4.6 正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)

授課題目4.6正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)選用教材高等教育出版社《數(shù)學(xué)》（基礎(chǔ)模塊上冊(cè)）授課時(shí)長(zhǎng)3課時(shí)授課類型新授課教學(xué)提示弦函數(shù)在一個(gè)周期上的簡(jiǎn)圖．教學(xué)目標(biāo)［0,2π］上的圖像的步驟，能找出正弦函“五點(diǎn)法”圖像分析函數(shù)性質(zhì)的一般方法，逐步提升邏輯推理等核心素養(yǎng)．教學(xué)重點(diǎn)五點(diǎn)作圖法作正弦函數(shù)的圖像，正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)五點(diǎn)作圖法和正弦函數(shù)的性質(zhì)的理解．教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖情境導(dǎo)入4.6.1正弦函數(shù)的圖像簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是最基本也是最簡(jiǎn)單的機(jī)械振動(dòng)．單擺是常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)之一，以時(shí)間為橫軸，擺球離開(kāi)平衡位置的位移為縱軸，作出擺球偏離平衡位置的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系圖，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了么？提問(wèn)啟發(fā)引導(dǎo)思考作答交流用生活中的現(xiàn)象創(chuàng)設(shè)情境的引發(fā)學(xué)生思考激發(fā)求知欲簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)形成的曲線是一條波浪起伏、周講解傾聽(tīng)數(shù)形結(jié)合而復(fù)始的曲線，我們可以用正弦函數(shù)來(lái)刻畫(huà)它.說(shuō)明問(wèn)題由三角函數(shù)的單位圓定義可知在第一象限內(nèi),sinx隨x的增大而增大;在第二象限內(nèi),sinx隨x結(jié)合圖像引導(dǎo)觀察圖像思考幫助學(xué)生動(dòng)態(tài)理解函數(shù)的特征的增大而減小;在第三象限內(nèi),sinxx的增大而減小;在第四象限內(nèi),sinx隨x的增大而增大.根據(jù)單位圓的圓周運(yùn)動(dòng)特點(diǎn),單位圓上任說(shuō)明函數(shù)意一點(diǎn)在圓周上旋轉(zhuǎn)一周就回到原來(lái)的位置,的周期不這說(shuō)明自變量每增加或者減少2π,正弦函數(shù)說(shuō)明理解唯一從而值將重復(fù)出現(xiàn).這一現(xiàn)象可以用公式說(shuō)明引入sin(x+2kπ)=sinx，k∈Z最小正周探索新知來(lái)表示.期的必要一般地，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個(gè)講解理解性Tx取定義域內(nèi)任意一個(gè)值時(shí)，都有數(shù)形結(jié)合f(x+T)＝f(x)，說(shuō)明問(wèn)題y＝f(x)為周期函數(shù)Ty解釋思考滲透樹(shù)形＝f(x)的一個(gè)周期．說(shuō)明理解結(jié)合思想因此正弦函數(shù)y=sinx，x∈R是一個(gè)周期方法逐步函數(shù)，2π，4π，6π，…及-2π，-4π，-6π，…都提升直觀是它的周期，即常數(shù)2kπ(k∈Z且k≠0)都是它想象核心y＝f(x)的所有周期中存素養(yǎng)在一個(gè)最小的正數(shù)T0，那么這個(gè)最小的正數(shù)T0就稱為y＝f(x)的最小正周期．顯然，2π為正弦函數(shù)的最小正周期.說(shuō)明思考利用正弦函數(shù)的周期性質(zhì)可以簡(jiǎn)化正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)的研究過(guò)程．下面用描點(diǎn)法作出正弦函數(shù)y=sinx在[0,2π]上的圖像．(1)列表把區(qū)間[0,2π]分成12等份,分別求出y=sinx在各分點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)的正弦函數(shù)值.指導(dǎo)操作強(qiáng)調(diào)“五點(diǎn)法”是重要的作圖方法和學(xué)生必備基本技能(2)描點(diǎn)作圖．x，y內(nèi)描點(diǎn)(x,y)，再用平滑曲線順次連接各點(diǎn)，y＝sinx[0,2π]上的圖像.引導(dǎo)分析觀察函數(shù)y＝sinx在[0,2π]上的圖像發(fā)現(xiàn)，在確定圖像的形狀時(shí)，起關(guān)鍵作用的點(diǎn)有以下五個(gè)，描出這五個(gè)點(diǎn)后，正弦函數(shù)的圖像就基本確定了.因此，在精確度要求不高時(shí)，常常先找出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再用光滑的曲線將它們連接起[0,2π]種作圖方法稱為五點(diǎn)法．2πy＝sinx[0,2π]x軸向左或向右平移2kπ(k∈Z)，就可得到正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的圖像.正弦函數(shù)的圖像也稱為正弦曲線，它是一條“波浪起伏”的連續(xù)光滑曲線．例1y＝1+sinx[0,2π]提問(wèn)思考借助實(shí)際上的圖像．例子加深解 (1)列表.對(duì)“五點(diǎn)導(dǎo)分析法”作圖的理解例題辨析(2)描點(diǎn)作圖.