上海市青浦區(qū)2025屆高三上學(xué)期期終學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研（一模）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市青浦區(qū)2025屆高三上學(xué)期期終學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研（一模）數(shù)學(xué)試題學(xué)生注意:1.本試卷包括試題紙和答題紙兩部分.2.在試題紙上答題無效，必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題.3.可使用符合規(guī)定的計算器答題.一.填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6每題4分，第7-12每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（其中是虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第_____象限.【答案】四【解析】因為，所以，所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限.故答案為：四2.已知集合，則_____.【答案】【解析】因為，所以，故答案為:.3.不等式的解集為_______．【答案】【解析】不等式化為：，即，則，解得，所以不等式的解集為.故答案為：4.已知直線與直線平行，則____.【答案】1【解析】因為與平行，所以，解得或.當(dāng)時，直線，直線，兩直線平行.當(dāng)時，直線，直線，化簡為，此時兩直線重合，不符合要求，舍去.故答案為：1.5.兩條漸近線互相垂直的雙曲線的離心率為_____.【答案】【解析】兩條漸近線互相垂直，由對稱性可知，兩漸近線的傾斜角分別為，漸近線方程為，故，所以漸近線的離心率為.故答案為：6.已知數(shù)列滿足，則__________.【答案】【解析】因為①，當(dāng)時，②，①②得，所以，所以.故答案為：7.在中，已知，若，則的面積為______.【答案】【解析】在中，，，由余弦定理得，解得，所以的面積為.故答案為：8.已知圓柱的底面半徑為3，高為，圓錐的底面直徑和母線長相等.若圓柱和圓錐的體積相同，則圓錐的底面半徑為_____.【答案】3【解析】圓柱的體積為，設(shè)圓錐的底面半徑為，則母線長為，故圓錐的高為，則，故，解得，故圓錐的底面半徑為3.故答案為：39.的展開式中，項的系數(shù)為_____.【答案】【解析】展開式的通項為，，所以含的項為，即項的系數(shù)為.故答案為：10.已知函數(shù)的定義域為，值域為，則滿足條件的函數(shù)最多有_____個.【答案】14【解析】由函數(shù)定義，轉(zhuǎn)化為給安排對應(yīng)的自變量，每一種對應(yīng)方式，即為一個函數(shù)，給取3個自變量，則對應(yīng)1個自變量，有種，給取2個自變量，則對應(yīng)2個自變量，有種，給取1個自變量，則對應(yīng)3個自變量，有種，所以由分類加法計數(shù)原理知，共有種不同的對應(yīng)方式，故答案為：1411.已知是單位圓上任意不同三點，則的取值范圍是_____.【答案】【解析】等價于在上的投影，如圖1，在單位圓圓上任取兩點、，則對任意的，當(dāng)與反向共線時，在上的投影取最小，作于點，設(shè)，取中點，有，則，，則，由，故；如圖2，在單位圓圓上任取兩點、，則對任意的，當(dāng)與同向共線時，在上的投影取最大，作于點，設(shè)，取中點，有，則，，則，由，故；綜上所述，.故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14每題4分，第15-16每題5分）每題有且只有一個正確選項，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.12.已知且滿足，則下列關(guān)系式恒成立的是（）.A. B.C. D.【答案】D【解析】對A，取，則，A錯誤；對B，取，則，即，B錯誤；對C，取，滿足，但，C錯誤；對D，因為冪函數(shù)在定義域R上單調(diào)遞增，且，所以，D正確；故選：D.13.若點關(guān)于xOy的對稱點為A，關(guān)于z軸的對稱點為B，則A、B兩點的對稱是（）．A.關(guān)于xOz平面對稱 B.關(guān)于x軸對稱C.關(guān)于y軸對稱 D.關(guān)于坐標原點對稱【答案】D【解析】點關(guān)于xOy的對稱點為A，則A坐標；點關(guān)于z軸的對稱點為B，則B坐標；則根據(jù)坐標特點知道A、B兩點關(guān)于原點對稱.故選：D．14.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則關(guān)于函數(shù)在R上的零點的說法正確的是（）.A.有4個零點，其中只有一個零點在區(qū)間上B.有4個零點，其中兩個零點在區(qū)間上，另外兩個零點在區(qū)間上C.有5個零點，兩個正零點中一個在區(qū)間上，一個在區(qū)間上D.