人教A版高中數(shù)學必修第二冊6.3.5課時評價作業(yè)（十）含答案

A級基礎(chǔ)鞏固1.(2024·新高考全國Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),則x=()A.-2 B.-1 C.1 D.2解析:因為a=(0,1),b=(2,x),所以b-4a=(2,x-4),又b⊥(b-4a),所以2×2+x(x-4)=(x-2)2=0,解得x=2.答案:D2.在平面直角坐標系Oxy中,已知四邊形ABCD是平行四邊形,AB=(1,-2),AD=(2,1),則AD·AC=()A.5 B.4 C.3 D.2解析:由四邊形ABCD為平行四邊形,知AC=AB+AD=(3,-1),故AD·AC=(2,1)·(3,-1)=5.答案:A3.若正方形OABC兩邊AB,BC的中點分別為點D和E,則∠DOE的余弦值為()A.12B.32C.35D.4解析:以點O為原點,OA所在直線為x軸建立平面直角坐標系,設正方形OABC的邊長為1,則D（1,12）,E（12,1）,于是cos∠DOE=1×1答案:D4.(2023·新高考全國Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1).若(a+λb)⊥(a+μb),則()λ+μ=1 B.λ+μ=-1C.λμ=1 D.λμ=-1解析:因為a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(λ+1,1-λ),a+μb=(μ+1,1-μ),由(a+λb)⊥(a+μb),得(λ+1)(μ+1)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得2λμ+2=0,即λμ=-1.答案:D5.已知a,b,c是同一平面內(nèi)的三個向量,其中a=(1,2).(1)若|c|=25,且c∥a,求c的坐標;(2)若|b|=52,且a+2b與2a-b垂直,求a與b的夾角解:(1)設c=(x,y),因為|c|=25,所以x2+y2=25,所以x2+y由c∥a,得1×y-2×x=0,所以1×y-2×x故c=(2,4)或c=(-2,-4).(2)因為(a+2b)⊥(2a-b),所以(a+2b)·(2a-b)=0,即2a2+3a·b-2b2=0,所以2×5+3a·b-2×54=0,整理得a·b=-5所以cosθ=a·b|因為θ∈[0,π],所以θ=π.B級能力提升6.(2024·廣東模擬)在△ABC中,AB⊥AC,且|AB|=|AC|=5,M是BC的中點,O是線段AM的中點,則OA·(OB+OC)的值為()A.0 -54C.-54D.-5解析:如圖,以A為原點,AB,AC所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系,則A(0,0),B(5,0),C(0,5).因為M是BC的中點,所以M52,52.因為O是線段AM的中點,所以O54,54.所以OB=354,-54,OC=-54,354,OA=-54,-54.所以OB+OC=52,52.所以OA·(OB+OC)=-54×52+-54×5答案:C7.已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),若c與a的夾角等于c與b的夾角,則m=2.解析:由a=(1,2),b=(4,2),得c=ma+b=(m+4,2m+2).因為|a|=5,|b|=25,a·c=5m+8,b·c=8m+20,且c與a的夾角等于c與b的夾角,所以c·a|即5m+85=8m8.設向量a=(cosα,sinα)(0≤α<2π),b=-12,32,且a與b不共線.(1)求證:(a+b)⊥(a-b);(2)若向量3a+b與a-3b的模相等,求α.(1)證明:由題意可得a+b=(cosα-12,sinα+32a-b=(cosα+12,sinα-32所以(a+b)·(a-b)=cos2α-14+sin2α-34所以(a+b)⊥(a-b).(2)解:因為向量3a+b與a-3b的模相等,所以(3a+b)2=(a-3b)2,所以a2-b2+23a·b=0.因為|a|=cos2α+sin2α=1,|b|=(-12)

2+(3所以-12cosα+32sin所以tanα=33因為0≤α<2π,所以α=π6或7πC級挑戰(zhàn)創(chuàng)新9.(2022·新高考全國Ⅱ卷)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若a與c的夾角等于b與c的夾角,則t=()A.-6 B.-5 C.5 D.6解析:由題意,得c=a+tb=(3+t,4),所以a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t,b·c=1×(3+t)+0×4=3+t.因為a與c的夾角等于b與c的夾角,所以這兩個夾角的余弦值相等,即a·c|a||c|=b·c答案:C10.多選題(2021·新高考全國Ⅰ卷)已知O為坐標原點,點P1(cosα,sinα),P2(cosβ,-sinβ),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),則()A.|OP1|=|B.|AP1|=|C.OA·OP3=OD.OA·OP1=O解析:A選項,因為|OP1|=cos2α+sin2α=1,|OP2|=cos2β+(-sinβ)2=1,所以|OP1|=|OP2|,A選項正確.B選項,易知|AP1|=(cosα-1)2+sin2α=2-2cosα,|AP2|=(cosβ-1)2+(-sinβ)2=2-2cosβ,由于α,β的大小關(guān)系不確定,所以不能確定|AP1|=|AP2|成立,B選項不正確.C選項,因為OA·OP3=(1,