高中數(shù)學(人教B版)必修二同步講義第5章第04講概率(學生版+解析)

第04講概率課程標準學習目標1．結(jié)合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關(guān)系．2.了解隨機事件的并、交、互斥與對立的含義，能結(jié)合實例進行隨機事件的并、交運算.3．結(jié)合具體實例，理解古典概型，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率．4．結(jié)合實例，會用頻率估計概率5．結(jié)合有限樣本空間，了解兩個隨機事件獨立性的含義,結(jié)合古典概型，利用獨立性計算概率．1.理解隨機現(xiàn)象、必然現(xiàn)象、樣本點、樣本空間、隨機事件、必然事件、不可能事件、基本事件的概念.2.了解事件之間的關(guān)系與運算以及互斥事件、對立事件的概念，能用概率的性質(zhì)求事件的概率．3.通過學習古典概型的定義，通過應用古典概型的概率計算公式解決實際問題培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng)．4.了解頻率與概率的意義，會用頻率估計概率．5.通過學習相互獨立事件的概念培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng),通過運用事件的獨立性解決問題培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng)．知識點01樣本空間與事件1.隨機現(xiàn)象、必然現(xiàn)象的概念一定條件下，發(fā)生的結(jié)果事先不能確定的現(xiàn)象就是隨機現(xiàn)象(或偶然現(xiàn)象)，發(fā)生的結(jié)果事先能夠確定的現(xiàn)象就是必然現(xiàn)象(或確定性現(xiàn)象)．2.樣本點、樣本空間的概念為了方便起見，我們把在相同條件下，對隨機現(xiàn)象所進行的觀察或?qū)嶒灧Q為隨機試驗(簡稱為試驗)．我們把隨機試驗中每一種可能出現(xiàn)的結(jié)果，都稱為樣本點，把由所有樣本點組成的集合稱為樣本空間(通常用大寫希臘字母Ω表示)．3.隨機事件、必然事件、不可能事件的概念如果隨機試驗的樣本空間為Ω，則隨機事件A是Ω的一個非空真子集．任何一個隨機事件既有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生．因為任何一次隨機試驗的結(jié)果，一定是樣本空間Ω中的元素，因此可以認為每次試驗中Ω一定發(fā)生，從而稱Ω為必然事件；又因為空集?不包含任何樣本點，所以可以認為每次試驗中?一定不發(fā)生，從而稱?為不可能事件．一般地，不可能事件、隨機事件、必然事件都可簡稱為事件，通常用大寫英文字母A，B，C，…來表示事件．因為事件一定是樣本空間的子集，從而可以用表示集合的維恩圖來直觀地表示事件．特別地，只含有一個樣本點的事件稱為基本事件．4.隨機事件發(fā)生的概率事件A發(fā)生的概率通常用P(A)表示．我們將不可能事件?發(fā)生的概率規(guī)定為0，將必然事件Ω發(fā)生的概率規(guī)定為1，即P(?)0，P(Ω)1．對于任意事件A來說，0≤P(A)≤1．【即學即練1】1.(2024·甘肅天水一中高一月考)下面四個選項中，是隨機事件的是()A．刻舟求劍 B．水中撈月C．流水不腐 D．守株待兔2.(多選)下列結(jié)論正確的是()A．事件A發(fā)生的概率可能為P(A)0.6B．不可能事件發(fā)生的概率為0，必然事件發(fā)生的概率為1C．小概率事件就是不可能發(fā)生的事件，大概率事件就是必然要發(fā)生的事件D．老師講一道數(shù)學題，李峰能聽懂的概率是80%，是指老師每講一題，該題有80%的部分李峰能聽懂，20%的部分李峰聽不懂知識點02事件間的關(guān)系1.事件的包含(1)一般地，如果事件A發(fā)生時，事件B一定發(fā)生，則稱“A包含于B”(或“B包含A”)，記作A?B(或B?A)，這一關(guān)系可用下圖表示．(2)A?B也可用充分必要的語言表述為：A發(fā)生是B發(fā)生的充分條件，B發(fā)生是A發(fā)生的必要條件．(3)如果A?B，則P(A)≤P(B)．2.事件的相等(1)如果事件A發(fā)生時，事件B一定發(fā)生；而且事件B發(fā)生時，事件A也一定發(fā)生，則稱“A與B相等”，記作AB．(2)AB?A?B且B?A．AB也可用充分必要的語言表述為：A發(fā)生是B發(fā)生的充要條件．(3)當AB時，有P(A)P(B)．【即學即練2】在擲骰子的試驗中，可以定義許多事件．例如，事件C1{出現(xiàn)1點}，事件C2{出現(xiàn)2點}，事件C3{出現(xiàn)3點}，事件C4{出現(xiàn)4點}，事件C5{出現(xiàn)5點}，事件C6{出現(xiàn)6點}，事件D1{出現(xiàn)的點數(shù)不大于1}，事件D2{出現(xiàn)的點數(shù)大于3}，事件D3{出現(xiàn)的點數(shù)小于5}，事件E{出現(xiàn)的點數(shù)小于7}，事件F{出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)}，事件G{出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)}，請根據(jù)上述定義的事件，請舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事件.知識點03事件間的運算1.事件的和(并)(1)給定事件A，B，由所有A中的樣本點與B中的樣本點組成的事件稱為A與B的和(或并)，記作A＋B(或A∪B)．事件A與B的和可以用如圖所示的陰影部分表示．(2)由定義可知：①事件A＋B發(fā)生時，當且僅當事件A與事件B中至少有一個發(fā)生；②A?(A＋B)且B?(A＋B)．因此，P(A)≤P(A＋B)且P(B)≤P(A＋B)，P(A＋B)≤P(A)＋P(B)．2.事件的積(交)(1)給定事件A，B，由A與B中的公共樣本點組成的事件稱為A與B的積(或交)，記作AB(或A∩B)．事件A與B的積可以用如圖所示的陰影部分表示．(2)由定義可知：①事件AB發(fā)生時，當且僅當事件A與事件B都發(fā)生．②AB?A，AB?B.因此，P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)．【即學即練3】擲一個骰子，“向上的點數(shù)是1或2”為事件A，“向上的點數(shù)是2或3”為事件B，則()A．A?BB．ABC．A＋B表示向上的點數(shù)是1或2或3D．AB表示向上的點數(shù)是1或2或3知識點04事件的互斥與對立(1)給定事件A，B，若事件A與B不能同時發(fā)生，則稱A與B互斥，記作AB?(或A∩B?)，這一關(guān)系可用下圖表示．(2)任意兩個基本事件都是互斥的，?與任意事件互斥．(3)當A與B互斥(即AB?)時，有P(A＋B)P(A)＋P(B)，這稱為互斥事件的概率加法公式．一般地，如果A1，A2，…，An是兩兩互斥的事件，則P(A1＋A2＋…＋An)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．2.事件的對立(1)給定樣本空間Ω與事件A，則由Ω中所有不屬于A的樣本點組成的事件稱為A的對立事件，記作eq\o(A,\s\up6(－))，用集合的觀點來看，eq\o(A,\s\up6(－))是A在Ω中的補集，如圖所示．(2)如果Beq\o(A,\s\up6(－))，則稱A與B相互對立．(3)按照定義可知，每次隨機試驗，在事件A與eq\o(A,\s\up6(－))中，有一個發(fā)生，而且只有一個發(fā)生．又由于必然事件的概率為1，因此P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))1.【即學即練3】從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球，那么互斥而不對立的事件是()A．至少有一個紅球與都是紅球B．至少有一個紅球與都是白球C．至少有一個紅球與至少有一個白球D．恰有一個紅球與恰有兩個紅球知識點05古典概型1.古典概型的定義一般地，如果隨機試驗的樣本空間所包含的樣本點個數(shù)是有限的(簡稱為有限性)，而且可以認為每個只包含一個樣本點的事件(即基本事件)發(fā)生的可能性大小都相等(簡稱為等可能性)，則稱這樣的隨機試驗為eq\x(\s\up1(05))古典概率模型，簡稱為古典概型．一個隨機試驗是否能歸結(jié)為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——有限性與等可能性．2.古典概型的概率計算公式古典概型中，假設(shè)樣本空間含有n個樣本點，如果事件C包含m個樣本點，則P(C)eq\f(m,n)．【即學即練5】1．下列試驗中，屬于古典概型的是()A．種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽B．從規(guī)格直徑為270mm±0.6mm的一批合格產(chǎn)品中任意抽一根，測量其直徑dC．拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察其出現(xiàn)正面或反面D．某人射擊中靶或不中靶2．有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)知識點06頻率與概率1.頻率與概率之間的關(guān)系在大量重復的試驗過程中，一個事件發(fā)生的頻率會很接近于這個事件發(fā)生的概率，而且，試驗的次數(shù)越多，頻率與概率之間差距很小的可能性越大．2.用頻率估計概率一般地，如果在n次重復進行的試驗中，事件A發(fā)生的頻率為eq\f(m,n)，則當n很大時，可以認為事件A發(fā)生的概率P(A)的估計值為eq\f(m,n)．這種確定概率估計值的方法稱為用頻率估計概率．【即學即練6】下列說法正確的是()①頻率反映隨機事件的頻繁程度，概率反映隨機事件發(fā)生的可能性大??；②做n次隨機試驗，事件A發(fā)生m次，則事件A發(fā)生的頻率eq\f(m,n)就是事件A的概率；③頻率是不能脫離n次試驗的實驗值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數(shù)的理論值；④頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．A．①②③④ B．①②④C．①③④ D．②③④知識點07隨機事件的獨立性1.相互獨立事件的概念(1)一般地，當P(AB)P(A)P(B)時，就稱事件A與B相互獨立(簡稱獨立)．[說明]“P(AB)P(A)P(B)”是“事件A，B相互獨立”的充要條件．(2)事件A與B相互獨立的直觀理解是，事件A是否發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的概率，事件B是否發(fā)生也不會影響事件A發(fā)生的概率．(3)兩個事件相互獨立的概念也可以推廣到有限個事件，即“A1，A2，…，An相互獨立”的充要條件是“其中任意有限個事件同時發(fā)生的概率都等于它們各自發(fā)生的概率之積”．2.相互獨立事件的性質(zhì)(1)如果事件A與B相互獨立，則eq\o(A,\s\up6(－))與B，A與eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))也相互獨立．(2)多個事件獨立具有與兩個事件獨立類似的性質(zhì)．例如，如果A1，A2，A3相互獨立，則eq\o(A,\s\up6(－))1，A2，A3也相互獨立等．【即學即練7】擲一個骰子一次，記事件A表示“出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件B表示“出現(xiàn)3點或6點”，則事件A與B是()A．互斥事件B．相互獨立事件C．既互斥又相互獨立事件D．既不互斥又不相互獨立事件題型01必然現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象的判斷【典例01】（23-24高二·上海·課堂例題）下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個頂點各畫一條高線，這三條高線交于一點；③實數(shù)a，b都不為0，但；④某地區(qū)明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中為隨機事件的是（

