基于大概念的小學(xué)數(shù)學(xué)圖形的認識教學(xué)實踐

摘要：圖形的認識是小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何領(lǐng)域“圖形的認識與測量”主題之下的一個重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容。南寧市民主路小學(xué)教育集團數(shù)學(xué)中心組基于大概念理念，以平面圖形的認識系列課例研究為依托，通過調(diào)研圖形的認識的教學(xué)問題及成因、思考圖形的認識的知識結(jié)構(gòu)及探究方向、探索圖形的認識有效教學(xué)策略，最終形成基于大概念的圖形的認識“一心三步”教學(xué)策略：“一心”指的是“以學(xué)生學(xué)情為中心”，通過厘清知識結(jié)構(gòu)、找準能力起點、明確認知層次，達成對學(xué)生學(xué)情的全面把握；“三步”指的是課堂教學(xué)整體感知、聚焦一類、拓展勾連三個實施步驟，注重從知識的本質(zhì)出發(fā)再回歸知識的本質(zhì)，通過整體感知明確圖形探究方向、通過聚焦一類深化圖形探究內(nèi)涵、通過拓展勾連全面建構(gòu)圖形的認識知識體系，從而有效促進學(xué)生推理意識、應(yīng)用意識與空間觀念的形成與發(fā)展。關(guān)鍵詞：大概念；“一心三步”教學(xué)策略；圖形的認識；一致性；小學(xué)數(shù)學(xué)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程主要包括數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐四個學(xué)習(xí)領(lǐng)域。在小學(xué)階段，圖形與幾何學(xué)習(xí)領(lǐng)域主要包括“圖形的認識與測量”“圖形的位置與運動”兩個學(xué)習(xí)主題，圖形的認識則屬于“圖形的認識與測量”主題之下的一個重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容。通過觀摩教師們一系列有關(guān)圖形的認識的現(xiàn)場課，筆者發(fā)現(xiàn)教師們在這一類知識教學(xué)中普遍存在融通數(shù)學(xué)本質(zhì)難、完善知識結(jié)構(gòu)難、建立邏輯關(guān)系難、發(fā)展高階思維難等難題。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《2022年版數(shù)學(xué)課標》）以發(fā)展學(xué)生“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界”“會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界”［1］5-6的“三會”核心素養(yǎng)為教學(xué)導(dǎo)向，針對圖形的認識教學(xué)，明確指出：“圖形的認識主要是對圖形的抽象。學(xué)生經(jīng)歷從實際物體抽象出幾何圖形的過程，認識圖形的特征，感悟點、線、面、體的關(guān)系；積累觀察和思考的經(jīng)驗，逐步形成空間觀念?！保?］27這個教學(xué)要求，恰與大概念的生成規(guī)律內(nèi)在契合。一直致力于大概念教學(xué)研究的浙江大學(xué)教育學(xué)院課程與學(xué)習(xí)科學(xué)系副主任劉徽在《大概念教學(xué)：素養(yǎng)導(dǎo)向的單元整體設(shè)計》一書中指出：核心素養(yǎng)的精髓在于真實性，即能將學(xué)校所學(xué)遷移到現(xiàn)實世界中去，這就要求教師教學(xué)應(yīng)從教專家結(jié)論轉(zhuǎn)向教專家思維，因此，要談核心素養(yǎng)，必繞不開“生活價值”，繞不開“抽象的原理”，自然就繞不開大概念；大概念可以被界定為具有生活價值的反映專家思維方式的概念觀念或論題，它可以是概念，但不局限于概念，也可以是觀點。