2025北師數(shù)學六下第四單元教學分析

四正比例與反比例單元學習目標1.結合具體情境，體會生活中存在著大量互相依賴的變量，體會數(shù)學與生活的聯(lián)系；在具體情境中，嘗試用自己的語言描述兩個變量之間的關系，知道列表或畫圖都是表示變量之間關系常用的方法。2.結合豐富的實例，經(jīng)歷正比例、反比例意義的建構過程，能從變化中看到“不變”，認識正比例和反比例；能根據(jù)正比例和反比例的意義，判斷兩個相關聯(lián)的量是不是成正比例或反比例；能舉出生活中成正比例和成反比例量的實例。3.初步了解正比例的圖象是一條直線，能利用給出的具有正比例關系的數(shù)據(jù)在方格紙上畫出相應的圖象。單元學習內(nèi)容的前后聯(lián)系單元學習內(nèi)容分析本單元是在學生已經(jīng)學習了比和比例等知識的基礎上進行學習的，主要學習正比例和反比例的相關知識。組織本單元學習內(nèi)容的思路如下。我們生活在一個變化的世界中，從數(shù)學的角度研究變量和變量之間的關系，將有助于人們更好地認識現(xiàn)實世界、預測未來。同時，研究現(xiàn)實世界中的變化規(guī)律，也使學生從常量的世界進入了變量的世界，開始接觸一種新的思維方式。我們知道，函數(shù)①是研究現(xiàn)實世界變量之間關系的一個重要模型，函數(shù)思想就是運用運動和變化的觀點、集合和對應的思想去分析問題的數(shù)量關系，雖然在小學數(shù)學中沒有正式引入函數(shù)概念與函數(shù)關系式，也不需要學生掌握“函數(shù)”和“函數(shù)思想”的名稱，但進行函數(shù)思想的滲透的教學是必要的。國際數(shù)學課程發(fā)展的趨勢也表明，對變量之間關系的探索、描述應從小學階段非正式地開始，早期對函數(shù)的豐富經(jīng)歷是十分重要的。在小學階段滲_____________________________________________________________________________①函數(shù)可以直觀地理解為：在一個變化過程中有兩個變量x，y，對于x的每一個變化的值，y都有唯一確定的值與之對應，y就叫作x的函數(shù)。透函數(shù)思想，運用運動和變化的觀點、集合和對應的思想分析問題的數(shù)量關系，可以使學生懂得一切事物都是不斷變化且相互聯(lián)系的，從而了解事物的變化趨勢及其運動的規(guī)律，可以為學生以后進一步學習數(shù)學、物理等知識奠定良好的基礎。本單元的正比例、反比例就是兩個重要的函數(shù)關系。其實，在本單元學習之前，學生學習的探索數(shù)、形的變化規(guī)律，字母表示數(shù)等，已經(jīng)為學生積累了研究變量之間關系的經(jīng)驗。本單元開始正式學習簡單的函數(shù)知識，學習正比例、反比例后，還能幫助學生初步學會從變量的角度來認識以前學過的一些數(shù)量關系，運用運動和變化的觀點、集合和對應的思想分析問題的數(shù)量關系，從而初步體會函數(shù)思想。本單元教科書編寫的基本思路主要體現(xiàn)在以下幾個方面。1.提供具體情境，引導學生體會生活中存在大量互相依存的變量，拓寬知識學習的背景函數(shù)是刻畫變量之間相互關系的重要模型，體會函數(shù)思想需要豐富的情境，學生需要結合具體的情境感受生活中存在著很多變量，并體會到有的變量之間是存在一定關系的，如一個變量隨另一個變量的變化而變化等。因此，在正式學習正比例、反比例之前，教科書設計了“變化的量”一課，通過日常生活中的問題，使他們體會變量和變量之間相互依存的關系，并嘗試對這些關系進行大致的描述。同時，教科書在呈現(xiàn)具體情境中變量之間的關系時，分別運用了表格表示、圖象表示等多種表示方式，使學生對函數(shù)的多種表示有豐富的經(jīng)歷、體驗。