）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④【變式1】（24-25高二上·四川雅安·階段練習）下列事件是隨機事件的是（）①同種電荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物體做勻速直線運動；④函數(shù)在定義域上是增函數(shù)．A．①③ B．①④ C．②④ D．③④【變式2】（23-24高二上·貴州黔東南·期末）在12件同類產(chǎn)品中，有10件是正品，2件是次品，從中任意抽出3件，則下列事件為必然事件的是（

）A．3件都是正品 B．至少有2件是次品C．3件都是次品 D．至少有1件是正品【變式3】（多選）（23-24高一下·內(nèi)蒙古通遼·期末）下列事件中，是必然事件的是（

）A．明天北京市不下雨B．在標準大氣壓下，水在4℃時結(jié)冰C．早晨太陽從東方升起D．，則的值不小于0題型02樣本點和樣本空間【典例2】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）高一(1)班計劃從A，B，C，D，E這五名班干部中選兩人代表班級參加一次活動，則樣本空間中樣本點的個數(shù)為（

）A．5 B．10C．15 D．20【變式1】（22-23高一·全國·課后作業(yè)）隨機事件“連續(xù)擲一顆篩子直到出現(xiàn)5點停止，觀察擲的次數(shù)”的樣本空間是（

）A．5 B．1到6的正整數(shù) C．6 D．一切正整數(shù)【變式2】（24-25高二·上?！ふn堂例題）從0、1、2這3個數(shù)字中，不放回地取兩次，每次取一個數(shù)字，構(gòu)成有序數(shù)對，x為第1次取到的數(shù)字，y為第2次取到的數(shù)字．(1)寫出這個隨機試驗的樣本空間；(2)寫出“第1次取出的數(shù)字是2”這個事件相應的樣本空間．題型03事件間的關(guān)系及運算【典例3】（24-25高二上·吉林·階段練習）擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，“向上的點數(shù)是1或3”為事件A，“向上的點數(shù)是1或5”為事件B，則（

）A．B．表示向上的點數(shù)是1或3或5C．表示向上的點數(shù)是1或3D．表示向上的點數(shù)是1或5【變式1】（24-25高二上·山東淄博·階段練習）對空中移動的目標連續(xù)射擊兩次，設(shè)兩次都擊中目標兩次都沒擊中目標{恰有一次擊中目標}，至少有一次擊中目標}，下列關(guān)系不正確的是（

）A． B．C． D．【變式2】（2024高一下·全國·專題練習）對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè){兩彈都擊中飛機}，{兩彈都沒擊中飛機}，{恰有一彈擊中飛機}，{至少有一彈擊中飛機}，下列說法不正確的是（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高一下·天津·期末）對于兩個事件，則事件表示的含義是（

）A．與同時發(fā)生 B．與不能同時發(fā)生C．與有且僅有一個發(fā)生 D．與至少有一個發(fā)生題型04互斥與對立的判斷【典例4】（24-25高二上·山東淄博·階段練習）某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列事件是互斥而不對立的事件是（

）A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生”C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生”【變式1】（24-25高二上·重慶銅梁·階段練習）在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件發(fā)生的概率分別是，則下列說法正確的是（）A．與是互斥事件，也是對立事件B．與是互斥事件，也是對立事件C．與是互斥事件，但不是對立事件D．與是互斥事件，也是對立事件【變式2】（24-25高三上·上?！ら_學考試）裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③【變式3】（24-25高二上·山東濟寧·階段練習）下列各組事件中，是互斥事件的是（

）A．一個射手進行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6B．統(tǒng)計一個班的數(shù)學成績，平均分不低于90分與平均分不高于90分C．播種100粒菜籽，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒D．檢驗某種產(chǎn)品，合格率高于70%與合格率低于70%【變式4】（24-25高二上·河南·階段練習）已知某籃球運動員共投籃兩次，記事件“第一次投籃投中”，事件“第二次投籃投中”，事件“兩次投籃均投中”，則下列說法正確的是（

）A．，互為互斥事件 B．與互為互斥事件C． D．與互為對立事件題型05互斥事件概率公式的應用【典例5】（24-25高二上·上?！るA段練習）已知與是互斥事件，且，，則等于（

）A． B．0.3 C． D．【變式1】（24-25高二上·廣東佛山·階段練習）已知事件、互斥，、至少一個發(fā)生的概率，且，則（

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高二上·山東淄博·階段練習）甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為，和棋的概率為，則乙不輸?shù)母怕蕿椋?/p>

）A． B． C． D．【變式3】（24-25高二上·北京平谷·階段練習）從一箱獎券中隨機地抽取一件，設(shè)事件“抽到一等獎”，事件“抽到二等獎”，事件“抽到三等獎”.已知，則事件“抽到的不是一等獎”的概率為（

）A．0.20 B．0.39 C．0.35 D．0.45題型06古典概型的特征【典例6】（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）下列關(guān)于古典概率模型的說法中正確的是（

）①試驗中所有可能出現(xiàn)的樣本點只有有限個；②每個事件出現(xiàn)的可能性相等；③每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等；④樣本點的總數(shù)為n，隨機事件A若包含k個樣本點，則．A．②④ B．③④ C．①④ D．①③④【變式1】（22-23高一下·新疆·期末）下列實驗中，是古典概型的有（

）A．某人射擊中靶或不中靶B．在平面直角坐標系內(nèi)，從橫坐標和縱坐標都為整數(shù)的所有點中任取一個C．四名同學用抽簽法選一人參加會議D．從區(qū)間上任取一個實數(shù)，求取到1的概率【變式2】下列關(guān)于古典概型的說法中正確的是()①試驗的樣本空間所包含的樣本點個數(shù)只有有限個；②每個事件出現(xiàn)的可能性相等；③每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等；④樣本點的總數(shù)為n，隨機事件A若包含k個樣本點，則P(A)eq\f(k,n).A．②④ B．①③④C．①④ D．③④【變式3】下列概率模型中，是古典概型的個數(shù)為()①從區(qū)間[1，10]內(nèi)任取一個數(shù)，求取到1的概率；②從1，2，3，…，10中任意取一個整數(shù)，求取到1的概率；③在一個正方形ABCD內(nèi)畫一點P，求點P剛好與點A重合的概率；④向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概率．A．1 B．2C．3 D．4題型07簡單古典概型的計算【典例7】甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲任想一數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜出的數(shù)字記為b，且a，b∈{1，2，3，4}，若|a－b|≤1，則稱甲、乙“心有靈犀”．現(xiàn)任意找兩個人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為()A.eq\f(3,8) B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,16) D.eq\f(5,16)【變式1】（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【變式2】三張卡片上分別寫上字母E，E，B，將三張卡片隨機地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為________．【變式3】一只口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球．這個試驗的樣本空間所包含的樣本點個數(shù)為________，摸出的2只球都是白球的概率是________．【變式4】（23-24高二上·黑龍江·階段練習）已知，，且，則的概率為（