［2］1-31按照業(yè)界專家的解釋，大概念是“少而重要”的專家思維方式，它具有統(tǒng)攝性和生活價值，是重構(gòu)知識的重要橋梁［3］。為了解決教師們在圖形的認識教學(xué)中的幾大“難題”，筆者帶領(lǐng)南寧市民主路小學(xué)教育集團數(shù)學(xué)中心組的教師們對圖形的認識教學(xué)展開基于大概念的概念教學(xué)探究，以平面圖形的認識為研究重點，試圖尋找到能夠破解以上難題的有效教學(xué)策略，以期不斷更新教師的教學(xué)認知，提升教師的教學(xué)水平，使教師在教學(xué)中能夠有效促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成與發(fā)展。一、基于大概念，厘清圖形的認識知識結(jié)構(gòu)與探究方向（一）基于學(xué)科本質(zhì)，根據(jù)圖形的形成過程，從邊、角、面維度明確圖形的認識大概念梳理小學(xué)數(shù)學(xué)圖形與幾何領(lǐng)域所學(xué)圖形的形成過程，可以把圖形的認識分為平面圖形的認識和立體圖形的認識兩種。以平面圖形的認識為例，三角形是由3條邊和3個角圍成的封閉圖形，四邊形是由4條邊和4個角圍城的封閉圖形，同理可以推導(dǎo)出五邊形、六邊形、七邊形等平面圖形中多邊形的形成過程；根據(jù)平面圖形的形成過程以及認識四邊形須從邊和角兩個維度介入探究的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，可進一步推出認識其他平面圖形也應(yīng)該從邊和角兩個維度介入探究，從而建立起平面圖形的認識應(yīng)從邊和角兩個維度介入探究的大概念。由平面圖形的認識可以進一步推知，認識立體圖形則應(yīng)從邊（棱）、角（頂點）、面三個維度介入探究，從而建立起立體圖形的認識應(yīng)從邊（棱）、角（頂點）、面三個維度介入探究的大概念。（二）基于大概念，經(jīng)歷概念理解由不完整到完整的抽象過程，逐漸提升抽象能力按照《2022年版數(shù)學(xué)課標》要求，圖形的認識教學(xué)應(yīng)讓學(xué)生“經(jīng)歷從實際物體抽象出幾何圖形的過程，認識圖形的特征，感悟點、線、面、體的關(guān)系”。按照皮亞杰的認知發(fā)展階段理論，人類思維的發(fā)展是與生俱來且隨著年齡的增長而不斷發(fā)展的，兒童的認知發(fā)展要經(jīng)歷感知—運動階段、前運算階段、具體運算階段和抽象運算階段4個階段。小學(xué)生正處于認知發(fā)展的具體運算階段，圖形的認識的學(xué)習(xí)需要從具體事物出發(fā)，至少經(jīng)歷三次抽象，方能捕捉到數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)：第一次抽象是感官上對具體事物的特征進行直接抽象，重在直觀感知；第二次抽象是正面經(jīng)歷從不同事物中抽象圖形共性特征的過程，這一次抽象是對第一次抽象的結(jié)論進行深化；第三次抽象則是反例的抽象，通過反例來論證前面結(jié)論的完整性。經(jīng)歷三次抽象，學(xué)生的認識將由不完整到完整，形成對概念的完整理解，從而有效形成相關(guān)的空間觀念。（三）在大概念的統(tǒng)領(lǐng)下，厘清圖形的認識的一般性和特殊性，發(fā)展集合思想大概念用以確定圖形的認識的探究方向。圖形和圖形之間既有共性也有個性。以四邊形為例，無論是普通的四邊形，還是長方形、正方形、平行四邊形、梯形等特殊四邊形，它們的共性都是“有4條邊和4個角的封閉圖形”；它們的個性卻是各有不同，長方形對邊相等、4個角都是直角，正方形4條邊相等、4個角都是直角，平行四邊形是對邊平行且相等，梯形是一組對邊平行。