這樣的設計，拓寬了學生理解正比例、反比例的知識背景，使學生能較好地在“變量”的知識背景中理解正比例和反比例，有助于學生運用運動和變化的觀點、集合和對應的思想分析數(shù)量關系，初步體會函數(shù)思想。2.經(jīng)歷知識的形成過程，引導學生從變化中看到“不變”，理解正比例和反比例的意義正比例和反比例在生活中有著廣泛應用，但是對于六年級的小學生來說很難自己從生活現(xiàn)象中抽象出數(shù)學關系。因此，教科書密切聯(lián)系學生已有的生活經(jīng)驗和學習經(jīng)驗，設計了系列情境，引導學生從變化中看到“不變”，經(jīng)歷從具體情境中抽象出正比例和反比例的過程。如正比例的學習，教科書首先呈現(xiàn)了正方形面積與邊長、周長與邊長的表格，通過實例讓學生看到每一組中的兩種量的變化情況，引導學生初步發(fā)現(xiàn)“正方形的面積和周長都是隨著邊長的增加而增加”；再通過對比這兩組量的變化的區(qū)別，從變化中看到“不變”，初步體會周長與邊長、面積與邊長之間的變化規(guī)律不同。然后再結合“路程與時間”兩個變量關系的研究，豐富學生認識正比例的例證，初步理解正比例的意義。在正文兩個正例一個反例的基礎上，試一試中又提供了一正一反兩個情境，幫助學生辨析理解正比例的意義。反比例的教學也是如此。這樣，教科書從不同的角度（實際生活、圖形）提供了有利于學生探索并理解正比例意義的情境，既包括“時間與路程”的生活情境，也包括正方形周長與邊長、面積與邊長等數(shù)學情境，情境中有正例也有反例，為學生理解“正比例”“反比例”的意義提供了豐富的直觀背景和具體案例，以引導學生經(jīng)歷從具體情境中抽象概括出正比例的過程，從而理解正比例和反比例的意義。3.充分利用直觀圖象，數(shù)形結合，幫助學生進一步認識正比例教科書安排了“畫一畫”的活動，讓學生先填表判斷“看電影的人數(shù)與所付票費”是否成正比例，再將這組數(shù)據(jù)用“描點法”畫在方格紙上，引導學生發(fā)現(xiàn)描出的點正好在一條直線上，了解正比例圖象的特點。然后，引導學生讀懂圖，理解正比例圖象上的點所表示的實際意義，并利用直線上的點的特征進行分析推斷，借助圖象直觀進一步認識成正比例的兩個量的變化規(guī)律。需要說明的是，由于反比例圖象是一條曲線，對小學生來說理解比較困難，根據(jù)《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》的要求，教科書沒有安排反比例圖象的教學。另外，教科書還特別注重知識之間的聯(lián)系，呈現(xiàn)了大量學生以前學過的量與量之間的關系。如，底一定時，平行四邊形的面積與高；圓的周長與直徑等。鼓勵學生判斷它們之間的變化關系，進一步從正比例、反比例的角度認識這些變化關系。課時安排建議內(nèi)容建議課時數(shù)變化的量1課時正比例3課時畫一畫（正比例圖像）反比例2課時練習四1課時本單元建議教學課時數(shù)為7課時。教師在理解教科書意圖的基礎上，可以根據(jù)學生的實際情況對課時進行適當調(diào)整。知識技能評價要點本單元知識和技能評價的主要內(nèi)容。1.在具體情境中，能辨別變化的量，用自己的語言描述一個量隨著另一個量變化而變化的情況。說明：評價時需要提供情境，情境不要過于復雜，要具體、簡明、易理解。提的問題要明確，可以是問題式，也可以是填空式，要求學生能說出變化的量，并說明兩個量的變化情況（如兩個量都在增加，一個量隨著另一個量的增加而增加）。（樣題1，2）2.能根據(jù)正比例和反比例的意義，判斷兩個相關聯(lián)的量是不是成正比例或反比例。說明：評價學生對“正比例、反比例”意義的理解時，有三種不同的形式，一種是給出具體的情境，讓學生結合情境進行判斷（樣題3，4）；一種是直接給出一些相關聯(lián)的量，讓學生根據(jù)正比例和反比例的意義，判斷兩種相關聯(lián)的量是否成正比例或反比例，有時還可以讓學生寫出自己的判斷根據(jù)（樣題5）；還有一種是可以讓學生舉出生活中成正比例、反比例的例子。