微專題19 圓錐曲線經(jīng)典難題之一類定點(diǎn)、定值問(wèn)題的通性通法研究 -2025年新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)微專題提分突破140分方案

PAGE1微專題19圓錐曲線經(jīng)典難題之一類定點(diǎn)、定值問(wèn)題的通性通法研究【秒殺總結(jié)】1、直線與圓錐曲線綜合應(yīng)用中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的求解，求解此類問(wèn)題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡(jiǎn)直線方程；④根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)的求解方法可求得結(jié)果.2、定比點(diǎn)差法3、非對(duì)稱韋達(dá)與對(duì)稱韋達(dá)4、先猜后證5、硬解坐標(biāo)【典型例題】例1．（2024·陜西榆林·二模）已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為過(guò)點(diǎn)，且的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8.(1)求的方程.(2)設(shè)的右頂點(diǎn)為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)（異于），直線與軸分別交于點(diǎn)，試問(wèn)線段的中點(diǎn)是否為定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）因?yàn)榈拈L(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，所以，所以.又，所以，所以的方程為.（2）易知，則直線的斜率存在，設(shè)其方程為.聯(lián)立得，，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，，直線，令，得，直線，令，得，，所以線段的中點(diǎn)為，為定點(diǎn).例2．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，且垂直于軸．(1)求橢圓的方程；(2)直線斜率存在，交橢圓于兩點(diǎn)，三點(diǎn)不共線，且直線和直線關(guān)于對(duì)稱．（?。┳C明：直線過(guò)定點(diǎn)；（ⅱ）求面積的最大值．【解析】（1）點(diǎn)在橢圓上，且垂直于軸，則有設(shè)橢圓的焦距為，則，點(diǎn)代入橢圓方程，有，解得，則，所以橢圓的方程為.（2）（ⅰ）設(shè)直線l的方程為，由，消去y，整理得，因?yàn)閘交橢圓C于兩點(diǎn)，所以，設(shè)，所以，因?yàn)橹本€和直線關(guān)于對(duì)稱，所以所以所以解得.所以直線l的方程為，所以直線l過(guò)定點(diǎn).（ⅱ）設(shè)直線l的方程為，由，消去，整理得，因?yàn)閘交橢圓C于兩點(diǎn)，所以，解得，，所以，所以令則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為.例3．（2024·四川廣安·二模）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)為拋物線（）的焦點(diǎn)，為上位于第一象限內(nèi)一點(diǎn).當(dāng)時(shí)，的面積為1.(1)求的方程；(2)當(dāng)時(shí)，如果直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率滿足.證明直線是恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【解析】（1）由，所以，設(shè)，，，，解得，所以拋物線的方程為.（2）如圖，設(shè)，，，，，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.由題意直線的斜率不為0，設(shè)，，，聯(lián)立，消去整理得，則，，，因?yàn)?，所以，即，整理得，將，代入上式，，滿足，所以直線為，恒過(guò)定點(diǎn).例4．（2024·高三·廣東廣州·階段練習(xí)）已知橢圓，點(diǎn)是橢圓中心與該橢圓一個(gè)頂點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓與軸正半軸的頂點(diǎn)，且離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線（與軸不重合）交橢圓于，兩點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求面積的最大值；(2)探究直線和直線的斜率之積是否為定值？若是，求出這個(gè)值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)若圓的方程為，直線，分別交圓于，兩點(diǎn)，試證明：直線恒過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）根據(jù)題意可得，，又，則，解得，所以橢圓方程為，因?yàn)?，?dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)絕對(duì)值最大時(shí)，的面積最大，又，.（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線為，，，易知，聯(lián)立，消去整理得，易得，則，，所以.所以直線與直線的斜率之積為定值.（3）設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，，，且，則直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立，消去整理得，解得，，同理，可得，，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，易知此時(shí)，解得，直線過(guò)點(diǎn).