2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題（解析版）

第1頁/共21頁2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.則所求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(6,8)，位于第一象限.故選：A.A.2B.1C.D.1【答案】B【解析】【詳解】因?yàn)锳二B，則有：故選：B.3.某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有().【答案】D【解析】【分析】利用分層抽樣的原理和組合公式即可得到答案.第2頁/共21頁根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有C0.C0種.故選：D.4.若f為偶函數(shù)，則a=().【答案】B【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)，利用特殊值法求出a值，再檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)ln3，解得a=0，當(dāng)a=0時(shí)，f=xln解得或，則其定義域?yàn)榛蜿P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.故此時(shí)f(x)為偶函數(shù).故選：B.5.已知橢圓+y2=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，直線y=x+m與C交于A，B兩點(diǎn)，若△F1AB面積是△F2AB面積的2倍，則m=().A.B.D.【答案】C【解析】【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用Δ>0，求出m范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于m的方程，解出即可.第3頁/共21頁設(shè)F1到AB的距離到AB距離d2，易知·2（舍去故選：C.【答案】C【解析】x上恒成立，再根據(jù)分參求最值即可求出.設(shè)gx(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，，即a的最小值為e1.故選：C.A.B.C.D.【答案】D第4頁/共21頁【解析】【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出.故選：D.A.120B.85C.85D.120【答案】C【解析】【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)S4,S8的關(guān)系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解.【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，首項(xiàng)為a1，若q=1，則S6=6a1=3×2a1=3S2，與題意不符，所以q≠1；由①可得，1+q2+q4=21，解得：q2=4，故選：C.方法二：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，從而，S2,S4—S2,S6S4,S8S6成等比數(shù)列，當(dāng)S2=1時(shí)，S2,S4S2,S6S4,S8S6，即為1,易知，S8+21=64，即S8=85；與S4=5矛盾，舍去.第5頁/共21頁故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握S4,S8的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡(jiǎn)化運(yùn)算.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。 A.該圓錐的體積為πB.該圓錐的側(cè)面積為43πC.AC=2D.△PAC的面積為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)圓錐的體積、側(cè)面積判斷A、B選項(xiàng)的正確性，利用二面角的知識(shí)判斷C、D選項(xiàng)的正確性.C選項(xiàng)，設(shè)D是AC的中點(diǎn)，連接OD,PD，故選：AC.10.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=—過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則().第6頁/共21頁A.p=2B.C.以MN為直徑的圓與l相切D.△OMN為等腰三角形【答案】AC【解析】【分析】先求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得p，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得MN，根據(jù)圓與等腰三角形的知識(shí)確定正確答案.A選項(xiàng)：直線y=—過點(diǎn)所以拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F(1,0)，所以=1,p=2,2p=4，則A選項(xiàng)正確，且拋物線C的方程為y2=4x.B選項(xiàng)：設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)，解得x1=3,x2=所以=x1+x2+p=3+選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)：設(shè)MN的中點(diǎn)為A，M,N,A到直線l的距離分別為d1,d2,d，即A到直線l的距離等于MN的一半，所以以MN為直徑的圓與直線l相切，C選項(xiàng)正確.所以三角形OMN的面積為所以三角形OMN不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.第7頁/共21頁11.若函數(shù)=alnx+既有極大值也有極小值，則().A.bc>0B.ab>0C.【答案】BCD【解析】【分析】求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f’(x)，由已知可得f’(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)不等的正根判斷作答.函數(shù)f=alnx+的定義域?yàn)?0,+∞)，求導(dǎo)得因?yàn)楹瘮?shù)f(x)既有極大值也有極小值，則函數(shù)f’(x)在(0,+∞)上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，而a≠0，因此方程ax2bx2c=0有兩個(gè)不等的正根x1,x2，A錯(cuò)誤，BCD正確.