向量的數(shù)乘運(yùn)算+課件-2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）+必修第二冊(cè)

6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算

第六章6.2平面向量的運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解向量數(shù)乘的概念．2.理解并掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，會(huì)運(yùn)用向量數(shù)乘的運(yùn)算律進(jìn)行向量運(yùn)算.

3.理解并掌握向量共線定理及其判定方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)．知識(shí)點(diǎn)一向量的數(shù)乘運(yùn)算問題導(dǎo)思問題1.如圖，已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).它們的長度和方向是怎樣的？類比數(shù)的乘法，該如何表示運(yùn)算結(jié)果？它們的長度和方向分別是怎樣的？顯然3a的方向與a的方向相同，3a的長度是a的長度的3倍，－3a的方向與a的方向相反，－3a的長度是a的長度的3倍．新知構(gòu)建定義一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)______，這種運(yùn)算叫做向量的______，記作λa模|λa|＝|λ||a|方向λa(a≠0)的方向：特別地，當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝___．當(dāng)λ＝－1時(shí)，(－1)a＝－a向量數(shù)乘λ>0λ<00微提醒(1)數(shù)乘向量仍是向量，實(shí)數(shù)λ與向量不能相加．(2)若λa＝0，則λ＝0或a＝0.例1設(shè)a是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是A．a(chǎn)與λa的方向相同B．a(chǎn)與－λa的方向相反√規(guī)律方法對(duì)數(shù)乘向量的三點(diǎn)說明1．λa中的實(shí)數(shù)λ叫做向量a的系數(shù)．2．向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義是把a(bǔ)沿著a的方向或a的反方向長度擴(kuò)大或縮小幾倍．3．當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，λa＝0，注意是0，而不是0.

對(duì)點(diǎn)練1．(多選)對(duì)于非零向量a，下列說法正確的是A．2a的長度是a的長度的2倍，且2a與a方向相同C．若λ＝0，則λa等于零√√√返回知識(shí)點(diǎn)二向量的線性運(yùn)算問題導(dǎo)思問題2.類比實(shí)數(shù)的乘法的運(yùn)算律，那么數(shù)乘向量有什么運(yùn)算律呢？提示：數(shù)乘向量滿足乘法對(duì)加法的分配律．新知構(gòu)建1．?dāng)?shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算律設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，則有：(1)λ(μa)＝_____；(2)(λ＋μ)a＝________；(3)λ(a＋b)＝________；特別地，有(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.2．向量的線性運(yùn)算向量的__________________運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算．對(duì)于任意向量a，b，以及任意實(shí)數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝___________．λμ

aλa＋μ

aλa＋λb加、減、數(shù)乘λμ1a±λμ2b例2(1)若a＝2b＋c，則化簡3(a＋2b)－2(3b＋c)－2(a＋b)等于A．－a B．－bC．－c D．以上都不對(duì)√原式＝3a＋6b－6b－2c－2a－2b＝a－2b－2c＝2b＋c－2b－2c＝－c.故選C.(2)若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，則x＝________．4b－3a由已知，得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.規(guī)律方法向量線性運(yùn)算的基本方法1．類比法：向量的數(shù)乘運(yùn)算類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算，例如，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項(xiàng)”“公因式”是指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù)．2．方程法：向量也可以通過列方程來解，把所求向量當(dāng)作未知數(shù)，利用解方程的方法求解，同時(shí)在運(yùn)算過程中多注意觀察，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用運(yùn)算律，簡化運(yùn)算．A．2a－b B．2b－aC．b－a D．a(chǎn)－b√(2)計(jì)算：(a＋b)－3(a－b)－8a.(a＋b)－3(a－b)－8a＝(a－3a)＋(b＋3b)－8a＝－2a＋4b－8a＝－10a＋4b.返回知識(shí)點(diǎn)三向量共線定理問題導(dǎo)思問題3.如果b＝λa(a≠0)，那么向量a，b是否共線？反過來，若向量b與非零向量a共線，那么是否存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa(a≠0)?提示：共線，存在．提示：x＋y＝1，證明如下：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，則x＝1＋λ，y＝－λ，所以x＋y＝1.新知構(gòu)建1．向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使_______．b＝λa微思考共線向量定理中為什么規(guī)定a≠0?提示：向量共線定理中規(guī)定a≠0的原因：(1)若將條件a≠0去掉，即當(dāng)a＝0時(shí)，顯然a與b共線；(2)當(dāng)a＝0時(shí)，若b≠0，則不存在實(shí)數(shù)λ，使b＝λa，但此時(shí)向量a與b共線；(3)當(dāng)a＝0時(shí)，若b＝0，則對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，都有b＝λa，與有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ矛盾．2.向量共線定理的推論例3設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)向量．求證：A，B，C三點(diǎn)共線；所以A，B，C三點(diǎn)共線．(2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實(shí)數(shù)k的值．解：因?yàn)?a＋kb與ka＋2b共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，解得λ＝±2，所以k＝2λ＝±4.返回課堂小結(jié)知識(shí)(1)向量的數(shù)乘及運(yùn)算律．(2)向量共線定理．(3)三點(diǎn)共線的常用結(jié)論．方法數(shù)形結(jié)合、分類討論．易錯(cuò)誤區(qū)忽視零向量這一個(gè)特殊向量．規(guī)律方法1．證明或判斷三點(diǎn)共線的方法2．利用向量共線求參數(shù)的方法已知向量共線求參數(shù)，常根據(jù)向量共線的條件轉(zhuǎn)化為相應(yīng)向量系數(shù)相等求解．

規(guī)律方法用已知向量表示其他向量的兩種方法1．直接法2．方程法當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則或平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．

隨堂演練√2．(多選)下列運(yùn)算正確的是A．(－3)·2a＝－6aB．2(a＋b)－(2b－a)＝3aC．(a＋2b)－(2b＋a)＝0D．2(3a－b)＝6a－2b根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算和加、減運(yùn)算律知A，B，D正確；對(duì)于C，(a＋2b)－(2b＋a)＝a＋2b－2b－a＝0，是零向量，而不是0