甘肅省2023-2024學年高三第二次診斷性檢測數(shù)學試卷含解析

甘肅省會寧縣第一中學2023-2024學年高三第二次診斷性檢測數(shù)學試卷

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5亳米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05亳米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知等差數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S“，若Sx=16,則數(shù)列｛可｝的公差為（）

3322

A.-B.--C.-D.--

2233

2.函數(shù)y=/（x）在區(qū)間上的大致圖象如圖所示，則f（x）可能是（）

A./(X)=In|sin

B./(x)=ln(cosx)

C./(^)=-sin|tanx|

D.f(x)=-tan|cosx\

3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果為()

儕始卜iE.RQp

4032201520162015

A.---B.----C.----D.---

2017201620171008

4.已知橢圓=1（。＞。＞0）的左、右焦點分別為耳，尼，上頂點為點A,延長交橢圓〃于點4,若AABF,

為等腰三角形，則橢圓T的離心率e二

3

D.叵

2

5.下列不等式正確的是()

A.sin130>sin40>log,4B.tan226<In0.4<tan48

C.cos(-20)<sin65<Igl1

D.tan410>sin80>log52

6.甲、乙兩名學生的六次數(shù)學測驗成績（百分制）的莖葉圖如圖所示.

①甲同學成績的中位數(shù)大于乙同學成績的中位數(shù);

②甲同學的平均分比乙同學的平均分高；

③甲同學的平均分比乙同學的平均分低；

④甲同學成績的方差小于乙同學成績的方差.

以上說法正確的是（）

A.??B.C.②④D.①?@

7.如圖，在A48C中，點M,N分別為CA,C3的中點，若AB=亞,CB=1,且滿足+

則AGMC等于（）

28

D.

33

2.

8.設函數(shù)則＞=/（X），句的大致圖象大致是的（）

9.下列函數(shù)中，在定義域上單調遞增，且值域為［0,+8）的是（）

A.＞'=|lg（x+l）|B.）,=/C.y=2xD.y=ln|R

10.若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝滿足%=34+2生，則公比=（）

A.1B.2C.3D.4

11.己知四棱錐S-AAC。中，四邊形48co為等腰梯形，ADHBC,ZBAD=\2（），AW）是等邊三角形，且

SA=AB=243;若點夕在四棱錐S-A8CZ）的外接球面上運動，記點尸到平面A8CO的距離為"，若平面S4Q_L

平面ABCD,則4的最大值為（）

A.VT3+1B.V13+2

C.巫+1D.V15+2

12.已知tan?=C0S2f,則()

V2JI2J1-sin2p

cc兀

A.2a+/?=—B.a+p=—

4

7Trr

C.a-p=—D.a+2/3=—

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S.，q=1M=2,%+2=|+22二2/T：：￡*，則滿足2019＜鼠＜3000的正整

2a”,n=2k,keN

數(shù)〃?的所有取值為.

14.已知耳，工為雙曲線C:二-二=13＞0力＞0）的左、右焦點，過點寫作直線/與圓/+；/=/相切于點人,且

crtr

與雙曲線的右支相交于點3,若A是8耳上的一個靠近點「的三等分點，且忸鳥|=10,則四邊形AO用8的面積為

15.已知向量。=(1/)，|/?|=>/3,(2a+b)-a=2,貝!J|a-b|=.

16.由于受到網(wǎng)絡電商的沖擊，某品牌的洗衣機在線下的銷售受到影響，承受了一定的經(jīng)濟損失，現(xiàn)將A地區(qū)200家

實體店該品牌洗衣機的月經(jīng)濟損失統(tǒng)計如圖所示，估算月經(jīng)濟損失的平均數(shù)為〃？，中位數(shù)為〃，則〃.

頻率腳足

000020.....................

0.00015--------

a...........

0.00003-------------------------1］

°200040006000800010000經(jīng)濟損失/元

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

2

17.（12分）已知數(shù)列｛服｝的各項均為正，S〃為數(shù)列｛飆｝的前〃項和，an+2an=4Sn+l.

（1）求｛猴｝的通項公式；

（2）設瓦戶?，求數(shù)列｛瓦｝的前〃項和.

18.（12分）［選修4?5：不等式選講］

設函數(shù)/（x）=|x+l|.

