備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學一輪復習-第5講-函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及應用

第5講函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及應用1．y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)概念y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)振幅周期頻率相位初相AT＝eq\x(\s\up1(01))eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\x(\s\up1(02))eq\f(ω,2π)eq\x(\s\up1(03))ωx＋φeq\x(\s\up1(04))φ2．用五點法畫y＝Asin(ωx＋φ)一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個特征點如下表所示：xeq\x(\s\up1(05))eq\f(0－φ,ω)eq\x(\s\up1(06))eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\x(\s\up1(07))eq\f(π－φ,ω)eq\x(\s\up1(08))eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\x(\s\up1(09))eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φeq\x(\s\up1(10))0eq\x(\s\up1(11))eq\f(π,2)eq\x(\s\up1(12))πeq\x(\s\up1(13))eq\f(3π,2)eq\x(\s\up1(14))2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03．函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象的步驟1．對函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，φ≠0，b≠0)，其圖象的基本變換有：(1)振幅變換(縱向伸縮變換)：是由A的變化引起的，A>1時伸長，A<1時縮短．(2)周期變換(橫向伸縮變換)：是由ω的變化引起的，ω>1時縮短，ω<1時伸長．(3)相位變換(橫向平移變換)：是由φ引起的，φ>0時左移，φ<0時右移．(4)上下平移(縱向平移變換)：是由b引起的，b>0時上移，b<0時下移．可以使用“先伸縮后平移”或“先平移后伸縮”兩種方法來進行變換．2．當相應變換的函數(shù)名不同時，先利用誘導公式將函數(shù)名化一致，再利用相應的變換得到結(jié)論．3．由y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，φ≠0，b≠0)的圖象得到y(tǒng)＝sinx的圖象，可采用逆向思維，將原變換反過來逆推得到．1．函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的振幅、頻率和初相分別為()A．2，eq\f(1,π)，eq\f(π,4) B．2，eq\f(1,2π)，eq\f(π,4)C．2，eq\f(1,π)，eq\f(π,8) D．2，eq\f(1,2π)，－eq\f(π,8)答案A解析由振幅、頻率和初相的定義可知，函數(shù)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的振幅為2，頻率為eq\f(1,π)，初相為eq\f(π,4).故選A.2．函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，π))上的簡圖是()答案A解析令x＝0得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2)，排除B，D.由x＝－eq\f(π,3)時，y＝0，x＝eq\f(π,6)時，y＝0，排除C.故選A.3．(2022·遼寧錦州月考)將曲線C1：y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))上的所有點向右平移eq\f(π,6)個單位，再將各點橫坐標縮短為原來的eq\f(1,2)，縱坐標不變，得到曲線C2，則C2的方程為()A．y＝2sin4x B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(π,3)))C．y＝2sinx D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))答案A解析曲線C1上的所有點向右平移eq\f(π,6)個單位，得到曲線y＝2coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))－\f(π,6)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝2sin2x，再將各點橫坐標縮短為原來的eq\f(1,2)，縱坐標不變，得到曲線C2：y＝2sin4x.4．函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，－\f(π,2)<φ<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，則ω，φ的值分別是()A．2，－eq\f(π,3) B．2，－eq\f(π,6)C．4，－eq\f(π,6) D．4，eq\f(π,3)答案A解析由圖可知，eq\f(3,4)T＝eq\f(5π,12)＋eq\f(π,3)＝eq\f(3π,4)，所以T＝π，ω＝eq\f(2π,T)＝2.因為點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)，2))在圖象上，所以2×eq\f(5π,12)＋φ＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z.又－eq\f(π,2)<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,3).故選A.5．y＝cos(x＋1)圖象上相鄰的最高點和最低點之間的距離是________.答案eq\r(π2＋4)解析y＝cos(x＋1)的半個周期是π，最大值為1，最小值為－1，故由勾股定理得所求距離為eq\r(π2＋22)＝eq\r(π2＋4).6．如圖，某地一天從6～14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω>0,0<φ<π)，則這段曲線的函數(shù)解析式為________.答案y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20，x∈[6,14]解析從圖中可以看出，從6～14時的是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半個周期，所以A＝eq\f(1,2)×(30－10)＝10，b＝eq\f(1,2)×(30＋10)＝20，又eq\f(1,2)×eq\f(2π,ω)＝14－6，所以ω＝eq\f(π,8).又eq\f(π,8)×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z,0<φ<π，所以φ＝eq\f(3π,4)，所以y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x＋\f(3π,4)))＋20，x∈[6,14]．