一般以前兩種形式為主。3.初步了解正比例的圖象是一條直線，能在標明縱橫軸相關數(shù)據(jù)的方格紙上畫出正比例圖象，能根據(jù)圖進行簡單的分析。（樣題6）說明：評價學生對正比例圖象的理解時，要注意把握難度，只要求學生能根據(jù)數(shù)據(jù)在方格坐標紙上繪出相應點并連線，能根據(jù)圖進行簡單的分析推斷。樣題1下表是小明打字時的字數(shù)變化情況。觀察表中的數(shù)據(jù)，說明哪兩個量在發(fā)生變化，這兩個變化的量是怎樣變化的？時間/分12345字數(shù)256072110150樣題2李英一共要寫100個字。請先填一填下面的表格，并說明哪兩個量在發(fā)生變化，這兩個變化的量是怎樣變化的？已經(jīng)寫的字數(shù)10203558剩下的字數(shù)9080樣題3根據(jù)下表中長方形的面積與寬相對應的數(shù)據(jù)，判斷當長是8dm時它們是不是成正比例，并說明理由。長方形的面積/8162432…寬/dm1234…樣題4一盒糖，平均分給一些小朋友。每人分的顆數(shù)12345610可分的人數(shù)12060（1）完成表格。（2）從表格中可看出，（）沒有變。（3）每人分的顆數(shù)與可分的人數(shù)是否成反比例，請說明理由。（4）如果每個小朋友分20顆，可以分給幾個小朋友？樣題5判斷下面各題中的兩個量是否成反比例，不成反比例的請說明理由。1.蘋果的單價一定，購買的數(shù)量和總價。（）2.做60道數(shù)學題，已做的和沒做的。（）3.圓的周長和直徑。（）4.長方形的周長一定，它的長和寬。（）5.一條繩子的長度一定，剪去的部分和剩下的部分。（）樣題6買同一本書的本數(shù)與所付書費為：書/本01234567…書費/元071421…（1）把上表填寫完整。（2）先根據(jù)上表描點，再順次連接各點，你發(fā)現(xiàn)了什么？（3）所付書費與買的本數(shù)成正比例嗎？（4）點（8，56）在這條直線上嗎？這一點表示什么含義？永恒運動著的世界：什么是函數(shù)天地之間的萬物都在時間長河中流淌著，變化著。從過去變化到現(xiàn)在，又從現(xiàn)在變化到將來。靜止是暫時的，運動卻是永恒！不僅天在動，而且地也在動。火山的爆發(fā)，地層的斷裂，冰川的推移，泥石的奔流，這一切都還只是局部的現(xiàn)象。更令人不可思議的是：我們腳下站立著的大地，也像水面上的船只那樣，在地幔上緩慢地漂移著！由此可見，這個世界的一切量，都跟隨著時間的變化而變化。時間是最原始的自行變化的量，其他量則是因變量。一般地說，如果在某一變化過程中有兩個變量x，y，對于變量x在研究范圍內(nèi)的每一個確定的值，變量y都有唯一確定的值和它對應，那么變量x就稱為自變量，而變量y則稱為因變量，或變量x的函數(shù)，記為：y=f（x）。函數(shù)一語，起用于公元1692年，最早見自德國數(shù)學家萊布尼茨的著作。記號f（x）則是由瑞士數(shù)學家歐拉于公元1724年首次使用的。上面我們所講的函數(shù)定義，屬于德國數(shù)學家黎曼。我國引進函數(shù)概念，始于1859年，首見于清代數(shù)學家李善蘭的譯作。一個量如果在所研究的問題中保持同一確定的數(shù)值，這樣的量我們稱之為常量。常量有時也叫作常數(shù)。例如，研究圓的周長C與直徑d的關系可知，周長與直徑的比值保持不變，這個比值就是常量，用字母π表示。即，C=πd。由于π保持不變，所以只要知道圓的直徑d，就可以用關系式C=πd求出它的周長C。又如，對于一輛勻速行駛的汽車來說，速度v是常量，汽車行駛的路程S與行駛的時間之間的關系是，或S=tv。由于v保持不變，根據(jù)這個關系式就可以確定在行駛過程中任一時刻所行駛的路程。①在某一過程中可以取不同數(shù)值的量叫作變量。表示變量的數(shù)就叫作變數(shù)。例如在正方形的周長公式C=4a中，正方形的邊長a和周長C都是變量。不同的正方形邊長不同，周長也不同。