（1）求不等式的解集；

（2）已知關于工的不等式2/（x）+|x+〃區(qū)x+4在上有解，求實數(shù)。的取值范圍.

（Tr\JiX=V6COS69

19.（12分）已知曲線G：psin和。2：r.（夕為參數(shù)）.以原點。為極點，X軸的正半軸

V6J2=V2sin

為極軸，建立極坐標系，且兩種坐標系中取相同的長度單位.

（1）求曲線G的直角坐標方程和02的方程化為極坐標方程；

（2）設G與X，）'軸交于M，N兩點,且線段MN的中點為P.若射線OP與G，交于2，。兩點，求尸，Q

兩點間的距離.

20.（12分）已知橢圓。:與+丁甘的右頂點為A,點尸在），軸上，線段AP與橢圓C的交點8在第一象限，過點8

的直線/與橢圓。相切，且直線/交x軸于例.設過點A且平行于直線/的直線交軸于點。.

（I）當8為線段AQ的中點時，求直線A8的方程；

（n）記gPQ的面積為s,,AOMB的面積為邑，求S1+S?的最小值.

2

21.（12分）已知函數(shù)/（工）=§/_〃氏2+"721”〃￡〃）的導函數(shù)為/3.

（1）若函數(shù)雙式）=/（#-/'a）存在極值，求加的取值范圍；

（2）設函數(shù)/?（x）=r（e'）+r（lnx）（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），對任意小￡凡若關于x的不等式〃（幻2十二在

（0,+8］上恒成立，求正整數(shù)人的取值集合.

22.(10分)已知人x)=|x+3卜卜2|

(1)求函數(shù)1Ax)的最大值叫

?2336

(2)正數(shù)a,b,c滿足。+2》+3c=，〃，求證：—I--1—2—.

ahc5

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

根據(jù)等差數(shù)列公式直接計算得到答案.

【詳解】

依題意，s8(4+%)=8(%+4)=]6,故％+0=4,故4=3,故]==幺=一2,故選：D.

82233

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列的計算，意在考查學生的計算能力.

2、B

【解析】

根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調性判斷即可；

【詳解】

解：當戈=0時，sinO=O,1訃苗0|無意義，故排除A；

又cosO=l,則/(0)=-lan|cos0|=-lanlHO,故排除D；

對于C,當天￡(0,?時，卜anX>0,所以/(x)=-sinkai】X不單調，故排除C；

故選：B

【點睛】

本題考杳根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式，這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇，屬于基礎題.

3、D

【解析】

循環(huán)依次為5=11=1，=2；5=31=1+,,，=3;S=6,，=1+,+,,，=4;

336

一.11I

直至/=1+-----+-----------4-,i=2016;結束循環(huán)，輸出

1+21+2+31+2++2015

,11=2(1-14-1+1

r=14-----+----------+?+--------------------+)

1+21+2+31+2++201522320152016

1、20153

=2(1--------)=------,選D.

20161008

點睛：算法與流程圖的考查，側重于對流程圖循環(huán)結構的考查.先明晰算法及流程圖的相關概念，包括選擇結構、循環(huán)

結構、伏代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學問

題，是求和還是求項.

4、B

【解析】

設鳥|=，貝力防T

13|=2〃,\AB\=a+tf

因為|A耳|=a,所以|A3|>|A不.若|44|=|34|,則。=攵-一所以〃=/,

所以|A用+|如|=|A4|=2a,不符合題意，所以|3ZHA3|,則加-/=〃+/,

所以。=力,所以設夕，貝。，

|W"=|A8|=3f,\AFtI=2r,/846=2ije=sin

在工ABK中,易得cos26=!，所以1—2sin2e=L解得$皿0=正(負值舍去)，

333

所以橢圓廠的離心率c=@.故選B.

3

5、D

【解析】

根據(jù)利用排除法，即可求解.

sin40<1<log34,In0.4<0<tan226,cos(-20)=sin70>sin65,

【詳解】

由sin40<1<log,4,In0.4<0<tan226,cos(-20)=cos20=sin70>sin65,

可排除A、B、C選項，

又由

tan410=tan50>1>sin80>^=log5y/5>log52,

所以

tan410>sin80>logs2.

故選D.