考向一“五點法”作y＝Asin(ωx＋φ)的圖象例1用五點法作出y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))上的圖象．解2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋eq\f(π,3)＝－eq\f(π,3)；2·eq\f(2π,3)＋eq\f(π,3)＝eq\f(5π,3).令2x＋eq\f(π,3)＝0，得x＝－eq\f(π,6)；令2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，得x＝eq\f(π,12)；令2x＋eq\f(π,3)＝π，得x＝eq\f(π,3)；令2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(3π,2)，得x＝eq\f(7π,12).列表如下：2x＋eq\f(π,3)－eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)eq\f(5π,3)x－eq\f(π,3)－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(2π,3)y－eq\r(3)020－2－eq\r(3)描點作圖．用“五點法”作正、余弦型函數(shù)圖象的步驟(1)將原函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式；(2)確定周期；(3)確定一個周期內(nèi)函數(shù)圖象的最高點和最低點；(4)選出一個周期內(nèi)與x軸的三個交點；(5)列表；(6)描點．1.用“五點法”畫出函數(shù)y＝eq\r(3)sineq\f(x,2)＋coseq\f(x,2)的圖象．解∵函數(shù)y＝eq\r(3)sineq\f(x,2)＋coseq\f(x,2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin\f(x,2)＋\f(1,2)cos\f(x,2)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(x,2)cos\f(π,6)＋cos\f(x,2)sin\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))，列表如下：eq\f(x,2)＋eq\f(π,6)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(π,3)eq\f(2π,3)eq\f(5π,3)eq\f(8π,3)eq\f(11π,3)y020－20描點、連線作圖如下：將函數(shù)y＝eq\r(3)sineq\f(x,2)＋coseq\f(x,2)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(11π,3)))的圖象不斷向左、向右平移(每次移動4π個單位長度)，即得函數(shù)在R上的圖象．考向二三角函數(shù)的圖象變換例2(2021·全國乙卷)把函數(shù)y＝f(x)圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的eq\f(1,2)倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移eq\f(π,3)個單位長度，得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的圖象，則f(x)＝()A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(7π,12))) B．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,12)))C．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(7π,12))) D．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,12)))答案B解析依題意，將y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的圖象向左平移eq\f(π,3)個單位長度，再將所得曲線上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，縱坐標不變，得到f(x)的圖象，所以y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))的圖象eq\o(―――――――――→,\s\up14(向左平移\f(π,3)個單元長度))y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))的圖象eq\o(→,\s\up7(所有點的橫坐標擴大到原來的2倍),\s\do5(縱坐標不變))f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,12)))的圖象．關(guān)于y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖象由y＝sinx的圖象的變換，先將y＝sinx的圖象向左(向右)平移|φ|個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標縮短(ω>1)或伸長(0<ω<1)到原來的eq\f(1,ω)倍(縱坐標不變)，然后將所得圖象上各點的縱坐標伸長(A>1)或縮短(0<A<1)到原來的A倍(橫坐標不變)，也可先進行伸縮變換，再進行平移變換，此時平移不再是|φ|個單位，而是eq\f(|φ|,ω)個單位，原則是保證x的系數(shù)為1，同時注意變換的方法不能出錯．2.(多選)(2021·青島市高三上學期期末)要得到y(tǒng)＝cos2x的圖象C1，只要將y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象C2怎樣變化()A．將y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象C2沿x軸向左平移eq\f(π,12)個單位B．將y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象C2沿x軸向右平移eq\f(11π,12)個單位C．先作C2關(guān)于x軸對稱的圖象C3，再將圖象C3沿x軸向右平移eq\f(5π,12)個單位D．先作C2關(guān)于x軸對稱的圖象C3，再將圖象C3沿x軸向左平移eq\f(π,12)個單位答案ABC解析對于A，將y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象C2沿x軸向左平移eq\f(π,12)個單位，可得y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x的圖象C1，故A正確；對于B，將y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象C2沿x軸向右平移eq\f(11π,12)個單位得到y(tǒng)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(11π,12)))＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,2)))＝cos2x的圖象C1，故B正確；對于C，先作C2關(guān)于x軸對稱的圖象，得到y(tǒng)＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象C3，再將圖象C3沿x軸向右平移eq\f(5π,12)個單位，得到y(tǒng)＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(5π,12)))＋\f(π,3)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝cos2x的圖象C1，故C正確；對于D，先作C2關(guān)于x軸對稱的圖象，得到y(tǒng)＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))的圖象C3，再將圖象C3沿x軸向左平移eq\f(π,12)個單位，得到y(tǒng)＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＋\f(π,3)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝－cos2x的圖象，故D不正確．