因為存在共性和個性，我們才可以說，長方形、正方形、平行四邊形、梯形都是特殊的四邊形。進一步細分，長方形和正方形也是既有共性又有個性，正方形是特殊的長方形。因此可以說，在圖形之間抽取共性的過程，就是發(fā)展集合思想、尋求集合關(guān)系、將一類具有相同屬性的事物視為一個整體、回歸大概念的過程。教師在教學(xué)圖形的認識這一類內(nèi)容時，應(yīng)通過強化概念辨析，讓學(xué)生感知并理解類的概念，從而有效發(fā)展學(xué)生的集合思想，進一步發(fā)展學(xué)生的大概念思維。二、為了大概念，提煉小學(xué)數(shù)學(xué)圖形的認識“一心三步”教學(xué)策略劉徽指出，大概念的生成就是“具體—抽象—具體”的循環(huán)過程，這其實也是高通路遷移的路徑［2］32。在關(guān)于一系列平面圖形的認識的教學(xué)中，筆者遵循大概念的生成規(guī)律，構(gòu)建了基于大概念的圖形的認識“一心三步”教學(xué)策略（如圖1）：“一心”指的是以學(xué)生學(xué)情為中心這“一個中心”，用于課前準備；“三步”指的是基于大概念，在課堂教學(xué)中按照整體感知、聚焦一類、拓展勾連這三個步驟推進課堂教學(xué)。由圖1可知，“一心三步”作為一個循環(huán)結(jié)構(gòu)圖，揭示了平面圖形的認識大概念教學(xué)的循環(huán)規(guī)律。（一）“一心”：立足大概念視角，全面把握學(xué)生學(xué)情這“一個中心”學(xué)生的學(xué)情包括知識結(jié)構(gòu)層面的學(xué)情、能力結(jié)構(gòu)層面的學(xué)情以及認知層面的學(xué)情?！耙詫W(xué)生學(xué)情為中心”，需要執(zhí)教者立足大概念視角，厘清課堂所學(xué)知識所在的知識結(jié)構(gòu)、找準學(xué)生的能力起點、明確學(xué)生的認知層次（如下頁圖2），從而為課堂教學(xué)制定學(xué)習(xí)起點、選擇適切的學(xué)習(xí)方式、統(tǒng)整適合的學(xué)習(xí)內(nèi)容、實現(xiàn)學(xué)習(xí)難度的進階等做好因材施教的準備。知識結(jié)構(gòu)的分析可分為相關(guān)知識結(jié)構(gòu)分析、單元知識結(jié)構(gòu)分析和不同版本教材的知識結(jié)構(gòu)分析三大類。相關(guān)知識結(jié)構(gòu)分析意在了解知識點在同一套教材中的縱向結(jié)構(gòu)，單元知識結(jié)構(gòu)分析意在聚焦單元核心知識和結(jié)構(gòu)性知識，不同版本教材的知識結(jié)構(gòu)分析意在橫向比較不同版本教材中同一知識點知識呈現(xiàn)方式的異同，便于教師在教學(xué)中取長補短。能力起點的尋找需要依托學(xué)生之前所學(xué)內(nèi)容，找到學(xué)生的前探究能力；回顧前面相關(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容的探究過程，找到學(xué)生自主探究的方法和思考的方向；分析本課例，借助前探究能力和學(xué)生自主探究方法和思考方向，進一步明確學(xué)生探究本課知識所需要的方法和所要發(fā)展的能力。認知層次的明確需要依托前測任務(wù)單來完成，是對學(xué)生的前認知能力、本單元發(fā)展的認知能力以及在本課學(xué)習(xí)中應(yīng)該發(fā)展的認知能力（素養(yǎng)能力）的進一步細化和定性描述。（二）“三步”：基于大概念的生成規(guī)律實施“三步”教學(xué)鑒于大概念的生成遵循“具體—抽象—具體”的循環(huán)規(guī)律，“三步”教學(xué)的實施便是對該規(guī)律的一次次課堂實踐應(yīng)用。