新高考藝術(shù)生40天突破數(shù)學(xué)第24講 平行垂直問題（原卷版）

第24講平行垂直問題【知識點(diǎn)總結(jié)】1.證明空間中直線、平面的平行關(guān)系（1）證明直線與平面平行的常用方法：①利用定義，證明直線與平面沒有公共點(diǎn)，一般結(jié)合反證法證明；②利用線面平行的判定定理，即線線平行線面平行.輔助線的作法為：平面外直線的端點(diǎn)進(jìn)平面，同向進(jìn)面，得平行四邊形的對邊，不同向進(jìn)面，延長交于一點(diǎn)得平行于第三邊的線段；③利用面面平行的性質(zhì)定理，把面面平行轉(zhuǎn)化成線面平行；（2）證明面面平行的常用方法：①利用面面平行的定義，此法一般與反證法結(jié)合；②利用面面平行的判定定理；③利用兩個平面垂直于同一條直線；④證明兩個平面同時平行于第三個平面.（3）證明線線平行的常用方法：①利用直線和平面平行的判定定理；②利用平行公理；2.證明空間中直線、平面的垂直關(guān)系（1）證明線線垂直的方法①等腰三角形底邊上的中線是高；②勾股定理逆定理；③菱形對角線互相垂直；④直徑所對的圓周角是直角；⑤向量的數(shù)量積為零；⑥線面垂直的性質(zhì)（）；⑦平行線垂直直線的傳遞性（∥）.（2）證明線面垂直的方法①線面垂直的定義；②線面垂直的判定（）；③面面垂直的性質(zhì)（）；平行線垂直平面的傳遞性（∥）；⑤面面垂直的性質(zhì)（）.（3）證明面面垂直的方法①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理（）.【典型例題】例1．（2021·四川省廣安代市中學(xué)校高二階段練習(xí)（文））如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，E，F(xiàn)分別為PC，BD的中點(diǎn)，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD.（1）求證：平面PAD；（2）求三棱錐C-PBD的體積.例2．（2021·海南·海港學(xué)校高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，∥，，，分別是棱的中點(diǎn)．（1）求證：∥平面.（2）求證：平面⊥平面.例3．（2021·廣西河池·高一階段練習(xí)）如圖，四邊形ABED為梯形，，，平面ABED，M為AD中點(diǎn)（1）求證：平面⊥平面PBM（2）探究在PD上是否存在點(diǎn)G，使得平面PAB，若存在求出G點(diǎn)，若不存在說明理由．例4．（2021·山東濰坊·高二階段練習(xí)）如圖，已知在長方體中，，，分別為，，的中點(diǎn)，為線段上非端點(diǎn)的動點(diǎn)，且，，設(shè)而與底面的交線為直線，（1）證明：；（2）當(dāng)時，證明：為平面的一條垂線.【技能提升訓(xùn)練】1．（2021·江蘇·蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，P為平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，平面平面于直線.（1）判斷與平面的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）判斷與的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.2．（2021·江蘇·南京市中華中學(xué)高一期中）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，分別為，，的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）記平面與底面的交線為，試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并證明.3．（2020·江西·贛州市第一中學(xué)高二階段練習(xí)（文））如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AB，點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)動.（1）當(dāng)點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)時，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說明理由；（2）證明：無論點(diǎn)E在邊BC的何處，都有PE⊥AF.4．（2021·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體中，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）判斷與平面的位置關(guān)系，并說明理由.5．（2021·四川自貢·三模（文））如圖1，由正方形ABCD、直角三角形ABE和直角三角形CDF組成的平面圖形，其中AB＝AE＝DF＝2，將圖形沿AB、CD折起使得E、F重合于P，如圖2．（1）求四棱錐P﹣ABCD的體積；（2）判斷圖2中平面PAB和平面PCD的交線l與平面ABCD的位置關(guān)系，并說明理由．6．（2021·江蘇·高一專題練習(xí)）如圖，已知三棱柱的側(cè)棱與底面垂直，，、分別是、的中點(diǎn)．（1）證明：；（2）判斷直線和平面的位置關(guān)系，并加以證明．7．（2021·全國·高二專題練習(xí)）如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是AB，A1D1的中點(diǎn).判斷直線MN與平面BB1D1D的位置關(guān)系，并說明理由.8．（2021·四川·石室中學(xué)高三期末（文））如圖（1），在矩形中，，在邊上，.沿，，將和折起，使平面和平面都與平面垂直，如圖（2）.（1）試判斷圖（2）中直線與的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若平面平面，證明平面.9．（2020·北京·高一期末）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，平面ABCD，，，.（1）求證：直線平面PNC；（2）在AB上是否存在一點(diǎn)E，使平面PDE，若存在，確定E的位置，并證明，若不存在，說明理由；（3）求三棱錐的體積.10．（2020·福建·高二學(xué)業(yè)考試）如圖，四棱錐中，底面是矩形，平面，且，．（1）求四棱錐的體積；（2）若分別是棱的中點(diǎn)，則與平面的位置關(guān)系是______，在下面三個選項中選取一個正確的序號填寫在橫線上，并說明理由．①平面；②平面；③與平面相交．11．（2021·廣東·佛山一中高二期中）如圖甲，直角梯形中，，，為中點(diǎn)，在上，且，已知，現(xiàn)沿把四邊形折起（如圖乙），使平面平面.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.12．