2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)2絕對(duì)值不等式含解析北師大版選修4-5

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(二)(建議用時(shí)：45分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．若|x－a|<m，|y－a|<n，則下列不等式肯定成立的是()A．|x－y|<2m B．|x－y|<2nC．|x－y|<n－m D．|x－y|<n＋m[解析]|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|＝m＋n，故選D.[答案]D2．已知實(shí)數(shù)a，b滿意ab＜0，那么有()A．|a－b|＜|a|＋|b| B．|a＋b|＞|a|－|b|C．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜||a|－|b||[解析]∵ab＜0，∴|a－b|＞|a＋b|成立，|a－b|＝|a|＋|b|，|a＋b|≥|a|－|b|也成立．[答案]C3．不等式eq\f(|a＋b|,|a|＋|b|)≤1成立的條件是()A．a(chǎn)b≠0 B．a(chǎn)2＋b2≠0C．a(chǎn)b≥0 D．a(chǎn)b≤0[解析]∵|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)|a|＋|b|≠0時(shí)，eq\f(|a＋b|,|a|＋|b|)≤1(*)．因此(*)成立的條件是a≠0且b≠0，即a2＋b2≠0.[答案]B4．已知a，b∈R，ab＞0，則下列不等式中不正確的是()A．|a＋b|≥a－b B．2eq\r(ab)≤|a＋b|C．|a＋b|＜|a|＋|b| D．|eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)|≥2[解析]當(dāng)ab＞0時(shí)，|a＋b|＝|a|＋|b|，C錯(cuò)．[答案]C5．以下三個(gè)命題：①若a，b∈R，則|a＋b|－2|a|≤|a－b|；②若|a－b|<1，則|a|<|b|＋1；③若|x|<2，|y|>3，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))<eq\f(2,3).其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3[解析]對(duì)于①，|a＋b|＝|(b－a)＋2a|≤|b－a|＋2|a|＝|a－b|＋2|a|，∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|，故①正確；對(duì)于②，1>|a－b|≥|a|－|b|，∴|a|<|b|＋1，故②正確；對(duì)于③，|y|>3，∴eq\f(1,|y|)<eq\f(1,3)，又∵|x|<2，∴eq\f(|x|,|y|)<eq\f(2,3)，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)))<eq\f(2,3)，故③正確．故①②③均正確．故選D.[答案]D二、填空題6．設(shè)|a|＜1，|b|＜1(a，b∈R)，則|a＋b|＋|a－b|與2的大小關(guān)系是________．[解析]當(dāng)a＋b與a－b同號(hào)時(shí)，|a＋b|＋|a－b|＝2|a|，當(dāng)a＋b與a－b異號(hào)時(shí)，|a＋b|＋|a－b|＝2|b|.又|a|＜1，|b|＜1，∴|a＋b|＋|a－b|＜2.[答案]|a＋b|＋|a－b|＜27．已知x，y，a∈R，且|x－y|<a，則|y|與|x|＋a的關(guān)系是________．[解析]|x－y|<a，即|y－x|<a.∴|y|－|x|≤|y－x|<a，即|y|<|x|＋a.[答案]|y|<|x|＋a8．函數(shù)f(x)＝|x＋2|－|x－2|的最大值為______，最小值為________．[解析]||x＋2|－|x－2||≤|(x＋2)－(x－2)|＝4.∴－4≤|x＋2|－|x－2|≤4.∴ymax＝4，ymin＝－4.[答案]4－4三、解答題9．已知f(x)＝|x－10|＋|x－20|(x∈R)，求f(x)的最小值，并求當(dāng)f(x)有最小值時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍．[解]∵|x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x|≥|(x－10)＋(20－x)|＝10.當(dāng)且僅當(dāng)(x－10)(20－x)≥0時(shí)取等號(hào)．由(x－10)(20－x)≥0，得10≤x≤20.因此f(x)的最小值為10，此時(shí)實(shí)數(shù)x的取值范圍是[10,20]．10．若f(x)＝x2－x＋c(c為常數(shù))，且|x－a|＜1，求證：|f(x)－f(a)|＜2(|a|＋1)．[證明]|f(x)－f(a)|＝|(x2－x＋c)－(a2－a＋c)|＝|x2－x－a2＋a|＝|(x－a)(x＋a－1)|＝|x－a|·|x＋a－1|＜|x＋a－1|＝|(x－a)＋(2a－1)|≤|x－a|＋|2a－1|≤|x－a|＋|2a|＋1＜1＋2|a|＋1＝2(|a|＋1)．故原不等式成立．[實(shí)力提升練]1．“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件[解析]當(dāng)|x－a|＜m，|y－a|＜m時(shí)，∵|x－y|＝|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|＜m＋m＝2m，∴|x－a|＜m且|y－a|＜m是|x－y|＜2m的充分條件．取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，則有|x－y|＝2＜5＝2m，但|x－a|＝5，不滿意|x－a|＜m＝2.5，故“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”的充分不必要條件．[答案]A2．設(shè)a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4，則|a|＋|b|的最大值是()A．16 B．17C．18 D．19[解析]|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|≤|a＋b＋1|＋|－1|≤1＋1＝2，|a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16.①當(dāng)ab≥0時(shí)，|a|＋|b|＝|a＋b|≤2；②當(dāng)ab<0時(shí)，a(－b)>0，|a|＋|b|＝|a|＋|－b|＝|a＋(－b)|＝|a－b|≤16.總之，恒有|a|＋|b|≤16.而a＝8，b＝－8時(shí)，滿意|a＋b＋1|＝1，|a＋2b＋4|＝4，且|a|＋|b|＝16，因此|a|＋|b|的最大值為16.[答案]A3．已知α，β是實(shí)數(shù)，給出三個(gè)論斷：①|(zhì)α＋β|＝|α|＋|β|；②|α＋β|＞5；③|α|＞2eq\r(2)，|β|＞2eq\r(2).以其中的兩個(gè)論斷為條件，另一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題________．[解析]當(dāng)①，③成立時(shí)，則|α＋β|＝|α|＋|β|＞4eq\r(2)＞5.[答案]①③?②4．已知f(x)＝x2－x＋c定義在區(qū)間[0,1]上，x1，x2∈[0,1]，且x1≠x2，證明：(1)f(0)＝f(1)；(2)|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.[證明](1)f(0)＝c，f(1)＝c，故f(0)＝f(1)．(2)|f(x2)－f(x1