【點睛】

本題主要考查了三角函數(shù)的圖象與性質，以及對數(shù)的比較大小問題，其中解答熟記三角函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質是解答

的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.

6、A

【解析】

由莖葉圖中數(shù)據(jù)可求得中位數(shù)和平均數(shù)，即可判斷①②③，再根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度判斷④.

【詳解】

由莖葉圖可得甲同學成績的中位數(shù)為絲絲二81,乙同學成績的中位數(shù)為絲及1=87.5，故①錯誤；

22

卻=■!■x(72+76+80+82+86+90)=81?^=-x(69+78+87+88+92+96)=85，則/<和做②錯誤,③正確；

66

顯然甲同學的成績更集中，即波動性更小,所以方差更小，故④正確，

故選:A

【點睛】

本題考查由莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征，考查由莖葉圖求中位數(shù)、平均數(shù).

7、D

【解析】

選取拓，前為基底，其他向量都用基底表示后進行運算.

【詳解】

由題意G是AA3C的重心，

3AGMB=3x-AN(-BM)=-2(BN-BA)-(BC+BA)=(BA--BCy(BC^BA)

=8^~BC2+-~BABC=5--+-BABC

2222

C42+C^2=(E4-BC)2+1=^42-2E4BC+BC2+1==5-2^4BC4-1+1>

9I——————______

/?—I—BA,BC=7—-28A,BC,8A,BC=1，

22

..2-----21------21--24---------2913R

：^AGAC=~AN-AC=-(-BC-BA)-(BC-BA)=-(-BC--BCBA+BA)=-(——二+5)=」

3323223223

故選：D.

【點睛】

本題考杳向量的數(shù)量積，解題關鍵是選取兩個不共線向量作為基底，其他向量都用基底表示參與運算，這樣做目標明

確，易于操作.

8、B

【解析】

采用排除法：通過判斷函數(shù)的奇偶性排除選項A；通過判斷特殊點/[,/（萬）的函數(shù)值符號排除選項D和選項C

即可求解.

【詳解】

對于選項A:由題意知，函數(shù)/（X）的定義域為R,其關于原點對稱，

因為〃-上甲*L-魯產(chǎn)-仆），

（一X）+1X+1

所以函數(shù)/（x）為奇函數(shù)，其圖象關于原點對稱，故選A排除；

對于選項D:因為/-'''二一一故選項D排除;

（乃丫片+4

—+1

對于選項C:因為/（"）=）；：（：）=0,故選項C排除；

故選:B

【點睛】

本題考杳利用函數(shù)的奇偶性和特殊點函數(shù)值符號判斷函數(shù)圖象;考查運算求解能力和邏輯推理能力;選取合適的特殊點

并判斷其函數(shù)值符號是求解本題的關鍵;屬于中檔題、?？碱}型.

9、B

【解析】

分別作出各個選項中的函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象觀察可得結果.

【詳解】

對于A,y=|ig（x+i）|圖象如下圖所示：

則函數(shù)產(chǎn)|lg（x+l）|在定義域上不單調，4錯誤;

對于4,,,=工；=五的圖象如下圖所示：

則y=6在定義域上單調遞增，且值域為［0,+8）,4正確;

對于。，y=2、的圖象如下圖所示：

則函數(shù)），=2"單調遞增，但值域為（0,+8）,。錯誤;

對于。，），=皿兇的圖象如下圖所示：

則函數(shù)y=ln|x|在定義域上不單調，。錯誤.

故選：B.

【點睛】

本題考查函數(shù)單調性和值域的判斷問題，屬于基礎題.

10、C

【解析】

由正項等比數(shù)列滿足%=3《+2。2,即q夕2=34+2《夕，又〃尸0,即/一2夕一3二0,運算即可得解.

【詳解】

解：因為〃3=34+2〃2，所以。q2=3q+2aq,又qwO,所以夕？一29一3二0,

又9>0,解得4=3.

故選：C.

【點睛】

本題考查了等比數(shù)列基本量的求法，屬基礎題.

11、A

【解析】

根據(jù)平面SAQ_L平面A8CD,四邊形A8CO為等腰梯形，則球心在過8。的中點E的面的垂線上，又AS。。是等

邊三角形，所以球心也在過A54O的外心尸面的垂線上，從而找到球心，再根據(jù)已知量求解即可.