當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，，，所以，所以直線過(guò)點(diǎn)，綜上，直線恒過(guò)定點(diǎn).例5．（2024·河南·一模）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，離心率為e且，點(diǎn)D為E上一動(dòng)點(diǎn)，的面積的最大值為，過(guò)的直線，分別與橢圓E交于A，B兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），與直線交于M，N兩點(diǎn)，且M，N兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和為11.過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作直線的垂線，垂足為H.(1)求橢圓E的方程；(2)問(wèn)：平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)Q，使得為定值？若存在，請(qǐng)求出Q點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）根據(jù)條件則，，當(dāng)點(diǎn)D位于短軸頂點(diǎn)時(shí)，面積的最大，且，由，解得，或，又，因此，，，故橢圓E的方程為：.（2）（2）存在定點(diǎn)使得為定值，理由如下：由題意過(guò)點(diǎn)P的直線與橢圓E交于A點(diǎn)，與直線交于M點(diǎn)，與橢圓E交于B點(diǎn)，與直線交于N點(diǎn)，如圖，設(shè)，，，.根據(jù)條件有，，且①由條件知，直線的斜率不為0，故可設(shè)直線的方程為由①，②聯(lián)立，整理得，該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，則，由韋達(dá)定理可得，，代入②中，整理得，又，化簡(jiǎn)得，因此，即直線過(guò)定點(diǎn).過(guò)原點(diǎn)O作直線的垂線，垂直為H，則點(diǎn)H在以為直徑的圓上，則的中點(diǎn)到H的距離等于為定值，因此存在定點(diǎn)即為的中點(diǎn)使得為定值.例6．（2024·全國(guó)·一模）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)Q在橢圓上，且，．(1)求橢圓C的方程；(2)如圖，設(shè)橢圓C的上、下頂點(diǎn)分別為，，P為該橢圓上異于，的任一點(diǎn)，直線，分別交x軸于M，N兩點(diǎn)，若直線OT與經(jīng)過(guò)M，N兩點(diǎn)的圓G相切，切點(diǎn)為T．證明：線段OT的長(zhǎng)為定值．【解析】（1）由，得，由橢圓定義可得，在中，所以可得，解得，則，所以.故橢圓的方程為.（2）如圖：，，設(shè)，直線：，令，得；直線:，令，得；則，因?yàn)?，所以，所以，由切割線定理得，所以，即線段OT的長(zhǎng)度為定值2．例7．（2024·湖南衡陽(yáng)·二模）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8．(1)求的方程；(2)若直線與交于兩點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線的距離為定值1，求的最大值．【解析】（1）因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為8，所以，解得，焦距為，，所以，所以橢圓E的方程為．（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，為或，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，同理，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則直線的方程為，因?yàn)樵c(diǎn)到直線的距離為定值1，所以，則，設(shè)，聯(lián)立橢圓于直線方程，消元得，所以，由，得,,令，則，由，所以當(dāng)時(shí)，，所以的最大值例8．（2024·高三·浙江·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于M，N兩點(diǎn)在第一象限）.(1)當(dāng)時(shí)，求直線的方程;(2)若三角形OMN的外接圓與曲線交于點(diǎn)（異于點(diǎn)O，M，N），（i）證明:△MND的重心的縱坐標(biāo)為定值，并求出此定值;（ii）求凸四邊形OMDN的面積的取值范圍.【解析】（1）解:設(shè)直線聯(lián)立，消去，得，所以，，則，則，又由題意，直線的方程是;（2）（1）方法1:設(shè)因?yàn)镺，M，D，N四點(diǎn)共圓，設(shè)該圓的方程為，聯(lián)立，消去，得，即，所以即為關(guān)于的方程的3個(gè)根，則，因?yàn)椋傻南禂?shù)對(duì)應(yīng)相等得，，所以的重心的縱坐標(biāo)為0.方法2:設(shè)，則，因?yàn)镺，M，C，N四點(diǎn)共圓，所以，即，化簡(jiǎn)可得:，所以的重心的縱坐標(biāo)為0.（2）記的面積分別為，由已知得直線MN的斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，消去，得，所以，所以，由（1）得，，所以，即，因?yàn)椋c(diǎn)到直線MN的距離，所以，所以在第一象限，即，依次連接O，M，D，N構(gòu)成凸四邊形OMDN，所以，即，又因?yàn)椋?，即，所以，即，即，所以，設(shè)，則，令，則，因?yàn)?，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以的取值范圍為.例9．（2024·寧夏銀川·一模）已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，左頂點(diǎn)為A，則上頂點(diǎn)為，且的方程為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若是直線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的兩條不同直線分別交于點(diǎn)，和點(diǎn)，，且，求證：直線的斜率與直線的斜率之和為定值.