黃金卷06（新高考Ⅰ卷專用）備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷含答案及解析

試卷第=page22頁，共=sectionpages2222頁【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷（新高考Ⅰ卷）黃金卷06（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．或2．設，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．的展開式中常數(shù)項為（

）A． B．160 C．80 D．4．若底面半徑為r，母線長為的圓錐的表面積與直徑為的球的表面積相等，則（

）A． B． C． D．5．已知，，則（

）A． B． C． D．6．已知火箭在時刻的速度為（單位：千米/秒），質(zhì)量為（單位：千克），滿足（為常數(shù)），、分別為火箭初始速度和質(zhì)量．假設一小型火箭初始質(zhì)量千克，其中包含燃料質(zhì)量為500千克，初始速度為，經(jīng)過秒后的速度千米/秒，此時火箭質(zhì)量千克，當火箭燃料耗盡時的速度大約為（

）（，）．A．4 B．5 C．6 D．77．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．8．已知雙曲線的左焦點為F，過坐標原點O作C的一條漸近線的垂線l，直線l與C交于A，B兩點，若的面積為，則C的離心率為（

）．A．3 B． C．2 D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．設，為復數(shù)，則下列說法中正確的有（

）A．若，，其中，，，，且，，則B．若（）為純虛數(shù)，則C．若關于的方程，，的一個虛根為，則D．若，，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限10．已知，，若函數(shù)的圖象關于對稱，且函數(shù)在上單調(diào)，則（

）A．的最小正周期為 B．C．為偶函數(shù) D．11．“大鵬曲線”的方程為，其圖像因為形似一只展翅高飛的大鵬而得名.直線與C的交點可能個數(shù)的集合記為，下列選項正確的是（

）A．B．C．“”的充要條件是“且”D．“”的充分條件是“，或”第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知某工廠有三條流水線用于生產(chǎn)某產(chǎn)品，三條流水線的產(chǎn)量之比為2：1：2，根據(jù)抽樣，有：流水線1流水線2流水線3總計方差0.8250.6340.810均值9.09.49.2則流水線2的均值為，流水線3的標準差為．13．已知a，b，，二次函數(shù)有零點，則的最小值是．14.在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量，．若，則的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．(本小題滿分13分）在三棱柱中，，，，分別為，的中點，．(1)求證：；(2)若，求二面角的正弦值．16．(本小題滿分15分）已知籃球比賽中，得分規(guī)則如下：3分線外側投入可得3分，踩線及3分線內(nèi)側投入可得2分，不進得0分；經(jīng)過多次試驗，某生投籃100次，有20個是3分線外側投入，20個是踩線及3分線內(nèi)側投入，其余不能入籃，且每次投籃為相互獨立事件．(1)求該生在4次投籃中恰有三次是3分線外側投入的概率；(2)求該生兩次投籃得分的分布列及數(shù)學期望．17．(本小題滿分15分）已知橢圓的右焦點為，左頂點為，短軸長為，且經(jīng)過點．(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線（不與軸重合）與交于兩點，直線與直線的交點分別為，記直線的斜率分別為，證明：為定值．18．(本小題滿分17分）已知曲線在點處的切線為．(1)求直線的方程；(2)證明：除點外，曲線在直線的下方；(3)設，求證：．19．(本小題滿分17分）集合論在離散數(shù)學中有著非常重要的地位.對于非空集合和，定義和集，用符號表示和集內(nèi)的元素個數(shù).(1)已知集合，，，若，求的值；(2)記集合，，，為中所有元素之和，，求證：；(3)若與都是由個整數(shù)構成的集合，且，證明：若按一定順序排列，集合與中的元素是兩個公差相等的等差數(shù)列.

【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷（新高考Ⅰ卷）黃金卷06（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。12345678CAADACDB二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．91011BDBCBD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．13．14．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15.(本小題滿分13分）【解】（1）如圖，連接，取中點為，連接，，……1分因為，所以，因為，為，的中點，且，所以，所以，所以，……3分又因為，所以，又因為，且，所以平面，因為平面，所以；……5分（2）因為，在中，，所以，又平面，故平面，以為坐標原點，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，，，，，，所以，，，……7分設平面與平面的一個法向量分別為，，則，令，解得，故，……9分，令，解得，，故，……11分設二面角的平面角為，則，……12分所以，所以二面角的正弦值為．……13分16．(本小題滿分15分）【解】（1）“3分線外側投入”，“踩線及3分線內(nèi)側投入”，“不能入籃”分別記為事件，，，由題意知，，，……13分因為每次投籃為相互獨立事件，故4次投籃中恰有三次是3分線外側投入的概率為.……………5分（2）兩次投籃后得分的可能取值為0，2，3，4，5，6,由于該生兩次投籃互不影響，是相互獨立事件，表示兩次投籃都不能入籃，即得分都為0，則；……6分表示一次是踩線及3分線內(nèi)側投入，另一次不能入籃，則；……7分表示一次是3分線外側投入，另一次不能入籃，則；……8分表示兩次都是踩線及3分線內(nèi)側投入，則；……9分表示一次是3分線外側投入，另一次是踩線及3分線內(nèi)側投入，則；……10分表示兩次都是3分線外側投入，則，……11分故的分布列為023456…13分所以……15分17．(本小題滿分15分）【解】（1）因為，所以，……1分再將點代入得，……2分解得，……3分故橢圓的方程為；……4分（2）由題意可設，由可得，易知恒成立，所以，……7分又因為，所以直線的方程為，令，則，故，……9分同理，……10分從而，……12分故為定值……15分18．(本小題滿分17分）【解】（1）因為，所以，……2分所以直線的方程為：，即……4分（2）令，則，……5分令，則，由，解得，由，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，……7分當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當且僅當?shù)忍柍闪?，所以除切點之外，曲線在直線的下方．……9分（3）由，解得，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，……11分當時，．因為，則，不妨令．因為曲線在點的切線方程為，……12分設點在切線上，有，故，

