安徽省蚌埠市A層學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期第二次聯(lián)考（11月）數(shù)學(xué)試題

安徽省蚌埠市A層學(xué)校20242025學(xué)年高一上學(xué)期第二次聯(lián)考（11月）數(shù)學(xué)試題命題單位：蚌埠第二中學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知全集，集合，則圖中陰影部分表示的集合為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】確定集合，然后根據(jù)文氏圖的概念及集合的運(yùn)算求解．【詳解】由題意，陰影部分為.故選：D．2.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】判斷條件間的推出關(guān)系，根據(jù)充分必要性的定義判斷即可.【詳解】當(dāng)：若異號，即，顯然成立；若或，均有成立；所以充分性成立；當(dāng)：若，，顯然不成立，故必要性不成立.所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的圖象過定點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用冪函數(shù)的概念知系數(shù)必為1，再由冪函數(shù)遞增知冪指數(shù)大于0，從而解得，再利用指數(shù)函數(shù)必過點(diǎn)來求出函數(shù)過的定點(diǎn).【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以m2?2m?2=1m>0，解得，所以故令得，所以所以的圖象過定點(diǎn).故選：D.4.若命題，使得為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求出在上的最大值，解不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍即可.【詳解】因?yàn)闉榧倜}，所以為真命題，即當(dāng)時(shí)，恒成立.因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.5.若，則的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】結(jié)合對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較的大小，結(jié)合基本不等式及對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較的大小，可得結(jié)論.詳解】，而，且．所以，故．故選：D.6.著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說過：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，經(jīng)常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也經(jīng)常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，如函數(shù)f（x）的圖象大致是A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)奇偶性的判斷可知f（x）為偶函數(shù)，排除A，再通過x1進(jìn)行特值判斷即可得解.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x±1}，f（﹣x）f（x），則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除A，當(dāng)x1時(shí)，f（x）0恒成立，排除B，D，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的判斷，有如下幾個(gè)方法：（1）根據(jù)奇偶性判斷；（2）根據(jù)特值判斷；（3）根據(jù)單調(diào)性和趨勢判斷.7.定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足，且，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)題意得出函數(shù)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減；把不等式轉(zhuǎn)化為，結(jié)合單調(diào)性和定義域即可求解.【詳解】不妨設(shè)任意的，，因?yàn)?，則，所以，所以在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.不等式等價(jià)于，又，所以等價(jià)于，因?yàn)樵?0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減，所以，即不等式的解集為.故選：B.8.若對，使不等式成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性可求得，從而將問題再轉(zhuǎn)化為恒成立，然后分情況求的取值范圍.【詳解】，即對，使不等式成立，∴，∵對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，．恒成立，的對稱軸，∴，解得，或，無解，或，無解，綜上，即的取值范圍為．故選：C．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的定義域?yàn)锽.函數(shù)的值域?yàn)镃.D.函數(shù)為減函數(shù)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)分母不為求出函數(shù)的定義域，即可判斷A；再將函數(shù)解析式變形為，即可求出函數(shù)的值域，從而判斷B；根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算判斷C，根據(jù)函數(shù)值的特征判斷D.【詳解】對于函數(shù)，則，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故A錯誤；因?yàn)?，又，?dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，所以函數(shù)的值域?yàn)?，故B正確；又，故C正確；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以不是減函數(shù)，故D錯誤.故選：BC10.若，且，則下列各式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】【分析】先由題意得到，進(jìn)而分析得與，從而判斷BC，再舉反例排除AD，從而得解.【詳解】因?yàn)椋?，則，又由于，所以，，，則，故B正確；因?yàn)?，所以，故C正確；當(dāng)，，時(shí)，可，故A錯誤；當(dāng)，，時(shí)，，故D錯誤故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于，舉反例排除AD，從而得解.11.函數(shù)在上有定義，若對任意，有，則稱在上具有性質(zhì)．下列命題正確的有（）A.函數(shù)在上具有性質(zhì)B.若在上具有性質(zhì)，則在上也具有性質(zhì)C.若在上具有性質(zhì)，且在處取得最大值1，則D.對任意，若在上具有性質(zhì)，則恒成立【答案】ACD【解析】【分析】由性質(zhì)的定義判斷A選項(xiàng)；舉反例判斷B選項(xiàng)；C選項(xiàng)，由可證得；D選項(xiàng)，由性質(zhì)的定義證明.【詳解】對A，，對任意時(shí)，，滿足，A選項(xiàng)正確；對B，函數(shù)在上滿足性質(zhì)，證明方法同A選項(xiàng)，對于函數(shù)，，，不滿足，在上不滿足性質(zhì)，故B選項(xiàng)不成立；對C：在上，在處取得最大值1，由，，故，所以對任意的，故C選項(xiàng)成立；對D，對任意，有，，故D選項(xiàng)成立．故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.____________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則化簡即可求得結(jié)果.【詳解】．故答案為：2.13.已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】畫出函數(shù)圖象，分析出，，故，，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得到值域，求出取值范圍.