第一步整體感知，始于視覺，要求從生活實物或大量圖形中進行感知和實操，使學(xué)生可以逐步抽象出幾何圖形，感知概念的意義，明晰基于大概念的圖形的認識的探究方向；第二步聚焦一類，注重從同一類圖形的共同特征出發(fā)，基于大概念，讓學(xué)生在多樣化表征過程中經(jīng)歷多次思與辨的過程，不斷完善對圖形的認識與理解，歸于知識本質(zhì)；第三步拓展勾連，注重知識應(yīng)用、知識拓展、知識遷移以及集合思想的培養(yǎng)，從中構(gòu)建知識體系，提升學(xué)生的應(yīng)用意識，發(fā)展學(xué)生解決問題的能力?！叭健敝械拿恳徊蕉际且郧耙徊降膶W(xué)習(xí)探究為基礎(chǔ)，讓學(xué)生逐步經(jīng)歷圖形的認識由不完整到完整、由不全面到全面的認識過程。三、圍繞大概念，實踐應(yīng)用圖形的認識“一心三步”教學(xué)策略下面筆者以“梯形的認識”教學(xué)為例，探討圖形的認識“一心三步”教學(xué)策略在課堂教學(xué)中的實踐應(yīng)用。（一）圍繞平面圖形的認識，全面把握“梯形的認識”概念教學(xué)的學(xué)生學(xué)情這個中心“梯形的認識”屬于圖形與幾何領(lǐng)域“圖形的認識與測量”主題之下平面圖形的認識學(xué)習(xí)內(nèi)容之一，應(yīng)從知識結(jié)構(gòu)、能力起點、認知層次三個維度把握學(xué)生學(xué)情，緊緊圍繞平面圖形的認識，從邊和角兩個維度介入探究這個大概念。1.厘清知識結(jié)構(gòu)首先是厘清相關(guān)知識的縱向結(jié)構(gòu)。小學(xué)期間，學(xué)生對“圖形的認識與測量”將依次經(jīng)歷三個階段的學(xué)習(xí)過程（如圖3）。第一階段在第一學(xué)段，為初步感知、初步抽象階段，側(cè)重從生活的實物中抽象出立體圖形，通過拓印實物上的面抽象出平面圖形，通過觸摸實物上的邊感知圖形要素的存在。第二階段在第二學(xué)段，為平面圖形的認識階段，對圖形的認識開始從一維向二維躍遷。教師可以將“四邊形的認識”一課作為種子課，讓學(xué)生明確此類圖形的探究方向和方法，為后續(xù)的平面圖形的認識延展課積累知識基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)方法和活動經(jīng)驗，便于學(xué)生在學(xué)習(xí)中感悟不同的平面圖形之間的共性與個性。第三階段在第三學(xué)段，為立體圖形的認識階段，對圖形的認識開始從二維向三維躍遷。此時教師可以將“長方體的認識”作為種子課，既要基于平面圖形的認識的知識和方法進行能力遷移，又要結(jié)合教學(xué)活動的設(shè)計和任務(wù)的驅(qū)動促進學(xué)生認知能力的提升，使學(xué)生學(xué)會從邊（棱）、角（頂點）、面三個維度去探究和認識立體圖形，進而形成立體圖形探究的大概念。其次是厘清單元知識的核心知識及結(jié)構(gòu)性知識?！疤菪蔚恼J識”一課編排在人教版數(shù)學(xué)四年級上冊“平行四邊形和梯形”單元，本單元主要學(xué)習(xí)平行與垂直以及平行四邊形和梯形。因此，“梯形的認識”需要學(xué)生從學(xué)習(xí)四邊形的邊和角兩個維度過渡到重點研究梯形中的邊的位置關(guān)系：一方面關(guān)聯(lián)本單元所學(xué)的直線的平行關(guān)系的知識，另一方面遷移之前所學(xué)的四邊形知識，從而直擊梯形圖形的本質(zhì)，進一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力和幾何直觀能力，促進學(xué)生空間觀念、推理意識和應(yīng)用意識的發(fā)展（如圖4）。最后是對比分析本課不同版本教材的知識結(jié)構(gòu)。