由（1）知時，，則，即，要證：，只要證：，只要證：，又，只要證：，……15分令，則，易證在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以成立，所以原命題成立．……17分19．(本小題滿分17分）【解】（1）由題：，……1分所以，，且，……2分從而，，，故.……3分（2）若，，，，使，其中，，，，則，故，.……5分，，…7分.…………9分（3）設集合，，其中，.則，這里共個不同元素，又，所以上面為和集中的所有元素.……11分又，這里共個不同元素，也為合集中的所有元素，所以有，即.……13分一般地，由，，可得，即.同理可得，得證.……17分【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷（新高考Ⅰ卷）黃金卷06（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合，，則（

）A． B．C． D．或【答案】C【解析】聯(lián)立，得，所以.故選C2．設，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由于不等式的解集為，則可推出，反之不成立，所以“”是“”的充分而不必要條件．故選：A.3．的展開式中常數(shù)項為（

）A． B．160 C．80 D．【答案】A【解析】展開式的通項公式為，令，可得，故展開式的常數(shù)項為.故選：A.4．若底面半徑為r，母線長為的圓錐的表面積與直徑為的球的表面積相等，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】圓錐的表面積為，球的表面積為，故，即，故（負舍）.故選：D.5．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，所以，，即，，兩式相加可得，所以.故選：A6．已知火箭在時刻的速度為（單位：千米/秒），質(zhì)量為（單位：千克），滿足（為常數(shù)），、分別為火箭初始速度和質(zhì)量．假設一小型火箭初始質(zhì)量千克，其中包含燃料質(zhì)量為500千克，初始速度為，經(jīng)過秒后的速度千米/秒，此時火箭質(zhì)量千克，當火箭燃料耗盡時的速度大約為（

）（，）．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由題意知，火箭在時刻的速度為，質(zhì)量為，滿足，因為經(jīng)過秒后的速度千米/秒，此時火箭質(zhì)量千克，可得，火箭耗盡燃料時速度為，兩式相除得.故選：C．7．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，故，畫出與的圖象，函數(shù)有3個零點，即與圖象有3個不同的交點，則，解得.故選D8．已知雙曲線的左焦點為F，過坐標原點O作C的一條漸近線的垂線l，直線l與C交于A，B兩點，若的面積為，則C的離心率為（

）．A．3 B． C．2 D．【答案】B【解析】由題意可知：，則，不妨取一條漸近線為，則，聯(lián)立方程，解得，由對稱性可知：點為線段的中點，則，即，解得，則，所以C的離心率為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．設，為復數(shù)，則下列說法中正確的有（

）A．若，，其中，，，，且，，則B．若（）為純虛數(shù)，則C．若關于的方程，，的一個虛根為，則D．若，，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限【答案】BD【解析】對于選項A：因為，可知，不可能均為實數(shù)，故不能比較大小，故A錯誤；對于選項B：若（）為純虛數(shù)，則，解得，故B正確；對于選項C：若關于的方程，，的一個虛根為，則另一個虛根為，可得，所以，故C錯誤；對于選項D：若，，則，復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為，位于第三象限，故D正確；故選：BD.10．已知，，若函數(shù)的圖象關于對稱，且函數(shù)在上單調(diào)，則（

）A．的最小正周期為 B．C．為偶函數(shù) D．【答案】BC【解析】由題設的圖象關于對稱，可得，所以，由，，可得，又由函數(shù)在上單調(diào)，所以，解得，當時，，此時，可得的最小正周期為，所以A不正確；由，所以B正確；由，所以C正確；由，所以D錯誤．故選：BC.11．“大鵬曲線”的方程為，其圖像因為形似一只展翅高飛的大鵬而得名.直線與C的交點可能個數(shù)的集合記為，下列選項正確的是（

