2024-2025學(xué)年上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

2024—2025學(xué)年上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

一、填空題(★)1.二面角的平面角的取值范圍是___________.(★★)2.如圖，等腰直角三角形是一個(gè)平面圖形的斜二測(cè)直觀圖，且，則該平面圖形的原面積為______.(★★)3.已知向量，，且與互相垂直，則k的值是_______.(★★)4.已知，，是不共面向量，，，，若，，三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)_______.(★★)5.設(shè)是等比數(shù)列，且，，則_______.(★)6.如圖，在梯形ABCD中，，，點(diǎn)O為空間任一點(diǎn)，設(shè)，，，則向量用，，表示為_______.(★★★)7.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“，”時(shí)，從“”變到“”時(shí)，左邊應(yīng)增乘的因式是_______.(★★★)8.如圖，已知菱形中，邊長為，沿對(duì)角線折疊之后，使得平面平面，則二面角的余弦值為__________.(★★)9.我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中的一個(gè)問題，其意思為“圓木長2丈4尺，圓周長為一丈，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長幾丈幾尺．”（古制1丈=10尺）葛藤最少長是________．(★★★)10.某同學(xué)在參加魔方實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長為的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分，（球心與正方體的中心重合），若其中一個(gè)截面圓的周長為，則該球的表面積是______．(★★★)11.如圖，正方體則下列四個(gè)命題：①點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，三棱錐的體積不變；②點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，直線與平面所成角的大小不變；③點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，二面角的大小不變；④點(diǎn)是平面上到點(diǎn)和距離相等的動(dòng)點(diǎn)，則的軌跡是過點(diǎn)的一條直線；其中的真命題是________（請(qǐng)?jiān)跈M線上填上正確命題的序號(hào)）(★★★★★)12.已知，若數(shù)列為嚴(yán)格增數(shù)列，則實(shí)數(shù)q的取值范圍是_______.二、單選題(★★)13.若數(shù)列滿足，（），則其前2023項(xiàng)和為（）

A．1360B．1358C．1350D．1348(★★)14.若，是兩個(gè)不同平面，，是兩條不同直線，則下列命題中不正確的是

A．，，則B．，，則C．，，則D．，與，所成的角相等，則(★★★)15.若向量，滿足，，，則與的夾角為（）

A．B．C．D．(★★★)16.已知正四棱柱的底面為邊長為2，高為3，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（）

A．1B．2C．4D．8三、解答題(★★)17.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求及其最小值.(★★)18.如圖，長方體中，，點(diǎn)P為的中點(diǎn).(1)求證:直線平面;(2)求異面直線、所成角的大小.(★★★)19.如圖，在兩塊鋼板上打孔，用釘帽呈半球形、釘身為圓柱形的鉚釘（圖1）穿在一起，在沒有帽的一端錘打出一個(gè)帽，使得與釘帽的大小相等，鉚合的兩塊鋼板，成為某種鋼結(jié)構(gòu)的配件，其截面圖如圖2.（單位：mm）.（加工中不計(jì)損失）.（1）若釘身長度是釘帽高度的2倍，求鉚釘?shù)谋砻娣e；（2）若每塊鋼板的厚度為mm，求釘身的長度（結(jié)果精確到mm）.(★★★)20.如圖1，在等腰梯形ABCD中，，，，E為AD中點(diǎn)，點(diǎn)O，F(xiàn)分別為BE，DE的中點(diǎn).將沿BE折起到的位置，使得平面平面BCDE（如圖2）.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)側(cè)棱上是否存在點(diǎn)P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.(★★★★)21.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.若（），則稱是“緊密數(shù)列”.(1)已知數(shù)列是“緊密數(shù)列”，其前5項(xiàng)依次為1，，，x，，