）A． B． C． D．題型08有放回和無放回的概率問題【典例8】（23-24高一下·天津西青·期末）從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，分別采取不放回簡單隨機抽樣和有放回簡單隨機抽樣．在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人是一男生一女生的概率分別為（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高二上·陜西漢中·開學考試）盒中有3個大小質(zhì)地完全相同的球，其中2個白球、1個黑球，從中不放回地依次隨機摸出2個球．則恰好摸出一個白球一個黑球的概率為．【變式2】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）在試驗“袋中有白球3個（編號為1，2，3）、黑球2個（編號為1，2），這5個球除顏色外完全相同，從中不放回地依次摸取2個，每次摸1個，觀察摸出球的情況”中，摸到白球的結(jié)果分別記為，，，摸到黑球的結(jié)果分別記為，．求：(1)取到的兩個球都是白球的概率；(2)取到的兩個球顏色相同的概率；(3)取到的兩個球至少有一個是白球的概率．題型09根據(jù)概率求參數(shù)【典例9】（23-24高二上·浙江·期中）有5張未刮碼的卡片，其中n張是“中獎”卡，其它的是“未中獎”卡，現(xiàn)從這5張卡片隨機抽取2張.你有資金100元，每次在對一張卡片刮碼前，下注已有資金的一半.若刮碼結(jié)果為“中獎”，則贏得與下注金額相同的另一筆錢，若刮碼結(jié)果是“未中獎”，則輸?shù)粝伦⒌馁Y金.抽取的2張卡片全部刮完后，要使資金增加的概率大于資金減少的概率，則n至少為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式1】（22-23高一下·重慶·期末）在一個不透明的袋中有4個紅球和個黑球，現(xiàn)從袋中有放回地隨機摸出2個球，已知取出的球中至少有一個紅球的概率為，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【變式2】（22-23高一下·江蘇南京·期末）一個口袋中裝有個紅球和若干個黃球，在不允許將球倒出來數(shù)的前提下，為估計口袋中黃球的個數(shù)，小明采用了如下的方法：每次從口袋中摸出個球，記下球的顏色后再把球放回口袋中搖勻．不斷重復上述過程次，共摸出紅球次，根據(jù)上述數(shù)值，估計口袋中大約有黃球（

）個．A． B． C． D．【變式3】某箱臍橙共有18個，其中有少部分是壞果.若從這箱臍橙中任取2個，恰好取到1個壞果的概率為，則這箱臍橙中壞果的個數(shù)為（

）A．3 B．5 C．2 D．4題型10根據(jù)加法公式求古典概型概率【典例10】（22-23高一下·河北邢臺·階段練習）口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同小球，從中取出2球，事件“取出的兩球同色”，事件“取出的2球中至少有一個黃球”，事件“取出的2球至少有一個白球”，事件“取出的2球不同色”，“取出的2球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的是（

）A． B．C． D．【變式1】（21-22高一·全國·單元測試）某商場舉行購物抽獎活動，抽獎箱中放有編號分別為1，2，3，4，5的五個小球.小球除編號不同外，其余均相同.活動規(guī)則如下：從抽獎箱中隨機抽取一球，若抽到的小球編號為3，則獲得獎金100元；若抽到的小球編號為偶數(shù)，則獲得獎金70元；若抽到其余編號的小球，則不中獎.現(xiàn)某顧客依次有放回地抽獎兩次，則該顧客兩次抽獎后獲得獎金之和為100元的概率為（

）A． B． C． D．【變式2】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子（骰子的六個面上分別標有1，2，3，4，5，6個點）一次，觀察擲出向上的點數(shù)，設(shè)事件為擲出向上為偶數(shù)點，事件為擲出向上為3點，則（

）A． B．C． D．題型11頻率與概率的辨析【典例11】（24-25高二上·四川成都·階段練習）下列說法一定正確的是（

）A．一名籃球運動員，號稱“百發(fā)百中”，若罰球三次，不會出現(xiàn)三投都不中的情況B．隨機事件發(fā)生的概率與試驗次數(shù)無關(guān)C．若買彩票中獎的概率為萬分之一，則買一萬元的彩票一定會中獎一元D．一個骰子擲一次得到2的概率是，則擲6次一定會出現(xiàn)一次2【變式1】（23-24高一下·廣西河池·期末）下列說法中正確的是（

）A．隨機事件發(fā)生的頻率就是這個隨機事件發(fā)生的概率B．在次隨機試驗中，一個隨機事件發(fā)生的頻率具有確定性C．隨著試驗次數(shù)的增大，一個隨機事件發(fā)生的頻率會逐漸穩(wěn)定于事件發(fā)生的概率D．在同一次試驗中，每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的頻率之和不一定等于1【變式2】（23-24高一下·江蘇淮安·期末）已知某醫(yī)院治療一種疾病的治愈率為，下列說法正確的是（

）A．患此疾病的病人被治愈的可能性為B．醫(yī)院接收10位患此疾病的病人，其中有一位病人被治愈C．如果前9位病人都沒有治愈，第10位病人一定能被治愈D．醫(yī)院接收10位患此疾病的病人，其中一定有能被治愈的【變式3】（2024高一下·全國·專題練習）下列說法正確的是（

）A．一個人打靶，打了10發(fā)子彈，有7發(fā)子彈中靶，因此這個人中靶的概率是B．一個同學做擲硬幣試驗，擲了6次，一定有3次正面向上C．某地發(fā)行彩票，其回報率為47%，有人花了100元錢買彩票，一定會有47元的回報D．大量試驗后，可以用頻率近似估計概率題型12用頻率估計概率【典例12】（24-25高二上·山東濟寧·階段練習）在調(diào)查運動員是否服用過興奮劑的時候，給出兩個問題作答，無關(guān)緊要的問題是：“你的身份證號碼的尾數(shù)是奇數(shù)嗎？”敏感的問題是：“你服用過興奮劑嗎？”然后要求被調(diào)查的運動員擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個問題，否則回答第二個問題．由于回答哪一個問題只有被測試者自己知道，所以應答者一般樂意如實地回答問題．如我們把這種方法用于300個被調(diào)查的運動員，得到80個“是”的回答，則這群人中服用過興奮劑的百分率大約為（

）A．4.33% B．3.33% C．3.44% D．4.44%【變式1】（2024高二下·湖北·學業(yè)考試）從某自動包裝機包裝的奶粉中，隨機抽取20袋，測得各袋的質(zhì)量分別為（單位：）：492496494495498497701702704496497703706708707492496700701499用頻率估計概率，該包裝機包裝的袋裝奶粉質(zhì)量在之間的概率約為（

）A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.5【變式2】（23-24高一下·山東棗莊·期末）某地區(qū)的公共衛(wèi)生部門為了調(diào)查本地區(qū)中學生的吸煙情況，對隨機抽出的200名學生進行調(diào)查.調(diào)查中使用了兩個問題.問題1：你父親的公歷出生月份是不是奇數(shù)？問題2：你是否經(jīng)常吸煙？調(diào)查者設(shè)計了一個隨機化裝置，這是一個裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的70個白球和70個紅球的密封袋子，每個被調(diào)查者隨機地從袋中摸取1個球（摸出的球再放回袋中），摸到白球的學生如實回答第一個問題，摸到紅球的學生如實回答第二個問題，回答“是”的人往一個盒子中放一個小石子，回答“否”的人什么都不要做.若最終盒子中的小石子為580個，則該地區(qū)中學生吸煙人數(shù)的比例約為（

）A．2% B．3% C．6% D．8%【變式3】（2024高一下·全國·專題練習）眾所周知，長時間玩手機可能影響視力．據(jù)調(diào)查，某校學生大約40%的人近視，而該校大約有30%的學生每天玩手機超過2h，這些人的近視率約為70%．現(xiàn)從每天玩手機不超過2h的學生中任意調(diào)查一名學生，則該名學生近視的概率為（

