上海市青浦區(qū)2025屆高三上學(xué)期期終學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研(一模)數(shù)學(xué)試題(解析版)_第1頁
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高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市青浦區(qū)2025屆高三上學(xué)期期終學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研(一模)數(shù)學(xué)試題學(xué)生注意:1.本試卷包括試題紙和答題紙兩部分.2.在試題紙上答題無效,必須在答題紙上的規(guī)定位置按照要求答題.3.可使用符合規(guī)定的計算器答題.一.填空題(本大題共有12題,滿分54分,第1-6每題4分,第7-12每題5分)考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(其中是虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第_____象限.【答案】四【解析】因為,所以,所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第四象限.故答案為:四2.已知集合,則_____.【答案】【解析】因為,所以,故答案為:.3.不等式的解集為_______.【答案】【解析】不等式化為:,即,則,解得,所以不等式的解集為.故答案為:4.已知直線與直線平行,則____.【答案】1【解析】因為與平行,所以,解得或.當(dāng)時,直線,直線,兩直線平行.當(dāng)時,直線,直線,化簡為,此時兩直線重合,不符合要求,舍去.故答案為:1.5.兩條漸近線互相垂直的雙曲線的離心率為_____.【答案】【解析】兩條漸近線互相垂直,由對稱性可知,兩漸近線的傾斜角分別為,漸近線方程為,故,所以漸近線的離心率為.故答案為:6.已知數(shù)列滿足,則__________.【答案】【解析】因為①,當(dāng)時,②,①②得,所以,所以.故答案為:7.在中,已知,若,則的面積為______.【答案】【解析】在中,,,由余弦定理得,解得,所以的面積為.故答案為:8.已知圓柱的底面半徑為3,高為,圓錐的底面直徑和母線長相等.若圓柱和圓錐的體積相同,則圓錐的底面半徑為_____.【答案】3【解析】圓柱的體積為,設(shè)圓錐的底面半徑為,則母線長為,故圓錐的高為,則,故,解得,故圓錐的底面半徑為3.故答案為:39.的展開式中,項的系數(shù)為_____.【答案】【解析】展開式的通項為,,所以含的項為,即項的系數(shù)為.故答案為:10.已知函數(shù)的定義域為,值域為,則滿足條件的函數(shù)最多有_____個.【答案】14【解析】由函數(shù)定義,轉(zhuǎn)化為給安排對應(yīng)的自變量,每一種對應(yīng)方式,即為一個函數(shù),給取3個自變量,則對應(yīng)1個自變量,有種,給取2個自變量,則對應(yīng)2個自變量,有種,給取1個自變量,則對應(yīng)3個自變量,有種,所以由分類加法計數(shù)原理知,共有種不同的對應(yīng)方式,故答案為:1411.已知是單位圓上任意不同三點,則的取值范圍是_____.【答案】【解析】等價于在上的投影,如圖1,在單位圓圓上任取兩點、,則對任意的,當(dāng)與反向共線時,在上的投影取最小,作于點,設(shè),取中點,有,則,,則,由,故;如圖2,在單位圓圓上任取兩點、,則對任意的,當(dāng)與同向共線時,在上的投影取最大,作于點,設(shè),取中點,有,則,,則,由,故;綜上所述,.故答案為:.二、選擇題(本大題共有4題,滿分18分,第13-14每題4分,第15-16每題5分)每題有且只有一個正確選項,考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置,將代表正確選項的小方格涂黑.12.已知且滿足,則下列關(guān)系式恒成立的是().A. B.C. D.【答案】D【解析】對A,取,則,A錯誤;對B,取,則,即,B錯誤;對C,取,滿足,但,C錯誤;對D,因為冪函數(shù)在定義域R上單調(diào)遞增,且,所以,D正確;故選:D.13.若點關(guān)于xOy的對稱點為A,關(guān)于z軸的對稱點為B,則A、B兩點的對稱是().A.關(guān)于xOz平面對稱 B.關(guān)于x軸對稱C.關(guān)于y軸對稱 D.關(guān)于坐標原點對稱【答案】D【解析】點關(guān)于xOy的對稱點為A,則A坐標;點關(guān)于z軸的對稱點為B,則B坐標;則根據(jù)坐標特點知道A、B兩點關(guān)于原點對稱.故選:D.14.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)時,,則關(guān)于函數(shù)在R上的零點的說法正確的是().A.有4個零點,其中只有一個零點在區(qū)間上B.有4個零點,其中兩個零點在區(qū)間上,另外兩個零點在區(qū)間上C.有5個零點,兩個正零點中一個在區(qū)間上,一個在區(qū)間上D.