2024-2025學(xué)年河南省安陽(yáng)市林州市高二上冊(cè)9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年河南省安陽(yáng)市林州市高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡的相應(yīng)位置上。寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。選擇題（共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。）1．已知向量，，則（

）A．2 B．3 C． D．2．已知空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則的值為（

）A． B．4 C．6 D．3．已知直線：與直線：，若，則（

）A． B．2 C．2或 D．54．已知圓過點(diǎn)，則圓心到原點(diǎn)距離的最小值為（

）A． B． C．1 D．5．如圖，已知正方體中，F(xiàn)為線段的中點(diǎn)，E為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列四個(gè)結(jié)論正確的是（

）

A．存在點(diǎn)E，使平面B．三棱錐的體積隨動(dòng)點(diǎn)E變化而變化C．直線與所成的角不可能等于D．存在點(diǎn)E，使平面6．已知正方體的棱長(zhǎng)為，是棱上的一條線段，且，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下面四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（

）①與一定不垂直

②二面角的正弦值是③的面積是

④點(diǎn)到平面的距離是常量A． B． C． D．7．若在圓上，總存在相異兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)在直線上，線段的中點(diǎn)為，且滿足，則的取值范圍為A． B． C． D．二．多選題（共3小題，每題6分，共18分。在每題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分。）9．如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，將，，分別沿DE，DF，EF折起，使A，B，C重合于點(diǎn)P，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．三棱錐的外接球的體積為C．點(diǎn)P到平面DEF的距離為 D．二面角的余弦值為10．已知四面體中，，，兩兩垂直，則以下結(jié)論中一定成立的是（

）A．； B．C．； D．11．已知圓：和直線，則（

）A．直線與圓的位置關(guān)系無(wú)法判定B．當(dāng)時(shí)，圓上的點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離為C．當(dāng)圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1時(shí)，D．如果直線與圓相交于、兩點(diǎn)，則的中點(diǎn)的軌跡是圓的一部分三．填空題（共3小題，每題5分，共15分。）12．已知平面向量，滿足與的夾角為，且，則對(duì)一切實(shí)數(shù)的最小值是．13．如圖，在正四棱錐中，二面角為60°，E為的中點(diǎn).已知F為直線上一點(diǎn)，且F與A不重合，若異面直線與所成角為60°，則=.14．設(shè)直線2x－y－＝0與y軸的交點(diǎn)為P，點(diǎn)P把圓(x＋1)2＋y2＝25的直徑分為兩段，則這兩段之比為．四．解答題（共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。）（14分）15．已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，，其中點(diǎn)在直線上(1)若，求的邊上的中線所在的直線方程：(2)若當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值．（14分）16．在平面直角坐標(biāo)系中，橫?縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，對(duì)于任意相鄰三點(diǎn)都不共線的有序整點(diǎn)列與，其中，若同時(shí)滿足：①兩點(diǎn)列的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別相同：②，其中，則稱與互為正交點(diǎn)列.(1)求的正交點(diǎn)列；(2)判斷是否存在正交點(diǎn)列？并說明理由.（16分）17．如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的一點(diǎn)，且.

(1)證明：平面平面；(2)求平面和平面夾角的大小.（17分）18．設(shè)直線的方程為.(1)求證：不論a為何值，直線必過一定點(diǎn)P；(2)若直線分別與x軸正半軸，y軸正半軸交于點(diǎn)A，B，當(dāng)面積最小時(shí)，求的周長(zhǎng)；(3)當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為整數(shù)時(shí)，求直線的方程.（16分）19．已知四棱錐，底面為菱形，為上的點(diǎn)，過的平面分別交于點(diǎn)，且∥平面．