故選ABC.考向三求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例3(多選)(2020·新高考Ⅰ卷)下圖是函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的部分圖象，則sin(ωx＋φ)＝()A．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))) B．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))C．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))) D．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2x))答案BC解析由函數(shù)圖象可知eq\f(T,2)＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，所以T＝π，則|ω|＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,π)＝2，所以ω＝±2，當ω＝2時，由函數(shù)圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，0))，且f(0)>0，得φ＝eq\f(2π,3)＋2kπ，k∈Z，所以y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2x))，同理，當ω＝－2時，φ＝eq\f(π,3)－2kπ，k∈Z，所以y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2x＋\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))).故選BC.確定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)的解析式的步驟(1)求A，b.確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則A＝eq\f(M－m,2)，b＝eq\f(M＋m,2).(2)求ω.確定函數(shù)的周期T，則ω＝eq\f(2π,T).(3)求φ.常用的方法如下：①代入法：把圖象上的一個已知點代入(此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上)或把圖象上的最高點或最低點代入．②五點法：確定φ值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口．3.(2021·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則滿足條件eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(fx－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,4)))))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(fx－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)))))>0的最小正整數(shù)x為________.答案2解析由eq\f(3T,4)＝eq\f(13π,12)－eq\f(π,3)＝eq\f(3π,4)，得T＝π，|ω|＝2，不妨取ω＝2，則f(x)＝2cos(2x＋φ)，將點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，0))看作“五點作圖法”中的第二個點，則eq\f(2π,3)＋φ＝eq\f(π,2)，φ＝－eq\f(π,6)，所以f(x)＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6))).則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(fx－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7π,4)))))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(fx－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)))))>0，即(f(x)－1)f(x)>0，解得f(x)<0或f(x)>1.所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))>eq\f(1,2)或coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))<0.當x＝1時，2x－eq\f(π,6)＝2－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，不符合題意；當x＝2時，2x－eq\f(π,6)＝4－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(7π,6)))，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))<0，符合題意．所以滿足題意的最小正整數(shù)x為2.多角度探究突破考向四函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象與性質(zhì)角度函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應用例4(2021·山東泰安模擬)在①函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))為奇函數(shù)；②當x＝eq\f(π,3)時，f(x)＝eq\r(3)；③eq\f(2π,3)是函數(shù)f(x)的一個零點這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，0<φ<\f(π,2)))，f(x)的圖象相鄰兩條對稱軸間的距離為π，________.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)求函數(shù)f(x)在[0,2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．解∵函數(shù)f(x)的圖象相鄰對稱軸間的距離為π，∴T＝eq\f(2π,ω)＝2π，∴ω＝1，∴f(x)＝2sin(x＋φ)．