四川省綿陽市2023-2024學年高二上學期期末教學質(zhì)量測試數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省綿陽市2023-2024學年高二上學期期末教學質(zhì)量測試數(shù)學試卷注意事項：1.答題前，考生務必將自己的學校、班級、姓名用0.5毫來果色簽字筆填寫清楚，同時用2B鉛筆將考號準確填涂在“準考證號”欄目內(nèi).2.選擇題使用2B鉛筆填涂在答題卡對應題目標號的位置上，如需改動，用榢皮擦擦干凈后再選梌其它答案；非選擇題用0.5毫米黑色簽字筆書寫在答題卡的對應框內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效.3.考試結(jié)束后將答題卡收回.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.直線的一個方向向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直線的斜率為，則直線的一個方向向量，對于A，因，即向量與共線，A是；對于B，因，即向量與不共線，B不是；對于C，因，即向量與不共線，C不是；對于D，因，即向量與不共線，D不是.故選：A.2.拋物線的準線方程為()A. B. C. D.【答案】C【解析】由題知，拋物線方程為，則其準線方程為.故選：C3.已知點是點在坐標平面內(nèi)的射影，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為點是點在坐標平面內(nèi)的射影，則，則，因此，.故選：B.4.已知，兩點到直線：的距離相等，則（）A. B.6 C.或4 D.4或6【答案】D【解析】點到直線的距離為，點到直線的距離為，因為點到直線的距離和點到直線的距離相等，所以，所以或.故選：D5.科技博覽會需從5個女生（分別記為，，，，）中選2人參加志愿者服務，已知這5個人被選中的機會相等，則被選中的概率為（）A.0.25 B.0.4 C.0.5 D.0.75【答案】B【解析】由題意若被選中，則只需從其余四個人中再選一個人即可，所以被選中概率為.故選：B.6.在平行六面體中，，若，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】在平行六面體中，，若，，，則，則，所以，.故選：A.7.如圖，定圓的半徑為定長，是圓外一個定點，是圓上任意一點.線段的垂直平分線與直線相交于點，當點在圓上運動時，點的軌跡是（）A.射線 B.橢圓 C.雙曲線 D.圓【答案】C【解析】連接、，如圖所示：因為為的垂直平分線，所以，所以為定值，又因為點在圓外，所以，根據(jù)雙曲線定義，點的軌跡是以、為焦點，為實軸長的雙曲線.故選：C.8.如圖，已知菱形所在平面與矩形所在平面相互垂直，且，為線段的中點.則直線與的所成的角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設菱形對角線相交于點，則為的中點，，又為矩形的邊的中點.所以，又面面，，面，所以面，所以面，又面，所以，所以兩兩互相垂直，所以以為原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系：不妨設，，則，所以，所以，所以直線與的所成的角為.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列關于空間向量的命題中，正確的有（）A.將空間所有的單位向量平移到一個起點，則它們的終點構(gòu)成一個球面B.若非零向量，，滿足，，則有C.與一個平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量D.若，，為空間的一組基底，且，則，，，四點共面【答案】AC【解析】對于A，由單位向量的定義：長度為1的向量，可得將空間所有的單位向量平移到一個起點，則它們的終點構(gòu)成一個球面，故A正確；對于B，若非零向量，，不共面，則取為平面的一組基底向量，為平面的法向量滿足，，但不共線，故B錯誤；對于C，由法向量的定義可知與一個平面的法向量共線的非零向量都是該平面的法向量，故C正確；對于D，因為，所以，，，四點不共面，故D錯誤.故選：AC.10.如果一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，則下面敘述正確的是（）.A.這組數(shù)據(jù)是近似對稱的 B.數(shù)據(jù)中可能有極端大的值C.數(shù)據(jù)中可能有異常值 D.數(shù)據(jù)中眾數(shù)可能和中位數(shù)相同【答案】BCD【解析】一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)比平均數(shù)小很多，說明數(shù)據(jù)中有極端大的值，也即異常值，眾數(shù)只是比較多的數(shù)據(jù)，可以與中位數(shù)相同，這組數(shù)據(jù)顯然不可能近似對稱，A錯，BCD正確．故選：BCD．11.某電商平臺對去年春節(jié)期間消費的前1000名網(wǎng)購者，按性別等比例分層抽樣100名，并對其性別（（男）、（女））及消費金額（（消費金額>400），B（200<消費金額≤400），（0<消費金額≤200）進行調(diào)查分析，得到如人數(shù)統(tǒng)計表，則下列選項正確的是（.這1000名網(wǎng)購者中女性有490人 B.C. D.【答案】BC【解析】對于，由表格可知，在樣本中女性占比是，所以估計這名網(wǎng)購者中有480名女性，故錯誤；對于，表格中可知共有35名，所以，故正確；對于，包含的樣本有17個，所以，故正確；對于，包含個，故，故錯誤.故選：BC12.