2025屆廣西壯族自治區(qū)名校高三上學期12月模擬考試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)名校2025屆高三上學期12月模擬考試數學試題（考試時間：120分鐘滿分：150分）注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.3.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數，則在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因為，所以，因為，所以在復平面內對應的點，位于第三象限.

故選：C2.已知為單位向量，且在上的投影向量為，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】設的夾角為，由題意得，，所以，故選：C3.某次數學考試后，為了分析學生的學習情況，從該年級數學成績中隨機抽取一個容量為的樣本，整理得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知成績在范圍內的人數為60，則下列說法正確的是（）A.的值為200B.這次考試的及格率（60分及以上為及格）約為C.估計學生成績的第75百分位數為80分D.總體分布在的頻數與總體分布在的頻數相等【答案】C【解析】，解得，所以成績在范圍內的頻率為，人，故A錯誤；，所以這次考試的及格率（60分及以上為及格）約為，故B錯誤；成績在的頻率為，所以估計學生成績的第75百分位數為80分，故C正確；樣本分布在的頻數與樣本分布在的頻數相等，但總體分布在的頻數與總體分布在的頻數不一定相等，故D錯誤．故選：C4.函數在區(qū)間上的圖象大致是（）A. B.C D.【答案】B【解析】因為，，所以，所以的圖象關于點的中心對稱，故排除C，D，又，故排除A.故選：B5.已知直線與直線，則“”是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為直線與直線，若，則，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A6.已知雙曲線的左?右焦點分別為，過點的直線交的左支于，兩點.（為坐標原點），點到直線的距離為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令雙曲線的半焦距為，取的中點，連接，由，得，則，連接，由為的中點，得，所以，，，因此，即，整理得，所以離心率．故選：D7.正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規(guī)律的立體結構，其所有面都只由一種正多邊形構成的多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個頂點所接的面數都一樣，各相鄰面所成二面角都相等）.數學家已經證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體?正六面體?正八面體?正十二面體?正二十面體，如圖所示為正八面體，則該正八面體的外接球與內切球的表面積的比為（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】設正八面體的棱長為a，正八面體的中心到頂點的距離就是外接球半徑R，∴中心到面的距離就是內切球半徑r,正八面體的體積，，解得根據球的表面積公式，外接球表面積，內切球表面積；則外接球與內切球表面積之比故選：D8.已知，若函數，則的最小值為（）A. B.1 C. D.3【答案】B【解析】函數，等價于，即在R上恒成立，即，.則，令，對其求導得，當在上單調遞減，當在單調遞增，所以故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設函數的圖象關于直線對稱，它的最小正周期是，則以下結論正確的是（）A.的圖象過點B.在上是減函數C.的最大值與的取值有關D.的一個對稱中心是【答案】ACD【解析】函數的最小正周期是，，，又的圖象關于直線對稱，，，又，，，，圖象過，故A正確；的正負未知，故無法確定的單調性，故B錯誤；顯然的最大值與的取值有關，故C正確；，是的一個對稱中心，故D正確．故選：ACD10.已知函數，則（）A.必有兩個極值點B.存在實數使得C.點是曲線的對稱中心D.若曲線有兩條過點的切線，則或【答案】BCD【解析】對于A，因為，當時，有兩個不相等實數根，所以有兩個極值點，當時，f'x≥0恒成立，所以無極值點，故A對于B，，令，則，令，，當時，根據函數零點存在定理，存在實數使得，故B正確；對于C，由，知的圖象關于中心對稱，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；對于D，過的切線的切點為，切線斜率為，則切線方程為，把點代入可得，化簡可得，令，則，令可得或，在和上大于零，所以在和上單調遞增，在上小于零，所以在單調遞減，要使有兩個解，一個極值一定為0，若函數在極值點時的函數值，可得，若函數在極值點時的函數值，可得，所以若曲線y=fx有兩條過點2,1的切線，則或，故D正確．故選：BCD11.法國數學家加斯帕爾?蒙日是19世紀著名的幾何學家，被稱為“畫法幾何”創(chuàng)始人“微分幾何之父”，他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，過圓上的動點作橢圓的兩條切線，交圓于兩點，直線交橢圓于兩點，則下列結論正確的是（）A.橢圓的離心率為B.若點在橢圓上，且直線的斜率之和為0，則直線的斜率為C.點到橢圓的左焦點的距離的最小值為D.