2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課下梯度提能十八平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示新人教A版必修4

PAGE1-課下梯度提能（十八）一、題組對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練對(duì)點(diǎn)練一向量的坐標(biāo)表示1．已知＝(－2，4)，則下面說法正確的是()A．A點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2，4)B．B點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2，4)C．當(dāng)B是原點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2，4)D．當(dāng)A是原點(diǎn)時(shí)，B點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2，4)2．假如用i，j分別表示x軸和y軸方向上的單位向量，且A(2,3)，B(4,2)，則AB→可以表示為()A．2i＋3j B．4i＋2jC．2i－j D．－2i＋j3．若A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，則對(duì)點(diǎn)練二平面對(duì)量的坐標(biāo)運(yùn)算4．設(shè)平面對(duì)量a＝(3，5)，b＝(－2，1)，則a－2b＝()A．(6，3)B．(7，3)C．(2，1)D．(7，2)5．若向量a＝(x－2，3)與向量b＝(1，y＋2)相等，則()A．x＝1，y＝3B．x＝3，y＝1C．x＝1，y＝－5D．x＝5，y＝－16．已知A(－3，0)，B(0，2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C在∠AOB內(nèi)，|OC|＝2eq\r(2)，且∠AOC＝eq\f(π,4).設(shè)(λ∈R)，則λ＝________．對(duì)點(diǎn)練三向量共線的坐標(biāo)表示8．已知A(2，－1)，B(3，1)，則與AB→平行且方向相反的向量a是()A．(2，1)B．(－6，－3)C．(－1，2)D．(－4，－8)9．已知A(－1，4)，B(x，－2)，若C(3，3)在直線AB上，則x＝________．11．平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)，回答下列問題：(1)求3a＋b－2(2)求滿意a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k.二、綜合過關(guān)訓(xùn)練1．已知A(7，1)，B(1，4)，直線y＝eq\f(1,2)ax與線段AB交于C，且，則實(shí)數(shù)a等于()A．2B．1C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,3)2．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為(A．(2，6)B．(－2，6)C．(2，－6)D．(－2，－6)3．已知向量a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，假如c∥d，那么()A．k＝1且c與d同向B．k＝1且c與d反向C．k＝－1且c與d同向D．k＝－1且c與d反向4．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若ma＋nb與a－2b共線，則eq\f(m,n)等于()A．－eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C．－2D．26．已知P1(2，－1)，P2(－1，3)，P在直線P1P2上，且.則P點(diǎn)的坐標(biāo)為________．7．已知點(diǎn)O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且，試問：(1)t為何值時(shí)，P在x軸上？P在y軸上？P在其次象限？(2)四邊形OABP可能為平行四邊形嗎？若可能，求出相應(yīng)的t值；若不行能，請(qǐng)說明理由．8．如圖所示，已知△AOB中，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，AD與BC相交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．答案[學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練]1.解析：選D由任一向量的坐標(biāo)的定義可知：當(dāng)A點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)，B點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2，4)．2.解析：選C記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OA→＝2i＋3j，OB→＝4i＋2j，所以AB→＝OB→－OA→＝2i－j.3.解析：∵A(2，－1)，B(4，2)，C(1，5)，＝(2，3)＋(－6，6)＝(－4，9)．答案：(－4，9)4.解析：選B∵a＝(3，5)，b＝(－2，1)，∴a－2b＝(3，5)－2(－2，1)＝(3，5)－(－4，2)＝(7，3)．5.解析：選B由題意，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2＝1，,3＝y(tǒng)＋2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1.))6.解析：過C作CE⊥x軸于點(diǎn)E，由∠AOC＝eq\f(π,4)知，|OE|＝|CE|＝2，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)7.∴(x1＋1，y1－2)＝eq\f(1,3)(3，6)＝(1，2)，(－1－x2，2－y2)＝－eq\f(1,3)(－3，－6)＝(1，2)．則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋1＝1，,y1－2＝2，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－1－x2＝1，,2－y2＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝0，,y1＝4，))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝－2，,y2＝0.))∴C，D的坐標(biāo)分別為(0，4)和(－2，0)，因此＝(－2，－4)．8.解析：選D＝(1，2)，向量(2，1)、(－6，－3)、(－1，2)與(1，2)不平行；(－4，－8)與(1，2)平行且方向相反．9.解析：＝(x＋1，－6)，＝(4，－1)，∵∥，∴－(x＋1)＋24＝0，∴x＝23.答案：2310.證明：設(shè)E(x1，y1)，F(xiàn)(x2，y2)，所以(x1＋1，y1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(2,3)))，故Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(2,3)))；所以(x2－3，y2＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))，故Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，0)).所以＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，－\f(2,3))).又因?yàn)?×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－eq\f(8,3)×(－1)＝0，11.解：(1)3a＋b－2c＝3(3，2)＋(－1，2)－2(4＝(9，6)＋(－1，2)－(8，2)＝(9－1－8，6＋2－2)＝(0，6)．(2)∵a＝mb＋nc，∴(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)＝(－m＋4n，2m＋n)∴－m＋4n＝3且2m＋n＝2，解得m＝eq\f(5,9)，n＝eq\f(8,9).(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，又a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－eq\f(16,13).二、綜合過關(guān)訓(xùn)練1.解析：選A設(shè)C(x0，y0)，則y0＝eq\f(1,2)ax0，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－7，\f(1,2)ax0－1))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x0，4－\f(1,2)ax0))，∵，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0－7＝2（1－x0），,\f(1,2)ax0－1＝2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4－\f(1,2)ax0))，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝3，,a＝2.))2.解析：選D∵四條有向線段首尾相接構(gòu)成四邊形，則對(duì)應(yīng)向量之和為零向量，即4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，∴d＝－6a－4b＋4c＝－6(1，－3)－4(－2，4)＋4(－1，－2)＝(－23.解析：選D∵a＝(1，0)，b＝(0，1)，若k＝1，則c＝a＋b＝(1，1)，d＝a－b＝(1，－1)，明顯c與d不平行，解除A、B.若k＝－1，則c＝－a＋b＝(－1，1)，d＝a－b＝－(－1，1)，即c∥d且c與d反向．4.解析：選A由向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，得ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．由ma＋nb與a－2b共線，得eq\f(2m－n,4)＝eq\f(3m＋2n,－1)，所以eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).5.∴x(－y＋2)－(－x－4)y＝0，即x＋2y＝0.答案：06.∴(x－2，y＋1)＝eq\f(2,3)(－1－x，3－y)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2＋\f(2,3)×（－1）,1＋\f(2,3))，,y＝\f(－1＋\f(2,3)×3,1＋\f(2,3))，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(4,5)，,y＝\f(3,5).))故P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5))).∴(x－2，y＋1)＝－eq\f(2,3)(－1－x，3－y)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2－\f(2,3)×（－1）,1－\f(2,3))，,y＝\f(－1－\f(2,3)×3,1－\f(2,3))，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝－9.))故P點(diǎn)坐標(biāo)為(8，－9)．綜上可得，P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5)))或(8，－9)．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5)))或(8，－9)7.解：由題可知＝(1，2)，＝(3，3)，＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)．(1)若P在x軸上，則有2＋3t＝0，t＝－eq\f(2,3)；若P在y軸上，則有1＋3t＝0，t＝－eq\f(1,3)；若P在其次象限，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋3t＜0，,2＋3t＞0，))解得－eq\f(2,3)＜t＜－eq\f(1,3).(2)＝(－1－3t，－2－3t)＋(4，5)＝(3－3t，3－3t)．若四邊形OABP是平行四邊形