設橢圓：（）與雙曲線：（，）有相同的左右焦點且分別為，，離心率分別為，.設與在第一象限內(nèi)的交點為，且滿足，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】設，，則，解得，即，故B正確；顯然，可得，故A錯誤；因為，則，且，即，整理得，則，即，故D正確；因為不恒為0，所以不一定垂直，故C錯誤；故選：BD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知直線：與直線：.若，則______.【答案】2【解析】因為，所以，解得.故答案為：2.14.利用簡單隨機抽樣的方法，從個個體（）中抽取15個個體，若第二次抽取時，每個個體被抽到的概率為.則在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的概率為______.【答案】【解析】第二次抽取時，余下的每個個體被抽取到的概率為，則，解得，所以在整個抽樣過程中，每個個體被抽到的概率為.故答案為：.15.已知、是雙曲線的左右焦點，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，且的面積為（為雙曲線的半焦距），則的漸近線方程為______.【答案】【解析】如下圖所示：雙曲線的漸近線方程為，即，過作的一條漸近線的垂線，垂足為，則，由勾股定理可得，易知為的中點，則，即，可得，即，故雙曲線的漸近線方程為.故答案為：.16.如圖①是直角梯形，，，是邊長為2的菱形，且，以為折痕將折起，當點到達的位置時，四棱錐的體積最大，是線段上的動點，則面積的最小值為______.【答案】【解析】折起前，連接菱形的對角線，交于點，所以，所以折起后有，因為菱形的邊長為2，所以，又因為，，且所以在中，有，所以，所以折起前后四邊形的面積固定，若以為折痕將折起，當點到達的位置時，四棱錐的體積最大，則此時點到平面的距離最大，則此時有面面，又面面，，面，所以面，又面，所以，又，所以兩兩互相垂直，所以以為原點，所在直線分別為所在直線建立如圖所示的空間直角坐標系：若要面積最小，則只需點到直線的距離最小即可，由題意，過點作于點，則，又因為，所以，即，所以，因為三點共線，所以不妨設，所以點到直線的距離為，所以當時，，又，所以面積的最小值為.故答案為：.四、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.從出游方式看，春節(jié)期間是家庭旅游好時機.某地區(qū)消費者協(xié)會調(diào)查了部分2023年春節(jié)以家庭為單位出游支出情況，統(tǒng)計得到家庭旅游總支出（單位：百元）頻率分布直方圖如圖所示.（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）（1）求的值；（2）估計家庭消費總支出的平均值及第80百分位數(shù).（結(jié)果保留一位小數(shù)）解：（1）由頻率分布直方圖，得，∴.（2）平均值為.第80百分位數(shù)為，則，解得.18.已知直線：（），圓：.（1）試判斷直線與圓的位置關系，并加以證明；（2）若直線與圓相交于，兩點，求的最小值及此時直線的方程.解：（1）∵（），∴，令解得∴直線恒過定點.又，∴點在圓內(nèi)部，∴直線與圓相交.（2）∵圓：的圓心為，半徑為3，當直線與直線垂直時，弦長最小，此時，∴直線的斜率為，∴直線的方程為，即.圓心到直線的距離為，∴，∴弦長的最小值為4，此時直線的方程為.19.已知空間四點，，，，滿足.（1）求實數(shù)的值；（2）求以，為鄰邊的平行四邊形的面積.解：（1）由題意得，.∵，則，解得（2）由，得，∵，，，∴，.∴.∴以，為鄰邊的平行四邊形的面積為12.20.多項選擇題是標準化考試中常見題型，從，，，四個選項中選出所有正確的答案（四個選項中至少有兩個選項是正確的），其評分標準為全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.（1）甲同學有一道多項選擇題不會做，他隨機選擇至少兩個選項，求他猜對本題得5分的概率；（2）現(xiàn)有2道多項選擇題，根據(jù)訓練經(jīng)驗，每道題乙同學得5分的概率為，得2分的概率為；丙同學得5分的概率為，得2分的概率為.乙、丙二人答題互不影響，且兩題答對與否也互不影響，求這2道多項選擇題乙比丙總分剛好多得5分的概率.解：（1）甲同學所有可能的選擇答案有11種：，其中正確選項只有一個，樣本空間,共11個基本事件，所以他猜對本題得5分的概率為.（2）由題意得乙得0分的概率為，丙得0分的概率為，乙比丙剛好多得5分的情況包含：事件：乙得10分，丙得5分，則；事件：乙得7分，丙得2分，則；事件：乙得5分，丙得0分，則；所以乙比丙總分剛好多得5分的概率.21.在三棱臺中，平面，，且，，為的中點，是上一點，且（）.（1）求證：平面；（2）已知，且直線與平面的所成角的正弦值為時，求平面與平面所成夾角的余弦值.解：（1）∵，且是的中點，則.∵平面，平面，∴又平面，∴平面，因為平面，∴.①∵，∴，則.∵，∴，∴在平面中.②∵平面，∴由①②知平面.（2）由題意得，平面，∴平面.由（1）可知，故為坐標原點.如圖，以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標系.∵，∴，.∴，，，∵，∴由棱臺的性質(zhì)得，.由（1）可知平面的一個法向量為，且.直線與平面的所成角的正弦值為，∴（），即，解得.∴平面的一個法向量為，且.平面的法向量為.∵，，，即，當時，，∴平面的一個法向量為..∴平面與平面所成夾角的余弦值.22.在直角坐標系中，已知，，，以為直徑的圓經(jīng)過點，記點.（1）求點的軌跡方程；（2）給出如下定理：在一般情況下，若二次曲線的方程為：（，，不全為0），則經(jīng)過該曲線上一點