初中數(shù)學新人教版七年級上冊第五章第2課《解一元一次方程》教案（2024秋）

15.2解一元一次方程【素養(yǎng)目標】1.會正確利用合并同類項解ax+bx=c類型的一元一次方程.2.通過解一元一次方程，體會解方程中的化歸思想.【教學重點】建立方程解決實際問題，會解ax+bx=c類型的一元一次方程.【教學難點】根據(jù)實際問題建立方程模型.【教學過程】[設(shè)計意圖]回顧等式的性質(zhì)與合并同類項的法則，為解方程的學習作準備.【回顧導入】1.上節(jié)課我們學習了利用等式的性質(zhì)解方程，請大家說一說等式的性質(zhì)有哪些?(可讓學生回答，課堂上一起回顧)2.合并下列各式的同類項：(1)a+2a-4a;(2)-6xy-5+2yx+xy-3.(1)-a;(2)-3xy-8.[教學提示]回顧舊知時，教師應關(guān)注學生是否忘記等式性質(zhì)中“同一個數(shù)”;合并同類項，要關(guān)注學生是否能準確識別同類項，是否漏掉了負號.[設(shè)計意圖]學習利用合并同類項解一元一次方程.探究點利用合并同類項解一元一次方程數(shù)量又是去年的2倍.前年這所學校購買了多少臺計算機?問題1你能根據(jù)題意列出方程嗎?設(shè)前年購買計算機x臺，則去年購買計算機2x臺，今年購買計算機4x臺.根據(jù)“三年共購買計算機140臺",可以得到如下相等關(guān)系：前年購買量+去年購買量+今年購買量=140.x+2x+4x=140.問題2觀察方程，等號左邊有3個含x的未知數(shù)項，不能直接利用等式性質(zhì)解這個方程.我們可以利用什么知識，將這個方程轉(zhuǎn)化一下，以便順利地求解呢?利用合并同類項的法則，把含有x的項合并同類項，得7x=140.問題3你能進一步求出方程的解嗎?x=20.因此，前年這所學校購買了20臺計算機.合并同類項是一種恒等變形，通過合并同類項，減少項數(shù)，進而將方程轉(zhuǎn)化為更接近x=m的形式.【對應訓練】教材P121練習第2題.[教學提示]給學生說明，“系數(shù)化為1”指使方程由ax=b(a≠1)變形為x=m,它的依據(jù)是等式的性質(zhì)2.系數(shù)化為1時，要避免出現(xiàn)以下幾種錯誤：(1)顛倒除數(shù)與被除數(shù)的位置；(2)忽略未知數(shù)系數(shù)的符號.[教學提示]2結(jié)合解方程的過程，讓學生思考有關(guān)步驟(合并同類項)的作用，是為了反復滲透“解方程就是要使方程不斷向x=m(常數(shù))的形式轉(zhuǎn)化”的化歸思想.【教學過程】活動三：熟練運用，鞏固提升[設(shè)計意圖]鞏固用合并同類項解一元一次方程的方法，強化運算能力.例1(教材P120例1)解下列方程：(2)7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3.例2(教材P121例2)有一列數(shù)1,-3,9,-27,81,-243,…,其中第n個數(shù)是(-3)n-1(n>1).如果這列數(shù)中某三個相鄰數(shù)的和是-1701.這三個數(shù)各是多少?分析：數(shù)的排列規(guī)律：后一個數(shù)=-3×前一個數(shù).某三個相鄰數(shù)的和：前面的數(shù)+中間的數(shù)+后面的數(shù)=-1701.解：設(shè)所求三個數(shù)中的第1個數(shù)是x,則后兩個數(shù)分別是-3x,9x.由三個數(shù)的和是-1701,得x-3x+9x=-1701.合并同類項，得7x=-1701.系數(shù)化為1,得x=-243.所以-3x=729,9x=-2187.答：這三個數(shù)是-243,729,-2187.