【詳解】

依題意如圖所示：

取BC的中點E,則上是等腰梯形A8CO外接圓的圓心，

取產(chǎn)是ASAD的外心，作OE_L平面A8CQ,Ob_L平面SA3,

則。是四棱錐S-ABCD的外接球球心，且。斤=3,SW=2,

設四棱錐S-A4CO的外接球半徑為R,則R'S尸+。尸2=13,而?！?1,

所以4皿=R+°E=E+I，

故選：A.

【點睛】

本題考查組合體、球，還考查空間想象能力以及數(shù)形結合的思想，屬于難題.

12、C

【解析】

利用二倍角公式，和同角三角函數(shù)的商數(shù)關系式，化簡可得tana=/吃=tan]￡+，即可求得結果.

1-sin2/714)

【詳解】

cos2pcos2/?-sin21+tanZ?(兀二

tana=-------=---；-------*--------------=--------=tan—+尸,

I-sin2pcos~夕+sin，〃-2sin/cos/?1-tan(4J

jrIT

所以。二一十夕，即。一月二一.

44

故選:C.

【點睛】

本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應用和弦化切化簡三角函數(shù)，難度較易.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、20,21

【解析】

由題意知數(shù)列｛〃”｝奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列，則根據(jù)"為奇數(shù)和〃為偶數(shù)分別算出求和公式,代入數(shù)

值檢驗即可.

【詳解】

解：由題意知數(shù)列｛〃”｝的奇數(shù)項構成公差為2的等差數(shù)列，

偶數(shù)項構成公比為2的等比數(shù)列，

則叱上竺例+亞口=2?+公一2；

2121-2

口也2(1)咋2。4)4”=2.

*21-2

,O22

當々=10時，SR=2+1O-2=1122,52O=2"+10-2=2146.

2I22

當％=11時,S2I=2"+1I-2=2167,522=2+11-2=4215.

由此可知，滿足2019WS”,W3000的正整數(shù)機的所有取值為20,21.

故答案為：20,21

【點睛】

本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列通項與求和公式，是綜合題，分清奇數(shù)項和偶數(shù)項是解題的關鍵.

14、60

【解析】

根據(jù)題中給的信息與雙曲線的定義可求得忸聞=3b,忻號二2c與忸叫=3〃-2a，再在中油余弦定理求解得

t4

-=-，繼而得到各邊的長度,再根據(jù)與呦形八。惚=SAOB+S,F8B計算求解即可.

【詳解】

如圖所示：設雙曲線C的半焦距為c.

因為。J_OA,|O用二的所以由勾股定理，得同用二必二7二〃.

所以COS/A￡O=2.

因為A是3"上一個靠近點”的三等分點，。是仁鳥的中點，所以忸制=3%片耳=2c.

由雙曲線的定義可知：忸周一忸段=2凡所以歸圖二3〃-2々.

在△8耳人中，由余弦定理可得忸用2=9〃+4/一2x3bx2cxcos/46。

=9b2+4c2-2x3hx2cx-=4c2-,所以（3人-2a）2=4c2-3〃,整理可得-=

ca2

3s3

所以忸國二3〃-2a=3乂5"24=5〃=10,解得〃=4.所以力二于=6.

Z?632

則C==2舊?則cosNAf；O=[==忑，得sin4耳0二旅.

則0用08的底邊OF?上的高為/?=|町卜inZAFfi=18x去=備.

所以S四邊形八。尸述=5A0B+S&OB二g|AB||AO|+g|O周〃

【點睛】

本題主要考查了雙曲線中利用定義與余弦定理求解線段長度與面積的方法，需要根據(jù)雙曲線的定義表示各邊的長度，再

在合適的三角形里面利用余弦定理求得基本量凡從c的關系.屬于難題.

15、3

【解析】

由題意得a,b=—2，I〃1=V2,再代入|Q—〃|={(a一b)"=—2a?b+b中，計算即可得答案.

【詳解】

由題意可得Ia1=V2,(2a+h)-a=a-b+2a~=?*/?+4?

二a?Z?+4=2，解得a,b=—2，

**\a-b\=J(a-Z?)2=Ja-2a.b+b~=J2+4+3=3?

故答案為：3.