有5個零點，都不在上【答案】D【解析】由于函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，故，即0是函數(shù)的一個零點；當(dāng)時，，此時函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，即此時函數(shù)在和內(nèi)各有一個零點，在上無零點，又函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，故函數(shù)在和也內(nèi)各有一個零點，綜合上述可知函數(shù)有5個零點，都不在上故選：D15.對于數(shù)列，設(shè)數(shù)列的前項和為，給出下列兩個命題:①存在函數(shù)，使得;②存在函數(shù)，使得.則①是②的（）.A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】取，存在，使得成立，此時由函數(shù)定義知，不存在函數(shù)，使得，當(dāng)存在函數(shù)，使得成立時，由于與為一一對應(yīng)關(guān)系，所以就可以寫成反函數(shù)，即可以用表示，即存在函數(shù)，所以存在，綜上可知，①是②的必要不充分條件.故選：B二、解答題（本大題共有5題，滿分78分），解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)位置寫出必要的步驟。16.已知函數(shù)（Ⅰ）求的最小正周期及最大值；（Ⅱ）若，且，求的值.解：（Ⅰ）因為所以f(x)的最小正周期為，最大值為.（Ⅱ）因為，所以.因為，所以，即.所以，故17.如圖，在三棱錐中，平面平面、分別為線段、上的點，且.（1）求證：平面；（2）求證：平面；證明：（1）因為、分別為線段、上的點，且，所以，又平面，平面，所以平面.（2）因為，所以，所以，，連接，又，所以，所以，又，所以，所以，因為平面平面，交線為，平面，所以平面，平面，所以，因為，，平面，所以平面.18.第七屆中國國際進口博覽會于2024年11月5日至10日在上海舉辦，某公司生產(chǎn)的、三款產(chǎn)品在博覽會上亮相，每一種產(chǎn)品均有普通裝和精品裝兩種款式，該公司每天產(chǎn)量如下表:（單位:個）產(chǎn)品產(chǎn)品產(chǎn)品普通裝180400精品裝300420600現(xiàn)采用分層抽樣的方法在某一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100個，其中款產(chǎn)品有30個.（1）求的值；（2）用分層抽樣的方法在款產(chǎn)品中抽取一個容量為5的樣本，從樣本中任取2個產(chǎn)品，求其中至少有一個精品裝產(chǎn)品的概率;（3）對抽取到的款產(chǎn)品樣本中某種指標進行統(tǒng)計，普通裝產(chǎn)品的平均數(shù)為10，方差為2，精品裝產(chǎn)品的平均數(shù)為12，方差為1.8，試估計這天生產(chǎn)的款產(chǎn)品的某種指標的總體方差（精確到0.01）.解：（1）由題意可知，該工廠一天所生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100個，其中B款產(chǎn)品有30個，則，解得.（2）設(shè)所抽取的樣本中有個精品裝產(chǎn)品，則，解得所以容量為5的樣本中，有3個精品裝產(chǎn)品，2個普通裝產(chǎn)品.因此從樣本中任取2個產(chǎn)品，至少有1個精品裝產(chǎn)品的概率為（3）由題意，某項指標總體的平均數(shù)為，所以由分層抽樣的總體方差公式可得19.已知橢圓為橢圓的右焦點，過點的直線交橢圓于、兩點.（1）若直線垂直于軸，求橢圓的弦的長度；（2）設(shè)點，當(dāng)時，求點的坐標；（3）設(shè)點，記、的斜率分別為和，求的取值范圍.解：（1）由題意可知，，∴F1,0,又∵當(dāng)直線垂直于軸時，直線的方程為，由得，，∴弦AB的長為.（2）∵，且直線過點F，∴，在中，，∴斜邊PF的中點，恰為橢圓的左焦點,∴,又由橢圓的定義可得，∴點在線段的垂直平分線上，又在橢圓上，∴為橢圓的上頂點或下頂點，∴或.（3）當(dāng)直線AB的斜率不存在時，不妨設(shè)，∴，故；當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)斜率為，則直線AB：y=kx-1，設(shè)Ax由得，，∴，∴，化簡得，①當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時等式成立；②當(dāng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時等式成立；③當(dāng)，；綜上所述可得，的取值范圍為.20.已知函數(shù)，其中.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，問:函數(shù)的圖像上是否存在三點，使得它們的橫坐標成等差數(shù)列，且直線的斜率等于在點處的切線的斜率?若存在，求出所有滿足條件的點的坐標;若不存在，說明理由;（3）證明:函數(shù)圖像上任意一點都不落在函數(shù)圖像的下方（1）解：定義域為，，顯然在上嚴格增，且.所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）解：，假設(shè)存在三點滿足條件，設(shè)三點的