工程力學(xué)簡明教程 課件 7

第七章應(yīng)力和應(yīng)變分析強度理論材料力學(xué)第七章應(yīng)力和應(yīng)變分析強度理論

§7–1應(yīng)力狀態(tài)概述§7–2二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實例§7–3二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法§7–4二向應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法§7–5

三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)§7–8強度理論概述§7–9四種常用強度理論§7–10強度理論的應(yīng)用§7–6

廣義胡克定律§7–7

復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)§7–１應(yīng)力狀態(tài)概述應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)一、引言1、鑄鐵與低碳鋼的拉、壓、扭試驗現(xiàn)象是怎樣產(chǎn)生的？M低碳鋼鑄鐵PP鑄鐵拉伸P鑄鐵壓縮2、組合變形桿將怎樣破壞？？？MP二、一點的應(yīng)力狀態(tài)：

過一點有無數(shù)的截面，這一點的各個截面上應(yīng)力情況的集合，稱為點的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

在描述應(yīng)力時，首先必須指明是哪一點，其次還需指明過這一點哪個方位截面上的應(yīng)力。因為即使是同一點，不同方位截面上的應(yīng)力也是不同的。同一截面上各點應(yīng)力不同！同一點沿著各個方向應(yīng)力不同！三、單元體：

單元體——構(gòu)件內(nèi)的點的代表物，是包圍被研究點的無限小的幾何體，常用的是正六面體。

單元體的性質(zhì)——a.三個方向尺寸無窮小

b.各面上應(yīng)力均布；

c.平行面上，應(yīng)力相等。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xyzs

xsz

s

ytxy以體代點成為可能！應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)四、切應(yīng)力互等定理:

過一點的兩個正交面上,如果有與相交邊垂直的切應(yīng)力分量,則兩個面上的這兩個切應(yīng)力分量一定等值、方向相對或相離。

切應(yīng)力τxy（或τyx）有兩個角標(biāo)，第一個角標(biāo)x（或y）表示切應(yīng)力作用平面的法線的方向；第二個角標(biāo)y（或x）表示切應(yīng)力的方向平行于y（或x）軸。sxtxysyxyztyx我是否也能正確命名？[例1]

畫出下列圖中各點的已知單元體。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)(1)五、原始單元體（已知單元體）：應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)(2)tzx[例2]

畫出下列圖中的A、B、C點的已知單元體。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)PPAAsxsxMPxyzBCsxsxBtxztxytyx

以下為搶答時間！六、主單元體、主平面、主應(yīng)力：

主單元體：

各側(cè)面上切應(yīng)力均為零的單元體。

主平面：

切應(yīng)力為零的截面。

主應(yīng)力：

主平面上的正應(yīng)力。

主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s1s2s3xyzsxsysz

三向應(yīng)力狀態(tài)：（又稱空間應(yīng)力狀態(tài)）

三個主應(yīng)力都不為零的應(yīng)力狀態(tài)。

二向應(yīng)力狀態(tài)：（又稱平面應(yīng)力狀態(tài)）

只有兩個主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。

應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

單向應(yīng)力狀態(tài)：（又稱簡單應(yīng)力狀態(tài)）

只有一個主應(yīng)力不為零的應(yīng)力狀態(tài)。

AsxsxtzxsxsxBtxz復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)§7–2

二向和三向應(yīng)力狀態(tài)的實例應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)1.圓筒形薄壁壓力容器，內(nèi)徑為D、壁厚為

t，承受內(nèi)壓力p作用二向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)2.圓球形薄壁容器，壁厚為t，內(nèi)徑為D，承受內(nèi)壓p作用。s30=ss124==pDt二向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)3.滾珠軸承中滾珠與外圈接觸點處的應(yīng)力狀態(tài)三向應(yīng)力狀態(tài)§7–3

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——解析法應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xysxtxysyOtyx

切應(yīng)力τxy（或τyx）有兩個角標(biāo)，第一個角標(biāo)x（或y）表示切應(yīng)力作用平面的法線的方向；第二個角標(biāo)y（或x）表示切應(yīng)力的方向平行于y（或x）軸。sxtxysyxyztyx投影規(guī)定：