選條件①：∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋φ－\f(π,3)))為奇函數(shù)，∴φ－eq\f(π,3)＝kπ，k∈Z，解得φ＝eq\f(π,3)＋kπ，k∈Z.(1)∵0<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).(2)由－eq\f(π,2)＋2kπ≤x＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，得－eq\f(5π,6)＋2kπ≤x≤eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，令k＝0，得－eq\f(5π,6)≤x≤eq\f(π,6)，令k＝1，得eq\f(7π,6)≤x≤eq\f(13π,6)，∴函數(shù)f(x)在[0,2π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，2π)).選條件②：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝eq\r(3)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋φ))＝eq\f(\r(3),2)，∴φ＝2kπ，k∈Z或φ＝eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z.(1)∵0<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).(2)同選條件①.選條件③：∵eq\f(2π,3)是函數(shù)f(x)的一個零點，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)＋φ))＝0，∴φ＝kπ－eq\f(2π,3)，k∈Z.(1)∵0<φ<eq\f(π,2)，∴φ＝eq\f(π,3)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).(2)同選條件①.三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合問題的求解思路(1)將函數(shù)整理成y＝Asin(ωx＋φ)＋b(ω>0)的形式．(2)把ωx＋φ看成一個整體．(3)借助正弦函數(shù)y＝sinx的圖象與性質(zhì)(如定義域、值域、最值、周期性、對稱性、單調(diào)性等)解決相關(guān)問題．4.(2021·濰坊一模)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)是偶函數(shù)，將y＝f(x)的圖象沿x軸向左平移eq\f(π,6)個單位，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變)，所得圖象對應的函數(shù)為y＝g(x)．已知y＝g(x)的圖象相鄰對稱中心之間的距離為2π，則ω＝________，若y＝g(x)的圖象在其某對稱軸處對應的函數(shù)值為－2，則g(x)在[0，π]上的最大值為________.答案1eq\r(3)解析把y＝Asin(ωx＋φ)的圖象沿x軸向左平移eq\f(π,6)個單位，所得圖象的解析式為y＝Asineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋φ))＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(ω,6)π＋φ))，再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，所得圖象的解析式為y＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ω,2)x＋\f(ω,6)π＋φ))＝g(x)．由題意可知g(x)的周期為4π，所以eq\f(2π,\f(ω,2))＝4π，ω＝1.因為y＝g(x)的圖象在其某條對稱軸處對應的函數(shù)值為－2，A＞0，所以A＝2，所以f(x)＝2sin(x＋φ)．因為f(x)＝2sin(x＋φ)是偶函數(shù)，0<φ<π，所以φ＝eq\f(π,2)，所以g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)＋\f(π,2)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(π,6)))，當x∈[0，π]時，eq\f(x,2)＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，則g(x)在[0，π]上的最大值為g(0)＝eq\r(3).角度函數(shù)零點(方程根)問題例5(2022·湖南郴州期中)已知關(guān)于x的方程2sin2x－eq\r(3)sin2x＋m－1＝0在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))上有兩個不同的實數(shù)根，則m的取值范圍是________.答案(－2，－1)解析方程2sin2x－eq\r(3)sin2x＋m－1＝0可轉(zhuǎn)化為m＝1－2sin2x＋eq\r(3)sin2x＝cos2x＋eq\r(3)sin2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)).設2x＋eq\f(π,6)＝t，則t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f(13π,6)))，∴題目條件可轉(zhuǎn)化為eq\f(m,2)＝sint，t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f(13π,6)))有兩個不同的實數(shù)根．∴y＝eq\f(m,2)和y＝sint，t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7π,6)，\f(13π,6)))的圖象有兩個不同的交點，如圖：由圖象觀察知，eq\f(m,2)的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,2)))，故m的取值范圍是(－2，－1)．巧用圖象解決三角函數(shù)中的零點(方程根)問題解決三角函數(shù)中的零點(方程根)問題的關(guān)鍵是根據(jù)條件作出對應函數(shù)的圖象，然后再將方程根的問題轉(zhuǎn)化為圖象的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合思想解決．5.(2021·濰坊二模)已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，若函數(shù)g(x)＝f(x)－a(a∈R)在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,2)))上恰有三個零點x1，x2，x3(x1<x2<x3)，則x3－x1的值是()A.eq\f(π,4) B．eq\f(π,2)C．π D．2π答案C解析∵當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,2)))時，2x＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(10π,3)))，函數(shù)g(x)＝f(x)－a(a∈R)在x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3π,2)))上恰有三個零點x1，x2，x3(x1<x2<x3)，∴eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x1＋\f(π,3)＋2x2＋\f(π,3)))＝eq\f(3π,2)，eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2＋\f(π,3)＋2x3＋\f(π,3)))＝eq\f(5π,2)，兩式相減得x3－x1＝π.