）A． B． C． D．【變式4】天氣預報說，在今后的三天中，每天下雨的概率都為80%．現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計這三天中恰有兩天下雨的概率．用1，2，3，4，5，6表示下雨，用計算機產(chǎn)生了10組隨機數(shù)180，792，454，417，165，809，798，386，196，206據(jù)此估計這三天中恰有兩天下雨的概率近似為（

）A． B． C． D．【變式5】每年4月15日為全民國家安全教育日，某學校黨委組織黨員學習《中華人民共和國國家安全法》，為了解黨員學習的情況，隨機抽取了部分黨員，對他們一周的學習時間（單位：時）進行調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：學習時間（時）黨員人數(shù)81391010則從該校隨機抽取1名黨員，估計其學習時間不少于6小時的概率為（

）A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8題型13事件獨立性的判斷【典例13】(多選)下列事件A，B是相互獨立事件的是()A．一枚硬幣拋擲兩次，事件A為“第一次為正面”，事件B為“第二次為反面”B．袋中有2個白球，2個黑球，不放回地摸兩球，事件A為“第一次摸到白球”，事件B為“第二次摸到白球”C．擲一枚骰子，事件A為“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，事件B為“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”D．事件A為“甲能活到20歲”，事件B為“乙能活到70歲”【變式1】一袋中裝有100個球，其中有20個白球，在有放回地摸球中，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，則事件A1與是()A．相互獨立事件 B．對立事件C．互斥事件 D．無法判斷【變式2】（24-25高一下·全國·隨堂練習）壇子中放有3個白球，2個黑球，從中不放回地摸球2次，用表示第1次摸到白球，表示第2次摸到白球，則與（

）A．是互斥事件 B．是相互獨立事件C．是對立事件 D．不是相互獨立事件【變式3】（23-24高一下·江蘇無錫·期末）已知事件A，B滿足，則（

）A．若B?A，則 B．若A與B互斥，則C．若A與B相互獨立，則 D．若，則C與B相互對立題型14相互獨立事件概率的計算【典例14】（22-23高一下·甘肅·期末）某商場在618大促銷活動中，活動規(guī)則是：滿168元可以參加促銷摸獎活動，甲和乙兩個箱子各裝有10個球，其中甲箱中有5個紅球、5個白球，乙箱中有8個紅球、2個白球．顧客首先擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，如果出現(xiàn)點數(shù)為1或2，顧客從甲箱子隨機摸出一個球；如果點數(shù)為3，4，5，6，從乙箱子隨機摸出一個球，則摸出紅球的顧客可以領(lǐng)取獎品，問顧客中獎率為．【變式1】（23-24高一下·安徽馬鞍山·期末）已知事件，滿足：，，則（

）.A．若，互斥，則B．若，互斥，則C．若，互相獨立，則D．若，互相獨立，則【變式2】(多選)甲、乙兩人練習射擊，命中目標的概率分別為eq\f(1,2)和eq\f(1,3)，甲、乙兩人各射擊一次，下列說法正確的是()A．目標恰好被命中一次的概率為eq\f(5,6)B．目標恰好被命中兩次的概率為eq\f(1,6)C．目標被命中的概率為eq\f(2,3)D．目標未被命中的概率為eq\f(1,3)【變式3】（23-24高一下·廣西崇左·期末）2024年5月底，各省教育廳陸續(xù)召開了2024年高中數(shù)學聯(lián)賽的相關(guān)工作.若某市經(jīng)過初次選拔后有甲?乙?丙三名同學成功進入決賽，在決賽環(huán)節(jié)中這三名同學同時解答一道有關(guān)組合數(shù)論的試題.已知甲同學成功解出這道題的概率是，甲?丙兩名同學都解答錯誤的概率是，乙?丙兩名同學都成功解出的概率是，且這三名同學能否成功解出該題相互獨立.(1)求乙?丙兩名同學各自成功解出這道題的概率；(2)求這三名同學中不少于兩名同學成功解出這道題的概率.一、單選題1．（2023高一·全國·課后作業(yè)）下列說法一定正確的是（

）A．一名籃球運動員，號稱“百發(fā)百中”，若罰球三次，不會出現(xiàn)三投都不中的情況B．一個骰子擲一次得到2的概率是，則擲6次一定會出現(xiàn)一次2C．若買彩票中獎的概率為萬分之一，則買一萬元的彩票一定會中獎一元D．隨機事件發(fā)生的概率與試驗次數(shù)無關(guān)2．（24-25高二上·吉林·階段練習）若隨機試驗的樣本空間為，則下列說法不正確的是（

）A．事件是隨機事件 B．事件是必然事件C．事件是不可能事件 D．事件是隨機事件3．（24-25高一上·四川成都·開學考試）某煙花爆竹廠從20萬件同類產(chǎn)品中隨機抽取了100件進行質(zhì)檢，發(fā)現(xiàn)其中有5件不合格，那么請你估計該廠這20萬件產(chǎn)品中合格產(chǎn)品約有（

）A．1萬件 B．18萬件 C．19萬件 D．20萬件4．（24-25高一下·全國·隨堂練習）口袋內(nèi)裝有一些大小相同的紅球、白球和黑球，從中摸出1個球，摸出紅球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（

）A．0.42 B．0.28 C．0.3 D．05．（24-25高一下·全國·隨堂練習）擲一枚骰子，設(shè)事件出現(xiàn)的點數(shù)不小于5，出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)，則事件A與事件B的關(guān)系是（

）A． B．出現(xiàn)的點數(shù)為6C．事件A與B互斥 D．事件A與B是對立事件6．（22-23高二上·廣東佛山·期末）一個袋子中裝有形狀大小完全相同的6個紅球，個綠球，現(xiàn)采用不放回的方式從中依次隨機取出2個球.若取出的2個球都是紅球的概率為，則的值為（

）A．4 B．5 C．12 D．157．（23-24高一上·四川內(nèi)江·開學考試）某公園有東、南、西、北共4個大門供游客出入，小軍、小明從不同的大門進入公園游玩，游玩結(jié)束后，他們隨機地從其中一個大門離開，則他們恰好從同一個大門出去的概率是（

）A． B． C． D．8．（24-25高二上·貴州遵義·階段練習）七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力玩具，它是由如圖所示的七塊板組成的，即五塊等腰直角三角形板（兩塊小型三角形板、一塊中型三角形板和兩塊大型三角形板），一塊正方形板和一塊平行四邊形板.現(xiàn)從這七塊板中任取兩塊，則這兩塊板面積相等的概率為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（24-25高二上·吉林·階段練習）對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè)事件兩炮彈都擊中飛機，事件兩炮彈都沒擊中飛機，事件恰有一炮彈擊中飛機，事件至少有一炮彈擊中飛機，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．10．（23-24高一下·江蘇蘇州·期末）拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，事件“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”，事件“出現(xiàn)點數(shù)為3”，事件“出現(xiàn)點數(shù)為3的倍數(shù)”，事件“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”，則以下選項正確的是（

