），求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使得點(diǎn)G落在線段AC上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；（4）是否存在某一時(shí)刻t，使得四邊形AEFG為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．19．（2023?嶗山區(qū)一模）已知：如圖1，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠C＝