高中數(shù)學(xué)(人教B版)必修一同步講義1.1.1集合及其表示方法(7知識點(diǎn)+7題型+鞏固訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

1.1.1集合及其表示方法課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解集合的含義和集合元素的特性，理解元素和集合的關(guān)系；2.掌握幾個(gè)常用的數(shù)集的符號表示；3.掌握用列舉法和描述法表示集合；4.能夠用區(qū)間表示集合。1.集合的含義及其描述法的理解；2.用區(qū)間表示集合的應(yīng)用；3.對給出的集合進(jìn)行化簡運(yùn)算后用區(qū)間表示；4.在理解集合表示方法的過程中，列舉法的理解，以及區(qū)間可以用數(shù)軸形象地表示，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力；5.通過觀察身邊的實(shí)例，發(fā)現(xiàn)集合含義，體驗(yàn)其現(xiàn)實(shí)意義。知識點(diǎn)01元素與集合的概念1．元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，常用小寫的拉丁字母a，b，c…表示．2.集合：把一些元素組成的總體叫做集合，(簡稱為集)，常用大寫拉丁字母A，B，C…表示．3.空集：不含任何元素的集合稱為空集，記作.【即學(xué)即練1】判斷下列每組對象，能組成一個(gè)集合的是（）A．某校高一年級成績優(yōu)秀的學(xué)生B．直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)C．不小于3的自然數(shù)D．2022年第24屆冬季奧運(yùn)會金牌獲得者知識點(diǎn)02元素與集合的關(guān)系1．屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A.2．不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A.【即學(xué)即練2】給出下列6個(gè)關(guān)系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．4B．2C．3D．5【即學(xué)即練3】用符號“∈”或“?”填空：1____N，－3____N，0.3___Q，2___N，1__Z，－3___Q，0___Z，2___R，0___N*，π___R，227___Q，cos知識點(diǎn)03集合元素的特點(diǎn)1.確定性：集合的元素必須是確定的。2.互異性：對于一個(gè)給定的集合，集合中的元素一定是不同的。3.無序性：集合中的元素可以任意排列。【即學(xué)即練4】若以集合A的四個(gè)元素a，b，c，d為邊長構(gòu)成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形可能是()A．梯形 B．平行四邊形C．菱形 D．矩形【即學(xué)即練5】數(shù)集中的x不能取的數(shù)值的集合是（）A．B．C．D．知識點(diǎn)04集合相等【即學(xué)即練6】集合相等：給定兩個(gè)集合A和B如果組成它們的元素完全相同就稱這兩個(gè)集合相等，記作A=B。下列集合中，不同于另外三個(gè)集合的是（

）A． B．C． D．知識點(diǎn)05集合的分類1.有限集：含有有限個(gè)元素的集合。2.無限集：含有無限個(gè)元素的集合?！炯磳W(xué)即練7】判斷下列各組對象能否構(gòu)成集合．若能構(gòu)成集合，指出是有限集還是無限集；若不能構(gòu)成集合，試說明理由．(1)北京各區(qū)縣的名稱；(2)尾數(shù)是5的自然數(shù)；(3)我們班身高大于1.7m的同學(xué)．知識點(diǎn)06常見的數(shù)集及表示符號數(shù)集非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號NN*或N＋ZQR【即學(xué)即練8】已知①；②；③0={0}；④；⑤；⑥，其中正確的個(gè)數(shù)為______.知識點(diǎn)07集合的表示方法1.列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．2.描述法：一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．注：用描述法表示集合（1）首先應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類型．一般地，數(shù)集用一個(gè)字母代表其元素，而點(diǎn)集則用一個(gè)有序數(shù)對來表示．（2）若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義或取值范圍．（3）多層描述時(shí)，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi)．3.區(qū)間：在數(shù)學(xué)上，常常需要表示滿足一些不等式的全部實(shí)數(shù)所組成的集合．為了方便起見，我們引入?yún)^(qū)間的概念．=1\*GB3①一般區(qū)間的表示：設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<b，我們規(guī)定：這里的實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).在用區(qū)間表示連續(xù)的數(shù)集時(shí)，包含端點(diǎn)的那一端用中括號表示，不包含端點(diǎn)的那一端用小括號表示.定義名稱符號數(shù)軸表示閉區(qū)間開區(qū)間半開半閉區(qū)間半開半閉區(qū)間=2\*GB3②實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(－∞，＋∞)，“∞”讀作“無窮大”，“－∞”讀作“負(fù)無窮大”，“＋∞”讀作“正無窮大”．=3\*GB3③特殊區(qū)間的表示定義符號數(shù)軸表示≥≤【即學(xué)即練9】用列舉法表示下列集合：(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；(2)方程x22x的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；(3)直線y2x＋1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合；(4)由所有正整數(shù)構(gòu)成的集合．【即學(xué)即練10】用描述法表示下列集合：(1)正偶數(shù)集；(2)被3除余2的正整數(shù)集合；(3)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)組成的集合．【即學(xué)即練11】下列三個(gè)集合：①A{x|yx2＋1}；②B{y|yx2＋1}；③C{(x，y)|yx2＋1}．(1)它們是不是相同的集合？(2)它們各自的含義分別是什么？【即學(xué)即練12】用區(qū)間表示下列集合：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.易錯(cuò)一忽略集合元素的互異性1．方程x2－(a＋1)x＋a0的解集為________．易錯(cuò)二忽略元素形式2．集合A{(x，y)|y－x2＋6，x∈N，y∈N}用列舉法可表示為________．【題型1：集合的概念】例1：下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（

）A．上課遲到的學(xué)生B．2024年高考數(shù)學(xué)難題C．所有有理數(shù)D．小于x的正整數(shù)變式1：下列所給的對象能組成集合的是（

）A．“金磚國家”成員國 B．接近1的數(shù)C．著名的科學(xué)家 D．漂亮的鮮花變式2：下列說法正確的是（

）A．某個(gè)村子里的高個(gè)子組成一個(gè)集合B．所有小正數(shù)組成一個(gè)集合C．集合和表示同一個(gè)集合D．這六個(gè)數(shù)能組成一個(gè)集合變式3：判斷下列元素的全體可以組成集合的是（

）①湖北省所有的好學(xué)校；②直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)；③n的近似值；④不大于5的自然數(shù)．A．①② B．②③ C．②④ D．③④變式4：下列所給的對象能構(gòu)成集合的是__________．（1）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課本上所有的難題；（2）高一（3）班的高個(gè)子；（3）英文26個(gè)字母；（4）中國古代四大發(fā)明；（5）方程的實(shí)數(shù)根.【方法技巧與總結(jié)】判斷一組對象組成集合的依據(jù)判斷給定的對象能不能構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于能否找到一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對于任何一個(gè)對象，都能確定它是不是給定集合的元素．【題型2：元素與集合的關(guān)系】（一）判斷元素與集合的關(guān)系例2：若是R中的元素，但不是Q中的元素，則a可以是（

）A．3.14 B．-5 C． D．變式1：下列說法正確的有（

）①；②；③；④；⑤A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)變式2：用符號“”或“”填空．______，______，______.變式3：【多選】已知集合，則有（）A．B．C．D．變式4：已知a、b、c為非零實(shí)數(shù)，記代數(shù)式的值所組成的集合為M，則下列判斷中正確的是（

）A．0M B．-4M C．2∈M D．4∈M變式5：已知集合，，．若，，．則下面結(jié)論中一定正確的是（

）A． B． C． D．（二）根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)例3:已知集合A含有兩個(gè)元素a和a2，若2∈A，則實(shí)數(shù)a的值為________．變式1：【多選】設(shè)集合，且，則x的值可以為（