小學(xué)數(shù)學(xué)人教版、蘇教版、北師大版3個常用版本的數(shù)學(xué)教材在有關(guān)“梯形的認識”一課中知識的呈現(xiàn)方式各有各的特點（如表1）。相同點是都注重在四邊形的大概念中研究梯形，讓學(xué)生通過研究邊的位置關(guān)系來刻畫圖形、認識圖形特征，角的特征的認識則隱藏在四邊形這個大概念當中。2.找準能力起點“梯形的認識”是學(xué)生在學(xué)習(xí)了四邊形的認識、長方形的認識、正方形（特殊長方形）的認識、平行四邊形的認識以后所要學(xué)習(xí)的新內(nèi)容。學(xué)生的前探究能力是基于大概念，知道從邊和角兩個維度探究四邊形的特征、形成四邊形的概念，且具備自主遷移四邊形的學(xué)習(xí)經(jīng)驗、總結(jié)概括長方形和正方形等圖形特征的拓展性學(xué)習(xí)能力，能力提升點在于能夠發(fā)現(xiàn)這些特殊四邊形的邊和角的獨特性，并能初步感知它們的大小由長和高決定。也就是說，關(guān)于“梯形的認識”一課，學(xué)生的前探究能力是具有從邊和角兩個維度進行圖形特征探究的學(xué)習(xí)經(jīng)驗和能力，同時也具有聚焦邊和角的特殊性展開進一步探究的經(jīng)驗和能力。而在之前所學(xué)的一系列有關(guān)圖形的認識的知識中，學(xué)生所形成的前探究方法包括看、比、量、辨、分類等。因此，研究“梯形的認識”一課，學(xué)生同樣需要這些探究方法，需要經(jīng)歷看、比、量、辨和分類的探究過程。這再次說明了同一類知識的探究方法存在一致性。因此，關(guān)于“梯形的認識”一課，學(xué)生需要在大概念的指引下，再次進行自主遷移學(xué)習(xí)能力的提升，能力遷移點在于繼續(xù)從邊和角兩個維度探究圖形的特征，能力提升點在于梯形和前面的平面圖形的邊和角的特征不同，學(xué)生需要在探究過程中初步感知到梯形的大小與梯形中平行的那一組邊的長短以及梯形的高有關(guān)。3.明確認知層次筆者采用前置任務(wù)單的形式對學(xué)生的認知層次進行檢測。以某班為例，在執(zhí)教“梯形的認識”之前，筆者基于Solo分類評價理論將學(xué)生的思維水平依次劃分為前結(jié)構(gòu)（水平0）、單點結(jié)構(gòu)（水平1）、多點結(jié)構(gòu)（水平2）、關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)（水平3）、抽象拓展（水平4）5個水平層次，并設(shè)置了前置任務(wù)單（如圖5），檢測學(xué)生對所有四邊形的圖形表征水平、操作表征水平、關(guān)系描述水平暨思維發(fā)展的水平層次。通過對該班學(xué)生所提交上來的前置任務(wù)單完成情況進行抽樣分析（如表2），筆者發(fā)現(xiàn)：大部分學(xué)生對平行四邊形有直觀的感受，基本都能畫出平行四邊形以及平行四邊形的高，但是對四邊形的描述只能說出一個或兩個特點，并且對平行四邊形和長方形、正方形之間的關(guān)系沒有明確的認識。而針對尚未學(xué)習(xí)的梯形這個圖形，學(xué)生根據(jù)已有的生活經(jīng)驗，認為只有像梯子那樣的軸對稱圖形才是梯形，而不能運用梯形的本質(zhì)特征去判斷梯形。因此，本課教學(xué)應(yīng)進一步培養(yǎng)學(xué)生的推理意識、應(yīng)用意識，促進學(xué)生對梯形概念本質(zhì)的把握，進一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念。（二）遵循大概念的生成規(guī)律，扎實推進“三步”教學(xué)1.整體感知，明確探究方向平面圖形的認識的大概念就是從邊和角兩個維度刻畫圖形、認識圖形的特征。整體感知，重點是讓學(xué)生感知前面所學(xué)圖形和即將學(xué)習(xí)的圖形之間的關(guān)系，從中探究圖形與圖形之間的變與不變，進一步明確平面圖形研究方向的一致性和研究方法的一致性。