(1)證明：；(2)當(dāng)為的中點(diǎn)，與平面所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.數(shù)學(xué)答案1．A【詳解】根據(jù)題意，，所以.2．D【詳解】因?yàn)殛P(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，所以，3．A【詳解】若,則，所以或.當(dāng)時(shí),重合,不符合題意,所以舍去;當(dāng)時(shí),符合題意.4．D【詳解】設(shè)圓心,由得，化簡(jiǎn)得，即圓心在直線運(yùn)動(dòng)，圓心到原點(diǎn)距離的最小值即原點(diǎn)到直線的距離，故最小值為，5．D【詳解】在正方體中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，由在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)（），則，平面的法向量，顯然，則直線與平面不平行，A錯(cuò)誤；，設(shè)直線與所成角為，則，顯然當(dāng)時(shí)，，，即存在點(diǎn)E使得直線與所成的角為，C錯(cuò)誤；設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，因此平面，D正確；點(diǎn)在正方體的對(duì)角面矩形的邊上，則，而平面平面，則，又，可得平面，點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐的體積為定值，B錯(cuò)誤.6．C【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)、，其中，設(shè)點(diǎn)，其中，易知點(diǎn)，、、、、、、、，對(duì)于①，，，則，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，即，此時(shí)，即，故①錯(cuò)；對(duì)于②，因?yàn)?，，故平面即平面，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，易知平面即為平面，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，所以，，則，因此，二面角的正弦值是，故②對(duì)；對(duì)于③，，，所以，點(diǎn)到直線的距離為，所以，，故③對(duì)；對(duì)于④，由②知，平面的一個(gè)法向量為，所以，點(diǎn)到平面的距離為，④對(duì).7．C【詳解】由題意可知，若在圓上，總存在相異兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于1，等價(jià)于圓和圓相交，則圓心與原點(diǎn)之間的距離為，，即，解得或，實(shí)數(shù)的取值范圍是.8．A【詳解】∵直線與直線平行，線段的中點(diǎn)為，，化簡(jiǎn)可得解得，設(shè)，，即9．AC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，作出圖形，取EF中點(diǎn)H，連接PH，DH，由原圖知和均為等腰三角形，故，，又因?yàn)?，所以平面PDH，又平面PDH，所以，A正確；由PE，PF，PD三線兩兩垂直，如下圖構(gòu)造長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的外接球就是三棱錐的外接球，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑，設(shè)為2R，則，則，所以所求外接球的體積為，B錯(cuò)誤；根據(jù)題意，可知PE，PF，PD三線兩兩垂直，且，，在中，，，由等積法可得，得，C正確；由題意如上圖，，，則，，所以∠PHD為二面角的一個(gè)平面角，因?yàn)?，，且，所以平面PEF，則，即，在中，，D不正確．10．ACD【詳解】由題意可知，，，兩兩垂直，所以，對(duì)于A選項(xiàng)，，，故，所以A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，，否則不成立，所以選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，同理可得，，所以，選項(xiàng)D正確，11．BCD【詳解】圓：，即，圓心為，半徑為.直線，即，當(dāng)時(shí)，，所以直線過定點(diǎn).，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線與圓相交，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.時(shí)，直線的方程為，圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的最遠(yuǎn)距離為，B選項(xiàng)正確.若圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，則圓心到直線的距離為，即，C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，直線與圓相交于、兩點(diǎn)，設(shè)的中點(diǎn)Px,y，則，則，即點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓.由于直線的斜率存在，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，且除去與直線的交點(diǎn)（以外的另一點(diǎn)），所以D選項(xiàng)正確.

12．【詳解】由題知，則，則，故若使取最小值，則只需向量與向量反向，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故13．11【詳解】取的中點(diǎn)G，與的交點(diǎn)為，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)因?yàn)槎娼菫?0°，所以則.設(shè)，則從而整理得，解得(舍)，故.14．或【詳解】依題意令x＝0,得P（0，﹣3），（x+1）2+y2＝25圓心C（﹣1，0），∴|CP|＝＝2，∵半徑為5，∴其長(zhǎng)度之比＝＝或＝，故答案為或．15．(1)(2)6【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，AB的中點(diǎn)為，則，由直線的點(diǎn)斜式方程得MC的方程為，即；（2）設(shè)，，則，當(dāng)時(shí)，，即，解得.16．(1)(2)不存在，理由見解析【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)列的正交點(diǎn)列是，由正交點(diǎn)列的定義可知，設(shè)，由正交點(diǎn)列的定義可知，即，解得所以點(diǎn)列的正交點(diǎn)列是.（2）由題可得，設(shè)點(diǎn)列是點(diǎn)列的正交點(diǎn)列，則可設(shè)因?yàn)榕c與相同，所以有因?yàn)榈梅匠?，顯然不成立，所以有序整點(diǎn)列不存在正交點(diǎn)列.17．(1)證明見解析(2).【詳解】（1）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，

所以，設(shè)，則，解得，即.則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即令，解得，所以平面的一個(gè)法向量為.因?yàn)椋O(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以即，令，解得，所以平面的一個(gè)法向量為，又，所以平面平面；（2），所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，所以，即令，解得，所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即令，解得，所以平面的一個(gè)法向量為.，所以平面和平面夾角的大小為18．(1)證明見解析(2)(3)見解析.【詳解】（1）由得:；則，解得所以不論為何值，直線必過一定點(diǎn)；（2）由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又由，得，∴,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)∴，，∴的周長(zhǎng)為；（3）直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為整數(shù)，即，均為整數(shù)，所以，均為整數(shù)，∴，，，，，0，，2，又當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為零，也符合題意，所以直線的方程為，，，，，，，.19．(1)證明見詳解(2)【詳解】（1）設(shè)，則為的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉榱庑?，則，又因?yàn)?，且為的中點(diǎn)，則，，平面，所以平面，且