：截面外法線同向為正；

ta：繞研究對象順時針轉(zhuǎn)為正；

a：外法線繞x軸逆時針為正。設(shè)：斜截面面積為S，由分離體平衡得：一、任意斜截面上的應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xyO圖1xysxtxysyOtyxsytxysxsataatn圖2tyx應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)sytyxsxsataaxyOtn圖2考慮切應(yīng)力互等和三角變換，得：圖1xysxtxysyOtyxtxy上兩式即為任意斜截面上正應(yīng)力和切應(yīng)力的計算公式！2、極值應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xysxtxysyO即斜截面上極值正應(yīng)力恰為主應(yīng)力！此時，和兩個極值：由此得兩個駐點、0a）20pa+

在切應(yīng)力相對的項限內(nèi)，且偏向于

x

及

y大的一側(cè)。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)222xyyxminmaxtsstt+-±=?íì

）（即極值剪應(yīng)力與主平面成450！xysxtxysyOtyx[例3]

分析受扭構(gòu)件的破壞規(guī)律。解：確定危險點并畫其原始單元體

求極值應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)txyCtyxMCxyOtxytyx應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

破壞分析應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)低碳鋼鑄鐵xyOtt應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)[例4]：求圖示單元體的主應(yīng)力值及主方向，并畫在單元體上；確定最大切應(yīng)力值。單位：MPa解：按應(yīng)力符號規(guī)則選取x應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

代公式求主應(yīng)力及其方位應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

求最大切應(yīng)力例5

簡支梁如圖所示.已知mm

截面上A點的彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為

=-70MPa，

=50MPa.確定A點的主應(yīng)力及主平面的方位.A

mmal

A

解：把從A點處截取的單元體放大如圖應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)因為

x

<y，所以0=27.5°與

min對應(yīng)xA

A

0

1

3

1

3應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

x

y

xy例6圖示單元體，已知

x

=-40MPa，

y

=60MPa，

xy=-50MPa.試求ef

截面上的應(yīng)力情況及主應(yīng)力和主單元體的方位.n30°ef(1)求

ef截面上的應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)(2)求主應(yīng)力和主單元體的方位

x

=-40MPa

y

=60MPa

x

=-50MPa

=-30°因為

x

<y，所以0=-22.5°與

min對應(yīng)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

x

y

xy22.5°

1

3應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)§7–4

二向應(yīng)力狀態(tài)分析——圖解法對上述方程移項平方相加，消去參數(shù)（2

），得：一、應(yīng)力圓應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)ysytxysxsataaxyOtn此方程曲線為圓—應(yīng)力圓（或莫爾圓）xsxtxysyOtyx(1)建

-坐標(biāo)系,選定比例尺o

二、應(yīng)力圓作法1、步驟xy

x

x

yx

xy

y

y應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)D

xyo

(2)量取OA=xAD

=xy得D

點xy

x

x

yx

xy

xAOB=y(3)量取BD′=yx得

D′

點

yB

yxD′(4)連接DD′兩點的直線與

軸相交于C

點(5)以C為圓心,CD

為半徑作圓,該圓就是相應(yīng)于該單元體的應(yīng)力圓C應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)(1)該圓的圓心C點到坐標(biāo)原點的距離為(2)該圓半徑為D

xyo

xA

yB

yxD′C2、證明應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)三、應(yīng)力圓的應(yīng)用1、求單元體上任一截面上的應(yīng)力

從應(yīng)力圓的半徑CD按方位角

的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動2

得到半徑CE.圓周上E

點的坐標(biāo)就依次為斜截面上的正應(yīng)力

和切應(yīng)力

。D

xyo

xA

yB

yxD′C2

0FE2

xya

x

x

yx

xyef

n應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)證明應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)也即，E點的坐標(biāo)為：對應(yīng)法線為夾角的斜截面點面之間的對應(yīng)關(guān)系：單元體某一截面上的應(yīng)力，必對應(yīng)于應(yīng)力圓上某一點的坐標(biāo)。AB