【解析】（1）因?yàn)榈姆匠虨?，可知，可知，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由可得，因?yàn)辄c(diǎn)P在直線上，可設(shè)點(diǎn)，由題可知：直線DE的斜率與直線MN的斜率都存在．所以直線DE的方程為：，即，直線MN的方程為：，即，設(shè)，，，，所以，消去y可得，整理可得，且，則，，又因?yàn)椋?，則，同理可得，又因?yàn)?，則，可知，則，整理可得，又因?yàn)椋瑒t，所以直線DE的斜率與直線MN的斜率之和為0．【過(guò)關(guān)測(cè)試】1．（2024·廣東湛江·一模）已知為雙曲線上一點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，且直線與的斜率之和為．(1)求雙曲線的方程；(2)不過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，若直線的傾斜角分別為和，且，證明：直線過(guò)定點(diǎn)．【解析】（1）由題意知：，，，，又在雙曲線上，，解得：；雙曲線的方程為：.（2）當(dāng)直線中的一條斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)直線斜率不存在，則，，，直線，即，由得：，解得：，即直線與雙曲線相切于點(diǎn)，不合題意；直線斜率均存在，則，，，，即，；設(shè)，由得：，且，，，，，由得：，，，，整理可得：，即，或，當(dāng)時(shí)，直線恒過(guò)點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)直線恒過(guò)點(diǎn)；綜上所述：直線過(guò)定點(diǎn).2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的漸近線上，且滿足.(1)求的方程；(2)點(diǎn)為的左頂點(diǎn)，過(guò)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn).【解析】（1）設(shè)，，由，得，解得，即，而曲線的漸近線方程為，由點(diǎn)在的漸近線上，得，即，因此，所以的方程為.（2）由（1）知，設(shè)直線為，由消去y得：，則，，由三點(diǎn)共線，得，同理，因此，所以的中點(diǎn)為定點(diǎn).3．（2024·天津·一模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為，，離心率為，過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.(1)求橢圓的方程；(2)若為直線上一動(dòng)點(diǎn)，且直線，分別與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于，兩點(diǎn)），證明：直線恒過(guò)一定點(diǎn).【解析】（1）設(shè)，由，解得，所以，又，，解得，，，所以橢圓方程為.（2）由（1）可得，，設(shè)，設(shè)直線的方程為，，，由，整理得，所以，即，所以，，因?yàn)?、、三點(diǎn)共線，、、三點(diǎn)共線，所以，，所以，即，所以，即，所以，整理得，因?yàn)楫?dāng)變化時(shí)，上式恒成立，所以，解得，所以直線的方程為，令，則，所以直線過(guò)定點(diǎn).4．（2024·河南鄭州·二模）已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，且焦距為.(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)弦AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N.①證明：直線MN必過(guò)定點(diǎn)；②若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值.【解析】（1）依題意有，，解得，所以橢圓的方程為.（2）①設(shè)：，，，則：，聯(lián)立，故，，，故，由代替m，得，當(dāng)，即時(shí)，：，過(guò)點(diǎn).當(dāng)，即時(shí)，，：，令，，直線MN恒過(guò)點(diǎn).當(dāng)，經(jīng)驗(yàn)證直線MN過(guò)點(diǎn).綜上，直線MN恒過(guò)點(diǎn).②，令，，∵在上單調(diào)遞減，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).故面積的最大值為.5．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）已知橢圓的焦距為6，圓9與橢圓C有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知?jiǎng)又本€過(guò)曲線的左焦點(diǎn)F，且與橢圓分別交于P，Q兩點(diǎn)，試問(wèn)x軸上是否存在定點(diǎn)R，使得為定值？若存在，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）根據(jù)題意得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓的方程，可得，設(shè)，則．設(shè)，則，若為定值，則，解得．此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，代入，得不妨設(shè)，若，則，，．綜上，在軸上存在點(diǎn)，使得為定值．6．（2024·全國(guó)·一模）如圖，已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，焦點(diǎn)與雙曲線的焦點(diǎn)重合.點(diǎn)，斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn).

