2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第5章三角函數(shù)5.1任意角和蝗制5.1.1任意角教學(xué)案新人教A版必修第一冊

PAGE1-5.1.1隨意角(老師獨具內(nèi)容)課程標準：了解隨意角的概念、理解象限角、終邊相同角的概念并會用集合符號表示這些角．教學(xué)重點：理解正角、負角、零角、相反角、象限角的概念，駕馭終邊相同角的表示方法．教學(xué)難點：用集合符號表示終邊相同的角．【學(xué)問導(dǎo)學(xué)】學(xué)問點一角的相關(guān)概念(1)角可以看成平面內(nèi)一條eq\o(□,\s\up1(01))射線圍著它的端點從一個位置eq\o(□,\s\up1(02))旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的eq\o(□,\s\up1(03))圖形．(2)角的表示：如圖，OA是角α的eq\o(□,\s\up1(04))始邊，OB是角α的eq\o(□,\s\up1(05))終邊，O是角的eq\o(□,\s\up1(06))頂點．角α可記為“角α”或“∠α”或簡記為“α”．(3)依據(jù)角的旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類：學(xué)問點二相反角如圖，我們把射線OA繞端點O按eq\o(□,\s\up1(01))不同方向旋轉(zhuǎn)eq\o(□,\s\up1(02))相同的量所成的兩個角叫做互為相反角．角α的相反角記為eq\o(□,\s\up1(03))－α.學(xué)問點三象限角(1)若角的頂點在原點，角的始邊與eq\o(□,\s\up1(01))x軸的非負半軸重合，則角的eq\o(□,\s\up1(02))終邊在第幾象限，就稱這個角是第幾象限角．(2)若角的終邊在eq\o(□,\s\up1(03))坐標軸上，則認為這個角不屬于任何一個象限．學(xué)問點四終邊相同的角設(shè)α表示隨意角，全部與角α終邊相同的角，包括α本身構(gòu)成一個集合，這個集合可記為{β|β＝eq\o(□,\s\up1(01))α＋k·360°，k∈Z}．【新知拓展】對終邊相同的角的理解(1)終邊相同的角不肯定相等，但相等的角終邊肯定相同；(2)k∈Z，即k為整數(shù)，這一條件不行少；(3)終邊相同的角的表示不唯一．1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)探討終邊相同的角的前提條件是角的頂點在坐標原點．()(2)銳角是第一象限的角，但第一象限的角不肯定是銳角．()(3)象限角與終邊落在坐標軸上的角表示形式是唯一的．()答案(1)×(2)√(3)×2．做一做(1)與600°角終邊相同的角可表示為()A．k·360°＋220°(k∈Z)B．k·360°＋240°(k∈Z)C．k·360°＋60°(k∈Z)D．k·360°＋260°(k∈Z)(2)若角α與角β終邊相同，則α－β＝________.答案(1)B(2)k·360°，k∈Z題型一正確理解角的概念例1下列命題正確的是()A．終邊與始邊重合的角是零角B．終邊和始邊都相同的兩個角肯定相等C．在90°≤β<180°范圍內(nèi)的角β不肯定是鈍角D．小于90°的角是銳角[解析]終邊與始邊重合的角還可能是360°，720°，…，A錯誤；終邊和始邊都相同的兩個角可能相差360°的整數(shù)倍，如30°與－330°，B錯誤；由于在90°≤β<180°范圍內(nèi)的角β包含90°角，所以不肯定是鈍角，C正確；小于90°的角可以是0°，也可以是負角，D錯誤．故選C．[答案]C金版點睛理解與角的概念有關(guān)問題的關(guān)鍵關(guān)鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大?。硗忭氁{馭推斷結(jié)論正確與否的技巧，推斷結(jié)論正確須要證明，而推斷結(jié)論不正確只需舉一個反例即可．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練1])(1)經(jīng)過2個小時，鐘表上的時針旋轉(zhuǎn)了()A．60° B．－60°C．30° D．－30°(2)射線OA繞端點O順時針旋轉(zhuǎn)90°到OB位置，接著逆時針旋轉(zhuǎn)100°到OC位置，然后再順時針旋轉(zhuǎn)240°到OD位置，求∠AOD的大?。鸢?1)B(2)見解析解析(1)鐘表的時針旋轉(zhuǎn)一周是－360°，其中每小時旋轉(zhuǎn)－eq\f(360°,12)＝－30°，所以經(jīng)過2個小時應(yīng)旋轉(zhuǎn)－60°.故選B．(2)如圖，∠AOB＝90°，∠BOC＝100°，∠COD＝360°－240°＝120°，∠AOD＝∠BOC－∠AOB＋∠COD＝100°－90°＋120°＝130°.