故選C.角度三角函數(shù)模型的簡單應用例6某實驗室一天的溫度(單位：℃)隨時間t(單位：h)的變化近似滿足函數(shù)關(guān)系：f(t)＝10－eq\r(3)coseq\f(π,12)t－sineq\f(π,12)t，t∈[0,24)．(1)求實驗室這一天的最大溫差；(2)若要求實驗室溫度不高于11℃，則在哪段時間實驗室需要降溫？解(1)f(t)＝10－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cos\f(π,12)t＋\f(1,2)sin\f(π,12)t))＝10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，因為0≤t<24，所以eq\f(π,3)≤eq\f(π,12)t＋eq\f(π,3)<eq\f(7π,3)，－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))≤1.當t＝2時，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝1；當t＝14時，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))＝－1.于是f(t)在[0,24)上的最大值為12，最小值為8.故實驗室這一天最高溫度為12℃，最低溫度為8℃，最大溫差為4℃.(2)依題意，當f(t)>11時實驗室需要降溫．由(1)得f(t)＝10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))，故有10－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))>11，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(π,3)))<－eq\f(1,2).又因為0≤t<24，因此eq\f(7π,6)<eq\f(π,12)t＋eq\f(π,3)<eq\f(11π,6)，即10<t<18.所以若要求實驗室溫度不高于11℃，則在10h至18h實驗室需要降溫．解三角函數(shù)模型應用題的關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式，可以根據(jù)給出的已知條件確定模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b中的待定系數(shù)．6.(2021·烏魯木齊二模)我們來看一個簡諧運動的實驗：將塑料瓶底部扎一個小孔做成一個漏斗，再掛在架子上，就做成了一個簡易單擺．在漏斗下方放一塊紙板，板的中間畫一條直線作為坐標系的橫軸，把漏斗灌上細沙并拉離平衡位置，放手使它擺動，同時勻速拉動紙板，這樣就可在紙板上得到一條曲線，它就是簡諧運動的圖象．它表示了漏斗對平衡位置的位移s(縱坐標)隨時間t(橫坐標)變化的情況．如圖所示．已知一根長為lcm的線一端固定，另一端懸掛一個漏斗，漏斗擺動時離開平衡位置的位移s(單位：cm)與時間t(單位：s)的函數(shù)關(guān)系是s＝2coseq\r(\f(g,l))t，其中g(shù)≈980cm/s2，π≈3.14，則估計線的長度應當是(精確到0.1cm)()A．3.6cm B．3.9cmC．4.0cm D．4.5cm答案C解析由題意可知s＝2coseq\r(\f(g,l))t，由函數(shù)的圖象可知函數(shù)的周期為0.4，故0.4＝eq\f(2π,\r(\f(g,l)))，所以eq\r(\f(g,l))＝eq\f(2π,0.4)＝5π，所以l＝eq\f(g,5π2)＝eq\f(g,25π2)≈eq\f(980,25×3.142)≈4.0cm.故選C.一、單項選擇題1．(2021·永州模擬)函數(shù)y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的部分圖象大致是()答案A解析由y＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))可知，函數(shù)的最大值為2，故排除D；又因為函數(shù)圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))，故排除B；又因為函數(shù)圖象過點(0，eq\r(3))，故排除C.2．(2022·西安五校聯(lián)考)將函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍，再向右平移eq\f(π,4)個單位，所得到的圖象的解析式是()A．y＝sinx B．y＝cosxC．y＝sin4x D．y＝cos4x答案A解析將函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍，得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的圖象，再向右平移eq\f(π,4)個單位，得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)＋\f(π,4)))＝sinx的圖象．3．(2021·南昌二模)心臟每跳動一次，就完成一次收縮和舒張．心臟跳動時，血壓在增大或縮小，并呈周期性變化，血壓的最大值和最小值分別稱為收縮壓和舒張壓．某人的血壓滿足函數(shù)p(t)＝110＋25sin(150πt)，其中p(t)為血壓(單位：mmHg)，t為時間(單位：min)，則相鄰的收縮壓和舒張壓的時間間隔是()A.eq\f(1,150) B．eq\f(1,110)C.eq\f(1,70) D．eq\f(1,75)答案A解析由題意可知相鄰的收縮壓和舒張壓的時間間隔是函數(shù)p(t)的半個周期，∵p(t)＝110＋25sin(150πt)，∴最小正周期T＝eq\f(2π,150π)＝eq\f(1,75)，∴eq\f(1,2)T＝eq\f(1,150).故選A.4．(2020·全國Ⅰ卷)設函數(shù)f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))在[－π，π]的圖象大致如下圖，則f(x)的最小正周期為()A.eq\f(10π,9) B．eq\f(7π,6)C．eq\f(4π,3) D．eq\f(3π,2)答案C解析由圖可得，函數(shù)圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,9)，0))，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,9)·ω＋\f(π,6)))＝0.又eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,9)，0))是函數(shù)f(x)的圖象與x軸負半軸的第一個交點，所以－eq\f(4π,9)·ω＋eq\f(π,6)＝－eq\f(π,2)，解得ω＝eq\f(3,2).所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝eq\f(2π,ω)＝eq\f(2π,\f(3,2))＝eq\f(4π,3).故選C.5．