2025屆吉林省吉林地區(qū)高三上學期二模數學試題及答案

★保密·啟用前★吉林地區(qū)普通高中2024-2025學年度高三年級第二次模擬考試數學試題說明：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，貼好條形碼。2.答選擇題時，選出每小題答案后，用2b鉛筆把答題卡對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。答非選擇題時，用0.5毫米的黑色簽字筆將答案寫在答題卡上。字體工整，筆跡清楚。3.請按題號順序在答題卡相應區(qū)域作答，超出區(qū)域所寫答案無效；在試卷上、草紙上答題無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的。p:R，x2≥0，則p為1.命題xxR，R，x＜0x＜0B.xRxR，x2≥0x＜0，A.C.xD.2.設全集UZ，A{1,01}，B{xN||x|≤2，則圖中陰影部分表示的集合是}B.{1,2}A.C.{0{1,0,2}D.3.在ΔABC中，點D為AB的中點，點O為ΔABC的重心，則OAOBA.COB.D.2C.CO4.已知隨機事件A和B，下列表述中錯誤的是A．若BA，則P(AB)P(B)B．若BA，則P(AB)P(A)P(AB)1C．若A，B互斥，則D．若A，B互斥，則P(AB)P(A)P(B)高三數學試題第1頁（共6頁）5.已知雙曲線C的右焦點為F(2,0)P在雙曲線上且滿足PFx|PF曲線C的實軸長為3A.1B.2C.4D.86.(a,)的距離為定值d的直線系方程為(xa)cos(yb)sindR)，此方程也是以(a,)為圓心，d為半徑的圓的切線方程.則當變動時，動直線xcos2ysin22cos2R)圍成的封閉圖形的面積為A.1B.2C.πD.π7.已知等差數列a}的首項為1，且a，a1，2a成等比數列，則數列{(1)a}的前nn356n2025項和為B.505A.1013C.505D.1013[x]為不超過x[a,b]（或(a,b)，[a,b)，(a,b]ba.8.定x若關于的不等式k[x＜ln[x]的解集對應區(qū)間的長度為1，則實數k的取值范圍是ln221eA.0B.D.≤k＜≤k＜ln5ln33ln22ln33C.≤k＜5二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9.設復數z1i，則zA.在復平面內對應的點位于第一象限2i1iB.zC.zz2D.若是關于的方程x2pxzx2pR)的一個根，則p210.數學與音樂有緊密的關聯(lián)，每個音都是由純音合成的，純音的數學模型是函數yAsinx.像我們平時聽到的音樂不只是一個音在響，而是許多個音的結合，稱為復合音.復合音的產生是因為發(fā)聲體在全段振動，產生頻率為的基音的同時，其各部分，如f二分之一，三分之一，四分之一部分也在振動，產生的頻率恰好是全段振動頻率的倍數，如2f，3f4f，等，這些音叫諧音，因為振幅較小，我們一般不易單獨聽出來.所以我高三數學試題第2頁（共6頁）11n1sinkx(nN)，ysinxsin2xsin3xfn(x)們聽到的聲音的函數是23k132A.yf2(x)的最大值為ππB.yf3(x)在[,]上單調遞增66C.yf4(x)的周期為2πD．nN,|fn(x)≤n|x|11.已知f(x)是定義在Ra,b滿足f(ab)af(b)bf(a)1時，f(x0，則f0f(|x|)f(x)A.C.B.f(x)有個零點3f(x0，則＜0或1D.若三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。其中14題的第一個空填對得2分，第二個空填對得3分。2lgx,0,10x,x≤0,12.已知函數f(x)則f(f.xa22y2213.已知橢圓C:a0)的上頂點為A，點P，Q均在C上，且關于x軸對b2稱．若直線AP，AQ的斜率之積為，則橢圓3C的離心率為.14.如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面ABC，∠SAB120°，ACABBCSA2，點在棱EAC上，且CE3AE面SAB內一動點P滿足CP2PE，則點P的軌跡長度為；直線CP與直線AB所成角的余弦值的取值范圍高三數學試題第3頁（共6頁）為.