所以公式中的a和C可以取不同的數(shù)值，它們都是變量。又如，火車的速度是每時60km，2時走120km，3時走180km……火車的速度保持不變時，時間和路程都可以取不同的數(shù)值，都是變量。函數(shù)表示兩個變量的數(shù)值之間的一種相依關系（或?qū)囊?guī)律）。設在某變化的過程中，有x和y兩個變量，如果對于x在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值，y都有唯一確定的值和它對應，那么就說y是x的函數(shù)，記為y=f（x），其中x叫作自變量，y叫作因變量。例如，我們可以將正方形的周長公式寫成y=4x，其中x表示邊長，y表示周長。那么，當x每取一個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，也就是說，正方形的周長y是邊長x的函數(shù)。在含有一個字母的代數(shù)式中，我們可以把這個字母看作自變量，對于這個字母的每一個確定的值（只要能使代數(shù)式有意義），整個代數(shù)式都有唯一確定的值與它對應。所以，每個含有一個字母的代數(shù)式都是所含字母的函數(shù)。例如，x+3_____________________________________________________________________________①本文中關于常量、變量、函數(shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的內(nèi)容，摘自《中小學教學百科全書數(shù)學卷》。是x的函數(shù)，是t的函數(shù)，等等。函數(shù)概念是數(shù)學上的一個非常重要的概念，它是從大量的實際問題中抽象出來的，它從數(shù)量關系方面體現(xiàn)事物的運動變化，用函數(shù)來研究變量不但是初等數(shù)學的重要內(nèi)容，而且也是高等數(shù)學的重要分支。在小學教科書中雖然沒有引入函數(shù)，但在教學中應當結合四則計算、統(tǒng)計圖形、正比例、反比例等知識教學，滲透變量和函數(shù)的思想，為學生進入較高階段的學習打好基礎。如果兩個變量x和y之間的對應關系表示為y=kx（k是一個不等于零的常量），那么這兩個變量之間成正比例關系。函數(shù)y=kx叫作正比例函數(shù)，常數(shù)k叫作變量y與x之間的比例系數(shù)。在小學數(shù)學教科書中，沒有按照抽象定義來講正比例函數(shù)，而是通過一些例子來說明的。兩種相關聯(lián)的量x和y在變化過程中，如果它們相對應的每兩個數(shù)的比值保持一定，這兩種量就成正比例關系。這與上面說的正比例函數(shù)是一致的，只是在小學數(shù)學中，k的值只限于正數(shù)。一般的正比例函數(shù)中，比例系數(shù)k也可以是負數(shù)。正比例函數(shù)的圖象是一條過坐標原點O的直線。例如，正比例函數(shù)y=2x，，都是正比例函數(shù)。它們在直角坐標系里的圖象如下。如果兩個變量x和y之間的對應關系能表示為（k是一個不等于零的常數(shù)），那么這兩個量成反比例關系，函數(shù)叫作反比例函數(shù)。k叫作比例系數(shù)。在小學數(shù)學教科書中，是通過一些例子來講兩種量是否成反比例關系的。兩種相關聯(lián)的量x和y在變化過程中，如果它們相對應的每兩個數(shù)的積xy=k保持一定，這兩個量就成反比例關系。這與上面說的反比例函數(shù)是一致的，只是在小學數(shù)學中，k的值只限于正數(shù)。一般的反比例函數(shù)中，k的值也可以是負數(shù)。反比例函數(shù)的圖象是一對關于坐標原點O對稱的雙曲線。例如，函數(shù)，均是反比例它們的圖像如下。反比例函數(shù)圖象的兩個分支都無限接近但永遠不能達到x軸和y軸。