夾角關(guān)系：圓周上任意兩點所引半徑的夾角等于單元體上對應(yīng)兩截面夾角的兩倍。兩者的轉(zhuǎn)向一致。2

OCBA歸納起來，即：點面對應(yīng)，轉(zhuǎn)向一致，2倍轉(zhuǎn)角。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)2、求主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置(1)主應(yīng)力數(shù)值A(chǔ)1和B1兩點為與主平面對應(yīng)的點，其橫坐標(biāo)為主應(yīng)力

1，

2

1

2D

xyo

xA

yB

yxD′C2

0FE2

B1A1應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)2

0D

xyo

xA

yB

yxD′C

1

2A1B1（2）主平面方位由CD順時針轉(zhuǎn)2

0到CA1所以單元體上從

x

軸順時針轉(zhuǎn)

0（負(fù)值）即到

1對應(yīng)的主平面的外法線

0確定后，

1對應(yīng)的主平面方位即確定應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)3、求最大切應(yīng)力G1和G

兩點的縱坐標(biāo)分別代表最大和最小切應(yīng)力2

0D

xyo

xA

yB

yxD′C

1

2A1B1G1G2因為最大最小切應(yīng)力等于應(yīng)力圓的半徑應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

o例7

從水壩體內(nèi)某點處取出的單元體如圖所示,

x

=-1MPa,

y

=-0.4MPa,

xy=-0.2MPa,

yx

=0.2MPa,(1)繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓(2)確定此單元體在

=30°和

=-40°兩斜面上的應(yīng)力。

x

y

xy解:(1)畫應(yīng)力圓量取OA=

x=-1,AD

=

xy=-0.2,定出D點;ACBOB

=

y=-0.4和，BD′

=

yx=0.2,定出D′點.(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)以DD′

為直徑繪出的圓即為應(yīng)力圓。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)將半徑CD

逆時針轉(zhuǎn)動2

=60°到半徑CE,E

點的坐標(biāo)就代表

=30°斜截面上的應(yīng)力。(2)確定

=30°斜截面上的應(yīng)力E60°(3)確定

=-40°斜截面上的應(yīng)力將半徑

CD順時針轉(zhuǎn)2

=80°到半徑CF,F

點的坐標(biāo)就代表

=-40°斜截面上的應(yīng)力。F80°AD′C

BoD

30°

40°

40°

30°

30°=-0.36MPa

30°=-0.68MPa

40°=-0.26MPa

-40°=-0.95MPa應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s3[例8]

求圖示單元體的主應(yīng)力及主平面的位置。(單位：MPa)AB

1

2解法1——圖解法：

主應(yīng)力坐標(biāo)系如圖

AB的垂直平分線與sa

軸的交點C便是圓心，以C為圓心，以AC為半徑畫圓——應(yīng)力圓

0s1s2BAC2α0sata(MPa)(MPa)O20MPa

在坐標(biāo)系內(nèi)畫出點應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s3s1s2BAC2s0sata(MPa)(MPa)O20MPa

主應(yīng)力及主平面如圖

1

0

2AB應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)解法2—解析法：分析——建立坐標(biāo)系如圖60°xyO應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)60°xyO討論:

1.表達(dá)圖示各單元體a斜截面上應(yīng)力隨a角變化的應(yīng)力圓是怎樣的？這三個單元體所表示的都是平面應(yīng)力狀態(tài)嗎？應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

2.

對于圖示各單元體，表示與紙面垂直的斜截面上應(yīng)力隨a角變化的應(yīng)力圓有什么特點？a=±45?兩個斜截面上的sa,ta分別是多少？二向等值壓縮二向等值拉伸純剪切應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)§7–5