(1)求常數(shù)的取值范圍，并求橢圓的方程.(2)(本題可以使用解析幾何的方法，也可以利用下面材料所給的結(jié)論進(jìn)行解答)極點(diǎn)與極線是法國(guó)數(shù)學(xué)家吉拉德·迪沙格于1639年在射影幾何學(xué)的奠基之作《圓錐曲線論稿》中正式闡述的.對(duì)于橢圓，極點(diǎn)（不是原點(diǎn)）對(duì)應(yīng)的極線為，且若極點(diǎn)在軸上，則過(guò)點(diǎn)作橢圓的割線交于點(diǎn)，則對(duì)于上任意一點(diǎn)，均有（當(dāng)斜率均存在時(shí)）.已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.連接交軸于點(diǎn).連接分別交橢圓于兩點(diǎn).①設(shè)直線、分別交軸于點(diǎn)、點(diǎn)，證明：點(diǎn)為、的中點(diǎn)；②證明直線：恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【解析】（1）由題意焦點(diǎn)在軸上，所以，解得，即的范圍為，且，解得，所以橢圓方程為.（2）我們首先給出題目給出的引理的證明：設(shè)，則Q在P的極線上，現(xiàn)在如果經(jīng)過(guò)P的直線交橢圓于：那么，代入橢圓就得到，所以，由韋達(dá)定理有，此時(shí)要證明的是：，也就是，也就是，也就是，

也就是，也就是，

也就是，也就是，也就是，也就是，也就是，這顯然成立，所以結(jié)論得證.接下來(lái)我們回到原題，①首先由于Q在P的極線上，故由引理有，，而，所以，這表明Q是和的交點(diǎn)，又由于，故，設(shè)，而，，，所以，也就是E是的中點(diǎn)；②設(shè)，那么，所以，這表明的方程是，即，所以恒過(guò)點(diǎn).7．（2024·新疆塔城·二模）已知?jiǎng)訄A經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線，分別與曲線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率存在，且傾斜角互補(bǔ)，求證：直線的傾斜角為定值.【解析】（1）因?yàn)閯?dòng)圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且與直線相切，即動(dòng)圓圓心到點(diǎn)的距離與到直線的距離相等，又點(diǎn)不在直線上，由拋物線的定義可知?jiǎng)訄A圓心是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以動(dòng)圓圓心的軌跡為.（2）依題意設(shè)直線方程為，直線，的斜率存在，且傾斜角互補(bǔ)，的方程為．聯(lián)立方程組，消元得，，因?yàn)榇朔匠痰囊粋€(gè)根為，設(shè)，，則，同理可得，，．．，設(shè)直線的傾斜角為，則，又，所以，直線的斜率為定值，傾斜角為定值．8．（2024·天津南開·一模）已知橢圓C：的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)F重合，拋物線的準(zhǔn)線被C截得的線段長(zhǎng)為.(1)求橢圓C的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F作直線l交C于A，B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M，使為定值？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由題意得，解得，所以橢圓C的方程為.（2）假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)，設(shè)，則，，①當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l的方程為，由，得，則，所以，因此，若對(duì)于任意的t值，上式為定值，則，解得，此時(shí)，為定值.②當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，綜合①②知，符合條件的點(diǎn)M存在，其坐標(biāo)為.9．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，下頂點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若點(diǎn)均在橢圓上，且滿足直線與的斜率之積為，（?。┣笞C：直線過(guò)定點(diǎn)；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線的方程．【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，所以橢圓的下頂點(diǎn)，則，又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以橢圓方程為；（2）（?。┊?dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則，所以，則，與矛盾，所以直線的斜率存在，由已知直線斜率同號(hào)，因此直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由得，由，可得，所以，，則，，所以，即，所以，解得或，當(dāng)時(shí)直線方程為，令，可得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)直線方程為，令，可得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn)，符合題意．綜上可得直線恒過(guò)定點(diǎn).（ⅱ）設(shè)直線恒過(guò)定點(diǎn)為，此時(shí)，解得，由，可得，又，，所以，，所以，解得，滿足，所以，所以直線方程為.10．（2024·新疆烏魯木齊·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，重新定義兩點(diǎn)之間的“距離”為，我們把到兩定點(diǎn)的“距離”之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫“橢圓”．