【對應訓練】教材P121練習第1,3題.[教學提示]給學生總結(jié)：例1中，解一元一次方程時，同類項有兩類，即含未知數(shù)的一次項和常數(shù)項.這兩類都需要合并.[教學提示]讓學生認識到：用一元一次方程解含多個未知數(shù)的問題時，通常先設(shè)其中一個為x,再根據(jù)其他未知數(shù)與x的關(guān)系，用含x的式子表示這些未知數(shù).活動四：隨堂訓練，課堂總結(jié)【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題：1.今天我們學習的解方程，有哪些步驟?2.解一元一次方程時，合并同類項起了什么作用?3.系數(shù)化為1的依據(jù)是什么?4.含多個未知數(shù)時，怎樣設(shè)未知數(shù)、列方程?【作業(yè)布置】1.教材P130習題5.2第1(1)(2),14題.【教學后記】第2課時：利用移項解一元一次方程【素養(yǎng)目標】1.能從實際問題中找出相等關(guān)系，并列一元一次方程，培養(yǎng)抽象能力.2.能利用移項、合并同類項解形如ax+c=bx+d的方程，強化運算能力.【教學重點】利用移項、合并同類項解形如ax+c=bx+d的方程.【教學難點】實際問題中找出相等關(guān)系，構(gòu)建方程模型解決問題.【教學過程】[設(shè)計意圖]通過合并同類項遇到的問題，引出移項的新課題.【課堂引入】3你能利用等式的性質(zhì)解下列方程嗎?(1)x=3x+2;(2)x-2=6-x;(3)0.5x+1=1.2x-4.顯然解這些方程的第一步不是合并同類項，因為在這些方程中，同類項分別分布在等號的兩邊，不能直接合并，那么怎么才能進行合并同類項呢?下面我們就來開始今天的學習——移項.[教學提示]讓學生結(jié)合等式的性質(zhì)1,想想為了合并同類項，在等式的兩邊應該加減什么.[設(shè)計意圖]加強根據(jù)實際問題列方程的能力.探究點利用移項解一元一次方程(教材P122問題2)把一批圖書分給某班學生閱讀，若每人分3本，則剩余20本；若每人分4本，則缺25本.這個班有多少名學生?問題1設(shè)這個班有x名學生.應如何列方程呢?每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，這批書共(3x+20)本；每人分4本，需要4x本，減去缺的25本，這批書共(4x-25)本.這批書的總數(shù)是一個定值，表示它的兩個式子應相等，根據(jù)這一相等關(guān)系列得方程3x+20=4x-25.樣才能把它轉(zhuǎn)化為x=m(常數(shù))的形式呢?請你用等式的性質(zhì)試一試.為了使方程的右邊沒有含x的項，等式兩邊減4x,利用等式的性質(zhì)1,得3x+20-4x=-25.為了使方程的左邊沒有常數(shù)項，等式兩邊減20,利用等式的性質(zhì)1,得3x-4x=-25-20.問題3把方程3x-4x=-25-20與原方程作比較，請你用自己的語言描述其中的變化.這個變形相當于即把原方程左邊的20變?yōu)?20移到右邊，把右邊的4x變?yōu)?4x移到左邊.[教學提示](1)本題屬于中國古代數(shù)學中所說的“盈不足問題”.(2)可以給學生總結(jié)，列這個方程依據(jù)的是“表示同一個量的兩個不同的式子相等”.【教學過程】問題4把某項從等式的一邊移到另一邊時，這項有什么變化?該項系數(shù)的符號變了.[設(shè)計意圖]問題5請你繼續(xù)解方程3x-4x=-25-20.合并同類項，得-x=-45.系數(shù)化為1,得x=45.由上可知，這個班有45名學生.思考(教材P123思考)上面解方程中“移項”起了什么作用?式.【對應訓練】教材P124練習第2,3題.