（2022·上海長寧·高二期末）在矩形中，是的中點(diǎn)，是上，，且，如圖，將沿折起至：（1）指出二面角的平面角，并說明理由；（2）若，求證：平面平面；（3）若是線段的中點(diǎn)，求證：直線平面；13．（2021·遼寧大連·高三學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，平面，、分別為、的中點(diǎn).（1）求三棱錐的體積；（2）證明：平面.14．（2021·四川·樂山市教育科學(xué)研究所一模（文））《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”.在如圖所示的“陽馬”中，側(cè)棱底面，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.15．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））如圖，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，BC=2AD，E為線段BC的中點(diǎn)．（1）求證：平面PDE⊥平面PAD；（2）在線段BD上是否存在點(diǎn)F，使得EF//平面PCD？若存在，求出點(diǎn)F的位置；若不存在，請說明理由；（3）若AB=1，DC=，PA=2，求四棱錐P—ABCD的體積．16．（2021·全國·高二單元測試）如圖，邊長為2的正方形所在的平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面，說明理由.17．（2021·寧夏·銀川唐徠回民中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，直三棱柱中，，．（1）求證：；（2）在棱上是否存在點(diǎn)K，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．18．（2021·寧夏·銀川市第六中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，平面，，.（1）求證：平面.（2）求證：平面平面.（3）設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？說明理由.19．（2021·陜西·西安中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，已知點(diǎn)P是平行四邊形所在平面外一點(diǎn)，M，N，Q分別，，的中點(diǎn)，平面平面．（1）證明平面平面；（2）求證：．20．（2021·黑龍江·哈爾濱三中高三階段練習(xí)（理））如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，平面平面，，，分別為，的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）求證：平面平面．21．（2021·山西呂梁·高三階段練習(xí)（文））如圖，在四棱錐中，底面直角梯形，，，是等邊三角形，且，.（1）設(shè)平面平面，求證：平面；（2）若，求證：平面平面.22．（2021·全國·高一單元測試）如圖所示，已知多面體ABCDFE中，四邊形ABCD為矩形，，，平面平面ABCD，O，M分別為AB，F(xiàn)C的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：平面DAF；（3）若過EF的平面交BC于點(diǎn)G，交AD于點(diǎn)H，求證：．23．（2020·廣東揭東·高一期末）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，，，，為與的交點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)（1）證明：平面；（2）若平面，求三棱錐的體積.24．（2021·全國·高一課時練習(xí)）在三棱柱中，（1）若分別是的中點(diǎn)，求證：平面平面.（2）若點(diǎn)分別是上的點(diǎn)，且平面平面，試求的值．25．（2021·上海浦東新·高二期中）已知是矩形所在平面外一點(diǎn)，，分別是，的中點(diǎn)，求證：平面.26．（2021·全國·高一課前預(yù)習(xí)）如圖，平面平面，四邊形為矩形，和均為等腰直角三角形，且.（1）求證：平面平面；（2）若點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，求證：平面.27．（2021·全國·高二課時練習(xí)）如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為棱，，的中點(diǎn)．求證：(1)平面DEF；(2)平面平面DEF．28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱臺中，底面為直角梯形，，，，為棱的中點(diǎn)，證明：平面.29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在多面體中，是矩形，是正方形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求證：平面.30．（2021·河南·高三階段練習(xí)（文））如圖所示，在四棱錐中，，，為等邊三角形，且平面ADE平面BCDE，F(xiàn)為棱AC的中點(diǎn)．（1）求四棱錐的體積；（2）證明：．31．（2021·河南·溫縣第一高級中學(xué)高三階段練習(xí)（文））如圖，直四棱柱中，上下底面為等腰梯形，．，，為線段的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)為線段上一點(diǎn)，試確定點(diǎn)的位置，使平面平面．32．（2021·貴州·高三階段練習(xí)（文））如圖，在四棱錐中，已知，，，，且平面.（1）證明：平面平面.（2）若是上一點(diǎn)，且平面，求三棱錐的體積.33．（2021·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測（文））如圖1，正方形中，，，將四邊形沿折起到四邊形的位置，使得(如圖2)．（1）證明：平面平面；（2）若分別為的中點(diǎn)，求三棱錐的體積．34．（2021·四川·涼山彝族自治州教育科學(xué)研究所一模（文））圖1是，，，、分別是邊、上的兩點(diǎn)，且，將沿折起使得，如圖2.（1）證明：圖2中，；（2）圖2中，求三棱錐的體積.35．（2021·廣西玉林·模擬預(yù)測（文））如圖所示的四棱錐中，底面為正方形，平面平面，，，分別是，，的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求三棱錐的體積．36．（2019·廣東·順德一中高二期中）如圖，在四棱錐中，，，，平面平面，，是的中點(diǎn).求證：（1）底面；（2）平面．37．（2021·黑龍江·大慶中學(xué)高三期中（文））如圖