(1)求“橢圓”的方程；(2)根據(jù)“橢圓”的方程，研究“橢圓”的范圍、對(duì)稱性，并說(shuō)明理由；(3)設(shè)，作出“橢圓”的圖形，設(shè)此“橢圓”的外接橢圓為的左頂點(diǎn)為，過(guò)作直線交于兩點(diǎn)，的外心為，求證：直線與的斜率之積為定值．【解析】（1）設(shè)“橢圓”上任意一點(diǎn)為，則，即，即，所以“橢圓”的方程為；（2）由方程，得，因?yàn)?，所以，即，所以或或，解得，由方程，得，即，所以，所以，所以“橢圓”的范圍為，，將點(diǎn)代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于軸對(duì)稱，將點(diǎn)代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于軸對(duì)稱，將點(diǎn)代入得，，即，方程不變，所以“橢圓”關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以“橢圓”關(guān)于軸，軸，原點(diǎn)對(duì)稱；（3）由題意可設(shè)橢圓的方程為，將點(diǎn)代入得，解得，所以橢圓的方程為，，由題意可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，恒成立，則，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以直線的中垂線的方程為，同理直線的中垂線的方程為，設(shè)，則是方程的兩根，即是方程的兩根，所以，又因，所以，兩式相比得，所以，所以，所以直線與的斜率之積為定值．11．（2024·高三·云南昆明·階段練習(xí)）平面上一動(dòng)點(diǎn)滿足．(1)求P點(diǎn)軌跡的方程；(2)已知，，延長(zhǎng)PA交于點(diǎn)Q，求實(shí)數(shù)m使得恒成立，并證明：為定值【解析】（1）由題意可得，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離比到定點(diǎn)的距離大2，由雙曲線的定義，P點(diǎn)軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，設(shè)，則，，，所以的方程為．（2）如圖，不妨設(shè)點(diǎn)P在第二象限，①當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，，令，解得，則，此時(shí)，在中，，，即，②當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，令的傾斜角為，的傾斜角為，則，，假設(shè)成立，即，則有，即．又，，又點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足，即，，，假設(shè)成立，綜上，當(dāng)時(shí)，有成立．此時(shí)，由對(duì)稱性知，，而，為定值．12．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）我們約定，如果一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸和短軸分別是另一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸，則稱它們互為“姊妺”圓錐曲線.已知橢圓，雙曲線是橢圓的“姊妺”圓錐曲線，分別為的離心率，且，點(diǎn)分別為橢圓的左?右頂點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，若直線的斜率分別為.（i）試探究與的比值是否為定值.若是定值，求出這個(gè)定值；若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ii）求的取值范圍.【解析】（1）由題意可設(shè)雙曲線，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）（i）設(shè)，直線的方程為，由，消元得.則，且，，或由韋達(dá)定理可得，即,，即與的比值為定值.（ii）方法一：設(shè)直線，代入雙曲線方程并整理得，由于點(diǎn)為雙曲線的左頂點(diǎn)，所以此方程有一根為，.由韋達(dá)定理得：，解得.因?yàn)辄c(diǎn)A在雙曲線的右支上，所以，解得，即，同理可得，由（i）中結(jié)論可知，得，所以，故，設(shè)，其圖象對(duì)稱軸為，則在上單調(diào)遞減，故，故的取值范圍為；方法二：由于雙曲線的漸近線方程為，如圖，過(guò)點(diǎn)作兩漸近線的平行線，由于點(diǎn)A在雙曲線的右支上，所以直線介于直線之間（含軸，不含直線），所以.同理，過(guò)點(diǎn)作兩漸近線的平行線，由于點(diǎn)在雙曲線的右支上，所以直線介于直線之間（不含軸，不含直線），所以.由（i）中結(jié)論可知，得，所以,故.13．（2024·山東煙臺(tái)·一模）已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，離心率為，直線過(guò)點(diǎn)且與雙曲線交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）.(1)求證：直線與直線的斜率之積為定值.并求出該定值；(2)過(guò)點(diǎn)分別作直線的垂線，垂足分別為，記的面積分別為，求的最大值.【解析】（1）令雙曲線半焦距為c，依題意，，由，解得，則雙曲線的方程為，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為，由消去得，，，設(shè)，則，直線的斜率分別為，所以.（2）設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，由，得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，用替換上式中的得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，則而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，所以的最大值為.14．（2024·北京門頭溝·一模）已知橢圓的離心率為，橢圓的上頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的面積為2．