）A．B．C．“”的充要條件是“且”D．“”的充分條件是“，或”【答案】BD【解析】當時，曲線為雙曲線，漸近線方程為，當時，曲線為橢圓，對于A，恒過點，當直線時，此時直線與漸近線平行，直線與C的交點為1，當時，直線與C的交點為1，當時，直線與C的交點為2，故，A錯誤，對于B，恒過點，聯(lián)立與橢圓得，則，當時，此時，故直線與下半橢圓相切，結合圖象可知：當直線時，直線與C的交點為2，故時，直線與C的交點為1，當時，直線與C的交點為0，當或時，直線與C的有1個交點，當時，直線與C的交點為2，故，B正確，對于C，取，由B可知直線與C的交點為1，故且不能得到，故C錯誤，對于D，當時，此時直線，此時直線恒過點，當時，直線與漸近線平行且經(jīng)過，此時與C有2個交點，當時，直線與C有1個交點，當時，與C沒有交點，當時，與C有1個交點，當時，此時直線方程為，與聯(lián)立可得，解得，此時直線與下半橢圓相切，只有一個交點，故當，此時直線與C沒有交點，故，或時，，故D正確，故選：BD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知某工廠有三條流水線用于生產(chǎn)某產(chǎn)品，三條流水線的產(chǎn)量之比為2：1：2，根據(jù)抽樣，有：流水線1流水線2流水線3總計方差0.8250.6340.810均值9.09.49.2則流水線2的均值為，流水線3的標準差為．【答案】【解析】根據(jù)題意，設三條流水線的產(chǎn)量為，流水線2的均值為m，則，解得，設流水線3的方差為，則，解得.13．已知a，b，，二次函數(shù)有零點，則的最小值是．【答案】【解析】因為a，b，，設，則，二次函數(shù)有零點，則，可得，設，顯然，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，當且僅當，即，時，等號成立，即，所以的最小值是.14.在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量，．若，則的取值范圍是．【答案】【解析】因為，所以,所以，，故，又因為三角形為銳角三角形，所以,所以，因為三角形為銳角三角形所以，即，所以所以所以.所以取值范圍是，四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．(本小題滿分13分）在三棱柱中，，，，分別為，的中點，．(1)求證：；(2)若，求二面角的正弦值．【解】（1）如圖，連接，取中點為，連接，，……1分因為，所以，因為，為，的中點，且，所以，所以，所以，……3分又因為，所以，又因為，且，所以平面，因為平面，所以；……5分（2）因為，在中，，所以，又平面，故平面，以為坐標原點，以，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標系，，，，，，所以，，，……7分設平面與平面的一個法向量分別為，，則，令，解得，故，……9分，令，解得，，故，……11分設二面角的平面角為，則，……12分所以，所以二面角的正弦值為．……13分16．(本小題滿分15分）已知籃球比賽中，得分規(guī)則如下：3分線外側投入可得3分，踩線及3分線內(nèi)側投入可得2分，不進得0分；經(jīng)過多次試驗，某生投籃100次，有20個是3分線外側投入，20個是踩線及3分線內(nèi)側投入，其余不能入籃，且每次投籃為相互獨立事件．(1)求該生在4次投籃中恰有三次是3分線外側投入的概率；(2)求該生兩次投籃得分的分布列及數(shù)學期望．【解】（1）“3分線外側投入”，“踩線及3分線內(nèi)側投入”，“不能入籃”分別記為事件，，，由題意知，，，……13分因為每次投籃為相互獨立事件，故4次投籃中恰有三次是3分線外側投入的概率為.……………5分（2）兩次投籃后得分的可能取值為0，2，3，4，5，6,由于該生兩次投籃互不影響，是相互獨立事件，表示兩次投籃都不能入籃，即得分都為0，則；……6分表示一次是踩線及3分線內(nèi)側投入，另一次不能入籃，則；……7分表示一次是3分線外側投入，另一次不能入籃，則；……8分表示兩次都是踩線及3分線內(nèi)側投入，則；……9分表示一次是3分線外側投入，另一次是踩線及3分線內(nèi)側投入，則；……10分表示兩次都是3分線外側投入，則，……11分故的分布列為023456…13分所以……15分17．(本小題滿分15分）已知橢圓的右焦點為，左頂點為，短軸長為，且經(jīng)過點．(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線（不與軸重合）與交于兩點，直線與直線的交點分別為，記直線的斜率分別為，證明：為定值．【解】（1）因為，所以，……1分再將點代入得，……2分解得，……3分故橢圓的方程為；……4分（2）由題意可設，由可得，易知恒成立，所以，……7分又因為，所以直線的方程為，令，則，故，……9分同理，……10分從而，……12分故為定值……15分18．(本小題滿分17分）已知曲線在點處的切線為．(1)求直線的方程；(2)證明：除點外，曲線在直線的下方；(3)設，求證：．【解】（1）因為，所以，……2分所以直線的方程為：，即……4分（2）令，則，