中考數(shù)學二輪復習二次函數(shù)重難點練習專題26 二次函數(shù)與定值定點問題（原卷版）

專題26二次函數(shù)與定值定點問題直擊中考1．（2022·四川巴中·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線，交軸于A、B兩點，交軸于點，為拋物線頂點，直線垂直于軸于點，當時，．(1)求拋物線的表達式；(2)點是線段上的動點（除、外），過點作軸的垂線交拋物線于點．①當點的橫坐標為2時，求四邊形的面積；②如圖2，直線，分別與拋物線對稱軸交于、兩點．試問，是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

2．（2022·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知拋物線的圖像與軸交于，兩點，與軸交于點，點為拋物線的頂點．(1)求拋物線的函數(shù)表達式及點的坐標；(2)若四邊形為矩形，．點以每秒1個單位的速度從點沿向點運動，同時點以每秒2個單位的速度從點沿向點運動，一點到達終點，另一點隨之停止．當以、、為頂點的三角形與相似時，求運動時間的值；(3)拋物線的對稱軸與軸交于點，點是點關于點的對稱點，點是軸下方拋物線圖像上的動點．若過點的直線與拋物線只有一個公共點，且分別與線段、相交于點、，求證：為定值．

3．（2022·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，，與y軸交于點C．(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)連接，在該二次函數(shù)圖象上是否存在點P，使？若存在，請求出點P的坐標：若不存在，請說明理由；(3)如圖2，直線l為該二次函數(shù)圖象的對稱軸，交x軸于點E．若點Q為x軸上方二次函數(shù)圖象上一動點，過點Q作直線，分別交直線l于點M，N，在點Q的運動過程中，的值是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．

4．（2021·黑龍江大慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于除原點和點，且其頂點關于軸的對稱點坐標為．（1）求拋物線的函數(shù)表達式；（2）拋物線的對稱軸上存在定點，使得拋物線上的任意一點到定點的距離與點到直線的距離總相等．①證明上述結(jié)論并求出點的坐標；②過點的直線與拋物線交于兩點．證明：當直線繞點旋轉(zhuǎn)時，是定值，并求出該定值；（3）點是該拋物線上的一點，在軸，軸上分別找點，使四邊形周長最小，直接寫出的坐標．

5．（2021·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸分別相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，下表給出了這條拋物線上部分點的坐標值：x…0123…y…03430…（1）求出這條拋物線的解析式及頂點M的坐標；（2）是拋物線對稱軸上長為1的一條動線段（點P在點Q上方），求的最小值；（3）如圖2，點D是第四象限內(nèi)拋物線上一動點，過點D作軸，垂足為F，的外接圓與相交于點E．試問：線段的長是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

6．（2021·湖北武漢·統(tǒng)考中考真題）拋物線交軸于，兩點（在的左邊）．（1）的頂點在軸的正半軸上，頂點在軸右側(cè)的拋物線上．①如圖（1），若點的坐標是，點的橫坐標是，直接寫出點，的坐標；②如圖（2），若點在拋物線上，且的面積是12，求點的坐標；（2）如圖（3），是原點關于拋物線頂點的對稱點，不平行軸的直線分別交線段，（不含端點）于，兩點，若直線與拋物線只有一個公共點，求證的值是定值．

7．（2020·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）與x軸交于點A，B．與y軸交于點C．連接AC，BC．已知△ABC的面積為2．（1）求拋物線的解析式；（2）平行于x軸的直線與拋物線從左到右依次交于P，Q兩點．過P，Q向x軸作垂線，垂足分別為G，H．若四邊形PGHQ為正方形，求正方形的邊長；（3）如圖2，平行于y軸的直線交拋物線于點M，交x軸于點N（2，0）．點D是拋物線上A，M之間的一動點，且點D不與A，M重合，連接DB交MN于點E．連接AD并延長交MN于點F．在點D運動過程中，3NE+NF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

8．（2022·山東日照·統(tǒng)考中考真題）在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線y=-x2+2mx+3m，點A（3，0）．(1)當拋物線過點A時，求拋物線的解析式；(2)證明：無論m為何值，拋物線必過定點D，并求出點D的坐標；(3)在（1）的條件下，拋物線與y軸交于點B，點P是拋物線上位于第一象限的點，連接AB，PD交于點M，PD與y軸交于點N．設S=S△PAM－S△BMN，問是否存在這樣的點P，使得S有最大值？若存在，請求出點P的坐標，并求出S的最大值；若不存在，請說明理由．

9．（2022·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的頂點P在拋物線F：y＝ax2上，直線x＝t與拋物線E，F(xiàn)分別交于點A，B．(1)求a的值；(2)將A，B的縱坐標分別記為yA，yB，設s＝y(tǒng)A﹣yB，若s的最大值為4，則m的值是多少？(3)Q是x軸的正半軸上一點，且PQ的中點M恰好在拋物線F上．試探究：此時無論m為何負值，在y軸的負半軸上是否存在定點G，使∠PQG總為直角？若存在，請求出點G的坐標；若不存在，請說明理由．

10．（2022·湖北鄂州·統(tǒng)考中考真題）某數(shù)學興趣小組運用《幾何畫板》軟件探究y＝ax2（a＞0）型拋物線圖象．發(fā)現(xiàn)：如圖1所示，該類型圖象上任意一點M到定點F（0，）的距離MF，始終等于它到定直線l：y＝﹣上的距離MN（該結(jié)論不需要證明），他們稱：定點F為圖象的焦點，定直線l為圖象的準線，y＝﹣叫做拋物線的準線方程．其中原點O為FH的中點，F(xiàn)H=2OF=，例如，拋物線y＝x2，其焦點坐標為F（0，），準線方程為l：y＝﹣．其中MF=MN，F(xiàn)H=2OH=1．

(1)【基礎訓練】請分別直接寫出拋物線y＝2x2的焦點坐標和準線l的方程：，．(2)【技能訓練】如圖2所示，已知拋物線y＝x2上一點P到準線l的距離為6，求點P的坐標；(3)【能力提升】如圖3所示，已知過拋物線y＝ax2（a＞0）的焦點F的直線依次交拋物線及準線l于點A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值；(4)【拓展升華】古希臘數(shù)學家歐多克索斯在深入研究比例理論時，提出了分線段的“中末比”問題：點C將一條線段AB分為兩段AC和CB，使得其中較長一段AC是全線段AB與另一段CB的比例中項，即滿足：＝＝．后人把這個數(shù)稱為“黃金分割”把點C稱為線段AB的黃金分割點．如圖4所示，拋物線y＝x2的焦點F（0，1），準線l與y軸交于點H（0，﹣1），E為線段HF的黃金分割點，點M為y軸左側(cè)的拋物線上一點．當＝時，請直接寫出△HME的面積值．

11．（2022·四川成都·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線相交于，兩點（點在點的左側(cè)），點關于軸的對稱點為．(1)當時，求，兩點的坐標；(2)連接，，，，若的面積與的面積相等，求的值；(3)試探究直線是否經(jīng)過某一定點．若是，請求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．

12．（2021·湖南益陽·統(tǒng)考中考真題）已知函數(shù)