三向應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s2s1xyzs3xyzs1s2s3ABCO

1

3

首先研究與其中一個主平面(例如主應(yīng)力

3所在的平面)垂直的斜截面上的應(yīng)力

1

2

2

用截面法，沿求應(yīng)力的截面將單元體截為兩部分，取左下部分為研究對象

2

1應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

主應(yīng)力

3所在的兩平面上是一對自相平衡的力，因而該斜面上的應(yīng)力

,

與

3無關(guān),只由主應(yīng)力

1,

2

決定

與

3垂直的斜截面上的應(yīng)力可由

1,

2作出的應(yīng)力圓上的點來表示

1

2

3

3

2

1應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

該應(yīng)力圓上的點對應(yīng)于與

3垂直的所有斜截面上的應(yīng)力

A

1

O

2B

與主應(yīng)力

2所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力

,

可用由

1,

3作出的應(yīng)力圓上的點來表示C

3與主應(yīng)力

１所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力

,

可用由

2,

3作出的應(yīng)力圓上的點來表示應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

該截面上應(yīng)力和對應(yīng)的D點必位于上述三個應(yīng)力圓所圍成

的陰影內(nèi)abc截面表示與三個主平面斜交的任意斜截面abc

1

2

1

2

3應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

A

1

O

2BC

3結(jié)論

三個應(yīng)力圓圓周上的點及由它們圍成的陰影部分上的點的坐標(biāo)代表了空間應(yīng)力狀態(tài)下所有截面上的應(yīng)力

該點處的最大正應(yīng)力(指代數(shù)值)應(yīng)等于最大應(yīng)力圓上A點的橫坐標(biāo)

1應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

A

1

O

2BC

3

最大切應(yīng)力則等于最大的應(yīng)力圓的半徑

最大切應(yīng)力所在的截面與

2所在的主平面垂直，并與

1和

3所在的主平面成450角。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)[例9]

試根據(jù)圖a所示單元體各面上的應(yīng)力作出應(yīng)力圓，并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力的值及它們的作用面方位。(a)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

解:

1.

圖a所示單元體上正應(yīng)力sz=20MPa的作用面(z截面)上無切應(yīng)力，因而該正應(yīng)力為主應(yīng)力。

2.正如以前所述，在與主平面z截面垂直的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力sz無關(guān)，故可根據(jù)x截面和y截面上的應(yīng)力畫出顯示與z截面垂直各截面上應(yīng)力隨截面方位角變化的應(yīng)力圓。(a)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

從圓上得出兩個主應(yīng)力46MPa和-26MPa。這樣就得到了包括sz=20MPa在內(nèi)的三個主應(yīng)力。他們按代數(shù)值大小排序為s1＝46MPa，s2＝20MPa，s3＝-26MPa。(b)(a)3.依據(jù)三個主應(yīng)力值作出的三個應(yīng)力圓如圖b所示。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s1的作用面垂直于z截面(sz作用面)，其方位角a0根據(jù)通過點D1和D2的應(yīng)力圓上由代表x截面上應(yīng)力的點D1逆時針至代表a1的點A的圓心角2a0＝34?可知為a0＝17?且由x截面逆時針轉(zhuǎn)動，如圖c中所示。(c)(b)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)§7–6

廣義胡克定律一、單拉下的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xyzsx二、純剪的應(yīng)力--應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xyz

x

y三、復(fù)雜狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

xyzszsytxysxtxztyxtyztzytzx

在線彈性范圍內(nèi)，線應(yīng)變只與正應(yīng)力有關(guān)，與切應(yīng)力無關(guān)，切應(yīng)變只與切應(yīng)力有關(guān)，而與正應(yīng)力無關(guān)。

y

y

x方向的線應(yīng)變用疊加原理，分別計算出

x,y,z

分別單獨存在時,x，y，z方向的線應(yīng)變

x,y，

z，然后代數(shù)相加.單獨存在時單獨存在時

單獨存在時xyyz

z

z

x

x應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)在

x

、

y

、

z同時存在時,x

方向的線應(yīng)變

x為同理，在

x

、

y

、

z同時存在時,y,z

方向的線應(yīng)變?yōu)樵趚y，yz，zx三個面內(nèi)的切應(yīng)變?yōu)閼?yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)上式稱為廣義胡克定律——沿x、y、z軸的線應(yīng)變

——在xy、yz、zx面上的角應(yīng)變應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)主應(yīng)力---主應(yīng)變關(guān)系應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)s1s3s2主應(yīng)變和主應(yīng)力的方向重合!四、平面狀態(tài)下的應(yīng)力---應(yīng)變關(guān)系:應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)xysxtxysyOtyx

1

2

3a1a2a3構(gòu)件每單位體積的體積變化,稱為體積應(yīng)變用θ表示.各向同性材料在三向應(yīng)力狀態(tài)下的體應(yīng)變?nèi)鐖D所示的單元體，三個邊長為a1,a2,a3變形后的邊長分別為變形后單元體的體積為a1(1+