）A．3 B． C．5 D．變式2：已知集合A中元素x滿足，且，則（

）A． B． C． D．變式3：已知集合中有三個(gè)元素：，，，集合中也有三個(gè)元素：0，1，．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．變式4：已知集合S滿足:若，則.請解答下列問題:(1)若，則S中必有另外兩個(gè)元素，求出這兩個(gè)元素.(2)證明:若，則.(3)在集合S中，元素能否只有一個(gè)?若能，把它求出來;若不能，請說明理由.【方法技巧與總結(jié)】1.對元素和集合之間關(guān)系的兩點(diǎn)說明（1）符號“∈”“”刻畫的是元素與集合之間的關(guān)系．對于一個(gè)元素a與一個(gè)集合A而言，只有“”與“”這兩種結(jié)果．（2）∈和具有方向性，左邊是元素，右邊是集合，形如R∈0是錯(cuò)誤的．2.判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出的，只要判斷該元素在已知集合中是否給出即可．此時(shí)應(yīng)首先明確集合是由哪些元素構(gòu)成的．(2)推理法：對于某些不便直接表示的集合，判斷元素與集合的關(guān)系時(shí)，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可．此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合的元素具有什么屬性，即該集合中元素要符合哪種表達(dá)式或滿足哪些條件．【題型3：利用集合的互異性求參數(shù)】例4：數(shù)集中的元素a不能取的值是__________.變式1：“notebooks”中的字母構(gòu)成一個(gè)集合，該集合中的元素個(gè)數(shù)是______________變式2：一個(gè)書架上有九個(gè)不同種類的書各5本，那么由這個(gè)書架上的書組成的集合中含有_____個(gè)元素.變式3：集合中的三個(gè)元素分別表示某一個(gè)三角形的三邊長度，那么這個(gè)三角形一定不是（）A．等腰三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形變式4：已知，則實(shí)數(shù)_______.變式5：已知集合，，若，，則______.【方法技巧與總結(jié)】互異性的主要作用是警示我們做題后要檢驗(yàn)．特別是題中含有參數(shù)(字母)時(shí)，一定要檢驗(yàn)求出的參數(shù)是否使集合的元素滿足互異性．【題型4：根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)】例5：由，，3組成的一個(gè)集合A，若A中元素個(gè)數(shù)不是2，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（）A．B．1C．D．2變式1：已知集合中的元素滿足：，且，又集合中恰有三個(gè)元素，則整數(shù)，集合中的元素是．變式2：已知集合中有且僅有一個(gè)元素，那么的可能取值為（

）A．-1 B．2 C． D．0變式3：已知集合中至多含有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．變式4：已知集合.(1)若A中只有一個(gè)元素，求的值；(2)若A中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍.變式5：若集合中有2個(gè)元素，求k的取值范圍．【方法技巧與總結(jié)】由集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的步驟【題型5：利用集合中元素的性質(zhì)求集合元素個(gè)數(shù)】例6：已知集合，，則集合B中元素個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．6 C．8 D．9變式1：已知集合，則集合B中有________個(gè)元素．變式2：定義集合，設(shè)集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．變式3：已知集合，，定義集合，則集合M中所有元素之和是_____．【題型6：集合的表示】列舉法表示集合例7：集合，用列舉法表示為（）A．1B．2C．D．變式1：方程組的解集可以表示為（

）A． B． C． D．變式2：設(shè)集合，則用列舉法表示集合A為______.變式3：用列舉法表示下列集合．（1）不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合A；（2）小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合B；（3）方程的實(shí)數(shù)根組成的集合C；（4）一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)組成的集合D．【方法技巧與總結(jié)】列舉法表示集合時(shí)的4個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．(2)集合中的元素必須是明確的．(3)集合中的元素不能重復(fù)．(4)集合中的元素可以是任何事物．描述法表示集合例8：集合的意義是（）A．第二象限內(nèi)的點(diǎn)集B．第四象限內(nèi)的點(diǎn)集C．第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)集D．不在第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)的集合變式1：用描述法表示下列集合：（1）；（2）偶數(shù)集；（3）被3除余2的正整數(shù)組成的集合；（4）．變式2：用描述法表示下列集合．（1）所有不在第一、三象限的點(diǎn)組成的集合；（2）所有被3除余1的整數(shù)組成的集合；（3）使有意義的實(shí)數(shù)x組成的集合．（4）方程的解集．【方法技巧與總結(jié)】描述法表示集合時(shí)的3個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)寫清楚集合中元素的符號，如數(shù)或點(diǎn)等；(2)說明該集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函數(shù)式或幾何圖形等；(3)不能出現(xiàn)未被說明的字母．列舉法與描述法的理解例9：用另一種方法表示下列集合:(1);(2);(3)已知，，寫出集合P;(4)集合，，寫出集合B.變式1：用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)方程組的解集；(2)由所有小于13的既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的自然數(shù)組成的集合；(3)方程的實(shí)數(shù)根組成的集合；(4)二次函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)組成的集合；(5)二次函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合．【方法技巧與總結(jié)】選用列舉法或描述法的原則要根據(jù)集合元素所具有的屬性選擇適當(dāng)?shù)谋硎痉椒ǎ信e法的特點(diǎn)是能清楚地展現(xiàn)集合的元素，通常用于表示元素較少的集合，當(dāng)集合中元素較多或無限時(shí)，就不宜采用列舉法；描述法的特點(diǎn)是形式簡單、應(yīng)用方便，通常用于表示元素具有明顯共同特征的集合，當(dāng)元素共同特征不易尋找或元素的限制條件較多時(shí)，就不宜采用描述法．用列舉法和描述法表示集合，關(guān)鍵是找準(zhǔn)元素的特點(diǎn)，有限個(gè)元素一一列舉，無限個(gè)元素的可以用描述法來表示集合，需要用一種適當(dāng)方法表示．何謂“適當(dāng)方法”，這就需要我們首先要準(zhǔn)確把握列舉法和描述法的優(yōu)缺點(diǎn)，其次要弄清相應(yīng)集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，這就需要對集合進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．轉(zhuǎn)化時(shí)應(yīng)根據(jù)具體情景選擇相應(yīng)方法，如涉及方程組的解集，則應(yīng)先解方程組．將集合的三種語言相互轉(zhuǎn)化也有利于我們弄清楚集合中的元素．（四）區(qū)間表示集合例10：用區(qū)間表示下列集合：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).變式1：將下列集合用區(qū)間表示出來．(1)；(2)；(3)；(4)或．變式2：用區(qū)間表示下列數(shù)集：（1）；

（2）；（3）；

（4）R；（5）；

（6）．變式3：用描述法寫出下面這些區(qū)間的含義：；；；．【方法技巧與總結(jié)】理解區(qū)間概念的注意點(diǎn)(1)一般地，區(qū)間的左端點(diǎn)的值小于右端點(diǎn)的值．(2)區(qū)間符號中的兩個(gè)端點(diǎn)(字母或數(shù)字)之間只能用“，”隔開．(3)左、右端點(diǎn)a，b都能取到的叫閉區(qū)間；左、右端點(diǎn)a，b有一端能取到、另一端不能取到的叫半開半閉區(qū)間；左、右端點(diǎn)a，b都不能取到的叫開區(qū)間．【題型7：集合新定義】例11：【多選】若對任意x∈A，1xA．?1,1 B．12,2 C．xx變式1：設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對于，若，且，則稱k是A的一個(gè)“孤立元”，集合中的“孤立元”是___________；對給定的集合，由S中的4個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________個(gè)．變式2：對于任意兩個(gè)正整數(shù)，，定義運(yùn)算⊕如下：①當(dāng)，奇偶性相同時(shí)，；②當(dāng)，奇偶性不同時(shí)，．若集合，則的元素個(gè)數(shù)為__________．變式3：【多選】當(dāng)兩個(gè)集合中一個(gè)集合為另一個(gè)集合的子集時(shí)，稱這兩個(gè)集合構(gòu)成“全食”；當(dāng)兩個(gè)集合有公共元素，但互不為對方子集時(shí)，稱這兩個(gè)集合構(gòu)成“偏食”，對于集合A=?1,12,B=A．0 B．1 C．2 D．4一、選擇題1.有下列說法：①集合N中最小的數(shù)為1；②若－a∈N，則a∈N；③若a∈N，b∈N，則a＋b的最小值為2；④所有小的正數(shù)組成一個(gè)集合．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．32.已知集合，，若，則a等于（

）A．－1或3 B．0或1C．3 D．－13.已知集合S中的三個(gè)元素a，b，c是△ABC的三條邊長，那么△ABC一定不是（

）A．等腰三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形二、填空題4.由下列對象組成的集體屬于集合的是_____(填序號).①不超過10的所有正整數(shù);②高一(6)班中成績優(yōu)秀的同學(xué);③中央一套播出的好看的電視劇;④平方后不等于自身的數(shù).5.已知集合A=?,?①?