四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.（本小題滿分13分）在ΔABC中，角A,B,C所對的邊分別為a，b，c，sin2AsinAsinBcos2Bcos2C.（Ⅰ）若c3，ab6，求ΔABC的面積S；2（Ⅱ）若角C的平分線與AB的交點為D，CD，求ab的最小值.216.（本小題滿分15分）exx1f(x)（e為自然對數的底數）.已知函數f(x)（Ⅰ）求函數的單調遞減區(qū)間；x(1,)m（Ⅱ）若不等式f(x＞m(x在上恒成立，求實數的取值范圍.17.（本小題滿分15分）ABCABCP1A如圖，一個直三棱柱和一個正四棱錐組合而成的幾何體中，1111AB⊥ACABAC2.，11111111B⊥ACC1A；1（Ⅰ）證明：平面平面1110BBCCPBBP1A的1（Ⅱ）若平面高．與平面夾角的余弦值為，求正四棱錐11110高三數學試題第4頁（共6頁）18.（本小題滿分17分）.現(xiàn)對近4年的國家自然科學基金項目支出（以下簡稱項目支出）概況進行統(tǒng)計，得到數據如下表：年份2020年2021年2022年32023年4年份序號12項目支出/百億元9096100108y（Ⅰ）經過數據分析，發(fā)現(xiàn)年份序號與項目支出具有線性相關關系.請求出項目支出關于x年份序號的經驗回歸方程，并預測2025年的項目支出；金申報者的交流，天元基金委員會舉辦了論壇活動.經調查統(tǒng)計，甲、乙兩個地區(qū)共有200人參加此次論壇活動，具體數據如下表：男生65女生35合計/人100甲乙4555100合計/人110902000.005的獨立性檢驗，能否認為申報者所在地區(qū)與性別有關聯(lián)？10量比例分配的分層隨機抽樣，從上述200人中抽取40的滿意度平均數為9分，方差為7.19，女生樣本的滿意度平均數為7分，方差為6.79，由這些數據，請求出總樣本的滿意度的平均數和方差，并對全體參加此次論壇活動的天元基金申報者的滿意度的平均數和方差作出估計.nn(xx)(yy)xynxyiiiii1i1aybx附：b，，nn(xix)2i12inx2xi12(bc)(ab)(cd)(ac)(bd)2，其中nabcd.0.10.050.0250.010.0050.001高三數學試題第5頁（共6頁）x2.7063.8415.0246.6357.87910.82819.（本小題滿分17分）已知A(x,y)(n1,2,3)在拋物線...x2py(p0上，其中2)A(1,1，關于軸的)Aynnn1nBnnAkk22k.nk且n1對稱點為，記直線的斜率為，n1n1（Ⅰ）證明數列{xx}{x}是等比數列，并求出數列的通項公式；nn1nΔnn1n2S（Ⅱ）求（Ⅲ）記的面積；nalog(x，T{a}nrk的前項和，是否存在正整數，，使為數列n2nnna1k16r成立？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由.k命題校對：高三數學核心組高三數學試題第6頁（共6頁）令ab1，則f0，A選項正確；令ab1，則f(0；吉林地區(qū)普通高中2024—2025學年度高三年級第二次模擬考試令a1,bx，則f(x)f(x)B選項不正確；數學學科參考答案111令ax,b，則f()f(x)0，xxx一、單選題：本大題共8題，每小題5分，共40分。11當x1時，01，f(x)0，f()0，即當0x1時，f(x)0.12345678xx又f(x)是奇函數，當1x0時，f(x)0；當x1時，f(x)0.f(0)ff(0，C選項正確，D選項正確.CBACBCAD8.教學提示（法二）當x0時，f(x)0.f(ab)f(a)f(b)lnt令t[x](tN*，則k).t當x0時，.ablnt原不等式的解集對應區(qū)間的長度為1，不等式k的正整數解有且只有一個.f(x)t根據等式特點，構造函數logc|x|(c且c，xlnx易知f(x)在(0,e)上單調遞增，(e,)上單調遞減，xln33即f(x)xlogc|x|(c且c.