，a2(1+

2

，a3(1+

3

V1=a1(1+

·

a2(1+

2

·

a3(1+

3

五、體積應(yīng)變與應(yīng)力分量間的關(guān)系應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)體積應(yīng)變?yōu)閼?yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)式中：——體積彈性模量——體積胡克定律——主應(yīng)力的平均值1、純剪切應(yīng)力狀態(tài)下的體積應(yīng)變即在小變形下，切應(yīng)力不引起各向同性材料的體積改變.2、三向等值應(yīng)力單元體的體積應(yīng)變?nèi)齻€主應(yīng)力為單元體的體積應(yīng)變

m

m

m應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)這兩個單元體的體積應(yīng)變相同

m

m

m

1

2

3a1a2a3單元體的三個主應(yīng)變?yōu)閼?yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

如果變形前單元體的三個棱邊成某種比例，由于三個棱邊應(yīng)變相同，則變形后的三個棱邊的長度仍保持這種比例.所以在三向等值應(yīng)力

m的作用下，單元體變形后的形狀和變形前的相似，稱這樣的單元體是形狀不變的.

在最一般的空間應(yīng)力狀態(tài)下，材料的體積應(yīng)變只與三個線應(yīng)變

x

，y，z

有關(guān)，仿照上述推導(dǎo)有

在任意形式的應(yīng)力狀態(tài)下,各向同性材料內(nèi)一點處的體積應(yīng)變與通過該點的任意三個相互垂直的平面上的正應(yīng)力之和成正比,而與切應(yīng)力無關(guān).應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)例10

邊長a=0.1m的銅立方塊，無間隙地放入體積較大，變形可略去不計的鋼凹槽中,如圖所示.已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比

=0.34，當(dāng)受到F=300kN的均布壓力作用時，求該銅塊的主應(yīng)力、體積應(yīng)變以及最大切應(yīng)力.解：銅塊橫截面上的壓應(yīng)力aaaFzyx

z

x

y銅塊受力如圖所示變形條件為應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)解得銅塊的主應(yīng)力為最大切應(yīng)力體積應(yīng)變?yōu)閼?yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)例11

一直徑d=20mm的實心圓軸，在軸的的兩端加扭矩m=126N·m.在軸的表面上某一點A處用變形儀測出與軸線成-45°方向的應(yīng)變

=5.010-4,試求此圓軸材料的剪切彈性模量G.mmA45°x應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)解：圍繞A點取一單元體A

1

3

x

y

-45°A應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)例12已知一受力構(gòu)件自由表面上某一點處的兩個面內(nèi)主應(yīng)變分別為：

1=24010-6，

2=–16010-6，彈性模量E=210GPa，泊松比為

=0.3，試求該點處的主應(yīng)力及另一主應(yīng)變。所以，該點處于平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)§7－7復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)變能密度應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)1、單向應(yīng)力狀態(tài)下,

物體內(nèi)所積蓄的應(yīng)變能密度為將廣義胡克定律代入上式,經(jīng)整理得2、三個主應(yīng)力同時存在時,單元體的應(yīng)變能密度為應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

單元體的變形一方面表現(xiàn)為體積的增加或減?。涣硪环矫姹憩F(xiàn)為形狀的改變，即由正方體變?yōu)殚L方體。因此應(yīng)變能密度可以看作由兩部分組成（1）因體積變化而儲存的應(yīng)變能密度（2）體積不變，由正方體改變?yōu)殚L方體而儲存的應(yīng)變能密度——體積改變能密度；——畸變能密度。應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

2

3

1圖a圖

c

3-

m

1-

m

2-

m

m圖b

m

m體積改變部分形狀改變部分應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)由廣義胡克定律：代入上式：應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)——體積改變能密度；——畸變能密度。代入應(yīng)變能密度公式：例13

用能量法證明三個彈性常數(shù)間的關(guān)系。

純剪單元體的比能為：

純剪單元體比能的主應(yīng)力表示為：應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)

1

3txyAtyx應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)一、問題的引出組合變形桿將怎樣破壞？滿足是否強度就沒有問題了？§7–8