面積的最大值為【答案】AB【解析】對于A，依題意，過橢圓的上頂點作軸的垂線，過橢圓的右頂點作軸的垂線，則這兩條垂線的交點在圓上，所以，得，所以橢圓的離心率，故A正確；對于B，由可知，又過點，所以，解得，所以橢圓方程為，因為點都在圓上，且，所以為圓的直徑，所以直線經過坐標原點，易得點，關于原點對稱，設，則，，，，所以，所以，又，，所以，故B正確；對于C，設，橢圓的左焦點為，連接，因為，即，所以，又，所以，所以則到左焦點的距離的最小值為，故C不正確；對于D，因為點都在圓上，且，所以為圓的直徑，則，設點到的距離為，則，所以面積，故D不正確；故選：AB三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是角終邊上的一個點，將繞原點順時針旋轉至，則點的坐標為__________.【答案】【解析】設，因為，由正切函數定義可得，解得；，所以，，即點Q的坐標為.故答案為：．13.已知等差數列的前項和是，則數列中最小的項為第____項.【答案】【解析】，，且，，故等差數列為遞減數列，即公差為負數，，且，，，所以數列中最小的項是第項.故答案為：．14.箱子里有大小相同的4種點數不同的紙牌各若干張，每次從中摸出4張紙牌為一組，其中摸出恰有3種點數組合紙牌的不同取法為__________種：若要保證至少有2組紙牌的點數組合是一樣的，則至少要摸出__________組紙牌.（兩空均用數字作答）【答案】①.②.【解析】先計算取出一組的類型取法數，取一組有1種點數的取法數：，取一組有2種點數的取法數：，取一組有3種點數的取法數：，取一組有4種點數的取法數：，故共有種不同的組合取法．此時最不利的情況即每種組合各取一次，接著再取一組，就一定可以保證有2組紙牌的點數組合一樣，即所求為種．故答案為：12；36．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在銳角中，內角對邊分別為，已知.（1）求；（2）求的取值范圍.解：（1）因為，所以，由正弦定理可得，所以，即，又，所以，因為，所以；（2）由（1）知，因為，，，，，即的取值范圍為．16.為了調查某校學生喜歡跑步是否與性別有關，高三年級特選取了200名學生進行了問卷調查，得到如下的列聯(lián)表：喜歡跑步不喜歡跑步合計女生90120男生55合計145200（1）計算的值，并依據小概率值的獨立性檢驗，判斷性別與喜歡跑步是否有關？（2）從上述的200名學生中按性別比例用分層抽樣的方法抽取10名學生，再在這10人中抽取3人調查其是否喜歡跑步，用表示3人中女生的人數，求的分布列及數學期望.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1），，，，零假設為：性別與學生喜歡跑步無關，由題意得依據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據認為不成立，所以判斷性別與喜歡跑步無關；（2）由題意，參與調查的200人中，女生有120人，男生有80人，因，按性別比例分層抽樣抽出10人，則女生抽6人，男生抽4人，從10人中隨機抽取3人，則的取值可以為，，，，，則隨機變量的分布列為0123．17.如圖，在正三棱柱中，側棱與底面邊長均為2，點分別為的中點，點滿足.（1）求證：四點共面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）證明：取中點，過作于，連接，，則，，，所以四邊形是平行四邊形，，由得，，又，，，所以，，，四點共面，又，所以，，，四點共面；（2）由已知得，如圖，以為原點，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，，，，設平面的法向量為，則由，得，令得，，又，，設直線與平面所成角為，則．18.已知點在拋物線上，按照如下方法依次構造點，過點作斜率為的直線與拋物線交于另一點，作點關于軸的對稱點，記的坐標為.（1）求拋物線的方程；（2）求數列的通項公式，并求數列的前項和；（3）求面積.解：（1）因為點在拋物線上，則，解得，所以拋物線的方程；（2）由可知，，因為點在拋物線上，則，且，過，，且斜率為的直線，聯(lián)立方程，消去可得，解得或，，可得，所以數列是以首項為2，公差為2的等差數列，所以，又，，；（3）由（2）可知：，，，直線的方程為，即，點到直線的距離為，，所以的面積為．19.給出下列兩個定義：I.對于函數，定義域為，且其在上是可導的，若其導函數定義域也為，則稱該函數是“同定義函數”.II.對于一個“同定義函數”，若有以下性質：①；②，其中為兩個新的函數，是的導函數.我們將具有其中一個性質的函數稱之為“單向導函數”，將兩個性質都具有的函數稱之為“雙向導函數”，將稱之為“自導函數”.（1）判斷函數和是“單向導函數”，或者“雙向導函數”，并說明理由.如果具有性質①，則寫出其對應的“自導函數”；（2）已知函數.（i）若的“自導函數”是，試求的取值范圍；（ii）若，且定義，對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.解：（1）對于函數，則，這兩個函數的定義域都是，所以函數為“同定義函數”，此時，，，滿足，，所以為“雙向導函數”，其“自導函數”為；對于函數，定義域為，則，又函數的定義域為，這兩個函數的定義域不相同，所以函數不是“同定義函數”，即既不是“單向導函數”又不是“雙向導函數”；（2）（i）因為，所以，依題意可得，所以恒成立，所以，解得；（ii）依題意可得，因為對于任意的，恒成立，所以對于任意的恒成立，當時，；當時，，令，，則．令,，則在上恒成立，所以在上單調遞減，所以，即在上恒成立，所以在上單調遞減，所以，所以．綜上，實數的取值范圍為．廣西壯族自治區(qū)名校2025屆高三上學期12月模擬考試數學試題（考試時間：120分鐘滿分：150分）注意事項：1.答題前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.3.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數，則在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】因為，所以，因為，所以在復平面內對應的點，位于第三象限.