）A．B與D互斥B．A與D互為對立事件C．D．11．（24-25高二上·重慶銅梁·階段練習）若隨機事件A，B互斥，A，B發(fā)生的概率均不等于0，且，則實數(shù)a的值可以是（）A． B． C． D．三、填空題12．（24-25高一上·廣西崇左·開學考試）下表是某種植物的種子在相同條件下發(fā)芽率試驗的結(jié)果．種子個數(shù)n100400900170027004000發(fā)芽種子個數(shù)m92352818133622513801發(fā)芽種子頻率0.920.880.910.890.900.90根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，可估計該植物的種子發(fā)芽的概率為（精確到0.1）．13．（23-24高二上·浙江寧波·階段練習）事件、是相互獨立事件，若，，則實數(shù)的值等于.14．（23-24高一下·江蘇無錫·階段練習）若隨機事件，互斥，，發(fā)生的概率均不等于0，且，則實數(shù)的取值范圍為．四、解答題15．（23-24高二·上海·課堂例題）把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10分別寫在10張一樣的卡片上，并隨機抽取1張．設(shè)出現(xiàn)偶數(shù)，出現(xiàn)3的倍數(shù)．寫出下面兩個事件的對應子集：(1)至少有一個發(fā)生；(2)同時發(fā)生．16．（24-25高二上·廣東佛山·階段練習）同時轉(zhuǎn)動如圖的兩個轉(zhuǎn)盤，記轉(zhuǎn)盤①得到的數(shù)為，轉(zhuǎn)盤②得到的數(shù)為，結(jié)果為（x，y）．(1)分別用集合的形式表示事件“”和事件“且”；(2)若設(shè)計了一種游戲方案：甲乙兩人同時各轉(zhuǎn)動一個轉(zhuǎn)盤一次，將轉(zhuǎn)到的數(shù)字相加，和為偶數(shù)時甲獲勝，否則乙獲勝．游戲方案對雙方是否公平？請說明理由．17．（24-25高二上·內(nèi)蒙古赤峰·階段練習）—只不透明的袋子中裝有2個白球，3個紅球，這些球除顏色外都相同.(1)攪勻后從中任意摸出2個球，求這2個都球是白球的概率；(2)攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回，攪勻，再從中任意摸出1個球，求2次摸到的球恰好是1個白球和1個紅球的概率.18．（23-24高一下·福建福州·期末）目前低碳的生活理念流行，越來越多的年輕人加入自行車騎游行列.某自行車租車點的收費標準是每車每次租車時間不超過小時免費，超過小時的部分每小時收費元（不足一小時的部分按一小時計算）.有甲、乙兩人分別來該租車點租車騎游（各租一車一次），設(shè)甲、乙不超過小時還車的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時還車的概率分別為，；兩人租車時間互不影響且都不會超過3小時.(1)求甲、乙兩人租車時間超過2小時，且不超過3小時的概率；(2)求甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率；(3)求甲、乙兩人所付的租車費用之和為4元的概率19．（24-25高一下·全國·課堂例題）某初級中學共有學生2000名，各年級男、女生人數(shù)如下表：七年級八年級九年級女生373xy男生377370z已知在全校學生中隨機抽取1名，抽到八年級女生的概率為0.19．(1)求x的值；(2)已知，，求九年級中女生比男生少的概率；(3)已知，在全校學生中隨機抽取一名學生，則該學生是女生或是九年級學生的概率是多少？第04講概率課程標準學習目標1．結(jié)合具體實例，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關(guān)系．2.了解隨機事件的并、交、互斥與對立的含義，能結(jié)合實例進行隨機事件的并、交運算.3．結(jié)合具體實例，理解古典概型，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率．4．結(jié)合實例，會用頻率估計概率5．結(jié)合有限樣本空間，了解兩個隨機事件獨立性的含義,結(jié)合古典概型，利用獨立性計算概率．1.理解隨機現(xiàn)象、必然現(xiàn)象、樣本點、樣本空間、隨機事件、必然事件、不可能事件、基本事件的概念.2.了解事件之間的關(guān)系與運算以及互斥事件、對立事件的概念，能用概率的性質(zhì)求事件的概率．3.通過學習古典概型的定義，通過應用古典概型的概率計算公式解決實際問題培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng)．4.了解頻率與概率的意義，會用頻率估計概率．5.通過學習相互獨立事件的概念培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng),通過運用事件的獨立性解決問題培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng)．知識點01樣本空間與事件1.隨機現(xiàn)象、必然現(xiàn)象的概念一定條件下，發(fā)生的結(jié)果事先不能確定的現(xiàn)象就是隨機現(xiàn)象(或偶然現(xiàn)象)，發(fā)生的結(jié)果事先能夠確定的現(xiàn)象就是必然現(xiàn)象(或確定性現(xiàn)象)．2.樣本點、樣本空間的概念為了方便起見，我們把在相同條件下，對隨機現(xiàn)象所進行的觀察或?qū)嶒灧Q為隨機試驗(簡稱為試驗)．我們把隨機試驗中每一種可能出現(xiàn)的結(jié)果，都稱為樣本點，把由所有樣本點組成的集合稱為樣本空間(通常用大寫希臘字母Ω表示)．3.隨機事件、必然事件、不可能事件的概念如果隨機試驗的樣本空間為Ω，則隨機事件A是Ω的一個非空真子集．任何一個隨機事件既有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生．因為任何一次隨機試驗的結(jié)果，一定是樣本空間Ω中的元素，因此可以認為每次試驗中Ω一定發(fā)生，從而稱Ω為必然事件；又因為空集?不包含任何樣本點，所以可以認為每次試驗中?一定不發(fā)生，從而稱?為不可能事件．一般地，不可能事件、隨機事件、必然事件都可簡稱為事件，通常用大寫英文字母A，B，C，…來表示事件．因為事件一定是樣本空間的子集，從而可以用表示集合的維恩圖來直觀地表示事件．特別地，只含有一個樣本點的事件稱為基本事件．4.隨機事件發(fā)生的概率事件A發(fā)生的概率通常用P(A)表示．我們將不可能事件?發(fā)生的概率規(guī)定為0，將必然事件Ω發(fā)生的概率規(guī)定為1，即P(?)0，P(Ω)1．對于任意事件A來說，0≤P(A)≤1．【即學即練1】1.(2024·甘肅天水一中高一月考)下面四個選項中，是隨機事件的是()A．刻舟求劍 B．水中撈月C．流水不腐 D．守株待兔【答案】A【解析】A，B為不可能事件，C為必然事件，D為隨機事件．故選D.2.(多選)下列結(jié)論正確的是()A．事件A發(fā)生的概率可能為P(A)0.6B．不可能事件發(fā)生的概率為0，必然事件發(fā)生的概率為1C．小概率事件就是不可能發(fā)生的事件，大概率事件就是必然要發(fā)生的事件D．老師講一道數(shù)學題，李峰能聽懂的概率是80%，是指老師每講一題，該題有80%的部分李峰能聽懂，20%的部分李峰聽不懂【答案】AB【解析】因為事件A發(fā)生的概率0≤P(A)≤1，所以A正確；不可能事件發(fā)生的概率規(guī)定為0，必然事件發(fā)生的概率規(guī)定為1，所以B正確；小概率事件是指這個事件發(fā)生的可能性很小，但并不是不發(fā)生，大概率事件發(fā)生的可能性較大，但并不是一定發(fā)生，所以C錯誤；老師講一道數(shù)學題，李峰能聽懂的概率是80%，是指李峰能聽懂老師所講這道題的可能性為80%，所以D錯誤．故選AB.知識點02事件間的關(guān)系1.事件的包含(1)一般地，如果事件A發(fā)生時，事件B一定發(fā)生，則稱“A包含于B”(或“B包含A”)，記作A?B(或B?A)，這一關(guān)系可用下圖表示．(2)A?B也可用充分必要的語言表述為：A發(fā)生是B發(fā)生的充分條件，B發(fā)生是A發(fā)生的必要條件．(3)如果A?B，則P(A)≤P(B)．2.事件的相等(1)如果事件A發(fā)生時，事件B一定發(fā)生；而且事件B發(fā)生時，事件A也一定發(fā)生，則稱“A與B相等”，記作AB．(2)AB?A?B且B?A．AB也可用充分必要的語言表述為：A發(fā)生是B發(fā)生的充要條件．(3)當AB時，有P(A)P(B)．【即學即練2】在擲骰子的試驗中，可以定義許多事件．例如，事件C1{出現(xiàn)1點}，事件C2{出現(xiàn)2點}，事件C3{出現(xiàn)3點}，事件C4{出現(xiàn)4點}，事件C5{出現(xiàn)5點}，事件C6{出現(xiàn)6點}，事件D1{出現(xiàn)的點數(shù)不大于1}，事件D2{出現(xiàn)的點數(shù)大于3}，事件D3{出現(xiàn)的點數(shù)小于5}，事件E{出現(xiàn)的點數(shù)小于7}，事件F{出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)}，事件G{出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)}，請根據(jù)上述定義的事件，請舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事件.【解析】因為事件C4，C5，C6發(fā)生，則事件D2必發(fā)生，所以C4?D2，C5?D2，C6?D2.同理可得，事件D3包含事件C1，C2，C3，C4，D1；事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，D3，F(xiàn)，G；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5，D1.且易知事件C1與事件D1相等，即C1D1.知識點03事件間的運算1.事件的和(并)(1)給定事件A，B，由所有A中的樣本點與B中的樣本點組成的事件稱為A與B的和(或并)，記作A＋B(或A∪B)．事件A與B的和可以用如圖所示的陰影部分表示．(2)由定義可知：①事件A＋B發(fā)生時，當且僅當事件A與事件B中至少有一個發(fā)生；②A?(A＋B)且B?(A＋B)．因此，P(A)≤P(A＋B)且P(B)≤P(A＋B)，P(A＋B)≤P(A)＋P(B)．2.事件的積(交)(1)給定事件A，B，由A與B中的公共樣本點組成的事件稱為A與B的積(或交)，記作AB(或A∩B)．事件A與B的積可以用如圖所示的陰影部分表示．(2)由定義可知：①事件AB發(fā)生時，當且僅當事件A與事件B都發(fā)生．②AB?A，AB?B.因此，P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)．【即學即練3】擲一個骰子，“向上的點數(shù)是1或2”為事件A，“向上的點數(shù)是2或3”為事件B，則()A．A?BB．ABC．A＋B表示向上的點數(shù)是1或2或3D．AB表示向上的點數(shù)是1或2或3【答案】D【解析】設(shè)A{1，2}，B{2，3}，則AB{2}，A＋B{1，2，3}，所以AB表示向上的點數(shù)是2，A＋B表示向上的點數(shù)是1或2或3.故選C.知識點04事件的互斥與對立(1)給定事件A，B，若事件A與B不能同時發(fā)生，則稱A與B互斥，記作AB?(或A∩B?)，這一關(guān)系可用下圖表示．(2)任意兩個基本事件都是互斥的，?與任意事件互斥．(3)當A與B互斥(即AB?)時，有P(A＋B)P(A)＋P(B)，這稱為互斥事件的概率加法公式．一般地，如果A1，A2，…，An是兩兩互斥的事件，則P(A1＋A2＋…＋An)P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．2.事件的對立(1)給定樣本空間Ω與事件A，則由Ω中所有不屬于A的樣本點組成的事件稱為A的對立事件，記作eq\o(A,\s\up6(－))，用集合的觀點來看，eq\o(A,\s\up6(－))是A在Ω中的補集，如圖所示．(2)如果Beq\o(A,\s\up6(－))，則稱A與B相互對立．(3)按照定義可知，每次隨機試驗，在事件A與eq\o(A,\s\up6(－))中，有一個發(fā)生，而且只有一個發(fā)生．又由于必然事件的概率為1，因此P(A)＋P(eq\o(A,\s\up6(－)))1.【即學即練4】從裝有5個紅球和3個白球的口袋內(nèi)任取3個球，那么互斥而不對立的事件是()A．至少有一個紅球與都是紅球B．至少有一個紅球與都是白球C．至少有一個紅球與至少有一個白球D．恰有一個紅球與恰有兩個紅球【答案】A【解析】對于A，若取出的3個球是3個紅球，則這兩個事件同時發(fā)生，故它們不是互斥事件，A不符合題意；對于B，這兩個事件不能同時發(fā)生，且必有一個發(fā)生，則它們是互斥事件且是對立事件，B不符合題意；對于C，若取出的3個球是1個紅球2個白球，則它們同時發(fā)生，故它們不是互斥事件，C不符合題意；對于D，這兩個事件不能同時發(fā)生，是互斥事件，若取出的3個球都是紅球，則它們都沒有發(fā)生，故它們不是對立事件，D符合題意．知識點05古典概型1.古典概型的定義一般地，如果隨機試驗的樣本空間所包含的樣本點個數(shù)是有限的(簡稱為有限性)，而且可以認為每個只包含一個樣本點的事件(即基本事件)發(fā)生的可能性大小都相等(簡稱為等可能性)，則稱這樣的隨機試驗為eq\x(\s\up1(05))古典概率模型，簡稱為古典概型．一個隨機試驗是否能歸結(jié)為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特征——有限性與等可能性．2.古典概型的概率計算公式古典概型中，假設(shè)樣本空間含有n個樣本點，如果事件C包含m個樣本點，則P(C)eq\f(m,n)．【即學即練5】1．下列試驗中，屬于古典概型的是()A．種下一粒種子，觀察它是否發(fā)芽B．從規(guī)格直徑為270mm±0.6mm的一批合格產(chǎn)品中任意抽一根，測量其直徑dC．拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察其出現(xiàn)正面或反面D．某人射擊中靶或不中靶【答案】D【解析】依據(jù)古典概型的特征：①試驗的樣本空間所包含的樣本點個數(shù)有限；②每個樣本點出現(xiàn)的可能性大小都相等，知只有C項滿足．2．有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)【答案】D【解析】從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，樣本空間為Ω{(紅，黃)，(紅，藍)，(紅，綠)，(紅，紫)，(黃，藍)，(黃，綠)，(黃，紫)，(藍，綠)，(藍，紫)，(綠，紫)}，共10個樣本點，且這10個樣本點出現(xiàn)的可能性相等．而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆所包含的樣本點有(紅，黃)，(紅，藍)，(紅，綠)，(紅，紫)，共4個，故所求概率Peq\f(4,10)eq\f(2,5).故選C.知識點06頻率與概率1.頻率與概率之間的關(guān)系在大量重復的試驗過程中，一個事件發(fā)生的頻率會很接近于這個事件發(fā)生的概率，而且，試驗的次數(shù)越多，頻率與概率之間差距很小的可能性越大．2.用頻率估計概率一般地，如果在n次重復進行的試驗中，事件A發(fā)生的頻率為eq\f(m,n)，則當n很大時，可以認為事件A發(fā)生的概率P(A)的估計值為eq\f(m,n)．這種確定概率估計值的方法稱為用頻率估計概率．【即學即練6】下列說法正確的是()①頻率反映隨機事件的頻繁程度，概率反映隨機事件發(fā)生的可能性大??；②做n次隨機試驗，事件A發(fā)生m次，則事件A發(fā)生的頻率eq\f(m,n)就是事件A的概率；③頻率是不能脫離n次試驗的實驗值，而概率是具有確定性的不依賴于試驗次數(shù)的理論值；④頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩(wěn)定值．A．①②③④ B．①②④C．①③④ D．②③④【答案】D【解析】②錯在混淆了頻率與概率的概念．知識點07隨機事件的獨立性1.相互獨立事件的概念(1)一般地，當P(AB)P(A)P(B)時，就稱事件A與B相互獨立(簡稱獨立)．[說明]“P(AB)P(A)P(B)”是“事件A，B相互獨立”的充要條件．(2)事件A與B相互獨立的直觀理解是，事件A是否發(fā)生不會影響事件B發(fā)生的概率，事件B是否發(fā)生也不會影響事件A發(fā)生的概率．(3)兩個事件相互獨立的概念也可以推廣到有限個事件，即“A1，A2，…，An相互獨立”的充要條件是“其中任意有限個事件同時發(fā)生的概率都等于它們各自發(fā)生的概率之積”．2.相互獨立事件的性質(zhì)(1)如果事件A與B相互獨立，則eq\o(A,\s\up6(－))與B，A與eq\o(B,\s\up6(－))，eq\o(A,\s\up6(－))與eq\o(B,\s\up6(－))也相互獨立．(2)多個事件獨立具有與兩個事件獨立類似的性質(zhì)．例如，如果A1，A2，A3相互獨立，則eq\o(A,\s\up6(－))1，A2，A3也相互獨立等．【即學即練7】擲一個骰子一次，記事件A表示“出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件B表示“出現(xiàn)3點或6點”，則事件A與B是()A．互斥事件B．相互獨立事件C．既互斥又相互獨立事件D．既不互斥又不相互獨立事件【答案】C【解析】因為該試驗的樣本空間為Ω{1，2，3，4，5，6}，A{2，4，6}，B{3，6}，AB{6}，所以事件A與B不是互斥事件，P(A)eq\f(1,2)，P(B)eq\f(1,3)，P(AB)eq\f(1,6)eq\f(1,2)×eq\f(1,3)，所以事件A與B是相互獨立事件．題型01必然現(xiàn)象與隨機現(xiàn)象的判斷【典例01】（23-24高二·上?！ふn堂例題）下列事件：①拋擲一枚硬幣，落下后正面朝上；②從某三角形的三個頂點各畫一條高線，這三條高線交于一點；③實數(shù)a，b都不為0，但；④某地區(qū)明年7月的降雨量高于今年7月的降雨量.其中為隨機事件的是（