[教學提示]移項法則是根據(jù)等式的性質(zhì)1得出的.教學中應展現(xiàn)得出移項法則的過程，說明移項“變號”的道理，體現(xiàn)移項法則的合理性，引導學生在理解道理的基礎(chǔ)上記憶移項法則.[設(shè)計意圖]展現(xiàn)利用移項解方程的步驟.[設(shè)計意圖]鞏固用方程解決實際問題的能力4例1(教材P123例3)解下列方程：(1)3x+7=32-2x;(2)x-3=3/2x+1.解：(1)移項，得3x+2x=32-7.合并同類項，得5x=25.系數(shù)化為1,得x=5.(2)移項，得x-3/2x=1+3.合并同類項，得-1/2x=4.系數(shù)化為1,得x=-8.方法歸納：例2(教材P123例4)某制藥廠制造一批藥品，如用舊工藝，則廢水排量要比環(huán)保限制的最大量還多200t;如用新工藝，則廢水排量比環(huán)保限制的最大量少100t.新、舊工藝的廢水排量之比為2:5,采用兩種工藝的廢水排量各是多少噸?分析提問：(1)說一說本題中什么量是一定的?根據(jù)題意你能得出怎樣的相等關(guān)系?環(huán)保限制的最大廢水排量是一定的.相等關(guān)系：舊工藝廢水排量-200=新工藝廢水排量+100.(2)由“新、舊工藝的廢水排量之比為2:5”,你認為可以如何設(shè)未知數(shù)?可設(shè)新工藝的廢水排量為2xt,舊工藝的廢水排量為5xt.根據(jù)前面的分析求出兩種工藝下的廢水排量.解：設(shè)采用新、舊工藝的廢水排量分別為2xt和5xt.根據(jù)廢水排量與環(huán)保限制最大量之間的關(guān)系，得5x-200=2x+100.合并同類項，得3x=300.系數(shù)化為1,得x=100.答：采用新、舊工藝的廢水排量分別為200t和500t.【對應訓練】0教材P124練習第1,4題.[教學提示]提醒學生注意：0(1)方程中的項是連同它前面的符號的，不要忽略，移項要變號.(2)移項時，應使含未知數(shù)的項集中于方程一邊，常數(shù)項集中于另一邊.[教學提示](1)本題中涉及兩個量的比，在設(shè)未知數(shù)時應利用這種比的關(guān)系使要求的量的形式盡可能簡單易算.(2)求出x的值后，還要進一步求出題中要求的量.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題：1.如何根據(jù)同一個量的不同表示方法列方程?2.移項的依據(jù)是什么?移項應注意什么?3.如何利用移項、合并同類項的方法解方程?【作業(yè)布置】1.教材P130習題5.2第1(3)(4),4(1)(2),6,8,10題.【教學后記】5第3課時利用去括號解一元一次方程【素養(yǎng)目標】1.會解含有括號的一元一次方程.2.知道解方程的基本思路是把“復雜”轉(zhuǎn)化為“簡單”,把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的過程.【教學重點】利用去括號解一元一次方程.【教學難點】利用去括號解一元一次方程.【教學過程】[設(shè)計意圖]為后面學習去括號解方程作準備.【知識回顧】1.在前面的課時我們學習了一元一次方程的解法，當中有哪幾個步驟?2.你能快速求出方程6x-7=4x-1的解嗎?移項，得6x-4x=-1+7.合并同類項，得2x=6.系數(shù)化為1,得x=3.3.去括號：(1)(3a+2b)+(6a-4b);原式=3a+2b+6a-4b.(2)(-3a+2b)-3(a-b);原式=-3a+2b-3a+3b.(3)-(5a+4b)+2(-3a+b).原式=-5a-4b-6a+2b.今天我們將在以上知識的基礎(chǔ)上學習新的解方程的方法.[教學提示]提醒學生注意：(1)移項時要變號.