【點睛】

本題考查向量模的計算，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查運算求解能力，求解時注意向量數(shù)量積公式的

運用.

16、360

【解析】

先計算第一塊小矩形的面積5=0.3,第二塊小矩形的面積52=0.4,,面積和超過0.5,所以中位數(shù)在第二塊求解，

然后再求得平均數(shù)作差即可.

【詳解】

第一塊小矩形的面積H=0.3,第二塊小矩形的面積邑=0.4,

故〃=2000+空出=3000；

0.0002

而m=1000x0.3+3000x0.4+5000x0.18+(7000+9000)x0.06=3360,

故加一〃=360.

故答案為：360.

【點睛】

本題考查頻率分布直方圖、樣本的數(shù)字特征，考查運算求解能力以及數(shù)形結合思想，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

〃+2

17、(1)?！?2〃+1；(2)2--------?

3”

【解析】

(1)根據(jù)題意求出首項，再由(。用2+2。用)-(a“2+〃“)=4a；|+1,求得該數(shù)列為等差數(shù)列即可求得通項公式；

(2)利用錯位相減法進行數(shù)列求和.

【詳解】

2

(1)VcM+2a?=4Sw+l,

2

/.ai+2ai=4Si+L即-2ax-3=0,

解得：。1=1或。i=T(舍)，

=

又,:flH+i*+2aH+i4SH+I+1?

2

??(斯+|2+2即+1)-(??+2??)=4an+i,

整理得：(fln+l-an')(fln+l+fln)=2(?！?1+。〃)，

又???數(shù)列｛斯｝的各項均為正，

=

an+i-On2f

???數(shù)列｛m｝是首項為1、公差為2的等差數(shù)列，

，數(shù)列｛”“｝的通項公式。”=1+2(n-1)=2n+l；

(2)由(1)可知瓦=&二竺］，

3“3”

記數(shù)列｛加｝的前〃項和為7”.則

11,、1

7^=1*—+§?—r+??+(2//+1)?—,

3323”

111/、1/、1

37〃=1?親+5?亨~?+(2n-l)-—+(2/1+1),

錯位相減得：!'7'"=1+2((■+1???+")-(2〃+1)?擊

1----

3

_42〃+4

39

.3,42〃+4、〃+2

??Tn=—(-----；-)=2----------?

233向3"

【點睛】

此題考有求等差數(shù)列的基本量，根據(jù)遞推關系判定等差數(shù)列，根據(jù)錯位相減進行數(shù)列求和，關鍵在于熟記方法準確訂

算.

18、(1)[J]-2<X<3](2)-2<?<4

【解析】

(D零點分段去絕對值解不等式即可(2)由題|x+a|42-x在卜L1]上有解，去絕對值分離變量a即可.

【詳解】

(1)不等式f(x)W5-f(x-3),gp|x+l|+|x-2|<5

x<-\,-l<x<2,x>2,

等價于或'或，

—x—1—x+2W5,x+1—工十2工5,x+l+x—2W5,

解得-2<x<3,

所以原不等式的解集為｛x|-2<x?3｝；

(2)當x￡卜1,1］時，不等式2f(x)+|x+a|?x+4,即|x+a|M2-x,

所以|x+a|<2-x在上有解

即-2Wa42-2x在卜1,1］上有解，

所以，-2Wa44.

【點睛】

本題考查絕對值不等式解法，不等式有解求參數(shù)，熟記零點分段,熟練處理不等式有解問題是關鍵，是中檔題.

19、(1)x+6y=6,p1=---6,；(2)1.

l+2sin*0

【解析】

(1)利用正弦的和角公式，結合極坐標化為直角坐標的公式，即可求得曲線G的直角坐標方程；先寫出曲線G的普

通方程，再利用公式化簡為極坐標即可；

(2)先求出M,N的直角坐標，據(jù)此求得中點尸的直角坐標，將其轉化為極坐標，聯(lián)立曲線G，G的極坐標方程，即

可求得尸，。兩點的極坐標，則距離可解.