）A．①④ B．①②③ C．②③④ D．②④【答案】A【分析】利用隨機事件的定義逐一分析給定的各個事件即可判斷作答.【詳解】拋擲一枚硬幣，是正面朝上，還是反面朝上，落下前不可確定，①是隨機事件；三角形三條高線一定交于一點，②是必然事件；實數(shù)a，b都不為0，則，③是不可能事件；某地區(qū)明年7月的降雨量是一種預測，不能確定它比今年7月的降雨量高還是低，④是隨機事件，所以在給定的4個事件中，①④是隨機事件.【變式1】（24-25高二上·四川雅安·階段練習）下列事件是隨機事件的是（）①同種電荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物體做勻速直線運動；④函數(shù)在定義域上是增函數(shù)．A．①③ B．①④ C．②④ D．③④【答案】D【分析】先判斷①是必然事件，③是不可能事件，而②④既有可能發(fā)生也有可能不發(fā)生，再根據(jù)隨機事件的定義即可得到答案.【詳解】由于①是物理學定律，從而是必然事件；由于根據(jù)自由落體的相關(guān)理論，自由下落的物體做勻加速直線運動，故③是不可能事件；而明天的天氣是不確定的，故②可能發(fā)生也可能不發(fā)生；函數(shù)在定義域上是增函數(shù)當且僅當，所以④可能發(fā)生也可能不發(fā)生.根據(jù)隨機事件的定義，知是隨機事件的是②④..【變式2】（23-24高二上·貴州黔東南·期末）在12件同類產(chǎn)品中，有10件是正品，2件是次品，從中任意抽出3件，則下列事件為必然事件的是（