(2)去括號注意兩點：①如果括號外的數(shù)是負數(shù)，去括號后，原括號內(nèi)各項都要改變符號；②將括號前的乘數(shù)與括號內(nèi)的式子相乘時，乘數(shù)應乘括號內(nèi)的每一項，不要漏乘.[設(shè)計意圖]繼續(xù)強化根據(jù)實際問題建立方程模型的能力，并引出帶有括號的一元一次方程，學會求其解探究點利用去括號解一元一次方程(教材P124問題3)某工廠采取節(jié)能措施，去年下半年與上半年相比，月平均用電量減少2000kW·h(千瓦時),全年的用電量是150000kW·h.這個工廠去年上半年平均每月的用電量是多少?問題1設(shè)去年上半年平均每月的用電量是xkW·h,請你根據(jù)題意說一說相等關(guān)系是怎樣的?并列出方程.問題2我們前面學過了用移項、合并同類項的方法解一元一次方程，對于這個方程，如果要用我們前面學過的知識求解，你覺得需要先對方程作怎樣的變形?將方程中的括號去掉.問題3請你結(jié)合去括號的知識，解這個方程.[教學提示]讓學生對比本節(jié)課與上節(jié)課解方程的過程，體會其中增加的步驟.【教學過程】方程左邊去括號，得6x+6x-12000=150000.移項，得6x+6x=150000+12000.合并同類項，得12x=162000.系數(shù)化為1,得x=13500.由上可知，這個工廠去年上半年平均每月的用電量是13500kW·h.【對應訓練】教材P126練習第2題.[設(shè)計意圖]6規(guī)范展現(xiàn)利用去括號解一元一次方程的過程.[設(shè)計意圖]構(gòu)建方程模型解決涉及順、逆水的行程問題，并進一步展現(xiàn)去括號等解方程的步驟.例1(教材P125例5)解下列方程：(1)2x-(x+10)=5x+2(x-1);(2)系數(shù)化為1,得x=-4/3.移項，得3x-7x+2x=3-6-7.系數(shù)化為1,得x=5.例2(教材P125例6)一艘船從甲碼頭到乙碼頭順水而行，用了2h;從乙碼頭返回甲碼頭逆水而行，用了2.5h.已知水流的速度是3km/h,求船在靜水中的平均速度.問題1這道題中哪一個量是不變的?這艘船往返的路程.問題2根據(jù)題意你能得出怎樣的相等關(guān)系?順水速度×順水時間=逆水速度×逆水時間.問題3題中涉及順水、逆水因素，這類問題中又有哪些基本相等關(guān)系?順水速度=靜水速度+水流速度.逆水速度=靜水速度-水流速度.問題4根據(jù)前面的分析，求出船在靜水中的平均速度.解：設(shè)船在靜水中的平均速度為xkm/h,則順水速度為(x+3)km/h,逆水速度為(x-3)km/h.根據(jù)往返路程相等，列得方程2(x+3)=2.5(x-3).去括號，得2x+6=2.5x-7.5.移項及合并同類項，得-0.5x=-13.5.系數(shù)化為1,得x=27.答：船在靜水中的平均速度為27km/h.【對應訓練】教材P126練習第1,3題.[教學提示]請兩個學生上臺板演，其他學生獨立完成解方程，教師講解正確的解題步驟，提醒學生注意去括號時符號的變化規(guī)律，以減少解方程中的運算錯誤.[教學提示]教學時，教師要引導學生知曉：(1)找到一個不變的量，這個不變的量能以不同式子表示，是列方程的核心.(2)在勻速運動中，“路程=速度×時間”是基本的相等關(guān)系.【課堂總結(jié)】師生一起回顧本節(jié)課所學主要內(nèi)容，并請學生回答以下問題：1.解帶括號的一元一次方程時，步驟有哪些?2.去括號時要注意什么?3.在行程問題中，涉及順、逆水問題時，速度分別是怎樣計算的?【作業(yè)布置】1.教材P130習題5.2第2,4(3),7,11,13題.【教學后記】7第4課時利用去分母解一元一次方程【素養(yǎng)目標】1.通過去分母解一元一次方程，歸納解一元一次方程的一般步驟，全面掌握解一元一次方程的方法.2.