【詳解】

(1)Cpsinf<9+->|=—

l：可整理為夕cos0+J^c>sin0=6

\6J2

利用公式可得其直角坐標方程為：<+/)，=百,

x=y/bCOS(p22

C：的普通方程為二十上=1,

=亞(P62

6

利用公式可得其極坐標方程為02=

l+2sin26>

(2)由(1)可得G的直角坐標方程為

故容易得mo,

7T

???OP的極坐標方程為8=7,

6

把0=看代入psin0+=T

得小?二】，P1?~

把代入6

0=gp?=得。2=2，

6l+2sin2/9

???|PQI=|2—R=L

即P，。兩點間的距離為1.

【點睛】

本題考查極坐標方程和直角坐標方程之間的轉化，涉及參數(shù)方程轉化為普通方程，以及在極坐標系中求兩點之間的距

離，屬綜合基礎題.

20、（I）直線AB的方程為），=一暫（X-五）（II）J5

【解析】

（1）設點P（O,%）（）'o＞。），利用中點坐標公式表示點B,并代入橢圓方程解得先，從而求出直線A3的方程；（2）

設直線/的方程為：），=米+〃堂＜0,加工0）,表示點M（亍,0）,然后聯(lián)立方程，利用相切得出/=26+1,然

，11\

后求出切點8--,再設出設直線AQ的方程，求出點。仙一夜燈，利用A3兩點坐標，求出直線A8的方

卜mmJ'）

程，從而求出P0,,最后利用以上已求點的坐標表示面積，根據(jù)基本不等式求最值即可.

41k+m)

【詳解】

解：（I）由橢圓uJ+?。?可得：A（V2,0）

由題意：設點尸（0,%）（%＞0）,當8為期的中點時，可得：/二日

代入橢圓方程，可得：）2=￥所以：8fV2近)

2'2

所以3B二廠2-------—?.故直線AB的方程為y=

四一五22V

2

(II)由題意，直線/的斜率存在且不為0,

故設直線I的方程為：y=kx+m{k<0,mw0)

八人-tn

令y=0,得：x=—,所以：M

k

y-kx+m,消兒整理得：（2公+i）f+4k?+2〃『-2=（）.

聯(lián)立：?m

工+2y-2=0'7

因為直線/與橢圓相切，所以△=16女加2—4(2/+1)(262-2)=0.

即加=2公+1.

一2km-2k.m1

設B(E，yJ,則夕=,y=kx.+m=-；——=——,

2k?+1m112k2+im

（-2k1

所以8

Vmm

又直線4Q〃直線/,所以設直線AQ的方程為：y=k(x-42)

令x=0,得y=_?,所以：Q(0,-及A).

1

因為L=J—=-----1rf

3一e-2k-41m

m

所以直線A3的方程為：y二17dA研

-2k-

令匯=0,得)，所以：PO,-=——

K72k+m

2k2+4ihn+\tn2+Okni

所以|PQ|=+

6k+m叵k+m=H-

又因為y==悶?

S2=g|O“"M=gT〃j_1

km2W

所以SI+S2=N+粉2(當且僅當網(wǎng)二\可，即人-孝時等號成立)

所以他+邑).=>/2.

【點睛】

本小題主要考查直線和橢圓的位置關系，考查直線方程以及求橢圓中的最值問題，最值問題一般是把目標式求出，結

合目標式特點選用合適的方法求解，側重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，本題利用了基本不等式求最小值的方法，運算量

較大，屬于難題.

21、(1)me(-2,2)(2){1,2}.

【解析】

(1)求解導數(shù)，表示出g(x),再利用g(x)的導數(shù)可求小的取值范圍;

⑵表示出“(X),結合二次函數(shù)知識求出以〃7)=/—2(/+inx>/+2e2x+2(lnx)2-公的最小值，再結合導數(shù)及

基本不等式求出G(x)=ex-\nx的最值，從而可求正整數(shù)k的取值集合.

【詳解】

%3r.+松

(1)因為/(x)=所以/'(幻=2x2—2mx+m2,

3

2

所以g(x)=/(-V)-fr(x)=-x3-(tn+2)x2+(tn2+2m)x-m2,

則g'(x)=2x2-2(/71+2)x+m2+2m,

由題意可知△=4(/72+2)2-8(〃-+2m)>0,解得me(-2,2)；

22

(2)由(1)可知,f(x)=2x-2mx-￥mf

所以h(x)=2e2'-2mex+2(lnx)2-2mInx+2m2

因為力(x)=2e2x-2mex+2(lnx)2-2mInx