）A．3件都是正品 B．至少有2件是次品C．3件都是次品 D．至少有1件是正品【答案】A【分析】根據(jù)必然事件的概念進行判斷.【詳解】因為12件產(chǎn)品中，只有2件是次品，從中取3件，其中必定至少有1件是正品.【變式3】（多選）（23-24高一下·內(nèi)蒙古通遼·期末）下列事件中，是必然事件的是（

）A．明天北京市不下雨B．在標準大氣壓下，水在4℃時結(jié)冰C．早晨太陽從東方升起D．，則的值不小于0【答案】DD【分析】運用必然事件的概念判斷即可.【詳解】A為隨機事件，B為不可能事件，C，D為必然事件．故選:CD題型02樣本點和樣本空間【典例2】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）高一(1)班計劃從A，B，C，D，E這五名班干部中選兩人代表班級參加一次活動，則樣本空間中樣本點的個數(shù)為（

）A．5 B．10C．15 D．20【答案】C【分析】根據(jù)題意結(jié)合列舉法運算求解.【詳解】從A，B，C，D，E五人中選兩人，不同的選法有：，所以樣本空間中樣本點的個數(shù)為10．.【變式1】（22-23高一·全國·課后作業(yè)）隨機事件“連續(xù)擲一顆篩子直到出現(xiàn)5點停止，觀察擲的次數(shù)”的樣本空間是（

）A．5 B．1到6的正整數(shù) C．6 D．一切正整數(shù)【答案】A【分析】根據(jù)樣本空間的概念即可求解.【詳解】連續(xù)擲一顆篩子直到出現(xiàn)5點停止，觀察投擲的次數(shù)，由于事件發(fā)生是隨機的，投擲的次數(shù)可能無限大，樣本空間是一切正整數(shù)..【變式2】（24-25高二·上海·課堂例題）從0、1、2這3個數(shù)字中，不放回地取兩次，每次取一個數(shù)字，構(gòu)成有序數(shù)對，x為第1次取到的數(shù)字，y為第2次取到的數(shù)字．(1)寫出這個隨機試驗的樣本空間；(2)寫出“第1次取出的數(shù)字是2”這個事件相應的樣本空間．【答案】(1)(2)【分析】（1）寫出樣本空間；（2）在（1）的基礎(chǔ)上得到相應的樣本空間.【詳解】（1）這個隨機試驗的樣本空間為.（2）“第1次取出的數(shù)字是2”這個事件相應的樣本空間為.題型03事件間的關(guān)系及運算【典例3】（24-25高二上·吉林·階段練習）擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，“向上的點數(shù)是1或3”為事件A，“向上的點數(shù)是1或5”為事件B，則（

）A．B．表示向上的點數(shù)是1或3或5C．表示向上的點數(shù)是1或3D．表示向上的點數(shù)是1或5【答案】C【分析】根據(jù)事件的關(guān)系與運算的概念進行判斷.【詳解】由題可知，“向上的點數(shù)是1或3”為事件，“向上的點數(shù)是1或5”為事件，所以事件不等于事件，故A錯誤；事件表示“向上的點數(shù)是1或3或5”，故B正確，C錯誤；事件表示“向上的點數(shù)是1”，故D錯誤；.【變式1】（24-25高二上·山東淄博·階段練習）對空中移動的目標連續(xù)射擊兩次，設(shè)兩次都擊中目標兩次都沒擊中目標{恰有一次擊中目標}，至少有一次擊中目標}，下列關(guān)系不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)事件關(guān)系，即可判斷選項.【詳解】A.事件包含恰好一次擊中目標或兩次都擊中目標，所以，故A正確；B.包含的事件為至少一次擊中目標，為樣本空間，所以B錯誤，C正確；D.事件與事件是對立事件，所以，故D正確.【變式2】（2024高一下·全國·專題練習）對空中飛行的飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈，設(shè){兩彈都擊中飛機}，{兩彈都沒擊中飛機}，{恰有一彈擊中飛機}，{至少有一彈擊中飛機}，下列說法不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)樣本空間、事件的運算和含義即可解答.【詳解】由于至少有一彈擊中飛機包括兩種情況：兩彈都擊中飛機，只有一彈擊中飛機，對于A，有，故A正確；對于B，事件B、D不可能同時發(fā)生，兩事件互斥，所以，故B正確；對于C，不成立，故C正確；對于D，{至少有一彈擊中飛機}，不是必然事件，而為必然事件，故D不正確．故選:D．【變式3】（23-24高一下·天津·期末）對于兩個事件，則事件表示的含義是（

）A．與同時發(fā)生 B．與不能同時發(fā)生C．與有且僅有一個發(fā)生 D．與至少有一個發(fā)生【答案】A【分析】理解和事件的是至少有一個發(fā)生即可判斷．【詳解】解：兩個事件，則事件表示的含義是事件至少有一個發(fā)生，．題型04互斥與對立的判斷【典例4】（24-25高二上·山東淄博·階段練習）某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則下列事件是互斥而不對立的事件是（

）A．“恰有一名男生”和“全是男生” B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生”C．“至少有一名男生”和“全是男生” D．“至少有一名男生”和“全是女生”【答案】A【分析】利用互斥事件、對立事件的定義逐項分析判斷即可.【詳解】對于A，“恰有一名男生”和“全是男生”不能同時發(fā)生，但可以同時不發(fā)生，A是；對于B，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”可以同時發(fā)生，即一名男生和一名女生的事件，A不是；對于C，“至少有一名男生”和“全是男生”可以同時發(fā)生，全是男生的事件，C不是；對于D，“至少有一名男生”和“全是女生”不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生，D不是.【變式1】（24-25高二上·重慶銅梁·階段練習）在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件發(fā)生的概率分別是，則下列說法正確的是（）A．與是互斥事件，也是對立事件B．與是互斥事件，也是對立事件C．與是互斥事件，但不是對立事件D．與是互斥事件，也是對立事件【答案】A【分析】根據(jù)互斥事件的定義和對立事件的性質(zhì)逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】A中，因為彼此互斥，故與是互斥事件，而，故與不是對立事件，故A錯誤；B中，因為彼此互斥，故與是互斥事件，而，故與不是對立事件，故B錯誤；C中，因為彼此互斥，故與是互斥事件，而，故與是對立事件，故C錯誤；D中，因為彼此互斥，故與互斥事件，而，故與是對立事件，故D正確；.【變式2】（24-25高三上·上?！ら_學考試）裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球，有如下的一些事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個白球；③兩球至少有一個白球，其中與事件“兩球都為白球”互斥而非對立的事件是（

）A．① B．①② C．②③ D．①②③【答案】C【分析】寫出事件的全部基本事件，再根據(jù)互斥事件、對立事件的定義判斷即可.【詳解】解：設(shè)事件=｛裝有紅球、白球和黑球各2個的口袋內(nèi)一次取出2個球｝，則所以包含的基本事件為：{(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黑)，(白，白)，(白，黑)，(黑，黑)}，事件=｛兩球都不是白球｝={(紅，紅)，(紅，黑)，(黑，黑)}；事件｛兩球恰有一個白球｝=｛(紅，白)，(白，黑)}，事件｛兩球至少有一個白球｝={(紅，白)，(白，白)，(白，黑)}，事件｛兩球都為白球｝=｛(白，白)｝，由互斥事件及對立事的定義可知事件、事件與均是互斥而非對立的事件.【變式3】（24-25高二上·山東濟寧·階段練習）下列各組事件中，是互斥事件的是（