講解解決根據(jù)表中x,y的數(shù)值在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)(x,y),再用平滑曲線順次連接各點(diǎn),就得到函數(shù)y＝1+sinx在[0,2π]上的圖像.強(qiáng)調(diào)交流練習(xí)4.6.11．設(shè)函數(shù)y=f(x)，x∈R的周期為2，且f(1)＝1，則f(3)= ．2.利用五點(diǎn)法作出下列函數(shù)在[0,2π]上的圖像：(1)y＝sinx?1；(2)y＝?sinx．3.利用五點(diǎn)法作出正弦函數(shù)y＝sinx在上的圖像.，2 2提問(wèn)思考通過(guò)練習(xí)及時(shí)掌握學(xué)生情況鞏固練習(xí)巡視動(dòng)手查漏補(bǔ)缺求解指導(dǎo)交流情境導(dǎo)入4.6.2正弦函數(shù)的性質(zhì)利用研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，可否從正弦函數(shù)的提問(wèn)觀察從原有知識(shí)出發(fā)，引引定義域、值域、周期性、奇偶性和單調(diào)性等方面來(lái)研究正弦函數(shù)的性質(zhì)呢？啟發(fā)思考數(shù)形結(jié)合思考問(wèn)題觀察正弦曲線，得到關(guān)于正弦函數(shù)y＝sinx，x∈R的結(jié)論:定義域.R.值域.正弦曲線分布在兩條直線y=1x,都有|sinx|≤1立．由此可知,正弦函數(shù)的值域是[-1,1],并且,x2k(k∈Z)時(shí),y2x 2k(k∈Z)時(shí)，y取最小值，ymid=-1．2周期性.正弦函數(shù)是周期為2π數(shù)．奇偶性.由圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱和誘導(dǎo)公sin(?x)=?sinx可知，正弦函數(shù)是奇函數(shù)．單調(diào)性.由圖像可知，正弦函數(shù)y＝sinx在區(qū)間 2,22,2上單調(diào)遞減．因此，由正弦函數(shù)的周期性可知，正弦函數(shù)y＝sinx在每一個(gè)閉區(qū)間+2k,+2k2 2 (k∈Z)上都是增函數(shù)，函數(shù)值從-11；在每一個(gè)閉區(qū)間+2k,+2k(k∈)上2 2 講解理解通過(guò)討說(shuō)明論，學(xué)生由曲線形狀看出函引導(dǎo)觀察數(shù)的性質(zhì)學(xué)生圖像從函得到加深對(duì)知數(shù)性結(jié)論識(shí)的理解質(zhì)幾發(fā)展直觀方面想象和數(shù)考慮學(xué)抽象核新知問(wèn)題心素養(yǎng)探索說(shuō)明啟發(fā)結(jié)合圖像啟發(fā)引導(dǎo)說(shuō)明都是減函數(shù)，函數(shù)值從1減小到-1．2x的集合.(1)y2sinx,xR；(2)y=1-2sinx，x∈R．3解1≤sinx≤1，所以2≤2sinx≤2，3 3 3即 2≤y≤2．3 3故函數(shù)的最大值為2，最小值為2．3 3y2sinxxRx的3取得最大值的x的集合{x|x2k,kZ}；2y2sinxxRx的3取得最小值的x的集合{x|x 2k,kZ}．2(2)以-2≤-2sinx≤2，-1≤1-2sinx≤3，即-1≤y≤3．故函數(shù)的最大值為3，最小值為-1．y=1-2sinx，x∈R取得最小值x的集合{x|x 2k,kZ}；2提問(wèn)思考數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題結(jié)合具體引導(dǎo)解決問(wèn)題鞏固函數(shù)的性質(zhì)講解交流提問(wèn)思考例題辨析引導(dǎo)解決講解交流提問(wèn)思考引導(dǎo)解決y=1-2sinx，x∈Rx取得最大值x的集合{x|x2k,kZ}．2例3不求值，比較下列各組數(shù)值的大小：(1)sin與sin2； (2)sin5與sin7．7 7 8 8解根據(jù)正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知：因?yàn)?y=sinx在區(qū)7 7 2間0上是增函數(shù)，所以inin；， 2 7 7因?yàn)閥=sinx在區(qū)2 8 8間上是減函數(shù)，所以inin．2 8 8例4求函數(shù)ysinx的定義域．解要使函數(shù)ysinx有意義，必須使sinx≥0．由正弦函數(shù)正弦函數(shù)y=sinx在[0,2π]上的圖像可知，在x滿足0≤x≤π函數(shù)的周期性得：2kπ≤x≤π+2kπ(k∈Z)，故函數(shù)的定義域?yàn)閧x|2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z}．溫馨提示講解交流幫助學(xué)生加強(qiáng)對(duì)正弦函數(shù)單調(diào)性的理解提問(wèn)思考引導(dǎo)解決講解交流幫助學(xué)生加強(qiáng)對(duì)正弦函數(shù)的圖像和周期性的理解數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題更加清晰提問(wèn)思考明了強(qiáng)調(diào)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性引導(dǎo)解決體會(huì)知識(shí)的簡(jiǎn)單應(yīng)講解交流用對(duì)含三角函數(shù)的函數(shù)式求定義域時(shí)，除了考慮函數(shù)式有意義之外，還要注意三角函數(shù)的周期性．探究與發(fā)現(xiàn)若某地一天6~14時(shí)的氣溫變化曲線近似滿足函數(shù)y10sinx320，x[6,14]，8 4 求這一天6~14時(shí)的最大溫差.補(bǔ)充體會(huì)說(shuō)明領(lǐng)悟提問(wèn)思考引導(dǎo)回答練習(xí)4.6.2下列各等式能否成立？為什么？(1)2sinx=3； (2)sin2x1．4求下列函數(shù)的值域：(1)y1x； (2)y=2sinx-1．2x的集合．(1)y=sin3x (2)y2sinx. 2 y=a+2sinxa小：(1)sin(-65°)與sin(-70°)；(2)sin與sin；8 7(3)sin與