(1)求橢圓的方程；(2)若過(guò)點(diǎn)且不過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與直線交于點(diǎn)，試判斷直線的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）由已知可得解得，所以橢圓E的方程為.（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，代入橢圓方程得，不妨設(shè)此時(shí)，則，則直線NC的斜率為.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，設(shè)則直線MQ的方程為，令，得，由消去得：，由于點(diǎn)P在橢圓內(nèi)，則必有，則所以所以，所以CN的斜率為定值1.15．（2024·高三·上海閔行·期中）已知雙曲線：的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上．過(guò)的左焦點(diǎn)F作直線交的左支于A、B兩點(diǎn)．(1)求雙曲線C的方程；(2)若，試問(wèn)：是否存在直線，使得點(diǎn)M在以為直徑的圓上?請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．設(shè)直線、的斜率分別、，求證：為定值．【解析】（1）由雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，可得，解得，∴雙曲線的方程為．（2）雙曲線的左焦點(diǎn)為，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)直線為，與雙曲線左支只有一個(gè)交點(diǎn)，舍去；當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)，聯(lián)立方程組，消得，易得，設(shè)，則，可得，∵，則，即，可得與不垂直，∴不存在直線，使得點(diǎn)在以為直徑的圓上．（3）由直線，得，∴，又，∴，∵，∴，且，∴，即為定值．16．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的離心率為分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)和坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上異于的一動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為.(1)求的方程；(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，記的面積為，過(guò)線段的中點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，設(shè)直線的斜率分別為.①求的取值范圍；②求證：為定值.【解析】（1）由題意知，解得，所以的方程為；（2）①易知，設(shè)直線方程為，如下圖所示：聯(lián)立，消去可得，所以，且，可得，令，可得，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得在時(shí)單調(diào)遞增；所以可得；即的取值范圍為.②易知，可得；所以；因此為定值.17．（2024·高三·福建福州·期末）已知橢圓的上、下頂點(diǎn)分別是A，B，點(diǎn)E（異于A，B兩點(diǎn)）在橢圓C上，直線EA與EB的斜率之積為，橢圓C的短軸長(zhǎng)為2．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)Q是橢圓C長(zhǎng)軸上的不同于左右頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作斜率不為0的直線l，l與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)分別為P，N，若為定值，則稱點(diǎn)Q為“穩(wěn)定點(diǎn)”，問(wèn)：是否存在這樣的穩(wěn)定點(diǎn)？若有，求出所有的“穩(wěn)定點(diǎn)”；若沒有，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）由題，，即，所以，，設(shè)，由可得，，化簡(jiǎn)得，又點(diǎn)滿足上式，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）存在這樣的點(diǎn)，設(shè)直線，，，，聯(lián)立，消去整理得，，，，又，，，要使上式為定值，則，故當(dāng)時(shí)，為定值，綜上，存在這樣的穩(wěn)定點(diǎn).18．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)異面直線與所成的角為，公垂線段為，且，、分別直線m、n上的動(dòng)點(diǎn)，且，為線段中點(diǎn)，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系可確定點(diǎn)的軌跡方程．(1)請(qǐng)根據(jù)自己建立的平面直角坐標(biāo)系求出．(2)為的任意內(nèi)接三角形，點(diǎn)為的外心，若直線的斜率存在，分別為，，，，證明：為定值．【解析】（1）過(guò)作直線，則直線的夾角為，令它們確定的平面為，有，過(guò)作，交直線于點(diǎn)，連接，于是，而，則，取的中點(diǎn)，而是線段的中點(diǎn)，連接，則，，顯然四邊形為矩形，，而，因此，點(diǎn)在移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)到平面的距離，于是點(diǎn)軌跡所在平面平行于，點(diǎn)軌跡與點(diǎn)的軌跡形狀完全相同，在平面內(nèi)以直線相交構(gòu)成的兩組對(duì)頂角的平分線為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系，其中軸與直線都成，令直線的方程分別為，設(shè)，則，即，由，得，于是，即，所以方程為.（2）設(shè)，則，顯然中任意兩個(gè)都不