在“梯形的認識”一課中，教師可以設(shè)計復(fù)習(xí)鞏固和實踐操作兩個教學(xué)活動，一方面拓展學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生明確知識探究的方向，另一方面復(fù)習(xí)相關(guān)圖形的知識要點，進一步明確梯形的研究細節(jié)，實現(xiàn)知識與能力的同步發(fā)展。在復(fù)習(xí)鞏固活動中，教師可以以問導(dǎo)學(xué)：“前面我們都認識了哪些平面圖形？都是怎么認識的？”接著對學(xué)生的點狀回答進行整體梳理，集中呈現(xiàn)圖形的認識的主要探究方向和方法（如圖6），初步培養(yǎng)學(xué)生的整體思維，為后續(xù)集合思想的建構(gòu)埋下伏筆。在實踐操作活動中，教師可以創(chuàng)設(shè)一個在兩條平行線之間任意添加兩條直線的畫圖活動，依次落實下面的活動要求：先想象添加兩條直線后可以看到什么圖形，以此引導(dǎo)學(xué)生通過實踐操作進一步認識長方形、正方形、平行四邊形三種圖形在邊的維度上都具有兩組對邊互相平行的共同特征；再根據(jù)生活經(jīng)驗展開想象，嘗試畫出梯形，并在畫梯形的活動中初步感知梯形的特征。2.聚焦一類，把握概念本質(zhì)基于大概念的圖形的認識教學(xué)，需要引導(dǎo)學(xué)生在三輪思辨中經(jīng)歷概念的形成過程，深刻把握概念本質(zhì)，從而促進學(xué)生的認知發(fā)展。“一思一辨”通過對比遷移，初感特點；“二思二辨”通過實踐辨析，理解特點；“三思三辨”通過深度辨析，在概念應(yīng)用中深刻把握概念本質(zhì)。在“梯形的認識”一課中，“一思一辨”可銜接上一個環(huán)節(jié)的實踐操作活動，在學(xué)生對平行四邊形、長方形和正方形的內(nèi)在聯(lián)系有了更深刻的認識之后，教師便可以提出下面的問題了：“你覺得梯形有什么特點？”學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗和觀察同學(xué)在平行線間所畫出的梯形的形態(tài)，提出對梯形的初步認識：梯形是有一組對邊平行、另一組對邊不平行的四邊形。在此基礎(chǔ)上，教師帶領(lǐng)學(xué)生抽象出梯形的三個特征：一組對邊平行、一組對邊不平行、四邊形?！岸级妗笨筛鶕?jù)學(xué)生對梯形三個特征的感知，讓學(xué)生經(jīng)歷在格子圖上畫出不同的梯形的探究過程。教師可根據(jù)學(xué)生畫出的不同形態(tài)的梯形，選出其中的典型例子，引導(dǎo)學(xué)生進行深度辨析：首先，同學(xué)們畫出的所有梯形都有什么相同點？其次，無論大家所畫的圖形是大是小，它們都是梯形嗎？最后，形狀和方向不一樣的圖形都是梯形嗎？這樣的問題導(dǎo)思、導(dǎo)辨，可有效促進學(xué)生對梯形概念的深度理解，直擊概念本質(zhì)：梯形的概念與一組對邊平行、一組對邊不平行、四邊形這三個特征有關(guān)，與圖形的大小、形狀、方向無關(guān)，因此，只有一組對邊平行的四邊形才叫作梯形?！叭既妗睂⒁恍┮族e的正例和錯例放在一起（如圖7），引導(dǎo)學(xué)生再次進行深度辨析，強化概念的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生在相互反駁和辯論中牢牢把握概念的本質(zhì)。三輪思辨的課堂探究活動，既讓學(xué)生經(jīng)歷了對梯形圖形“初感特點—理解特點—運用特點”的學(xué)習(xí)與探究過程，也讓學(xué)生經(jīng)歷了對梯形概念的理解由不完整到完整的過程，既尊重了知識形成過程，又尊重了學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律，讓學(xué)生通