題型二終邊相同的角的表示例2(1)寫出與α＝－1910°終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720°≤β<360°的元素β寫出來；(2)分別寫出終邊在下列各圖所示的直線上的角的集合．[解](1)與角α＝－1910°終邊相同的角的集合為{β|β＝－1910°＋k·360°，k∈Z}．∵－720°≤β<360°，∴－720°≤－1910°＋k·360°<360°，3eq\f(11,36)≤k<6eq\f(11,36).故k＝4,5,6，k＝4時，β＝－1910°＋4×360°＝－470°，k＝5時，β＝－1910°＋5×360°＝－110°，k＝6時，β＝－1910°＋6×360°＝250°.(2)①{β|β＝k·180°，k∈Z}．②{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．[變式探究]在與角1030°終邊相同的角中，求滿意下列條件的角．(1)最小的正角；(2)最大的負角．解1030°÷360°＝2……310°，所以1030°＝2×360°＋310°，所以與角1030°終邊相同的角的集合為{α|α＝k·360°＋310°，k∈Z}．(1)所求的最小正角為310°.(2)取k＝－1得所求的最大負角為－50°.金版點睛在0°～360°范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法(1)把隨意角化為α＋k·360°(k∈Z且0°≤α<360°)的形式，關(guān)鍵是確定k.可以用視察法(α的肯定值較小)，也可用除法．(2)要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是先求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練2])已知－990°<α<－630°，且α與120°角的終邊相同，則α＝________.答案－960°解析∵α與120°角終邊相同，故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.又∵－990°<k·360°＋120°<－630°，即－1110°<k·360°<－750°，解得－3eq\f(1,12)<k<－2eq\f(1,12)，又k∈Z，故k＝－3，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.題型三象限角的判定例3(1)已知角的頂點與坐標原點重合，始邊落在x軸的非負半軸上，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角．①－75°；②855°；③－510°；(2)若α是其次象限角，則2α，eq\f(α,2)分別是第幾象限的角？[解](1)作出各角，其對應(yīng)的終邊如圖所示：①由圖a可知：－75°是第四象限角．②由圖b可知：855°是其次象限角．③由圖c可知：－510°是第三象限角．(2)①∵α是其次象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，∴180°＋k·720°<2α<360°＋k·720°(k∈Z)，∴2α是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上．②∵α是其次象限角，∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)，∴45°＋k·180°<eq\f(α,2)<90°＋k·180°(k∈Z)．解法一：A．當k＝2n(n∈Z)時，45°＋n·360°<eq\f(α,2)<90°＋n·360°(n∈Z)，即eq\f(α,2)是第一象限角；b．當k＝2n＋1(n∈Z)時，225°＋n·360°<eq\f(α,2)<270°＋n·360°(n∈Z)，即eq\f(α,2)是第三象限角．故eq\f(α,2)是第一或第三象限角．解法二：∵45°＋k·180°表示終邊為一、三象限角平分線的角，90°＋k·180°(k∈Z)表示終邊為y軸的角，∴45°＋k·180°<eq\f(α,2)<90°＋k·180°(k∈Z)表示如圖中陰影部分圖形．即eq\f(α,2)是第一或第三象限角．金版點睛象限角的判定方法(1)依據(jù)圖象判定．依據(jù)是終邊相同的角的概念，因為0°～360°之間的角的終邊與坐標系中過原點的射線可建立一一對應(yīng)的關(guān)系．(2)將角轉(zhuǎn)化到0°～360°范圍內(nèi)．在直角坐標平面內(nèi)，在0°～360°范圍內(nèi)沒有兩個角終邊是相同的．(3)nα所在象限的推斷方法確定nα終邊所在的象限，先求出nα的范圍，再干脆轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可．