有5個零點,都不在上【答案】D【解析】由于函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),故,即0是函數(shù)的一個零點;當(dāng)時,,此時函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且,即此時函數(shù)在和內(nèi)各有一個零點,在上無零點,又函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),故函數(shù)在和也內(nèi)各有一個零點,綜合上述可知函數(shù)有5個零點,都不在上故選:D15.對于數(shù)列,設(shè)數(shù)列的前項和為,給出下列兩個命題:①存在函數(shù),使得;②存在函數(shù),使得.則①是②的().A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】取,存在,使得成立,此時由函數(shù)定義知,不存在函數(shù),使得,當(dāng)存在函數(shù),使得成立時,由于與為一一對應(yīng)關(guān)系,所以就可以寫成反函數(shù),即可以用表示,即存在函數(shù),所以存在,綜上可知,①是②的必要不充分條件.故選:B二、解答題(本大題共有5題,滿分78分),解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)位置寫出必要的步驟。16.已知函數(shù)(Ⅰ)求的最小正周期及最大值;(Ⅱ)若,且,求的值.解:(Ⅰ)因為所以f(x)的最小正周期為,最大值為.(Ⅱ)因為,所以.因為,所以,即.所以,故17.如圖,在三棱錐中,平面平面、分別為線段、上的點,且.(1)求證:平面;(2)求證:平面;證明:(1)因為、分別為線段、上的點,且,所以,又平面,平面,所以平面.(2)因為,所以,所以,,連接,又,所以,所以,又,所以,所以,因為平面平面,交線為,平面,所以平面,平面,所以,因為,,平面,所以平面.18.第七屆中國國際進口博覽會于2024年11月5日至10日在上海舉辦,某公司生產(chǎn)的、三款產(chǎn)品在博覽會上亮相,每一種產(chǎn)品均有普通裝和精品裝兩種款式,該公司每天產(chǎn)量如下表:(單位:個)產(chǎn)品產(chǎn)品產(chǎn)品普通裝180400精品裝300420600現(xiàn)采用分層抽樣的方法在某一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100個,其中款產(chǎn)品有30個.(1)求的值;(2)用分層抽樣的方法在款產(chǎn)品中抽取一個容量為5的樣本,從樣本中任取2個產(chǎn)品,求其中至少有一個精品裝產(chǎn)品的概率;(3)對抽取到的款產(chǎn)品樣本中某種指標進行統(tǒng)計,普通裝產(chǎn)品的平均數(shù)為10,方差為2,精品裝產(chǎn)品的平均數(shù)為12,方差為1.8,試估計這天生產(chǎn)的款產(chǎn)品的某種指標的總體方差(精確到0.01).解:(1)由題意可知,該工廠一天所生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為現(xiàn)采用分層抽樣的方法在這一天生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取100個,其中B款產(chǎn)品有30個,則,解得.(2)設(shè)所抽取的樣本中有個精品裝產(chǎn)品,則,解得所以容量為5的樣本中,有3個精品裝產(chǎn)品,2個普通裝產(chǎn)品.因此從樣本中任取2個產(chǎn)品,至少有1個精品裝產(chǎn)品的概率為(3)由題意,某項指標總體的平均數(shù)為,所以由分層抽樣的總體方差公式可得19.已知橢圓為橢圓的右焦點,過點的直線交橢圓于、兩點.(1)若直線垂直于軸,求橢圓的弦的長度;(2)設(shè)點,當(dāng)時,求點的坐標;(3)設(shè)點,記、的斜率分別為和,求的取值范圍.解:(1)由題意可知,,∴F1,0,又∵當(dāng)直線垂直于軸時,直線的方程為,由得,,∴弦AB的長為.(2)∵,且直線過點F,∴,在中,,∴斜邊PF的中點,恰為橢圓的左焦點,∴,又由橢圓的定義可得,∴點在線段的垂直平分線上,又在橢圓上,∴為橢圓的上頂點或下頂點,∴或.(3)當(dāng)直線AB的斜率不存在時,不妨設(shè),∴,故;當(dāng)直線AB的斜率存在時,設(shè)斜率為,則直線AB:y=kx-1,設(shè)Ax由得,,∴,∴,化簡得,①當(dāng),,當(dāng)且僅當(dāng)時等式成立;②當(dāng),,當(dāng)且僅當(dāng)時等式成立;③當(dāng),;綜上所述可得,的取值范圍為.20.已知函數(shù),其中.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)函數(shù),問:函數(shù)的圖像上是否存在三點,使得它們的橫坐標成等差數(shù)列,且直線的斜率等于在點處的切線的斜率?若存在,求出所有滿足條件的點的坐標;若不存在,說明理由;(3)證明:函數(shù)圖像上任意一點都不落在函數(shù)圖像的下方(1)解:定義域為,,顯然在上嚴格增,且.所以當(dāng)時,;當(dāng)時,.的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)解:,假設(shè)存在三點滿足條件,設(shè)三點的

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