揭示星期幾的奧秘：有趣的高斯函數(shù)公元321年3月7日，古羅馬皇帝君士坦丁正式宣布采用“星期制”，規(guī)定每星期為七天，第一天為星期日，爾后星期一、星期二直至星期六，爾后再回到星期日，如此永遠循環(huán)下去！君士坦丁大帝還規(guī)定，宣布的那天日子為星期一。一星期為什么定為七天？這大約是出自月相變化的緣故。天空中再沒有別的天象變化得如此明顯，每隔七天便一改舊貌！另外，“七”這個數(shù)，恰與古代人已經(jīng)知道的日、月、金、木、水、火、土七星的數(shù)目巧合，因此在古代神話中就用一顆星作為一日的保護神，“星期”的名稱也因之而起。我想讀者一定很想知道歷史上的某一天究竟是星期幾的奧秘！為了揭開這個奧秘，我們先從閏年的設置講起。我們知道：一個回歸年不是恰好365日，而是365日5時48分46秒，或365.2422日。為了防止這多出的0.2422日積累起來，造成新年逐漸往后推移。因此我們每隔4年時間便設置一個閏年，這一年的二月從普通的28天改為29天。這樣，閏年便有366天。不過，這樣補來也不剛好，每百年差不多又多補了一天。因此又規(guī)定，遇到年數(shù)為“百年”的不設閏，扣它回來！這就是常說的“百年24閏”。但是，百年扣一天閏還是不剛好，又需要每四百年再補回來一天。因此又規(guī)定，公元年數(shù)為400倍數(shù)者設閏。就這么補來扣去，終于補得差不多剛好了！例如，1976，1988這些年數(shù)被4整除的年份為閏年；而1900，2100這些年則不設閏；2000年的年數(shù)恰能被400整除，又要設閏，如此等等。閏年的設置，無疑增加了我們對星期幾推算的難度。為了揭示關于星期幾的奧秘，我們還要用到一個簡單的數(shù)學工具——高斯函數(shù)。公元1800年，德國數(shù)學家高斯在研究圓內(nèi)整點問題時，引進了一個函數(shù)：y=[x]，后人稱之為高斯函數(shù)。[x]是表示數(shù)x的整數(shù)部分，如：[π]=3，[-4.75]=-5，，[1988]=1988。高斯函數(shù)的圖象，像臺階般，不連續(xù)！利用高斯函數(shù)，我們可以根據(jù)設閏的規(guī)律，推算出在公元x年第y天是星期幾。這里變量x是公元的年數(shù)；變量y是從這一年的元旦，算到這一天為止（包含這一天）的天數(shù)。歷法家已經(jīng)為我們找到了這樣的公式：按上式求出s后，除以7，如果恰能除盡，則這一天為星期天；否則余數(shù)為幾，則為星期幾！例如，君士坦丁大帝宣布星期制開始的第一天為公元321年3月7日。容易算得：=320+80-3+0+66。最后一個式子的符號表示463除以7余1。也就是說，這一天為星期一。這是可以預料到的，因為當初就是這么規(guī)定的！又如，我們共和國成立于1949年10月1日：=1948+487-19+4+274。原來，這一普天同慶的日子為星期六。公元2000年1月1日，人類跨進了高度文明的21世紀，那么這一天是星期幾呢？=1999+499-19+4+1。計算表明：這一天也是星期六！反比例函數(shù)小故事引入生活不直接等同于教育，但教育如果離開了生活，就成了無源之水，無本之木。德國一位學者有過一個精辟的比喻：將15g鹽放在你面前，無論如何你難以下咽，但把這15g鹽放入一碗美味可口的湯中，你會不知不覺地在享用佳肴時，將15g鹽全部吸收了。我在教學中也作了大量的嘗試，發(fā)現(xiàn)用故事進行教學，把教學難點融入到故事中去，讓學生在分享故事情節(jié)的同時，細細品味和咀嚼其中的內(nèi)涵或寓意，從而建立知識的表象，這樣所取得的效果，是教師用最精妙的語言組織教學也難以達到的，它有著意想不到的收效。例如在教學中根據(jù)“成反比例關系”這一概念的表述，我編了“財主和帽子”的故事：有一個貪婪的財主，拿了一匹上好的布料準備做1頂帽子，到了裁縫店，覺得這樣好的布料做一頂帽子似乎浪費了，于是問裁縫：“這匹布可以做2頂帽子嗎？”裁縫看了看財主一眼，說：“可以。”