②?

③?

④?6.用符號“∈”或“?”填空:(1)設(shè)集合B是小于11的所有實(shí)數(shù)的集合,則23________B,1+2________B.

(2)設(shè)集合C是滿足方程x=n2+1(其中n為正整數(shù))的實(shí)數(shù)x的集合,則3________C,5________C.

(3)設(shè)集合D是滿足方程y=x2的有序?qū)崝?shù)對(x,y)的集合,則-1________D,(-1,1)________D.(4)若A表示第一、三象限的角平分線上的點(diǎn)的集合,則點(diǎn)(0,0)____A,(1,1)______A,(-1,1)______A.

7.由a,?8.集合A中的元素x滿足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素為________．9.集合，若，則10.已知集合是單元素集，用列舉法表示的取值集合___________.三、解答題11.用區(qū)間表示下列的集合{x|?1<x≤2}

{x|?6≤x12.用描述法表示下列集合：（1）所有被3整除的整數(shù)組成的集合；（2）不等式的解集；（3）方程的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；（4）拋物線上所有點(diǎn)組成的集合；（5）集合.13.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)方程組2x(2)由所有小于13的既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的自然數(shù)組成的集合；(3)方程x2(4)二次函數(shù)y=(5)二次函數(shù)y=14.如果具有下述性質(zhì)的x都是集合M中的元素，其中xa＋beq\r(2)(a、b為有理數(shù))，則下列元素中，不屬于集合M的元素的有()①x0；②xeq\r(2)；③x3－2eq\r(2)π；④xeq\f(1,3－2\r(2))；⑤xeq\r(6－4\r(2))＋eq\r(6＋4\r(2)).A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)15.集合為單元素集合，則______.16.已知集合，，．若，，．則下面結(jié)論中一定正確的是（）A．B．C．D．17.【多選】已知x，y，z為非零實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值組成的集合是M，則下列判斷正確的是（）A．B．C．D．18.已知集合A=(1)若1∈A(2)若集合A中僅含有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的值；(3)若集合A中僅含有兩個(gè)元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．19.以某些整數(shù)為元素的集合P具有以下性質(zhì)：（1）P中元素有正數(shù)，也有負(fù)數(shù)；（2）P中元素有奇數(shù)，也有偶數(shù)；（3）?1?P；（4）若x、y則下列選項(xiàng)哪個(gè)是正確的（

