2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-向量中的最值(范圍)問(wèn)題【課件】

第五章平面向量、復(fù)數(shù)補(bǔ)上一課向量中的最值(范圍)問(wèn)題平面向量中的范圍、最值問(wèn)題是熱點(diǎn)問(wèn)題，也是難點(diǎn)問(wèn)題，此類問(wèn)題綜合性強(qiáng)，體現(xiàn)了知識(shí)的交匯組合，其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值，比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等，解決思路是建立目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，同時(shí)向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份，所以解決平面向量的范圍、最值問(wèn)題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合.題型一與系數(shù)有關(guān)的最值(范圍)解析在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝1＋4－2×1×2·cos60°＝3，所以AB⊥BC，則AC為△ABC外接圓的直徑.以線段AC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，AC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，感悟提升此類問(wèn)題的一般解題步驟是第一步：利用向量的運(yùn)算將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系；第二步：運(yùn)用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)求其最值.3題型二與數(shù)量積有關(guān)的最值(范圍)A感悟提升數(shù)量積最值(范圍)的解法：(1)坐標(biāo)法，通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題處理.(2)向量法，運(yùn)用向量數(shù)量積的定義、不等式、極化恒等式等有關(guān)向量知識(shí)解決.題型三與模有關(guān)的最值(范圍)B解析依題意，不妨設(shè)a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y).感悟提升求向量模的最值(范圍)的方法，通常有：(1)代數(shù)法，把所求的模表示成某個(gè)變量的函數(shù)，或通過(guò)建立平面直角坐標(biāo)系，借助向量的坐標(biāo)表示；需要構(gòu)造不等式，利用基本不等式，三角函數(shù)，再用求最值的方法求解；(2)幾何法(數(shù)形結(jié)合法)，弄清所求的模表示的幾何意義，注意題目中所給的垂直、平行

，以及其他數(shù)量關(guān)系，合理的轉(zhuǎn)化，使得過(guò)程更加簡(jiǎn)單；結(jié)合動(dòng)點(diǎn)表示的圖形求解.訓(xùn)練3

已知a，b是單位向量，a·b＝0，且向量c滿足|c－a－b|＝1，則|c|的取值范圍是________________.解析a，b是單位向量，a·b＝0，設(shè)a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，|c|表示以(1，1)為圓心，1為半徑的圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，題型四與夾角有關(guān)的最值(范圍)B感悟提升求夾角的最值(范圍)問(wèn)題要根據(jù)夾角余弦值的表達(dá)式，采用基本不等式或函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行.解析如圖建立直角坐標(biāo)系，拓展視野

極化恒等式解析設(shè)A，B，C三點(diǎn)所在圓的圓心為O，取AB中點(diǎn)D，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)在圓上，所以CD長(zhǎng)度最大為r＋d，其中d為圓心O到弦AB的距離，D課時(shí)分層精練KESHIFENCENGJINGLIANA解析設(shè)a＋b，c的夾角為θ，CC解析在平面直角坐標(biāo)系xOy中，不妨設(shè)a＝(1，0)，b＝(x1，y1)，c＝(x2，y2)，則a·b＝x1＝1，a·c＝x2＝－1，b·c＝x1x2＋y1y2＝y(tǒng)1y2－1＝0，當(dāng)且僅當(dāng)y1＝±1時(shí)等號(hào)成立.因此，|b＋c|的最小值為2.DAD解析法一由題意可設(shè)a＝(0，1)，b＝(2，0)，c＝(x，y)，則a＋b－2c＝(2－2x，1－2y)，由|a＋b－2c|＝1，可得(2－2x)2＋(1－2y)2＝1，A解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，D解析因?yàn)槠矫嫦蛄縜，b滿足|a－b|＝3，|a|＝2|b|，75解析取BC的中點(diǎn)O，∵△ABC為等邊三角