財主見他回答得那么爽快，心想，這裁縫肯定是從中占了些什么便宜，于是又問，“那能做3頂帽子嗎？”裁縫依然很爽快地說：“行！”這時，財主更加疑惑了，嘀咕著：“多好的一匹布啊，那我做4頂可以嗎？”“行！”裁縫仍然很快地回答。經(jīng)過一番較量后，財主最后問：“那我想做10頂帽子可以嗎？”裁縫遲疑了一會，然后打量著財主，慢慢地說：“可以的?！边@時財主才放下心來，心想：這匹布料如果只做1頂帽子，那就便宜裁縫了。瞧！這不讓我說到10頂了嘛。我還真聰明！嘿嘿……過了幾天，財主到裁縫店取帽子，結果一看，頓時傻了眼：10頂帽子小得只能戴在手指頭上了！學生聽完這個故事后，哄堂大笑。于是我順藤摸瓜，提出了兩個問題：“你們?yōu)槭裁葱δ?？”“為什么同一匹布，裁縫說做1頂帽子可以，2頂帽子也可以，做3頂、4頂、5頂……10頂都可以呢？”通過這樣的問題，激起了學生表達的欲望，都爭先要說出自己的看法：每頂帽子的用布量×帽子數(shù)=布匹的總量，因為這匹布的大小不變，所以做的帽子數(shù)多了，裁縫同樣可以去裁剪，只是每頂帽子相對就小了?！蓖ㄟ^這個故事，反比例的概念就呼之欲出了，然后我因勢利導：“像這樣的幾個量之間的關系，我們就叫它‘成反比例關系’，你們還能找出類似這樣關系的量來嗎？”學生便紛紛舉出諸如“要走一段路，速度越慢（快），用的時間就越多（少）”“運一堆貨物，每次運的越多（少），運的次數(shù)就越少（多）”等各種成反比例關系的例子來。有一位學生還提出了一個更精彩的例子：人民幣幣值與外匯匯率之間成反比例關系。顯然這樣的例子已完全超出了學生所能掌握的范圍，盡管大部分學生都不明其所以然，但不得不承認，這位學生是完全熟練地掌握并深入理解了這一概念?；蛘哒f這樣的“精彩”是因故事而產(chǎn)生的，我馬上給這位學生報以掌聲。最后，通過學生列舉的實例，我再引導他們用數(shù)學語言概括出“成反比例關系”的概念，使得學生牢牢掌握了“成反比例關系”這一概念的抽象表述。數(shù)學故事不僅給了學生展示自我的舞臺，更成為了學生不同能力發(fā)展的搖籃。它是傳統(tǒng)數(shù)學教學的有益補充，可以起到激發(fā)興趣，開闊思路，提高能力，擴展知識等多重作用。正因為如此，數(shù)學故事在孩子們的心目中有著無與倫比的地位，它不僅出現(xiàn)在課堂上，更深入到孩子們的生活中，幫助孩子了解數(shù)學，體驗數(shù)學，領略數(shù)學王國的無窮魅力，演繹著數(shù)學的無限精彩！函數(shù)思想在小學數(shù)學教學中的滲透數(shù)學思想方法博大精深，既有學科性很強的思想方法，例如，“數(shù)形結合”“集合”“極限”“函數(shù)”“公理化”等，更多的是適用范圍廣、普適性強的思想方法，例如，“分類”“一一對應”“轉化”“模型化”等人類的基本思想（從這個意義上說，數(shù)學的確是一種文化），這些基本的數(shù)學思想方法貫穿于整個小學數(shù)學教學中。一、小學階段所涉及的函數(shù)復雜問題特殊化是重要的數(shù)學思想方法。宇宙的變化規(guī)律是復雜的，為了了解宇宙，可以先從特殊的變化規(guī)律入手。這在數(shù)學上即體現(xiàn)為重點研究常見的、特殊的函數(shù)——初等函數(shù)。在數(shù)學中一共有六大類基本初等函數(shù)，其余的初等函數(shù)都是經(jīng)過這六類基本初等函數(shù)進行四則運算以及復合運算所得到的。六類基本初等函數(shù)是：常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)（每個函數(shù)的具體意義可以參見高等數(shù)學書）。小學階段所涉及的函數(shù)（在變化過程中只考慮兩個變量，即一元函數(shù)）主要有：1.正比例函數(shù)（y=kx，其中k是大于零的常數(shù)）。