）A．集合P中一定有0但沒有2 B．集合P中一定有0可能有2C．集合P中可能有0可能有2 D．集合P中既沒有0又沒有220.設(shè)數(shù)集A由實(shí)數(shù)構(gòu)成，且滿足：若x∈A（x≠1且x(1)若2∈A，試證明A(2)集合A是否為雙元素集合，并說明理由；(3)若A中元素個(gè)數(shù)不超過8個(gè)，所有元素的和為143，且A中有一個(gè)元素的平方等于所有元素的積，求集合A1.1.1集合及其表示方法課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解集合的含義和集合元素的特性，理解元素和集合的關(guān)系；2.掌握幾個(gè)常用的數(shù)集的符號表示；3.掌握用列舉法和描述法表示集合；4.能夠用區(qū)間表示集合。1.集合的含義及其描述法的理解；2.用區(qū)間表示集合的應(yīng)用；3.對給出的集合進(jìn)行化簡運(yùn)算后用區(qū)間表示；4.在理解集合表示方法的過程中，列舉法的理解，以及區(qū)間可以用數(shù)軸形象地表示，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力；5.通過觀察身邊的實(shí)例，發(fā)現(xiàn)集合含義，體驗(yàn)其現(xiàn)實(shí)意義。知識點(diǎn)01元素與集合的概念1．元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，常用小寫的拉丁字母a，b，c…表示．2.集合：把一些元素組成的總體叫做集合，(簡稱為集)，常用大寫拉丁字母A，B，C…表示．3.空集：不含任何元素的集合稱為空集，記作.【即學(xué)即練1】判斷下列每組對象，能組成一個(gè)集合的是（）A．某校高一年級成績優(yōu)秀的學(xué)生B．直角坐標(biāo)系中橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)C．不小于3的自然數(shù)D．2022年第24屆冬季奧運(yùn)會金牌獲得者【答案】CCD【分析】判斷是否滿足集合三要素中的確定性，得到答案.【詳解】A中“成績優(yōu)秀”沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，所以不能組成一個(gè)集合；B、C、D中的對象都滿足確定性，所以能組成集合．CD知識點(diǎn)02元素與集合的關(guān)系1．屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A.2．不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a?A.【即學(xué)即練2】給出下列6個(gè)關(guān)系：①，②，③，④，⑤，⑥.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．4B．2C．3D．5【答案】A【解析】為無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)，所以，所以①正確；是無理數(shù)，所以，所以②錯(cuò)誤；不是正整數(shù)，所以，所以③正確；，所以④正確；是無理數(shù)，所以，所以⑤正確；，所以⑥錯(cuò)誤.故選:A.【即學(xué)即練3】用符號“∈”或“?”填空：1____N，－3____N，0.3___Q，2___N，1__Z，－3___Q，0___Z，2___R，0___N*，π___R，227___Q，cos【答案】∈?∈?∈∈∈∈?∈∈?【分析】利用元素與集合之間的關(guān)系以及常見數(shù)集的符號表示即可得出答案.【詳解】N表示自然數(shù)集；N?Z表示整數(shù)集；Q表示有理數(shù)集；R表示實(shí)數(shù)集.故答案為：∈；?；∈；?；∈；∈；∈；∈；?；∈；∈；?.知識點(diǎn)03集合元素的特點(diǎn)1.確定性：集合的元素必須是確定的。2.互異性：對于一個(gè)給定的集合，集合中的元素一定是不同的。3.無序性：集合中的元素可以任意排列。【即學(xué)即練4】若以集合A的四個(gè)元素a，b，c，d為邊長構(gòu)成一個(gè)四邊形，則這個(gè)四邊形可能是()A．梯形 B．平行四邊形C．菱形 D．矩形【答案】A【解析】由于a，b，c，d四個(gè)元素互不相同，故它們組成的四邊形的四條邊都不相等．【即學(xué)即練5】數(shù)集中的x不能取的數(shù)值的集合是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由解得；由解得．∴x不能取的值的集合為．．知識點(diǎn)04集合相等【即學(xué)即練6】集合相等：給定兩個(gè)集合A和B如果組成它們的元素完全相同就稱這兩個(gè)集合相等，記作A=B。下列集合中，不同于另外三個(gè)集合的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】選項(xiàng)A、B是集合的描述法表示，選項(xiàng)D是集合的列舉法表示，且都表示集合中只有一個(gè)元素2020，都是數(shù)集．選項(xiàng)C它是由方程構(gòu)成的集合，集合是列舉法且只含有一個(gè)方程．知識點(diǎn)05集合的分類1.有限集：含有有限個(gè)元素的集合。2.無限集：含有無限個(gè)元素的集合?！炯磳W(xué)即練7】判斷下列各組對象能否構(gòu)成集合．若能構(gòu)成集合，指出是有限集還是無限集；若不能構(gòu)成集合，試說明理由．(1)北京各區(qū)縣的名稱；(2)尾數(shù)是5的自然數(shù)；(3)我們班身高大于1.7m的同學(xué)．【答案】(1)能；有限集；(2)能；無限集；(3)能；有限集.【分析】根據(jù)集合的基本概念即得.（1）因?yàn)楸本└鲄^(qū)縣的名稱是確定的，故北京各區(qū)縣的名稱能構(gòu)成集合；因?yàn)楸本└鲄^(qū)縣是有限的，故該集合為有限集；（2）因?yàn)槲矓?shù)是5的自然數(shù)是確定的，故尾數(shù)是5的自然數(shù)能構(gòu)成集合；因?yàn)槲矓?shù)是5的自然數(shù)是無限的，故該集合為無限集；（3）因?yàn)槲覀儼嗌砀叽笥?.7m的同學(xué)是確定的，故我們班身高大于1.7m的同學(xué)能構(gòu)成集合；因?yàn)槲覀儼嗌砀叽笥?.7m的同學(xué)是有限的，故該集合為有限集.知識點(diǎn)06常見的數(shù)集及表示符號數(shù)集非負(fù)整數(shù)集(自然數(shù)集)正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號NN*或N＋ZQR【即學(xué)即練8】已知①；②；③0={0}；④；⑤；⑥，其中正確的個(gè)數(shù)為______.【答案】3【詳解】是無理數(shù)，屬于實(shí)數(shù)，①正確；是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，②正確；0表示一個(gè)元素，表示一個(gè)集合，③錯(cuò)誤；N表示從0開始的所有自然數(shù)集合，，④錯(cuò)誤；是無限不循環(huán)小數(shù)，屬于無理數(shù)，⑤錯(cuò)誤；Z表示所有整數(shù)的集合，-3是整數(shù)，，⑥正確；故答案為：3.知識點(diǎn)07集合的表示方法1.列舉法：把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．2.描述法：一般地，設(shè)A是一個(gè)集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法．注：用描述法表示集合（1）首先應(yīng)弄清楚集合的屬性，是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他的類型．一般地，數(shù)集用一個(gè)字母代表其元素，而點(diǎn)集則用一個(gè)有序數(shù)對來表示．（2）若描述部分出現(xiàn)元素記號以外的字母，要對新字母說明其含義或取值范圍．（3）多層描述時(shí)，應(yīng)當(dāng)準(zhǔn)確使用“且”和“或”，所有描述的內(nèi)容都要寫在集合內(nèi)．3.區(qū)間：在數(shù)學(xué)上，常常需要表示滿足一些不等式的全部實(shí)數(shù)所組成的集合．為了方便起見，我們引入?yún)^(qū)間的概念．=1\*GB3①一般區(qū)間的表示：設(shè)a，b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且a<b，我們規(guī)定：這里的實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).在用區(qū)間表示連續(xù)的數(shù)集時(shí)，包含端點(diǎn)的那一端用中括號表示，不包含端點(diǎn)的那一端用小括號表示.定義名稱符號數(shù)軸表示閉區(qū)間開區(qū)間半開半閉區(qū)間半開半閉區(qū)間=2\*GB3②實(shí)數(shù)集R可以用區(qū)間表示為(－∞，＋∞)，“∞”讀作“無窮大”，“－∞”讀作“負(fù)無窮大”，“＋∞”讀作“正無窮大”．=3\*GB3③特殊區(qū)間的表示定義符號數(shù)軸表示≥≤【即學(xué)即練9】用列舉法表示下列集合：(1)不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合；(2)方程x22x的所有實(shí)數(shù)解組成的集合；(3)直線y2x＋1與y軸的交點(diǎn)所組成的集合；(4)由所有正整數(shù)構(gòu)成的集合．【解析】(1)因?yàn)椴淮笥?0是指小于或等于10，非負(fù)是大于或等于0的意思，所以不大于10的非負(fù)偶數(shù)集是{0,2,4,6,8,10}．(2)方程x22x的解是x0或x2，所以方程的解組成的集合為{0,2}．(3)將x0代入y2x＋1，得y1，即交點(diǎn)是(0,1)，故交點(diǎn)組成的集合是{(0,1)}．(4)正整數(shù)有1,2,3，…，所求集合為{1,2,3，…}．【即學(xué)即練10】用描述法表示下列集合：(1)正偶數(shù)集；(2)被3除余2的正整數(shù)集合；(3)平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)組成的集合．【解析】(1)偶數(shù)可用式子x2n，n∈Z表示，但此題要求為正偶數(shù)，故限定n∈N*，所以正偶數(shù)集可表示為{x|x2n，n∈N*}．(2)設(shè)被3除余2的數(shù)為x，則x3n＋2，n∈Z，但元素為正整數(shù)，故n∈N，所以被3除余2的正整數(shù)集合可表示為{x|x3n＋2，n∈N}．(3)坐標(biāo)軸上的點(diǎn)(x，y)的特點(diǎn)是橫、縱坐標(biāo)中至少有一個(gè)為0，即xy0，故平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的集合可表示為{(x，y)|xy0}．【即學(xué)即練11】下列三個(gè)集合：①A{x|yx2＋1}；②B{y|yx2＋1}；③C{(x，y)|yx2＋1}．(1)它們是不是相同的集合？(2)它們各自的含義分別是什么？【解析】(1)不相同．(2)集合A{x|yx2＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|yx2＋1}R，即AR；集合B{y|yx2＋1}的代表元素是y，滿足條件yx2＋1的y的取值范圍是y≥1，所以{y|yx2＋1}{y|y≥1}．集合C{(x，y)|yx2＋1}的代表元素是(x，y)，是滿足yx2＋1的數(shù)對．可以認(rèn)為集合C是由坐標(biāo)平面內(nèi)滿足yx2＋1的點(diǎn)(x，y)構(gòu)成的．【即學(xué)即練12】用區(qū)間表示下列集合：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.【答案】（1）；（2）；（3）；（3）；（4）；（5）.【解析】直接把集合寫成區(qū)間的形式，注意含有等號的用閉區(qū)間，不含等號的用開區(qū)間.【詳解】集合中六個(gè)集合對應(yīng)的區(qū)間分別為（1），（2），（3），（4），（5），（6）.【點(diǎn)睛】本題考查集合的區(qū)間表示，屬于基礎(chǔ)題.易錯(cuò)一忽略集合元素的互異性1．方程x2－(a＋1)x＋a0的解集為________．正解：x2－(a＋1)x＋a(x－a)(x－1)0，所以方程的解為1，a.因此，若a1，則方程的解集為{1}；若a≠1，則方程的解集為{1，a}．答案：{1}(當(dāng)a1時(shí))或{1，a}(當(dāng)a≠1時(shí)).[易錯(cuò)探因]本題易錯(cuò)的地方是忽略元素互異性，沒有考慮參數(shù)a的不確定性，從而得到錯(cuò)誤的答案“方程的解集為{1，a}”．[誤區(qū)警示]當(dāng)集合中元素含有參數(shù)時(shí)，求出參數(shù)的值后一定要代回檢驗(yàn)，確保滿足集合中元素的互異性．易錯(cuò)二忽略元素形式2．集合A{(x，y)|y－x2＋6，x∈N，y∈N}用列舉法可表示為________．正解：x，y滿足條件y－x2＋6，x∈N，y∈N，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0，,y6，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1，,y5，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，,y2.))所以A{(0，6)，(1，5)，(2，2)}．答案：{(0，6)，(1，5)，(2，2)}[易錯(cuò)探因]本題易錯(cuò)的地方是忽略元素的形式，從而得到錯(cuò)誤答案{0，6，1，5，2，2}．【題型1：集合的概念】例1：下列各組對象不能構(gòu)成集合的是（