若將函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位長度后，與函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))的圖象重合，則ω的最小值為()A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,2)答案D解析將函數(shù)y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位長度得到y(tǒng)＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,4)))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(ωπ,6)＋\f(π,4)))的圖象，所以－eq\f(ωπ,6)＋eq\f(π,4)＝kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z，解得ω＝－6k＋eq\f(1,2)，k∈Z，又ω>0，所以ω的最小值為eq\f(1,2).6．(2021·咸陽模擬)已知點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)圖象上的一個最低點，M，N是與點P相鄰的兩個最高點，若∠MPN＝60°，則該函數(shù)的最小正周期是()A．3 B．4C．5 D．6答案D解析由點P是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)圖象上的一個最低點，M，N是與點P相鄰的兩個最高點，知|MP|＝|NP|，又∠MPN＝60°，所以△MPN為等邊三角形．由點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))，得|MN|＝eq\f(2×\f(3\r(3),2),\r(3))×2＝6.故該函數(shù)的最小正周期T＝6.7．(2021·黃岡中學高三模擬)將函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|<\f(π,2)))的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位長度后關(guān)于原點對稱，則函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的最小值為()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)答案A解析將函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)的圖象向左平移eq\f(π,6)個單位長度得到y(tǒng)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋φ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)＋φ))的圖象，該圖象關(guān)于原點對稱，即為奇函數(shù)，則eq\f(π,3)＋φ＝kπ(k∈Z)，又|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝－eq\f(π,3)，即f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3))).當x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時，2x－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(2π,3)))，所以當2x－eq\f(π,3)＝－eq\f(π,3)，即x＝0時，f(x)取得最小值，為－eq\f(\r(3),2).8.(2021·聊城模擬)已知函數(shù)f(x)＝2eq\r(2)sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分圖象如圖所示，將f(x)的圖象向右平移a(a>0)個單位后，得到函數(shù)g(x)的圖象，若對于任意的x∈R，g(x)≤|geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,24)))|，則a的值可以為()A.eq\f(π,12) B．eq\f(π,4)C．eq\f(5π,12) D．eq\f(π,2)答案C解析由函數(shù)f(x)＝2eq\r(2)sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))的部分圖象知，f(x)的圖象過點(0,2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，0))，所以f(0)＝2eq\r(2)sinφ＝2，可得sinφ＝eq\f(\r(2),2)，因為|φ|<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,4)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)))＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)ω＋\f(π,4)))＝0，所以eq\f(3π,8)ω＋eq\f(π,4)＝π＋2kπ，k∈Z，所以ω＝eq\f(16k＋6,3)，k∈Z，又eq\f(T,2)＝eq\f(2π,2ω)>eq\f(3π,8)，即0<ω<eq\f(8,3)，所以k＝0，ω＝2，可得f(x)＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4))).因為g(x)＝f(x－a)＝2eq\r(2)·sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x－a＋\f(π,4)))，所以geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,24)))＝2eq\r(2)sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,24)－a))＋\f(π,4)))＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2a))，又對于任意的x∈R，g(x)≤|geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,24)))|，所以geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,24)))＝2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－2a))＝±2eq\r(2)，可得eq\f(π,3)－2a＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得a＝－eq\f(1,2)kπ－eq\f(π,12)，k∈Z，所以當k＝－1時，可得a＝eq\f(5π,12).故選C.二、多項選擇題9．(2021·遼寧省實驗中學高三?？?如果若干個函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，則稱這些函數(shù)為“互為生成”函數(shù)．下列函數(shù)中是“互為生成”函數(shù)的是()A．f1(x)＝sinx＋cosxB．f2(x)＝eq\r(2)(sinx＋cosx)C．f3(x)＝sinxD．f4(x)＝eq\r(2)sinx＋eq\r(2)答案AD解析f1(x)＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))的圖象向右平移eq\f(π,4)個單位長度，然后向上平移eq\r(2)個單位長度后能夠與f4(x)＝eq\r(2)sinx＋eq\r(2)的圖象重合；f2(x)＝eq\r(2)(sinx＋cosx)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，與其他函數(shù)前面系數(shù)不同，平移后不能重合，函數(shù)f3(x)＝sinx與其他函數(shù)前面的系數(shù)也不同，平移后不能重合．