會將含有分數(shù)系數(shù)的方程化成整數(shù)系數(shù)的方程并求解，體會化歸的思想.3.從實際問題中構(gòu)建方程模型，用一元一次方程求解.【教學重點】掌握解一元一次方程中“去分母”的方法，并會解這種類型的方程.【教學難點】正確去分母；在稍復雜的實際問題中正確構(gòu)建方程模型.【教學過程】[設(shè)計意圖]去括號、等式的性質(zhì)2、最小公倍數(shù)等內(nèi)容，為去分母的學習作準備.【回顧導入】問題1去括號時應該注意什么?去括號時要用括號外的數(shù)乘括號內(nèi)的每一項，且符號不要出錯.問題2等式的性質(zhì)2是怎樣敘述的?等式兩邊乘同一個數(shù)，或除以同一個不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等.如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么a/c=b/c.問題3說一說下面三組數(shù)的最小公倍數(shù)：(1)12;(2)20;(3)12.[教學提示]讓學生回答問題，教師適當補充與糾正.[設(shè)計意圖]引出含分數(shù)系數(shù)的一元一次方程，并求解，使學生用一元一次方程解決實際問題的能力更全面.探究點去分母解一元一次方程問題1(教材P126問題4)如圖，翠湖在青山、綠水兩地之間，距青山50km,距綠水70km.某天，一輛汽車勻速行駛，途經(jīng)王家莊、青山、綠水三地的時間如表所示.王家莊距翠湖的路程有多遠?(1)本題中，哪一個量是不變的?汽車行駛的速度.(2)結(jié)合題意和問題(1),你認為本題中有怎樣的相等關(guān)系?王家莊至青山的行駛速度=王家莊至綠水的行駛速度.(3)結(jié)合問題(1)(2),若設(shè)王家莊距翠湖的路程為xkm,試著填寫下面的表格，并列出方程(4)你還能列得其他方程嗎?②根據(jù)等式的性質(zhì)2,等式兩邊乘同一個數(shù)，結(jié)果仍相等.我們在等式兩邊乘一個怎樣的數(shù)，可以去掉分母，將分數(shù)系數(shù)變成整數(shù)系數(shù)?乘3,5的最小公倍數(shù)15.③請你按照上面的思路，將原方程化為整數(shù)系數(shù)的方程.方程兩邊都乘15,得5(x-50)=3(x+70).④請你進一步求出方程的解.去括號，得5x-250=3x+210.合并同類項，得2x=460.系數(shù)化為1,得x=230.因此，王家莊距翠湖的路程為230km.[教學提示](1)給學生說明：選擇方程中各分母的最小公倍數(shù)作為方程兩邊同乘的數(shù)，既能約去分母，又能使所乘的數(shù)最小，因此一般采用這種方法.8(2)去分母解方程時須注意：①先確定各分母的最小公倍數(shù)；②不要漏乘沒有分母的項；③去掉分母后，若分子是多項式，要加括號，視多項式為一要跳步，避免出錯.[教學提示]1)讓學生將本節(jié)課解方程的步驟與前面課時中解方程的步驟進行比較，看看它們有什么相同之處和不同之處.(2)給學生強調(diào)：解一元一次方程時，應靈活運用一般步驟中的各種做法，采取哪些步驟要看解什么樣的方程，各種步驟都是為使方程向x=m的形式轉(zhuǎn)化.【教學過程】[設(shè)計意圖]規(guī)范地展現(xiàn)解一元一次方程的一般步驟，同時鞏固學生解方程的能力追問你能說出上面解方程過程中每個步驟的依據(jù)嗎?歸納例(教材P128例7)解下列方程：(1)(x+1)/2-1=2+(2-x)/4;(2)3x+(x-1)/2=3-(2x-1)/3.解：(1)去分母(方程兩邊乘4),得2(x+1)-4=8+(2-x).合并同類項，得3x=12.系數(shù)化為1,得x=