）A．上課遲到的學(xué)生B．2024年高考數(shù)學(xué)難題C．所有有理數(shù)D．小于x的正整數(shù)【答案】C【分析】集合中元素具有確定性，對于每一個(gè)元素要么屬于集合，要么不屬于集合，構(gòu)成集合的元素必要是確定的.【詳解】對于B中難題沒有一個(gè)確定的標(biāo)準(zhǔn)，對同一題有人覺得難，但有人覺得不難，故2024年高考數(shù)學(xué)難題不能構(gòu)成集合，組成它的元素是不確定的.其它選項(xiàng)的對象都可以構(gòu)成集合.變式1：下列所給的對象能組成集合的是（

）A．“金磚國家”成員國 B．接近1的數(shù)C．著名的科學(xué)家 D．漂亮的鮮花【答案】A【分析】利用集合元素的確定性對選項(xiàng)逐一分析，由此判斷出正確選項(xiàng).【詳解】對于A，“金磚國家”成員國即巴西，俄羅斯，印度，中國，南非，能組成集合，故A正確；對于B，C，D三個(gè)選項(xiàng)來說，研究對象無法確定，所以不能組成集合..變式2：下列說法正確的是（

）A．某個(gè)村子里的高個(gè)子組成一個(gè)集合B．所有小正數(shù)組成一個(gè)集合C．集合和表示同一個(gè)集合D．這六個(gè)數(shù)能組成一個(gè)集合【答案】D【分析】根據(jù)集合的性質(zhì)，結(jié)合各選項(xiàng)的描述判斷正誤.【詳解】A：某個(gè)村子里的高個(gè)子，不符合集合中元素的確定性，不能構(gòu)成集合，錯(cuò)誤；B：所有小正數(shù)，不符合集合中元素的確定性，不能構(gòu)成集合，錯(cuò)誤；C：和中的元素相同，它們是同一個(gè)集合，正確；D：中含有相同的數(shù)，不符合集合元素的互異性，錯(cuò)誤.變式3：判斷下列元素的全體可以組成集合的是（

）①湖北省所有的好學(xué)校；②直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)；③n的近似值；④不大于5的自然數(shù)．A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】D【分析】集合的元素具有確定性、互異性、無序性，據(jù)此即可選出正確選項(xiàng)．【詳解】①“好學(xué)?！辈痪哂写_定性，因此①不能組成集合；②直角坐標(biāo)系中橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)，滿足集合的元素的特征，因此能組成集合；③n的近似值不具有確定性，因此③不能組成集合；④不大于5的自然數(shù)，滿足集合的元素的特征，因此④能組成集合．．變式4：下列所給的對象能構(gòu)成集合的是__________．（1）高中數(shù)學(xué)必修第一冊課本上所有的難題；（2）高一（3）班的高個(gè)子；（3）英文26個(gè)字母；（4）中國古代四大發(fā)明；（5）方程的實(shí)數(shù)根.【答案】（3）（4）（5）【分析】由集合的三要素即可求解【詳解】（1）：高中數(shù)學(xué)必修第一冊課本上所有的難題，“所有的難題”不確定，（2）：高一（3）班的高個(gè)子，“高個(gè)子”不確定，不滿足集合的確定性，故（2）不能構(gòu)成集合；（3）：英文26個(gè)字母，是確定的且滿足互異性，故（3）能構(gòu)成集合；（4）：中國古代四大發(fā)明，是確定的且滿足互異性，故（4）能構(gòu)成集合；（5）方程沒有實(shí)數(shù)根，故能構(gòu)成空集.故能構(gòu)成集合的是（3）（4）（5）故答案為：（3）（4）（5）【方法技巧與總結(jié)】判斷一組對象組成集合的依據(jù)判斷給定的對象能不能構(gòu)成集合，關(guān)鍵在于能否找到一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，對于任何一個(gè)對象，都能確定它是不是給定集合的元素．【題型2：元素與集合的關(guān)系】（一）判斷元素與集合的關(guān)系例2：若是R中的元素，但不是Q中的元素，則a可以是（

）A．3.14 B．-5 C． D．【答案】A【分析】由代表實(shí)數(shù)集，代表有理數(shù)集，對四個(gè)數(shù)判斷是無理數(shù)即可.【詳解】由題意知a是實(shí)數(shù)，但不是有理數(shù)，故a應(yīng)為無理數(shù)，故可以為..變式1：下列說法正確的有（

）①；②；③；④；⑤A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系判斷即可.【詳解】1是自然數(shù)，故，故①正確；不是正整數(shù)，故，故②錯(cuò)誤；是有理數(shù)，故，故③正確；是實(shí)數(shù)，故，故④錯(cuò)誤；是無理數(shù)，故，故⑤錯(cuò)誤.故說法正確的有2個(gè).故選:B.變式2：用符號“”或“”填空．______，______，______.【答案】【分析】根據(jù)R，N，Z所代表的集合，填入正確結(jié)果.【詳解】因?yàn)镽為實(shí)數(shù)集，N為自然數(shù)集，Z為整數(shù)集，故，，故答案為：，，.變式3：【多選】已知集合，則有（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】，所以，，，.B.變式4：已知a、b、c為非零實(shí)數(shù)，記代數(shù)式的值所組成的集合為M，則下列判斷中正確的是（

）A．0M B．-4M C．2∈M D．4∈M【答案】A【分析】對a，b，c分類討論求出原代數(shù)式所有可能得值即可.【詳解】令，若全為正數(shù)，則；若全為負(fù)數(shù)，則，若中有2個(gè)正數(shù)一個(gè)負(fù)數(shù)，則，若中有2個(gè)負(fù)數(shù)，1個(gè)正數(shù)，則，；.變式5：已知集合，，．若，，．則下面結(jié)論中一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合的定義，設(shè)出的形式，計(jì)算后再根據(jù)集合中代表元素形式判斷．【詳解】由題意，設(shè)，，下面的均為整數(shù)，則，，，不是偶數(shù)時(shí)，，，．（二）根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)例3:已知集合A含有兩個(gè)元素a和a2，若2∈A，則實(shí)數(shù)a的值為________．【答案】或【分析】根據(jù)元素與集合間的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)?∈A，所以或，即或.故答案為：或變式1：【多選】設(shè)集合，且，則x的值可以為（

