福建省南平市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

南平市2024-2025學(xué)年第一學(xué)期高一年級(jí)期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁(yè).考試時(shí)間120分鐘.滿分150分.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、班級(jí)和座號(hào).考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在試題卷上無(wú)效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用解絕對(duì)值不等式，再求交集即可.【詳解】由，則，故選：C.2.若，則“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用充要條件解出或，其中，再來(lái)判斷必要不充分條件即可.【詳解】由于，所以或，其中，則“”是“”的必要不充分條件，故選：B.3.折扇是我國(guó)傳統(tǒng)文化的延續(xù)，它常以字畫的形式體現(xiàn)我國(guó)的傳統(tǒng)文化，如圖1，圖2是某折扇的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)化圖，已知，，若之間的弧長(zhǎng)為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用弧長(zhǎng)公式，得到，再利用余弦定理求出，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，所以，在中，，所以，得到，故選：D.4.若，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)單調(diào)性限定出各數(shù)的取值范圍即可得出結(jié)論.【詳解】易知，而，，即可得，所以.故選：A5.函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判斷函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值的符號(hào)，利用零點(diǎn)的存在定理，即可求解.【詳解】由題意知，函數(shù)連續(xù)，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)交點(diǎn)，則只有一個(gè)根，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，f(3)=lg3+所以，所以函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，故選：C.6.若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用兩角和的余弦公式展開(kāi)已知條件，然后兩邊同時(shí)平方，由平方關(guān)系及二倍角正弦公式即可求解.【詳解】解：因?yàn)椋?，即，兩邊同時(shí)平方，由平方關(guān)系可得，所以，故選：D.7.已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于的不等式，即可求解.【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，又是R上的單調(diào)函數(shù)，所以，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.8.已知，，（，且；，且；，且；），則的值為（）A. B.3 C. D.30【答案】B【解析】【分析】由條件結(jié)合換底公式可求的值，相加可得結(jié)論.【詳解】由，可得，同理，可得，，，所以.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期為B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)D.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象【答案】ABD【解析】【分析】由周期公式計(jì)算可得A正確，利用代入檢驗(yàn)法可判斷B正確，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性利用整體代換可求得C錯(cuò)誤，由平移規(guī)則計(jì)算可判斷D正確.【詳解】對(duì)于A，由周期公式計(jì)算可得函數(shù)的最小正周期為，即A正確；對(duì)于B，將代入檢驗(yàn)可得，因此函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，；易知在上不單調(diào)，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，即D正確.故選：ABD10.已知正實(shí)數(shù)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】由已知結(jié)合不等式及函數(shù)單調(diào)性可得，檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【詳解】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)滿足，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：AD.11.對(duì)任意的，，函數(shù)滿足，且，，則（）A. B.是奇函數(shù)C.4為函數(shù)的一個(gè)周期 D.【答案】ACD【解析】【分析】令可判斷A；根據(jù)時(shí)不成立判斷B；求出后令可判斷C；根據(jù)周期性結(jié)合可判斷D.【詳解】由，令，則，又，所以，故A正確；因?yàn)闀r(shí)，則不成立，所以不是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；令可得，所以，令，則，令，則，所以的周期為4，故C正確；由，得，所以，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)奇偶性與周期性、抽象函數(shù)相結(jié)合的問(wèn)題，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，此類問(wèn)題多考查求值問(wèn)題，常利用奇偶性及周期性進(jìn)行交換，將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解，抽象函數(shù)問(wèn)題往往利用賦值法求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.命題“，”的否定是____________.【答案】，【解析】【分析】由特稱命題的否定可直接得到結(jié)論.【詳解】命題“”的否定為“”.故答案為：.13.若函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一象限的點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，得，且，利用“1”的代換變換，由基本不等式求解.【詳解】由題可得，且，則.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.所以的最小值為.故答案為：.14.已知函數(shù)在區(qū)間上有4個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____________.【答案】【解析】【分析】由，可得，所以，從而求出的取值范圍．【詳解】，，∵函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，，解得，即的取值范圍是故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（1）計(jì)算的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪和對(duì)數(shù)的運(yùn)算求解；（2）法一，利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)式子，根據(jù)商數(shù)關(guān)系弦化切求解；法二，由題可得，代入所求式子得解；法三，由，可得為第一象限角或第三象限角，討論分別求出得解.【詳解】（1）；（2）解法一：，則原式；解法二：，，即，則原式；解法三：，為第一象限角或第三象限角，①當(dāng)為第一象限角時(shí)，，，則原式；②當(dāng)?shù)谌笙藿菚r(shí)，，，則原式.16.已知集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求和；（2）若，求實(shí)數(shù)取值范圍.【答案】（1）或，（2）【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)集合，，根據(jù)集合補(bǔ)集和并集運(yùn)算求解；（2）由題意可得，分和討論求解.【小問(wèn)1詳解】由，得，，當(dāng)時(shí)，，或，.【小問(wèn)2詳解】由得，①當(dāng)時(shí)，，可得即，，②當(dāng)時(shí)，，可得，即，，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，銳角和鈍角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與單位圓交于，兩點(diǎn)，且.（1）若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求的值；（2）求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得，利用三角函數(shù)定義可得，，由，結(jié)合誘導(dǎo)公式求解；（2）根據(jù)（1）得，則，令，，換元上式可得，，利用二次函數(shù)單調(diào)性求出答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閱挝粓A上點(diǎn)的橫坐標(biāo)，且點(diǎn)在第一象限，所以點(diǎn)，即有，，因?yàn)榍覟殇J角，為鈍角，所以，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，則，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，則，所以，因?yàn)樗裕?，，所以的取值范圍?18.某湖泊2024年2月底測(cè)得水草覆蓋面積為48，2024年3月底測(cè)得水草覆蓋面積為64，水草覆蓋面積與月份的關(guān)系有以下兩個(gè)函數(shù)模型可供選擇：①；②.（1）求兩個(gè)函數(shù)模型的解析式；（2）若2024年1月底測(cè)得水草覆蓋面積為36，從上述兩個(gè)函數(shù)模型中選擇更合適的一個(gè)模型，請(qǐng)說(shuō)明理由，并估算至少到哪一年的幾月底水草覆蓋面積能達(dá)到1080？（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）①，②（2）選擇模型②更合適，理由見(jiàn)解析，2025年2月底【解析】【分析】（1）把分別代入兩個(gè)模型，求出函數(shù)解析式.（2）取計(jì)算即可選擇更適合模型，再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算求得答案.【小問(wèn)1詳解】若選擇模型①，則，解得，，所以函數(shù)模型①的解析式為；若選擇模型②，則，解得，，所以函數(shù)模型②的解析式為.【小問(wèn)2詳解】把代入函數(shù)模型①，得，再把代入函數(shù)模型②，得，因此選擇模型②更合適，由，得，兩邊取對(duì)數(shù)得，即，所以至少到2025年2月底水草覆蓋面積能達(dá)到1080.19.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并根據(jù)定義證明；（3）是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意有.若存在，求的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析（3）存在，【解析】【分析】（1）結(jié)合可求出值，需驗(yàn)證是否符合題意；(2)應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性定義證明即可，注意取值、作差、變形、判號(hào)、下結(jié)論的解題過(guò)程；（3）應(yīng)用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立，再應(yīng)用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為恒成立，應(yīng)用均值不等