【詳解】畫出的圖象，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，令，解得，令，則，若，且，則，，所以，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，又時(shí)，，時(shí)，，故.故答案為：14.已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則不等式的解集為____________．【答案】或【解析】【分析】賦值求出，令，且，根據(jù)時(shí)，，得到，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】因?yàn)?，令，則，令，則，令，且，則，整理得，因?yàn)椋瑒t，可得，所以，即，可知在定義域在上單調(diào)遞增，又因?yàn)椋?，可得，即，由在定義域在上單調(diào)遞增，可得，解得或，所以不等式的解集為或．故答案為：或四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知集合，.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可知，，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）先考慮當(dāng)時(shí)，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，分、兩種情況討論，根據(jù)集合的包含關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式（組），綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍，再利用補(bǔ)集思想可得出當(dāng)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由可知，所以，，解得，因此，實(shí)數(shù)取值范圍是．【小問2詳解】考慮當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍，則，若，滿足，則，解得；若，因?yàn)椋?，解得，所以時(shí)，的取值范圍是，所以時(shí)，的取值范圍是mm>1.16.已知是定義在R上的奇函數(shù)．（1）求的值；（2）若存在區(qū)間，使得函數(shù)在上的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出并驗(yàn)證即可.（2）探討函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的值域，構(gòu)造方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，再利用一元二次方程實(shí)根分布求出范圍.【小問1詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，有，得，則有，函數(shù)定義域?yàn)镽，有，即是奇函數(shù)，所以；【小問2詳解】由（1）得，令，因?yàn)樵赗上遞增，所以在R上遞減，所以在R上遞增，因?yàn)楹瘮?shù)在上的值域?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)根，所以，解得，即的取值范圍為17.杭州亞運(yùn)會田徑比賽10月5日迎來收官，在最后兩個(gè)競技項(xiàng)目男女馬拉松比賽中，中國選手何杰以2小時(shí)13分02秒奪得男子組冠軍，這是中國隊(duì)亞運(yùn)史上首枚男子馬拉松金牌.人類長跑運(yùn)動一般分為兩個(gè)階段，第一階段為前1小時(shí)的穩(wěn)定階段，第二階段為疲勞階段.現(xiàn)一60kg的復(fù)健馬拉松運(yùn)動員進(jìn)行4小時(shí)長跑訓(xùn)練，假設(shè)其穩(wěn)定階段作速度為的勻速運(yùn)動，該階段每千克體重消耗體力（表示該階段所用時(shí)間），疲勞階段由于體力消耗過大變?yōu)榈臏p速運(yùn)動（表示該階段所用時(shí)間）.疲勞階段速度降低，體力得到一定恢復(fù)，該階段每千克體重消耗體力已知該運(yùn)動員初始體力為不考慮其他因素，所用時(shí)間為（單位：h），請回答下列問題：（1）請寫出該運(yùn)動員剩余體力關(guān)于時(shí)間的函數(shù)；（2）該運(yùn)動員在4小時(shí)內(nèi)何時(shí)體力達(dá)到最低值，最低值為多少?【答案】（1）（2）時(shí)有最小值，最小值為.【解析】【分析】（1）先寫出速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，進(jìn)而求出剩余體力關(guān)于時(shí)間的函數(shù)；（2）分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合基本不等式，求出最值.【小問1詳解】由題可先寫出速度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)，代入與公式可得解得；【小問2詳解】①穩(wěn)定階段中單調(diào)遞減，此過程中最小值；②疲勞階段，則有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“”成立，所以疲勞階段中體力最低值為，由于，因此，在時(shí)，運(yùn)動員體力有最小值.18.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)．對數(shù)運(yùn)算與指數(shù)冪運(yùn)算是兩類重要的運(yùn)算.18世紀(jì)，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了指數(shù)與對數(shù)的互逆關(guān)系，并進(jìn)一步指出：對數(shù)源出于指數(shù)．然而對數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)，這成為數(shù)學(xué)史上的珍聞．（1）試?yán)脤?shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算的值；（2）已知為正數(shù)，若，求的值；（3）定義：一個(gè)自然數(shù)的數(shù)位的個(gè)數(shù)，叫做位數(shù)，例如23的位數(shù)是2，2024的位數(shù)是4．試判斷的位數(shù)．（注）【答案】（1）（2）（3）610【解析】【分析】（1）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可；（2）令，則，根據(jù)對數(shù)與指數(shù)的互化可得，利用對數(shù)的換底公式化簡原式即可；（3）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，結(jié)合位數(shù)的定義即可得出結(jié)果.【小問1詳解】原式；【小問2詳解】由題意知，令，則，所以，所以；【小問3詳解】設(shè)，則，又，所以，所以，則，所以的位數(shù)為610．19.列奧納多達(dá)芬奇（LeonardodaVinci，14521519）是意大利文藝復(fù)興三杰之一．他曾提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項(xiàng)鏈所形成的曲線是什么？這就是著名的“懸鏈線問題”，后人給出了懸鏈線的函數(shù)表達(dá)式，其中為懸鏈線系數(shù)，稱為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為，相反地，雙曲正弦函數(shù)的函數(shù)表達(dá)式為．（1）證明：；（2）求不等式：的解集；（3）函數(shù)的圖象在區(qū)間上與軸有2個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）（（3）【解析】【分析】（1）結(jié)合雙曲余弦函數(shù)和雙曲正弦函數(shù)代入計(jì)算即可；（2）求出的單調(diào)性和奇偶性，得到，，求出解集；（3）參變分離得到在有2個(gè)實(shí)數(shù)根，換元得到，由對勾函數(shù)單調(diào)性得到的值域，與有兩個(gè)交點(diǎn)，故需滿足，即.【小問1詳解】．【小問2詳解】因?yàn)楹愠闪?，故奇函?shù)．又因?yàn)樵赗上嚴(yán)格遞增，在R上嚴(yán)格遞減，故是R上的嚴(yán)格增函數(shù)，所以，即，所以，解得，即所求不等式的解集為；【小問3詳解】因?yàn)榈膱D象在區(qū)間上與軸有2個(gè)交點(diǎn)，所以，即在有2個(gè)實(shí)數(shù)根，所以在有2個(gè)實(shí)數(shù)根，令，易知在上單調(diào)遞增，所以，則，令，，由對勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)