）A．3 B． C．5 D．【答案】CC【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系運(yùn)算求解，注意檢驗(yàn)，保證集合的互異性.【詳解】∵，則有：若，則，此時(shí)，不符合題意，故舍去；若，則或，當(dāng)時(shí)，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，符合題意；綜上所述：或.C.變式2：已知集合A中元素x滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知條件列出不等式求解即可.【詳解】∵，∴，解得，又∵，∴，解得，∴．．變式3：已知集合中有三個(gè)元素：，，，集合中也有三個(gè)元素：0，1，．(1)若，求實(shí)數(shù)的值；(2)若，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)的值為0或(2)的值為【分析】（1）若，則或，再結(jié)合集合中元素的互異性，能求出的值．（2）當(dāng)取0，1，時(shí)，都有，集合中的元素都有互異性，由此能求出實(shí)數(shù)的值．【詳解】（1）集合中有三個(gè)元素：，，，，或，解得或，當(dāng)時(shí)，，，，不成立；當(dāng)時(shí)，，，，不成立．的值為0或．（2）集合中也有三個(gè)元素：0，1，，，當(dāng)取0，1，時(shí)，都有，集合中的元素都有互異性，，，．實(shí)數(shù)的值為．變式4：已知集合S滿足:若，則.請解答下列問題:(1)若，則S中必有另外兩個(gè)元素，求出這兩個(gè)元素.(2)證明:若，則.(3)在集合S中，元素能否只有一個(gè)?若能，把它求出來;若不能，請說明理由.【答案】(1)和.(2)證明見解析(3)不能，理由見解析【分析】（1）由得到，進(jìn)而求出，得到答案；（2），進(jìn)而得到，化簡得到答案；（3）令，方程無解，得到結(jié)論.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以，所以，循環(huán).所以集合S中另外的兩個(gè)元素為和.（2）由題意，可知且，由，得，即，所以若，則.（3）集合S中的元素不可能只有一個(gè).理由如下:令，即.因?yàn)?，所以此方程無實(shí)數(shù)解，所以.因此集合S中不可能只有一個(gè)元素.【方法技巧與總結(jié)】1.對元素和集合之間關(guān)系的兩點(diǎn)說明（1）符號“∈”“”刻畫的是元素與集合之間的關(guān)系．對于一個(gè)元素a與一個(gè)集合A而言，只有“”與“”這兩種結(jié)果．（2）∈和具有方向性，左邊是元素，右邊是集合，形如R∈0是錯(cuò)誤的．2.判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接給出的，只要判斷該元素在已知集合中是否給出即可．此時(shí)應(yīng)首先明確集合是由哪些元素構(gòu)成的．(2)推理法：對于某些不便直接表示的集合，判斷元素與集合的關(guān)系時(shí)，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可．此時(shí)應(yīng)首先明確已知集合的元素具有什么屬性，即該集合中元素要符合哪種表達(dá)式或滿足哪些條件．【題型3：利用集合的互異性求參數(shù)】例4：數(shù)集中的元素a不能取的值是__________.【答案】0，1，2，【分析】根據(jù)集合中的元素滿足互異性即可列不等式求解.【詳解】由集合中的元素滿足互異性可知，解得且且且故答案為：0，1，2，變式1：“notebooks”中的字母構(gòu)成一個(gè)集合，該集合中的元素個(gè)數(shù)是______________【答案】7【分析】根據(jù)集合中元素的互異性知集合中不能出現(xiàn)相同的元素.【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性，“notebooks”中的不同字母為“n，o，t，e，b，k，s”，共7個(gè)，故該集合中的元素個(gè)數(shù)是7；故答案為：7.變式2：一個(gè)書架上有九個(gè)不同種類的書各5本，那么由這個(gè)書架上的書組成的集合中含有_____個(gè)元素.【答案】9【分析】根據(jù)集合中的元素互異性求出答案.【詳解】若集合中的元素滿足互異性，故九個(gè)不同種類的書，對應(yīng)9個(gè)元素.故答案為：9變式3：集合中的三個(gè)元素分別表示某一個(gè)三角形的三邊長度，那么這個(gè)三角形一定不是（）A．等腰三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】A【分析】根據(jù)集合中元素的互異性可得答案.【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性得，故三角形一定不是等腰三角形..變式4：已知，則實(shí)數(shù)_______.【答案】【分析】討論、，結(jié)合集合元素的互異性確定參數(shù)a的值.【詳解】若，則，不符合集合元素的互異性，排除；若，則，可得或（舍），所以，此時(shí).故答案為：變式5：已知集合，，若，，則______.【答案】【解析】因?yàn)椋曰蚧?，解得或或，因?yàn)椋曰蚧?，解得或或，又因?yàn)?，所以或，?故答案為：【方法技巧與總結(jié)】互異性的主要作用是警示我們做題后要檢驗(yàn)．特別是題中含有參數(shù)(字母)時(shí)，一定要檢驗(yàn)求出的參數(shù)是否使集合的元素滿足互異性．【題型4：根據(jù)集合中元素的個(gè)數(shù)求參數(shù)】例5：由，，3組成的一個(gè)集合A，若A中元素個(gè)數(shù)不是2，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（）A．B．1C．D．2【答案】A【解析】由題意由，，3組成的一個(gè)集合A，A中元素個(gè)數(shù)不是2，因?yàn)闊o解，故由，，3組成的集合A的元素個(gè)數(shù)為3，故，即，即a可取2，即A，B，C錯(cuò)誤，D正確，變式1：已知集合中的元素滿足：，且，又集合中恰有三個(gè)元素，則整數(shù)，集合中的元素是．【答案】63，4，5【解析】由題意知，又，，且集合P中恰有三個(gè)元素，所以，此時(shí)集合P中的元素是3，4，5．故答案為：6；3，4，5.變式2：已知集合中有且僅有一個(gè)元素，那么的可能取值為（

）A．-1 B．2 C． D．0【答案】D【分析】對進(jìn)行分類討論，結(jié)合判別式求得正確答案.【詳解】或，當(dāng)時(shí)，，符合題意.當(dāng)時(shí)，，不符合題意.當(dāng)時(shí)，要使集合有且僅有一個(gè)元素，則需，解得或（舍去）綜上所述，的可能取值為或，C選項(xiàng)符合.變式3：已知集合中至多含有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】原問題轉(zhuǎn)化為方程至多只有一個(gè)根，分，即可求解.【詳解】由題意，原問題轉(zhuǎn)化為方程至多只有一個(gè)根，當(dāng)時(shí)，方程為，解得，此時(shí)方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，符合題意；當(dāng)時(shí)，方程為一元二次方程，所以，解得．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．變式4：已知集合.(1)若A中只有一個(gè)元素，求的值；(2)若A中至少有一個(gè)元素，求的取值范圍.【答案】(1)或(2)【分析】(1)針對和兩種情況分類討論，再轉(zhuǎn)化為一元一次方程和一元二次方程分別得出的值即可(2)確定A中有兩個(gè)元素，可轉(zhuǎn)化為一元二次方程兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根進(jìn)行求解，再結(jié)合第一問一個(gè)元素的情況即可得出的取值范圍【詳解】（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，得，集合A只有一個(gè)元素，滿足條件；當(dāng)時(shí)，為一元二次方程，，得，集合A只有一個(gè)元素，A中只有一個(gè)元素時(shí)或.（2）由A中至少有一個(gè)元素包含兩種情況，一個(gè)元素和兩個(gè)元素，A中有兩個(gè)元素時(shí)，并且，得且，再結(jié)合A中一個(gè)元素的情況，的取值范圍為.變式5：若集合中有2個(gè)元素，求k的取值范圍．【答案】且．【分析】根據(jù)一元二次方程根的情況即可由判別式求解.【詳解】由題意得且，解得且.故實(shí)數(shù)k的取值范圍為且．【方法技巧與總結(jié)】由集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的步驟【題型5：利用集合中元素的性質(zhì)求集合元素個(gè)數(shù)】例6：已知集合，，則集合B中元素個(gè)數(shù)為（