故選：C2.已知為單位向量，且在上的投影向量為，則（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】設的夾角為，由題意得，，所以，故選：C3.某次數學考試后，為了分析學生的學習情況，從該年級數學成績中隨機抽取一個容量為的樣本，整理得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知成績在范圍內的人數為60，則下列說法正確的是（）A.的值為200B.這次考試的及格率（60分及以上為及格）約為C.估計學生成績的第75百分位數為80分D.總體分布在的頻數與總體分布在的頻數相等【答案】C【解析】，解得，所以成績在范圍內的頻率為，人，故A錯誤；，所以這次考試的及格率（60分及以上為及格）約為，故B錯誤；成績在的頻率為，所以估計學生成績的第75百分位數為80分，故C正確；樣本分布在的頻數與樣本分布在的頻數相等，但總體分布在的頻數與總體分布在的頻數不一定相等，故D錯誤．故選：C4.函數在區(qū)間上的圖象大致是（）A. B.C D.【答案】B【解析】因為，，所以，所以的圖象關于點的中心對稱，故排除C，D，又，故排除A.故選：B5.已知直線與直線，則“”是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件【答案】A【解析】因為直線與直線，若，則，解得或，所以“”是“”的充分不必要條件．故選：A6.已知雙曲線的左?右焦點分別為，過點的直線交的左支于，兩點.（為坐標原點），點到直線的距離為，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】令雙曲線的半焦距為，取的中點，連接，由，得，則，連接，由為的中點，得，所以，，，因此，即，整理得，所以離心率．故選：D7.正多面體也稱柏拉圖立體，被譽為最有規(guī)律的立體結構，其所有面都只由一種正多邊形構成的多面體（各面都是全等的正多邊形，且每一個頂點所接的面數都一樣，各相鄰面所成二面角都相等）.數學家已經證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體?正六面體?正八面體?正十二面體?正二十面體，如圖所示為正八面體，則該正八面體的外接球與內切球的表面積的比為（）A. B. C. D.3【答案】D【解析】設正八面體的棱長為a，正八面體的中心到頂點的距離就是外接球半徑R，∴中心到面的距離就是內切球半徑r,正八面體的體積，，解得根據球的表面積公式，外接球表面積，內切球表面積；則外接球與內切球表面積之比故選：D8.已知，若函數，則的最小值為（）A. B.1 C. D.3【答案】B【解析】函數，等價于，即在R上恒成立，即，.則，令，對其求導得，當在上單調遞減，當在單調遞增，所以故選：B二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設函數的圖象關于直線對稱，它的最小正周期是，則以下結論正確的是（）A.的圖象過點B.在上是減函數C.的最大值與的取值有關D.的一個對稱中心是【答案】ACD【解析】函數的最小正周期是，，，又的圖象關于直線對稱，，，又，，，，圖象過，故A正確；的正負未知，故無法確定的單調性，故B錯誤；顯然的最大值與的取值有關，故C正確；，是的一個對稱中心，故D正確．故選：ACD10.已知函數，則（）A.必有兩個極值點B.存在實數使得C.點是曲線的對稱中心D.若曲線有兩條過點的切線，則或【答案】BCD【解析】對于A，因為，當時，有兩個不相等實數根，所以有兩個極值點，當時，f'x≥0恒成立，所以無極值點，故A對于B，，令，則，令，，當時，根據函數零點存在定理，存在實數使得，故B正確；對于C，由，知的圖象關于中心對稱，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；對于D，過的切線的切點為，切線斜率為，則切線方程為，把點代入可得，化簡可得，令，則，令可得或，在和上大于零，所以在和上單調遞增，在上小于零，所以在單調遞減，要使有兩個解，一個極值一定為0，若函數在極值點時的函數值，可得，若函數在極值點時的函數值，可得，所以若曲線y=fx有兩條過點2,1的切線，則或，故D正確．