云南省昆明市官渡區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省昆明市官渡區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本卷為試題卷.考生必須在答題卡上解題作答.答案應(yīng)書寫在答題卡的相應(yīng)位置上，在試題卷?草稿紙上作答無效；2.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試題卷和答題卡一并交回.第I卷（選擇題，共60分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，1.直線的斜率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直線的斜率為.故選A2.已知等差數(shù)列，則下列屬于該數(shù)列的項(xiàng)的是（）A.-23 B.-31 C.-33 D.-43【答案】C【解析】由等差數(shù)列知數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，故數(shù)列通項(xiàng)為，分別使取選項(xiàng)中的值，發(fā)現(xiàn)僅當(dāng)時(shí)，，其它沒有對(duì)應(yīng)的n.故選：C.3.已知四面體中，是的中點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)樗拿骟w中，是的中點(diǎn)，所以.故選：B.4.焦點(diǎn)在軸上，且長軸長與短軸長之比為，焦距為的橢圓方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得，，又，解得，故橢圓方程為.故選：D5.如圖，在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱長度都為1，且兩兩夾角為，則（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】依題意，記，，，則，，則，因?yàn)?，，所?故選：D.6.經(jīng)過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，則的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)閳A的圓心為，半徑為，所以點(diǎn)到圓心的距離為，則點(diǎn)在圓內(nèi)部，記圓心到直線的距離為，則，當(dāng)最大，即時(shí)，弦長最小，此時(shí).故選：C．7.我們把平面內(nèi)與直線垂直的非零向量稱為直線的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)的直線的一個(gè)法向量為,則直線的點(diǎn)法式方程為：,化簡(jiǎn)得.類比以上做法，在空間直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)的平面的一個(gè)法向量為，則該平面的方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意進(jìn)行類比，在空間任取一點(diǎn)，則平面法向量為，故選：A．8.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出，共需經(jīng)過8個(gè)步驟變成1（簡(jiǎn)稱為8步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），當(dāng)時(shí)，（）A.170 B.168 C.130 D.172【答案】D【解析】依題意，，故，又，所以．所以．故選：D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求?全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.直線必過定點(diǎn)B.過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為C.直線在軸和軸上截距相等D.直線與直線之間的距離是【答案】BC【解析】對(duì)于A，將代入直線，得，不恒成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)過點(diǎn)且垂直于直線的直線為，所以，得，則所求直線為，故B正確；對(duì)于C，直線，令，則，令，則，所以直線在軸和軸上截距相等，故C正確；對(duì)于D，將直線化為，則直線與直線之間的距離為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬.如圖,在陽馬中,平面,若，分別為的中點(diǎn)，則（）A.平面B.異面直線所成角的余弦值為C.點(diǎn)到平面的距離為D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】AD【解析】對(duì)于A，連接，則，因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，且平面，所以平面，則平面，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，且，故以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則則，所以，則異面直線所成角的余弦值為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，易得，，則由，得，即，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)B，知，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，設(shè)AC與平面所成角為，所以，故D正確；故選：AD.11.過拋物線的焦點(diǎn)的一條直線交拋物線于兩點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.為定值B.存在直線，使得（為坐標(biāo)原點(diǎn)）C.若經(jīng)過點(diǎn)和拋物線的頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于點(diǎn)，則D.若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，依題意，直線的斜率不等于0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消去得，易知，則，，故，所以為定值，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋圆豢赡?，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，經(jīng)過點(diǎn)和拋物線的頂點(diǎn)的直線的方程為，則其與準(zhǔn)線的交點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)?，所以，即軸，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，，則，所以，由，得，由，得，即，則，則由拋物線定義得，故D正確.故選：ACD．12.斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列或兔子數(shù)列.此數(shù)列從第3項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)之和，記為數(shù)列的前項(xiàng)和，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋?，，所以，，，，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，由A項(xiàng)知，，，，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，根據(jù)題意，，所以，所以，，，…，，所以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)椋蔇項(xiàng)正確.故選：ABD.第II卷非選擇題（共90分）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.等比數(shù)列中，則__.【答案】4【解析】由題可得，，所以.故答案為：4.14.如圖，一個(gè)底面半徑為2的圓柱被與其底面所成的角的平面所截，截面是一個(gè)橢圓，則橢圓的離心率為__________.【答案】【解析】由題意可知橢圓的短半軸長為，長半軸長為，則，則該橢圓的離心率為.故答案為：.15.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中記載有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼奧斯圓.已知點(diǎn)，圓，在圓上存在點(diǎn)滿足，則__________.（寫出滿足條件的一個(gè)的值即可）【答案】3（答案不唯一）【解析】不妨設(shè)點(diǎn)，因滿足，則，化簡(jiǎn)得：，即點(diǎn)的軌跡方程為，依題意點(diǎn)又在圓上,如圖，兩圓必有公共點(diǎn)，須使，（由圖知圓C半徑），而，解得：.故可取區(qū)間內(nèi)的任何數(shù).故答案為：3（答案不唯一）16.如圖，在棱長為2的正方體中，是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則面積的最小值為__________.【答案】【解析】記的中點(diǎn)為，連接，過作，交于，在取，如圖，由，得，故四邊形是平行四邊形，則，在中，，同理：，所以，又，則，則，故，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，則，而由，，得，則，所以是與的公共垂線段，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)到上的最小距離為，即，在中，由，得，所以，即則面積的最小值為.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17.在等差數(shù)列中，是它的前項(xiàng)和，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)的公差為，由可得：①，由可得：，整理得：②，聯(lián)立①②可解得：，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.（2）由（1）得，不妨設(shè)，則，故.18.從以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題橫線處，并進(jìn)行解答.①經(jīng)過點(diǎn)；②圓心在直線上；③以線段為直徑.問題：已知圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且__________.（1）求圓的方程；（2）過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程.注：如選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)條件計(jì)分.解：（1）若選①：依題意，設(shè)圓方程為，，，則，解得，所以圓方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為．若選②：依題意，設(shè)圓方程為，，又圓心在直線上，所以，解得，所以圓方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)辄c(diǎn)是圓上的一點(diǎn)，故切線只有一條，又圓的圓心為，半徑為，當(dāng)切線l的斜率不存在時(shí)，其方程為，顯然不符合題意；當(dāng)切線l的斜率存在時(shí)，設(shè)切線，即．則圓心到切線的距離，解得，所以切線l的方程為，即.19.如圖，平面，四邊形為矩形，，.（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，又平面，平面，所以平面，又，同理可得：平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平?（2）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，因，則，，，，則，故，解得，所以，，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，故，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為．20.已知離心率為的雙曲線C:x2a2（1）求的方程；（2）如圖，點(diǎn)為雙曲線上的任意一點(diǎn)，為原點(diǎn)，過點(diǎn)作雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于、兩點(diǎn)，求證：平行四邊形的面積為定值.解：（1）因?yàn)?，則，因?yàn)殡p曲線C:x2a2-y2所以，，故雙曲線的方程為.（2）設(shè)點(diǎn)，則，由圖可知，直線的方程為，直線的方程為，因?yàn)?，則直線的方程為，聯(lián)立可得，所以，，點(diǎn)到直線的距離為，所以，平行四邊形的面積為為定值.21.已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，①由，②②－①可得：，，，所以，．（2）令，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，即，①，②得，所以，因?yàn)?，所以，綜上，.22.已知拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為8，點(diǎn)到軸的距離為.（1）求拋物線的方程；（2）取拋