又當x1時，f(x)0，c1，即f(x)xlogc|x|(c.0,x0,ln22又f(3)，f(2)f(4)，ln2ln33k.2綜上f(x)xlogc|x|,x0.易得ACD選項正確，B選項錯誤.二、多選題：本大題共3題，每小題6分，共18分。910三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。ACACD32612.113.(2分)；[0,]（3分）10.教學提示334D.易證sinxx.14.教學提示（法一）由2得，點P軌跡是以A為球心，1為半徑的球面，211f(x)sinxsin2xsinn又點P在平面內，點P在以A為圓心，1為半徑，為圓2n3112sinxsin2xsin心角的圓弧上，因此點的軌跡長度為P.2n3112x2x建系如圖，設P,0,sin13,).[0,])，則(200),CP2n3nx教學提示cos1AB,.21)23sin5（法一）已知f(ab)(b)(a)，令ab0，則f(0)0；第1頁共6頁5t2令t5,t[3,6],cos，3即的面積S為.分243t3t22tt6π3π6,CP.（Ⅱ）因為為角CC，所以.平分線，24在中，SSS，6故直線CP與直線AB所成角的余弦值的取值范圍為.41π312π612π所以abab，8分（法二）設直線CP與直線AB所成角為，取AB的中點M,，26,12232226由，得ab(ab)，所以(ab).·························10分ab根據三余弦定理可知，coscos1cos2248886CMtan1，易知P從點M運動至N處，tan逐漸減小，則cos逐漸增大，1ab6因為a0，b0，所以由基本不等式，得(ab)()2，1262由圖可知，P從點M運動至N處cos2逐漸增大，則P在點M處時，cos取得最小值，此時cos0，2636所以ab，當且僅當ab時取等號.3236則P在點N處時，cos取得最大值，此時coscoscos，1222426所以ab的最小值為分36故直線CP與直線AB所成角的余弦值的取值范圍為.164（Ⅰ）f(x)的定義域為{x|x2分四、解答題：本大題共5小題，共77分。xexf(x).4分(x1)2（Ⅰ）由sin2Acos2cos2sin2ABBCB)sin2C)sin2Csin2B，令f(x)0，得x1或1x0，得ABCAB.222f(x)的單調遞減區(qū)間為(，(10).分由正弦定理得abc22221分a2b2c2exex所以C，（Ⅱ）x(1),m(x，x10m.分222x1(x1)2π因為C(0,π)，所以C.4分3ex(x1)2ex(x(x1)3設g(x)，x(1)，g(x).分在中，c3，ab6，由余弦定理c22ab2(ab)23，令g(x)0，則x1.得(3)2(6)23，解得1.當1x1時，g(x)0，g(x)在(上單調遞減；1π31233所以Sab1.224第2頁共6頁當x1時，g(x)0，g(x)在)上單調遞增.分取y21，則z2h，n(,,).13分01h2eee則g(x)g，m，即m的取值范圍是(，).15分設平面CC與平面夾角為，11144417.【解析】|nn||h1|12則cos|nn,|12，解得h2或.ABC1ABC平面，11112（Ⅰ）直三棱柱中，|n||n|1h22111121ABABCAB3P1A1分又平面，分所以正四棱錐的高為或2.111111112【此處也可直接證明：正四棱錐PA中，AB.】（建系方式二）以A為原點，，，所在直線111111xy分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系，zABACACA,,ACACC1A平面，1又，11111111111CC此時可得平面的一個法向量為101)，11ABA平面.5分7分1111的一個法向量為20,h).平面1AB1B，1又平面11（法二）取BB中點M,CC中點N，連接，.11平面B平面A.1111正四棱錐PA，11xyz（Ⅱ）（法一）以A為原點，1，，所在直線分別為軸、軸、軸建立如圖所示的空間1，PMBB.1直角坐標系，則B,1,C(0,2,0).