）A．一個射手進行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6B．統(tǒng)計一個班的數(shù)學成績，平均分不低于90分與平均分不高于90分C．播種100粒菜籽，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒D．檢驗某種產(chǎn)品，合格率高于70%與合格率低于70%【答案】ACD【分析】根據(jù)互斥事件的定義，兩個事件不會同時發(fā)生，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒，合格率高于與合格率為均為互斥事件，而平均分數(shù)不低于90分與平均分數(shù)不高于90分，當平均分為90分時可同時發(fā)生，即得解.【詳解】根據(jù)互斥事件的定義，兩個事件不會同時發(fā)生，對于A，一個射手進行一次射擊，命中環(huán)數(shù)大于8與命中環(huán)數(shù)小于6,為互斥事件；對于B，統(tǒng)計一個班級數(shù)學期中考試成績，平均分數(shù)不低于90分與平均分數(shù)不高于90分當平均分為90分時可同時發(fā)生，不為互斥事件；對于C，播種菜籽100粒，發(fā)芽90粒與發(fā)芽80粒,為互斥事件；對于D，檢查某種產(chǎn)品，合格率高于與合格率為,為互斥事件；CD.【變式4】（24-25高二上·河南·階段練習）已知某籃球運動員共投籃兩次，記事件“第一次投籃投中”，事件“第二次投籃投中”，事件“兩次投籃均投中”，則下列說法正確的是（

）A．，互為互斥事件 B．與互為互斥事件C． D．與互為對立事件【答案】CD【分析】由互斥事件和對立事件的性質(zhì)集合題意逐項分析即可；【詳解】對于A，，兩個事件可以同時發(fā)生，故A錯誤；對于B，與不可能同時發(fā)生，故B正確；對于C，為，的交事件，故C錯誤；對于D，對應的事件是第一次投籃未投中或第二次投籃未投中，故與互為對立事件，D正確.D.題型05互斥事件概率公式的應用【典例5】（24-25高二上·上海·階段練習）已知與是互斥事件，且，，則等于（

）A． B．0.3 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對立事件的概率性質(zhì)可得，即可根據(jù)互斥的性質(zhì)求解.【詳解】由可得，由于與是互斥事件，故,【變式1】（24-25高二上·廣東佛山·階段練習）已知事件、互斥，、至少一個發(fā)生的概率，且，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用互斥事件、對立事件的概率關(guān)系即可計算求解.【詳解】由題意可得，，則有，又，即，解得，故..【變式2】（24-25高二上·山東淄博·階段練習）甲、乙兩人下棋，甲獲勝的概率為，和棋的概率為，則乙不輸?shù)母怕蕿椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】乙不輸與甲獲勝對立事件，根據(jù)概率公式計算即可．【詳解】∵乙不輸與甲獲勝對立事件，∴乙不輸?shù)母怕适牵?【變式3】（24-25高二上·北京平谷·階段練習）從一箱獎券中隨機地抽取一件，設(shè)事件“抽到一等獎”，事件“抽到二等獎”，事件“抽到三等獎”.已知，則事件“抽到的不是一等獎”的概率為（

）A．0.20 B．0.39 C．0.35 D．0.45【答案】A【分析】由“抽到的不是一等獎”的概率與“抽到一等獎”的概率和為1求解即可.【詳解】由“抽到的不是一等獎”的概率與“抽到一等獎”的概率和為1可得事件“抽到的不是一等獎”的概率為.題型06古典概型的特征【典例6】（23-24高二上·上?！ふn后作業(yè)）下列關(guān)于古典概率模型的說法中正確的是（

）①試驗中所有可能出現(xiàn)的樣本點只有有限個；②每個事件出現(xiàn)的可能性相等；③每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等；④樣本點的總數(shù)為n，隨機事件A若包含k個樣本點，則．A．②④ B．③④ C．①④ D．①③④【答案】A【分析】利用古典概型概念及的概率計算公式直接求解．【詳解】在①中，由古典概型的概念可知：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，故①正確；在②中，由古典概型的概念可知：每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等，故②錯誤；在③中，由古典概型的概念可知：每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，故③正確；在④中，樣本點的總數(shù)為n，隨機事件A若包含k個樣本點，則由古典概型及其概率計算公式知，故④正確．．【變式1】（22-23高一下·新疆·期末）下列實驗中，是古典概型的有（

）A．某人射擊中靶或不中靶B．在平面直角坐標系內(nèi)，從橫坐標和縱坐標都為整數(shù)的所有點中任取一個C．四名同學用抽簽法選一人參加會議D．從區(qū)間上任取一個實數(shù)，求取到1的概率【答案】D【分析】根據(jù)古典概型的性質(zhì)判斷各項所描述的試驗是否滿足要求即可.【詳解】由古典概型性質(zhì)：基本事件的有限性及它們的發(fā)生是等可能的，A：基本事件只有中靶、不中靶，但概率不相等，不滿足；B：基本事件坐標系中整數(shù)點是無限的，不滿足；C：基本事件是四名同學是有限的，且抽到的概率相等，滿足；D：基本事件是區(qū)間上所有實數(shù)是無限的，不滿足；【變式2】下列關(guān)于古典概型的說法中正確的是()①試驗的樣本空間所包含的樣本點個數(shù)只有有限個；②每個事件出現(xiàn)的可能性相等；③每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等；④樣本點的總數(shù)為n，隨機事件A若包含k個樣本點，則P(A)eq\f(k,n).A．②④ B．①③④C．①④ D．③④【答案】C【變式3】下列概率模型中，是古典概型的個數(shù)為()①從區(qū)間[1，10]內(nèi)任取一個數(shù)，求取到1的概率；②從1，2，3，…，10中任意取一個整數(shù)，求取到1的概率；③在一個正方形ABCD內(nèi)畫一點P，求點P剛好與點A重合的概率；④向上拋擲一枚不均勻的硬幣，求出現(xiàn)反面朝上的概率．A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【解析】古典概型的特征是樣本空間中樣本點的個數(shù)是有限的，并且每個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，故②是古典概型；①和③由于樣本空間中的樣本點的個數(shù)不是有限的，故不是古典概型；④由于硬幣質(zhì)地不均勻，樣本點出現(xiàn)的可能性不一定相等，故不是古典概型．故選A.題型07簡單古典概型的計算【典例7】甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲任想一數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙猜出的數(shù)字記為b，且a，b∈{1，2，3，4}，若|a－b|≤1，則稱甲、乙“心有靈犀”．現(xiàn)任意找兩個人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為()A.eq\f(3,8) B.eq\f(5,8)C.eq\f(3,16) D.eq\f(5,16)【答案】C【解析】兩人分別從1，2，3，4四個數(shù)中任取一個的樣本空間為Ω{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}，共16個樣本點，且這16個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，其中滿足|a－b|≤1的樣本點有(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，共10個，故他們“心有靈犀”的概率為eq\f(10,16)eq\f(5,8).故選B.【變式1】（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，函數(shù)與互為反函數(shù)，求得，然后根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)得出答案.【詳解】由題意，函數(shù)與互為反函數(shù)，則，所以，由，解得或，即函數(shù)的定義域為或，令，當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為..【變式2】三張卡片上分別寫上字母E，E，B，將三張卡片隨機地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為________．【答案】eq\f(1,3)【解析】三張卡片的排列方法有EEB，EBE，BEE，因此樣本空間為Ω{EEB，EBE，BEE}，共3個樣本點，且這3個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，恰好排成英文單詞BEE包含1個樣本點，故所求概率為eq\f(1,3).【變式3】一只口袋內(nèi)裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出2只球．這個試驗的樣本空間所包含的樣本點個數(shù)為________，摸出的2只球都是白球的概率是________．【答案】10eq\f(3,10)【解析】分別記白球為1，2，3號，黑球為4，5號，從中摸出2只球，則樣本空間(摸到1，2號球用(1，2)表示)Ω{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}，共10個樣本點，且這10個樣本點出現(xiàn)的可能性相等，只有3個樣本點是摸到2只白球(記為事件A)，即A{(1，2)，(1，3)，(2，3)}，故P(A)eq\f(3,10).故摸出的2只球都是白球的概率為eq\f(3,10).【變式4】（23-24高二上·黑龍江·階段練習）已知，，且，則的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，，列舉出滿足的個數(shù)，再根據(jù)，求出滿足的個數(shù)計算出概率.【詳解】根據(jù)，則滿足的條件，，共有種，而，則滿足的條件，共有9種，故..題型08有放回和無放回的概率問題【典例8】（23-24高一下·天津西青·期末）從兩名男生（記為和）、兩名女生（記為和）中任意抽取兩人，分別采取不放回簡單隨機抽樣和有放回簡單隨機抽樣．在以上兩種抽樣方式下，抽到的兩人是一男生一女生的概率分別為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別寫出樣本