故選：BCD11.法國數學家加斯帕爾?蒙日是19世紀著名的幾何學家，被稱為“畫法幾何”創(chuàng)始人“微分幾何之父”，他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.若橢圓的蒙日圓為，過圓上的動點作橢圓的兩條切線，交圓于兩點，直線交橢圓于兩點，則下列結論正確的是（）A.橢圓的離心率為B.若點在橢圓上，且直線的斜率之和為0，則直線的斜率為C.點到橢圓的左焦點的距離的最小值為D.面積的最大值為【答案】AB【解析】對于A，依題意，過橢圓的上頂點作軸的垂線，過橢圓的右頂點作軸的垂線，則這兩條垂線的交點在圓上，所以，得，所以橢圓的離心率，故A正確；對于B，由可知，又過點，所以，解得，所以橢圓方程為，因為點都在圓上，且，所以為圓的直徑，所以直線經過坐標原點，易得點，關于原點對稱，設，則，，，，所以，所以，又，，所以，故B正確；對于C，設，橢圓的左焦點為，連接，因為，即，所以，又，所以，所以則到左焦點的距離的最小值為，故C不正確；對于D，因為點都在圓上，且，所以為圓的直徑，則，設點到的距離為，則，所以面積，故D不正確；故選：AB三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知是角終邊上的一個點，將繞原點順時針旋轉至，則點的坐標為__________.【答案】【解析】設，因為，由正切函數定義可得，解得；，所以，，即點Q的坐標為.故答案為：．13.已知等差數列的前項和是，則數列中最小的項為第____項.【答案】【解析】，，且，，故等差數列為遞減數列，即公差為負數，，且，，，所以數列中最小的項是第項.故答案為：．14.箱子里有大小相同的4種點數不同的紙牌各若干張，每次從中摸出4張紙牌為一組，其中摸出恰有3種點數組合紙牌的不同取法為__________種：若要保證至少有2組紙牌的點數組合是一樣的，則至少要摸出__________組紙牌.（兩空均用數字作答）【答案】①.②.【解析】先計算取出一組的類型取法數，取一組有1種點數的取法數：，取一組有2種點數的取法數：，取一組有3種點數的取法數：，取一組有4種點數的取法數：，故共有種不同的組合取法．此時最不利的情況即每種組合各取一次，接著再取一組，就一定可以保證有2組紙牌的點數組合一樣，即所求為種．故答案為：12；36．四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.在銳角中，內角對邊分別為，已知.（1）求；（2）求的取值范圍.解：（1）因為，所以，由正弦定理可得，所以，即，又，所以，因為，所以；（2）由（1）知，因為，，，，，即的取值范圍為．16.為了調查某校學生喜歡跑步是否與性別有關，高三年級特選取了200名學生進行了問卷調查，得到如下的列聯(lián)表：喜歡跑步不喜歡跑步合計女生90120男生55合計145200（1）計算的值，并依據小概率值的獨立性檢驗，判斷性別與喜歡跑步是否有關？（2）從上述的200名學生中按性別比例用分層抽樣的方法抽取10名學生，再在這10人中抽取3人調查其是否喜歡跑步，用表示3人中女生的人數，求的分布列及數學期望.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1），，，，零假設為：性別與學生喜歡跑步無關，由題意得依據小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據認為不成立，所以判斷性別與喜歡跑步無關；（2）由題意，參與調查的200人中，女生有120人，男生有80人，因，按性別比例分層抽樣抽出10人，則女生抽6人，男生抽4人，從10人中隨機抽取3人，則的取值可以為，，，，，則隨機變量的分布列為0123．17.如圖，在正三棱柱中，側棱與底面邊長均為2，點分別為的中點，點滿足.（1）求證：四點共面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）證明：取中點，過作于，連接，，則，，，所以四邊形是平行