例如，當商不變時，被除數(shù)就是除數(shù)的正比例函數(shù)；單價不變時，總價就是數(shù)量的正比例函數(shù)；按比（比值不變）分配時，一個量就是另一個量的正比例函數(shù)；正方形的周長是邊長的正比例函數(shù)，等等。2.和、差不變時，兩個“加數(shù)”之間是特殊的一次（線性）函數(shù)關系（y=kx+b，其中k是不為零的常數(shù)，b也是一個常數(shù)）。例如，在“10的組成與分解”中，其中一個加數(shù)用x表示，另一個加數(shù)用y表示，則它們之間是線性函數(shù)關系：y=-x+10（即x+y=10）。在一年級，x的取值范圍（即定義域）是0~10的整數(shù)。3.一元二次函數(shù)（，其中a，b，c是常數(shù)，且a≠0）。例如，在正方形、圓的面積公式中，面積是邊長（半徑）的二次函數(shù)。4.反比例函數(shù)（特殊的冪函數(shù)）。例如，當總量一定時，數(shù)量與一個單位量就成反比例關系，可以說數(shù)量是一個單位量的反比例函數(shù)，或者一個單位量是數(shù)量的反比例函數(shù)；當兩個數(shù)的乘積不變時，一個因數(shù)是另一個因數(shù)的反比例函數(shù)，等等。5.按照“復利”計算的本息y是存款年限x的指數(shù)函數(shù)，即，其中A為本金，a為存款年利率。當然，在小學階段，只計算有限的幾年，但是存款年限x如果再大，則計算起來非常麻煩。二、函數(shù)思想在小學數(shù)學教學中的滲透在小學階段沒有出現(xiàn)“函數(shù)”這一概念，但在整個小學階段的數(shù)學學習中無不滲透著函數(shù)的思想，可以這樣說，凡是有“變化”的地方都蘊含著函數(shù)思想。于“變化”中把握“規(guī)律”，并根據(jù)規(guī)律作出預測，不僅僅是重要的數(shù)學思想，更是人類生存的基本原則。函數(shù)的核心就是“把握并刻畫變化中的不變，其中變化的是‘過程’，不變的是‘規(guī)律（關系）’”。學生愿意去發(fā)現(xiàn)“規(guī)律”，并能夠?qū)ⅰ耙?guī)律”表述出來的意識與能力，就是函數(shù)思想在教學中的滲透。具體地說，函數(shù)思想體現(xiàn)于：1.認識到這個世界是普遍聯(lián)系的，各個量之間總是有互相依存的關系，即“普遍聯(lián)系”的思想。2.于“變化”中尋求“規(guī)律（關系式）”，即“模式化”思想。3.于“規(guī)律”中追求“有序”“結構化”“對稱”等思想。4.感悟“變化”有快有慢，有時變化的速度是固定的，有時是變化的。5.根據(jù)“規(guī)律”判斷發(fā)展趨勢，預測未來，并把握未來，即“預測”的思想。在小學階段滲透函數(shù)的思想，可以使學生了解一切事物都處于不斷變化的過程中，而且在變化過程中相互聯(lián)系、相互制約，從而需要了解事物的變化趨勢及其運動的規(guī)律。這對于培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點，培養(yǎng)他們分析和解決問題的能力，都有極其重要的意義。在小學數(shù)學教學中有意識地滲透函數(shù)思想，也可以為學生學習中學數(shù)學和現(xiàn)代數(shù)學奠定良好的知識基礎與學習經(jīng)驗的準備。他工作10年了，卻一次也沒用過函數(shù)。為什么我們還要學習函數(shù)？在一次《老師，我想對您說》的征文活動中，一位同學的文章給了我很大啟發(fā)。他在文章中問道：“老師，既然我將來不想做數(shù)學家，為什么還要學那么深奧難懂的代數(shù)、幾何呢？老師，您曾說這些知識將來隨時有用，可我高中畢業(yè)的舅舅，他工作10年了，卻一次也沒用過函數(shù)和方程?！睂W生提出的問題在教師中間引起了很大反響。事實上，學生的困惑，也是相當一部分教師的困惑。即使是我們教師，除了本專業(yè)的知識之外，中學階段學到的許多知識不是也拋到九霄云外了嗎？下力氣學會了，然后再全部忘掉，不應該是我們的最