強度理論概述MP二、強度理論：是關(guān)于“構(gòu)件發(fā)生強度失效起因”的假說。三、材料的破壞形式：⑴屈服；⑵斷裂。強度理論四、兩類強度理論：

關(guān)于斷裂的強度理論和關(guān)于屈服的強度理論第一強度理論（最大拉應(yīng)力理論）第二強度理論（最大伸長線應(yīng)變理論）斷裂理論第三強度理論（最大切應(yīng)力理論）第四強度理論（畸變能密度理論）屈服理論2、馬里奧特關(guān)于變形過大引起破壞的論述，是第二強度理論的萌芽；3、杜奎特(C.Duguet)提出了最大切應(yīng)力理論；4、麥克斯威爾最早提出了最大畸變能理論，這是后來人們在他的書信出版后才知道的.五、四個強度理論1、伽利略播下了第一強度理論的種子；

第一類強度理論—以脆斷作為破壞的標(biāo)志包括：最大拉應(yīng)力理論和最大伸長線應(yīng)變理論

第二類強度理論—以出現(xiàn)屈服現(xiàn)象作為破壞的標(biāo)志包括：最大切應(yīng)力理論和形狀改變比能理論強度理論§7–9

四種常用強度理論一、最大拉應(yīng)力（第一強度）理論：

認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的。當(dāng)最大拉應(yīng)力達(dá)到單向拉伸的強度極限時，構(gòu)件就斷了。1、斷裂準(zhǔn)則：2、強度條件：3、實用范圍：適用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。強度理論應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)鑄鐵拉伸鑄鐵扭轉(zhuǎn)二、最大伸長線應(yīng)變（第二強度）理論：

認(rèn)為構(gòu)件的斷裂是由最大伸長線應(yīng)變引起的。當(dāng)最大伸長線應(yīng)變達(dá)到單向拉伸試驗下的極限應(yīng)變時，構(gòu)件就斷了。1、斷裂準(zhǔn)則：2、強度條件：3、實用范圍：適用于破壞形式為脆斷的構(gòu)件。

強度理論三、最大切應(yīng)力（第三強度）理論：

認(rèn)為構(gòu)件的屈服是由最大切應(yīng)力引起的。當(dāng)最大切應(yīng)力達(dá)到單向拉伸試驗的極限切應(yīng)力時，構(gòu)件就破壞了。1、屈服準(zhǔn)則：3、實用范圍：適用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。

2、強度條件：強度理論應(yīng)力狀態(tài)與應(yīng)變狀態(tài)低碳鋼拉伸低碳鋼扭轉(zhuǎn)四、畸變能密度（第四強度）理論：

認(rèn)為構(gòu)件的屈服是由畸變能密度引起的。當(dāng)畸變能密度達(dá)到單向拉伸試驗屈服時的畸變能密度時，構(gòu)件就破壞了。1、屈服準(zhǔn)則：2、強度條件:3、實用范圍：適用于破壞形式為屈服的構(gòu)件。

強度理論強度理論

不同材料固然可以發(fā)生不同形式的失效，但即使同一種材料，在不同的應(yīng)力狀態(tài)下也有可能有不同的失效形式。

無論是塑性或脆性材料，在三向拉應(yīng)力相近的情況下，都將以斷裂的形式失效，宜采用最大拉應(yīng)力理論。在三向壓應(yīng)力相近的情況下，都可以引起塑性變形，宜采用第三或第四強度理論。

帶尖銳環(huán)形深切槽的低碳鋼試樣，由于切槽根部附近材料處于接近三向等值拉伸的應(yīng)力狀態(tài)而發(fā)生脆性斷裂。對于像低碳鋼一類的塑性材料，除了處于三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)外，不會發(fā)生脆性斷裂。強度理論

圓柱形大理石試樣，在軸向壓縮并利用液體徑向施壓時會產(chǎn)生顯著的塑性變形而失效。強度理論

思考:

試按第四強度理論分析比較某塑性材料在圖(a)和圖(b)兩種應(yīng)力狀態(tài)下的危險程度。已知σ和τ的數(shù)值相等。如果按第三強度理論分析，那么比較的結(jié)果又如何？答案：按第四強度理論，(a),(b)兩種情況下同等危險。按第三強度理論則(a)較(b)危險。(a)(b)強度理論