又直三棱柱ABC中,四邊形CC是矩形，11111設正四棱錐PA的高為h，則P，11M，N分別為BB，CC的中點，111，(0,2,2)，,，分//1CBC，MNBB，，11111CC設平面的一個法向量為1(x,y,z).11111∠CC與平面的夾角，1或其補角即為平面11x10yz11n02x10則11，2y2z01011或即.分z11y11，取，則1(0,.分P1A設正四棱錐的高為,則h21,h1設平面的一個法向量為n(x,y,z)，12222ABACABAC2且,11111111x20xz2n0則2x2012，xz02BC22.11n202222第3頁共6頁作PH⊥平面CC，垂足為，連接H，221h，211則2h，(2h)21.22MQ2cos,在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，222,222844h222221h,213分即((2)21)2(h21)2(22)22h2122,······························13分12當h，12當h，當h2.當h2.12P1A1所以正四棱錐的高為或2.分11218.【解析】所以正四棱錐PA的高為或2.分111（Ⅰ）（法一）x234)，y(90，················2分44（法三）取AA中點F,BB中點M,CC中點N,連接NFMNMP,并延長NF交于1114ii點Q，取中點E,連接EP,交于點G.正四棱錐P1A1(xxyy)((((，i1中，14(xix)2(2(2225，PMBB.1i1又直三棱柱ABC中,四邊形CC是矩形，114ii111(xxyy)所以bi15.8，aybx98.55.82.584，M，N分別為BB，CC的中點，4511(xix)2i1//1CBC，MNBB，，11111所以國家自然科學技術基金項目支出y關于年份序號x的經驗回歸方程為y5.8x845分CC的夾角，1或其補角即為平面與平面11當x6時，y5.8684118.8（百億元）,即或.分預測年的國家自然科學技術基金項目支出為百億元分11（法二）x234)，y(90分44設正四棱錐PA的高為h，則PG即為四棱錐PA的高，111144iixy1234，x2149，221h2.中，，，i1i1//，又G為的中點，為的中位線，2h.第4頁共6頁4即拋物線方程為x2y.分A(x,x2),B(x,x2A(xn1,x2iixy4xy42.598.542.52bi15.8，aybx98.55.82.584，42x24xnnnnnnn1n1i1x2x2即knn1nxn1xn.分x所以國家自然科學技術基金項目支出y關于年份序號x的經驗回歸方程為y8x5分xn1nkn12kn，xn2xn1xn1xn).當x6時，y5.8684118.8（百億元）,預測年的國家自然科學技術基金項目支出為百億元分xn2xxn1xkxx20，xxn0，n12.121n1nxxn是以2為首項，2為公比的等比數列，即xx2.································5分nH0:申報天元基金者的所在地區(qū)與性別無關聯(lián).根據列聯(lián)表中的數據，經計算得到nn1n112nxx(xx)(xx)(xx)121222n12n1(nn12132nn112(6510022分x11符合上式，依據小概率值的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為申報天元基金者的所在地區(qū)與性別有關聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于分數列xn的通項公式是x21分nn（Ⅱ）（法一）Axx2(,A(x,x2n1An2(x,x2n2n2nnnn1n1（ⅱ）把男生樣本的滿意度平均數記為x，方差記為s2；xx2x2xn1xn直線nAn1的斜率為n1nxn1xn.女生樣本的滿意度平均數記為，方差記為；總樣本的滿意度平均數記為，方差記為zys2ys2.則x9，s2x，y7，s2y，直線nn1的方程為：yx2(xx)(xx)，即(xx)xyxnxn10.nnn1nnn1根據男、女樣本量按比例分配的分層隨機抽樣總樣本平均數與各層樣本平均數的關系，n2到直線nn1的距離為9z9可得總樣本的滿意度平均數為7，分(xx)xx2n2xnxn1(xx)(xxn)32