(4)eq\f(α,n)所在象限的推斷方法已知角α所在象限，要確定角eq\f(α,n)所在象限，有兩種方法：①用不等式表示出角eq\f(α,n)的范圍，然后對k的取值分狀況探討：被n整除；被n除余1；被n除余2；…；被n除余n－1.從而得出結(jié)論．②作出各個象限的從原點動身的n等分射線，它們與坐標軸把周角分成4n個區(qū)域．從x軸非負半軸起，按逆時針方向把這4n個區(qū)域依次循環(huán)標上1,2,3,4.α的終邊在第幾象限，則標號為幾的區(qū)域，就是eq\f(α,n)的終邊所落在的區(qū)域．如此，eq\f(α,n)所在的象限就可以由標號區(qū)域所在的象限直觀地看出．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練3])(1)若α為第三象限角，試推斷90°－α的終邊所在的象限；(2)若α為第四象限角，試推斷eq\f(α,2)的終邊所在的象限．解(1)因為α為第三象限角，所以180°＋k·360°<α<270°＋k·360°，k∈Z，則－180°－k·360°<90°－α<－90°－k·360°，k∈Z，所以90°－α的終邊在第三象限．(2)由于α為第四象限角，即α∈(k·360°－90°，k·360°)(k∈Z)，所以eq\f(α,2)∈(k·180°－45°，k·180°)(k∈Z)．當k＝2n，n∈Z時，eq\f(α,2)∈(n·360°－45°，n·360°)(n∈Z)，eq\f(α,2)是第四象限角；當k＝2n＋1，n∈Z時，eq\f(α,2)∈(n·360°＋135°，n·360°＋180°)(n∈Z)，eq\f(α,2)是其次象限角．綜上，可知eq\f(α,2)的終邊所在的象限是其次或第四象限．

題型四區(qū)域角的表示例4寫出終邊落在陰影部分的角的集合．[解]設(shè)終邊落在陰影部分的角為α，角α的集合由兩部分組成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合應(yīng)當是集合①與②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．[條件探究]將本例改為下圖，寫出角的終邊在圖中陰影區(qū)域的角的集合(包括邊界)．解(1){α|45°＋k·360°≤α≤90°＋k·360°，k∈Z}∪{α|225°＋k·360°≤α≤270°＋k·360°，k∈Z}＝{α|45°＋k·180°≤α≤90°＋k·180°，k∈Z}．(2)先寫出邊界角，再按逆時針依次寫出區(qū)域角，得{α|－150°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．金版點睛區(qū)域角的寫法可分三步(1)按逆時針方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；(2)由小到大分別標出起始、終止邊界對應(yīng)的一個角α，β，寫出全部與α，β終邊相同的角；(3)用不等式表示區(qū)域內(nèi)的角，組成集合．eq\a\vs4\al([跟蹤訓(xùn)練4])寫出終邊落在圖中陰影區(qū)域內(nèi)(不包括邊界)的角的集合．解(1)先寫出邊界角，再按逆時針依次寫出區(qū)域角，得{α|k·360°＋135°<α<k·360°＋300°，k∈Z}．(2){α|k·360°－60°<α<k·360°＋45°，k∈Z}∪{α|k·360°＋120°<α<k·360°＋225°，k∈Z}＝{α|k·180°－60°<α<k·180°＋45°，k∈Z}．1．－215°是()A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角答案B解析∵－215°＝－360°＋145°，而145°是其次象限角，∴－215°是其次象限角，故選B．2．下列說法正確的是()A．終邊相同的角肯定相等B．鈍角肯定是其次象限角C．第一象限角肯定不是負角D．小于90°的角都是銳角答案B解析因30°和390°的終邊相同，但兩個角不相等，故A項錯誤；鈍角肯定是其次象限角，故B項正確；因－280°是第一象限角，但此角為負角，故C項錯誤；因－60°是小于90°的角，但它不是銳角，故D項錯誤．綜上，選B．3．假如將鐘表撥快10分鐘，則時針所轉(zhuǎn)成的角度是________度，分針所轉(zhuǎn)成的角度是________度．答案－5－60解析將鐘表撥快10分鐘，則時針按順時針方向轉(zhuǎn)了10×eq\f(360°,12×60)＝5°，所轉(zhuǎn)成的角度是－5°；分針按順時針方向轉(zhuǎn)了10×eq\f(360°,60)＝60°，所轉(zhuǎn)成的角度是－60°.4．角α，β的終邊關(guān)于y軸對稱，若α＝30°，則β＝________，α