故選AD.10．(2021·江蘇南通高三模擬)如圖，摩天輪的半徑為40m，其中心O點距離地面的高度為50m，摩天輪按逆時針方向做勻速轉(zhuǎn)動，且20min轉(zhuǎn)一圈，若摩天輪上點P的起始位置在最高點處，則摩天輪轉(zhuǎn)動過程中()A．經(jīng)過10min，P點距離地面10mB．若摩天輪轉(zhuǎn)速減半，則其周期變?yōu)樵瓉淼膃q\f(1,2)C．第17min和第43min時，P點距離地面的高度相同D．摩天輪轉(zhuǎn)動一圈，P點距離地面的高度不低于70m的時間為eq\f(20,3)min答案ACD解析設點P距離地面的高度與時間的關(guān)系式為f(t)＝Asin(ωt＋φ)＋heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，|φ|≤\f(π,2))).依題意，A＝40，h＝50，T＝20，則ω＝eq\f(2π,20)＝eq\f(π,10)，因為f(0)＝40sinφ＋50＝90，所以φ＝eq\f(π,2)，所以f(t)＝40sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,10)t＋\f(π,2)))＋50(t≥0)．對于A，f(10)＝40sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,10)×10＋\f(π,2)))＋50＝10，A正確；對于B，若摩天輪轉(zhuǎn)速減半，則其周期變?yōu)樵瓉淼?倍，B錯誤；對于C，f(17)＝40sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,10)×17＋\f(π,2)))＋50＝－40coseq\f(7π,10)＋50＝40coseq\f(3π,10)＋50，f(43)＝40sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,10)×43＋\f(π,2)))＋50＝40coseq\f(3π,10)＋50，所以f(17)＝f(43)，C正確；對于D，令f(t)≥70，得40sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,10)t＋\f(π,2)))＋50≥70，所以coseq\f(π,10)t≥eq\f(1,2)，所以－eq\f(π,3)＋2kπ≤eq\f(π,10)t≤eq\f(π,3)＋2kπ，k∈Z，解得－eq\f(10,3)＋20k≤t≤eq\f(10,3)＋20k，k∈Z，eq\f(10,3)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,3)))＝eq\f(20,3)，即摩天輪轉(zhuǎn)動一圈，P點距離地面的高度不低于70m的時間為eq\f(20,3)min，D正確．故選ACD.11.(2021·菏澤模擬)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋4φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A>0，ω>0，0<φ<\f(π,8)))的部分圖象如圖所示，若將函數(shù)f(x)的圖象縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的eq\f(1,4)，再向右平移eq\f(π,6)個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列命題正確的是()A．函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))B．函數(shù)g(x)的解析式為g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))C．函數(shù)f(x)圖象的一條對稱軸是直線x＝－eq\f(π,3)D．函數(shù)g(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(4π,3)))上單調(diào)遞增答案ABD解析由圖可知，A＝2，eq\f(T,4)＝π，∴T＝4π＝eq\f(2π,ω)，得ω＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋4φ))，將(0,1)代入得sin4φ＝eq\f(1,2)，結(jié)合0<φ<eq\f(π,8)，∴4φ＝eq\f(π,6).∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))，故A正確；將函數(shù)f(x)的圖象縱坐標不變，橫坐標縮短到原來的eq\f(1,4)，可得y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的圖象，再向右平移eq\f(π,6)個單位長度，可得g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的圖象，故B正確；∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋\f(π,6)))＝0，不是最值，故直線x＝－eq\f(π,3)不是函數(shù)f(x)圖象的對稱軸，C錯誤；由x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(4π,3)))，得2x－eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11π,6)，\f(15π,6)))，同y＝sinx在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,2)))上的單調(diào)性，根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)g(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π，\f(4π,3)))上單調(diào)遞增，D正確．故選ABD.12．(2021·汕頭一模)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(2－x)＋f(x)＝0，當x∈(0,1]時，f(x)＝－log2x，若函數(shù)F(x)＝f(x)－tan(πx)在區(qū)間[－1，m]上有10個零點，則m的取值可以是()A．3.8 B．3.9C．4 D．4.1答案AB解析f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(x)，又f(2－x)＋f(x)＝0，f(2－x)＝－f(x)＝f(－x)，令t＝－x得f(t)＝f(t＋2)，即f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是周期函數(shù)，周期為2，又f(x)是R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝0，f(1)＝0，所以f(n)＝0，n∈Z，作出y＝f(x)和y＝tan(πx)的圖象，其中y＝tan(πx)的周期是T＝eq\f(π,π)＝1.