）A．5 B．6 C．8 D．9【答案】A【分析】根據(jù)給定條件分析a，b取值即可判斷作答.【詳解】集合，，則當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，或，所以，集合B有中5個(gè)元素.變式1：已知集合，則集合B中有________個(gè)元素．【答案】6【分析】由題意分類討論x的取值，確定y的值，即可求得答案.【詳解】因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或；當(dāng)時(shí)，．故集合，即集合B中有6個(gè)元素，故答案為：6變式2：定義集合，設(shè)集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合的新定義求得，從而確定正確答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，故中元素的個(gè)數(shù)為..變式3：已知集合，，定義集合，則集合M中所有元素之和是_____．【答案】6【分析】根據(jù)集合M的定義列舉出M的元素，再求它們的和即可.【詳解】由題設(shè)，時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；∴，故集合M中所有元素之和是6.故答案為：6【題型6：集合的表示】列舉法表示集合例7：集合，用列舉法表示為（）A．1B．2C．D．【答案】D【解析】變式1：方程組的解集可以表示為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由方程組的解即可求解解集.【詳解】由得，所以方程組的解集可以表示為，變式2：設(shè)集合，則用列舉法表示集合A為______.【答案】【分析】根據(jù)自然數(shù)集與整數(shù)集的概念分析集合A中的元素即可.【詳解】要使，則可取，又，則可取，故答案為：.變式3：用列舉法表示下列集合．（1）不大于10的非負(fù)偶數(shù)組成的集合A；（2）小于8的質(zhì)數(shù)組成的集合B；（3）方程的實(shí)數(shù)根組成的集合C；（4）一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)組成的集合D．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）不大于10的非負(fù)偶數(shù)有，所以；（2）小于8的質(zhì)數(shù)有，所以；（3）方程的實(shí)數(shù)根為，所以．（4）由，得，所以一次函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，所以．【方法技巧與總結(jié)】列舉法表示集合時(shí)的4個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)元素與元素之間必須用“，”隔開．(2)集合中的元素必須是明確的．(3)集合中的元素不能重復(fù)．(4)集合中的元素可以是任何事物．描述法表示集合例8：集合的意義是（）A．第二象限內(nèi)的點(diǎn)集B．第四象限內(nèi)的點(diǎn)集C．第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)集D．不在第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)的集合【答案】A【解析】因?yàn)橐馕吨彤愄柣蛑辽僖粋€(gè)為零，故為第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)或坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，即不在第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)，所以的意義是不在第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)的集合.．變式1：用描述法表示下列集合：（1）；（2）偶數(shù)集；（3）被3除余2的正整數(shù)組成的集合；（4）．【答案】（1）且；（2）（3）；（4）【解析】（1）原集合為，則描述法表示為：且.（2）偶數(shù)集，用描述法表示為：.（3）被3除余2的正整數(shù)組成的集合，用描述法表示為：.（4）原集合為，用描述法表示為.變式2：用描述法表示下列集合．（1）所有不在第一、三象限的點(diǎn)組成的集合；（2）所有被3除余1的整數(shù)組成的集合；（3）使有意義的實(shí)數(shù)x組成的集合．（4）方程的解集．【答案】（1）；（2）（3）且；（4）【解析】（1）∵不在第一、三象限的點(diǎn)分布在第二、四象限或坐標(biāo)軸上，∴所有不在第一、三象限的點(diǎn)組成的集合為．（2）∵被3除余1的整數(shù)可表示為∴所有被3除余1的整數(shù)組成的集合為．（3）要使有意義．則．解得且．∴使有意義的實(shí)數(shù)x組成的集合為且．（4）由，解得．∴方程的解集為．【方法技巧與總結(jié)】描述法表示集合時(shí)的3個(gè)關(guān)注點(diǎn)(1)寫清楚集合中元素的符號，如數(shù)或點(diǎn)等；(2)說明該集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函數(shù)式或幾何圖形等；(3)不能出現(xiàn)未被說明的字母．列舉法與描述法的理解例9：用另一種方法表示下列集合:(1);(2);(3)已知，，寫出集合P;(4)集合，，寫出集合B.【答案】(1)且(2)(3)(4)【分析】對于（1），（2），利用描述法表示集合；對于（3），（4），利用列舉法表示集合；【詳解】（1）因?yàn)榫鶠槠鏀?shù)，所以利用描述法表示為且.（2）因?yàn)榫椒叫问?，所以利用描述法表示?（3）因?yàn)?，，所以利用列舉法表示出.（4）因?yàn)榧?，，所?變式1：用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?1)方程組的解集；(2)由所有小于13的既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的自然數(shù)組成的集合；(3)方程的實(shí)數(shù)根組成的集合；(4)二次函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)組成的集合；(5)二次函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合．【答案】(1)(2)(3)或(4)(5)【分析】（1）（2）（3）（4）（5）根據(jù)描述法和列舉法的使用特點(diǎn)，即可求解.【詳解】（1）解方程組得，故解集可用描述法表示為，也可用列舉法表示為．（2）小于13的既是奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的自然數(shù)有4個(gè)，分別為3，5，7，11，故可用列舉法表示為．（3）方程的實(shí)數(shù)根為2，因此可用列舉法表示為，也可用描述法表示為.（4）二次函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)組成的集合中，代表元素為有序?qū)崝?shù)對，其中x，y滿足，由于點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，則用描述法表示為．（5）二次函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合中，代表元素為y，是實(shí)數(shù)，故可用描述法表示為．【方法技巧與總結(jié)】選用列舉法或描述法的原則要根據(jù)集合元素所具有的屬性選擇適當(dāng)?shù)谋硎痉椒ǎ信e法的特點(diǎn)是能清楚地展現(xiàn)集合的元素，通常用于表示元素較少的集合，當(dāng)集合中元素較多或無限時(shí)，就不宜采用列舉法；描述法的特點(diǎn)是形式簡單、應(yīng)用方便，通常用于表示元素具有明顯共同特征的集合，當(dāng)元素共同特征不易尋找或元素的限制條件較多時(shí)，就不宜采用描述法．用列舉法和描述法表示集合，關(guān)鍵是找準(zhǔn)元素的特點(diǎn)，有限個(gè)元素一一列舉，無限個(gè)元素的可以用描述法來表示集合，需要用一種適當(dāng)方法表示．何謂“適當(dāng)方法”，這就需要我們首先要準(zhǔn)確把握列舉法和描述法的優(yōu)缺點(diǎn)，其次要弄清相應(yīng)集合到底含有哪些元素．要弄清集合含有哪些元素，這就需要對集合進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．轉(zhuǎn)化時(shí)應(yīng)根據(jù)具體情景選擇相應(yīng)方法，如涉及方程組的解集，則應(yīng)先解方程組．將集合的三種語言相互轉(zhuǎn)化也有利于我們弄清楚集合中的元素．（四）區(qū)間表示集合例10：用區(qū)間表示下列集合：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】直接把集合寫成區(qū)間的形式，注意含有等號的用閉區(qū)間，不含等號的用開區(qū)間.【詳解】（1）（2）（3）（4）（5）（6）變式1：將下列集合用區(qū)間表示出來．(1)；(2)；(3)；(4)或．【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【分析】利用區(qū)間的定義解答即可.【詳解】（1）解：用區(qū)間表示為；（2）解：用區(qū)間表示為；（3）解：用區(qū)間表示為；（4）解：或用區(qū)間表示為.變式2：用區(qū)間表示下列數(shù)集：（1）；