如圖，由圖可知x≥－1時，從點A(－1,0)，10個交點依次為A，B，O，C，D，E，F(xiàn)，G，H，I，點J是第11個交點，J(4,0)，設C點橫坐標為x0，顯然x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))＝－log2eq\f(1,4)＝2，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)π))＝1，因此x0>eq\f(1,4)，所以eq\f(1,4)<x0<eq\f(1,2)，于是－eq\f(1,2)<xB<－eq\f(1,4)，4－eq\f(1,2)<xI<4－eq\f(1,4)，即3.5<xI<3.75，所以m可取3.8,3.9，m≥4時至少有11個零點，故選AB.三、填空題13．(2021·北京海淀模擬)去年某地的月平均氣溫y(℃)與月份x(月)近似地滿足函數(shù)y＝a＋bsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(π,6)))(a，b為常數(shù))．若6月份的月平均氣溫約為22℃，12月份的月平均氣溫約為4℃，則該地8月份的月平均氣溫約為________℃.答案31解析將(6,22)，(12,4)代入函數(shù)，解得a＝13，b＝－18，所以y＝13－18sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(π,6))).當x＝8時，y＝13－18sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×8＋\f(π,6)))＝31.14．(2020·江蘇高考)將函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位長度，則平移后的圖象中與y軸最近的對稱軸的方程是________.答案x＝－eq\f(5π,24)解析將函數(shù)y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的圖象向右平移eq\f(π,6)個單位長度，所得圖象對應解析式為y＝3sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＋\f(π,4)))＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,12)))，令2x－eq\f(π,12)＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，得x＝eq\f(7π,24)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)．當k＝－1時，x＝－eq\f(5π,24)，故與y軸最近的對稱軸方程為x＝－eq\f(5π,24).15．已知x∈(0，π]，關(guān)于x的方程2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝a有兩個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為________.答案(eq\r(3)，2)解析令y1＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的圖象如圖所示．若2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝a在(0，π]上有兩個不同的實數(shù)解，則y1與y2的圖象應有兩個不同的交點，所以eq\r(3)<a<2.16．(2021·德州二模)聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波，其中純音的數(shù)學模型是函數(shù)y＝Asinωt，已知函數(shù)f(x)＝2cos(2x＋φ)(－π≤φ≤π)的圖象向右平移eq\f(π,3)個單位后，與純音的數(shù)學模型函數(shù)y＝2sin2x的圖象重合，則φ＝________；若函數(shù)f(x)在[－a，a]上是減函數(shù)，則a的最大值是________.答案eq\f(π,6)eq\f(π,12)解析將函數(shù)y＝2sin2x的圖象向左平移eq\f(π,3)個單位后可得到函數(shù)y＝f(x)的圖象，則f(x)＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))＝2sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋\f(π,2)))＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))，又f(x)＝2cos(2x＋φ)(－π≤φ≤π)，所以φ＝eq\f(π,6).令2kπ≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－eq\f(π,12)≤x≤kπ＋eq\f(5π,12)(k∈Z)，所以函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)，由0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))(k∈Z)，可得k＝0，由于函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－a，a]上單調(diào)遞減，則[－a，a]?eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，\f(5π,12)))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－a≥－\f(π,12)，,a≤\f(5π,12)，,－a<a，))解得0<a≤eq\f(π,12)，則a的最大值為eq\f(π,12).四、解答題17．(2021·福建龍巖模擬)把函數(shù)f(x)＝2sinx的圖象向左平移φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<φ<\f(π,2)))個單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，函數(shù)y＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,6)對稱，記函數(shù)h(x)＝f(x)g(x)．(1)求函數(shù)y＝h(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)畫出函數(shù)y＝h(x)在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的大致圖象．解(1)由題意知g(x)＝2sin(x＋φ)，根據(jù)函數(shù)y＝g(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,6)對稱，得eq\f(π,6)＋φ＝eq\f(π,2)＋mπ(m∈Z)，即φ＝eq\f(π,3)＋mπ(m∈Z)，又0<φ<eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3)，則g(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).則h(x)＝f(x)g(x)＝4sinxsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＝4sinxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)cosx))＝2sin2x＋2eq\r(3)sinxcosx＝1－cos2x＋eq\r(3)sin2x＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al