（2）；（3）；

（4）R；（5）；

（6）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【分析】按照區(qū)間的定義以及書寫方式進(jìn)行轉(zhuǎn)換即可,注意區(qū)間的開閉和集合中的不等號和等號相對應(yīng).【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）R=；（5）；（6）．【點(diǎn)睛】（1）用區(qū)間表示數(shù)集的原則有：①數(shù)集是連續(xù)的；②左小右大；③區(qū)間的一端是開或閉不能弄錯(cuò)；（2）用區(qū)間表示數(shù)集的方法：區(qū)間符號里面的兩個(gè)數(shù)字(或字母)之間用“，”隔開；（3）用數(shù)軸表示區(qū)間時(shí)，要特別注意實(shí)心點(diǎn)與空心點(diǎn)的區(qū)別．變式3：用描述法寫出下面這些區(qū)間的含義：；；；．【答案】；；；.【分析】將區(qū)間轉(zhuǎn)化為集合，用描述法寫出答案.【詳解】用描述法表示為：；用描述法表示為：；用描述法表示為：；用描述法表示為：.【方法技巧與總結(jié)】理解區(qū)間概念的注意點(diǎn)(1)一般地，區(qū)間的左端點(diǎn)的值小于右端點(diǎn)的值．(2)區(qū)間符號中的兩個(gè)端點(diǎn)(字母或數(shù)字)之間只能用“，”隔開．(3)左、右端點(diǎn)a，b都能取到的叫閉區(qū)間；左、右端點(diǎn)a，b有一端能取到、另一端不能取到的叫半開半閉區(qū)間；左、右端點(diǎn)a，b都不能取到的叫開區(qū)間．【題型7：集合新定義】例11：【多選】若對任意x∈A，1xA．?1,1 B．12,2 C．xx【答案】ABD【分析】根據(jù)“影子關(guān)系”集合的定義逐項(xiàng)分析即可.【詳解】根據(jù)“影子關(guān)系”集合的定義，可知?1,1，12,2，由xx2>1，得xx<?1或xBD變式1：設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對于，若，且，則稱k是A的一個(gè)“孤立元”，集合中的“孤立元”是___________；對給定的集合，由S中的4個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________個(gè)．【答案】56【分析】①根據(jù)題意，依次判斷每個(gè)元素是否為“孤立元”即可；②根據(jù)①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有與k相鄰的元素，依次寫出滿足不含“孤立元”的集合即可.【詳解】解：①對于1，，則1不是“孤立元”；對于2，，且，則2不是“孤立元”；對于3，，則3不是“孤立元”；對于5，，且，則5是“孤立元”；②根據(jù)①中分析可知，不含“孤立元”是指在集合中有與k相鄰的元素，所以由S中的4個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有，，，，，，共6個(gè)，故答案為：5；6.變式2：對于任意兩個(gè)正整數(shù)，，定義運(yùn)算⊕如下：①當(dāng)，奇偶性相同時(shí)，；②當(dāng)，奇偶性不同時(shí)，．若集合，則的元素個(gè)數(shù)為__________．【答案】【分析】根據(jù)定義結(jié)合已知條件，對、分都是正偶數(shù)，都是正奇數(shù)，一個(gè)為正偶數(shù)，另一個(gè)為正奇數(shù)三種情況討論即可求解【詳解】因?yàn)?，?dāng)、都是正偶數(shù)時(shí)，則集合中含有，，，，共個(gè)元素；當(dāng)、都是正奇數(shù)時(shí)，則集合中含有，，，，，共個(gè)元素；當(dāng)、一個(gè)為正偶數(shù)，一個(gè)為正奇數(shù)，則集合中含有，，，共個(gè)元素；所以的元素共有個(gè).故答案為：變式3：【多選】當(dāng)兩個(gè)集合中一個(gè)集合為另一個(gè)集合的子集時(shí)，稱這兩個(gè)集合構(gòu)成“全食”；當(dāng)兩個(gè)集合有公共元素，但互不為對方子集時(shí)，稱這兩個(gè)集合構(gòu)成“偏食”，對于集合A=?1,12,B=A．0 B．1 C．2 D．4【答案】CD【分析】根據(jù)“偏食”的定義進(jìn)行求解即可【詳解】因?yàn)榧螦=?1,12,所以?1∈B或1當(dāng)?1∈B時(shí)，得a=1，此時(shí)當(dāng)12∈B時(shí)，得a綜上，a=1或aD一、選擇題1.有下列說法：①集合N中最小的數(shù)為1；②若－a∈N，則a∈N；③若a∈N，b∈N，則a＋b的最小值為2；④所有小的正數(shù)組成一個(gè)集合．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】N中最小的數(shù)為0，所以①錯(cuò)；由－(－2)∈N，而－2?N可知②錯(cuò)；若a∈N，b∈N，則a＋b的最小值為0，所以③錯(cuò)；“小”的正數(shù)沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，所以④錯(cuò)，故選A.2.已知集合，，若，則a等于（

）A．－1或3 B．0或1C．3 D．－1【答案】D【分析】根據(jù)集合相等即元素相同解出a，再根據(jù)集合元素互異性求出a值.【詳解】由有，解得，.當(dāng)時(shí)，與集合元素的互異性矛盾，舍去.當(dāng)時(shí)，，滿足題意..3.已知集合S中的三個(gè)元素a，b，c是△ABC的三條邊長，那么△ABC一定不是（

）A．等腰三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．鈍角三角形【答案】A【分析】根據(jù)集合元素的互異性，即可判斷選項(xiàng).【詳解】根據(jù)集合中元素的互異性，可知，a,b,二、填空題4.由下列對象組成的集體屬于集合的是_____(填序號).①不超過10的所有正整數(shù);②高一(6)班中成績優(yōu)秀的同學(xué);③中央一套播出的好看的電視劇;④平方后不等于自身的數(shù).【答案】①④【分析】根據(jù)集合中元素的確定性判斷可得答案.【詳解】①④中的對象是確定的，可以組成集合，②③中的對象是不確定的，不能組成集合.故答案為：①④5.已知集合A=?,?①?

②?

③?

④?【答案】①③【分析】根據(jù)集合中元素的定義可直接得到結(jié)果.【詳解】由題意知：集合A中有兩個(gè)元素，分別為?和?.故答案為：①③.6.用符號“∈”或“?”填空:(1)設(shè)集合B是小于11的所有實(shí)數(shù)的集合,則23________B,1+2________B.

(2)設(shè)集合C是滿足方程x=n2+1(其中n為正整數(shù))的實(shí)數(shù)x的集合,則3________C,5________C.

(3)設(shè)集合D是滿足方程y=x2的有序?qū)崝?shù)對(x,y)的集合,則-1________D,(-1,1)________D.(4)若A表示第一、三象限的角平分線上的點(diǎn)的集合,則點(diǎn)(0,0)____A,(1,1)______A,(-1,1)______A.

【答案】(1)?∈(2)?∈(3)?∈(4)∈∈?【解析】(1)因?yàn)?3=12>11,所以23?B;因?yàn)?1+2)2=3+22<3+2×4=11,所以1+2<11,所以1+2∈B.(2)因?yàn)閚是正整數(shù),所以n2+1≠3,所以3?C;當(dāng)n=2時(shí),n2+1=5,所以5∈C.(3)因?yàn)榧螪中的元素是有序?qū)崝?shù)對(x,y),則-1是數(shù),所以-1?D;又(-1)2=1,所以(-1,1)∈D.(4)第一、三象限的角平分線上的點(diǎn)的集合可以用直線y=x表示,顯然(0,0),(1,1)都在直線y=x上,(-1,1)不在直線上.所以(0,0)∈A,(1,1)∈A,(-1,1)?A.7.由a,?【答案】2【分析】分a=0與a【詳解】當(dāng)a=0時(shí)，a當(dāng)a≠0時(shí)，a所以一定與a或?a所以由a,?故答案為:2.8.集合A中的元素x滿足eq\f(6,3－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素為________．【答案】0,1,2【解析】由eq\f(6,3－x)∈N，x∈N知x≥0，eq\f(6,3－x)＞0，且x≠3，故0≤x＜3.又x∈N，故x0,1,2.當(dāng)x0時(shí)，eq\f(6,3－0)2∈N；當(dāng)x1時(shí)，eq\f(6,3－1)3∈N；當(dāng)x2時(shí)，eq\f(6,3－2)6∈N.故集合A中的元素為0,1,2.9.集合，若，則【答案】【解析】因?yàn)?，所以，若，則