故選：BCD收到0的概率為1α;發(fā)送1時(shí)，收到0的概率為β(0<β<1)，收到1的概率為1β.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽腿蝹鬏敚畣未蝹鬏斒侵该總€(gè)信號(hào)只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送3次．收到的信號(hào)需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：?jiǎn)未蝹鬏敃r(shí)，收到的信號(hào)第8頁/共21頁即為譯碼；三次傳輸時(shí)，收到的信號(hào)中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）.A.采用單次傳輸方案，若依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的概率為(1—α)(1—β)2B.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則依次收到1，0，1的概率為β(1—β)2C.采用三次傳輸方案，若發(fā)送1，則譯碼為1的概率為β(1—β)2+(1—β)3D.當(dāng)0<α<0.5時(shí)，若發(fā)送0，則采用三次傳輸方案譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案譯碼為0的概率【答案】ABD【解析】【分析】利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算判斷AB；利用相互獨(dú)立事件及互斥事件的概率計(jì)算判斷C；求出兩種傳輸方案的概率并作差比較判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，依次發(fā)送1，0，1，則依次收到l，0，1的事件是發(fā)送1接收1、發(fā)送0接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，對(duì)于B，三次傳輸，發(fā)送1，相當(dāng)于依次發(fā)送1，1，1，則依次收到l，0，1的事件，是發(fā)送1接收1、發(fā)送1接收0、發(fā)送1接收1的3個(gè)事件的積，錯(cuò)誤；對(duì)于D，由選項(xiàng)C知，三次傳輸，發(fā)送0，則譯碼為0的概率P=(1—α)2(1+2α)，故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成兩兩互斥事件的和，相互獨(dú)立事件的積是解題的關(guān)鍵.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。【答案】【解析】第9頁/共21頁【分析】法一：根據(jù)題意結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解；法二：換元令=—，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律運(yùn)算求解.法一：因?yàn)?，即，則整理得由題意可得整理得.故答案為：.14.底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為 .【答案】28【解析】【分析】方法一：割補(bǔ)法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺(tái)體的體積公式直接運(yùn)算求解.【詳解】方法一：由于而截去的正四棱錐的高為3，所以原正四棱錐的高為6，所以正四棱錐的體積為×6=32，截去的正四棱錐的體積為×3=4，方法二：棱臺(tái)的體積為=28.故答案為：28.第10頁/共21頁積為”的m的一個(gè)值.【答案】2（2,2,,中任意一個(gè)皆可以）【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長(zhǎng)AB，以及點(diǎn)C到直線AB的距離，結(jié)合面積公式即可解出.所以S△ABC=×d×2=解得：或，16.已知函數(shù)f(x)=sin(①x+φ)，如圖A，B是直線與曲線y=f(x)的兩個(gè)交點(diǎn)， 【答案】第11頁/共21頁【解析】設(shè)A依題可得，x2-x1=結(jié)合sinx=的解可得， =sin進(jìn)而求得f(π).①x2所以=sin或f=-sin故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)圖象求出①以及函數(shù)f(x)的表達(dá)式，從而解出，熟練掌握三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵.四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。17.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，已知△ABC的面（2）若b2+c2=8，求b,c ）；第12頁/共21頁【解析】【分析】（1）方法1，利用三角形面積公式求出a，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面積公式求出a，作出BC邊上的高，利用直角三角形求解作答.（2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面積公式求出上ADC即可求解作答；方法2，利用向量運(yùn)算律建立關(guān)系求出a，再利用三角形面積公式求出上ADC即可求解作答.【小問1詳解】即c2所以tanB=22，則 所以tanB=【小問2詳解】第13頁/共21頁+CD2方法2：在△ABC中，因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，則2，又，22222)2+CD218.已知{an}為等差數(shù)列，bn=數(shù)，記Sn，Tn分別為數(shù)列{an}，{bn}的前（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，用a1,d表示Sn及Tn，即可求解作答.（2）方法1，利用（1）的結(jié)論求出Sn，bn，再分奇偶結(jié)合分組求和法求出Tn，并與Sn作差比較作答；方法2，利用（1）的結(jié)論求出Sn，bn，再分奇偶借助等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出Tn，并與Sn作差比較作答.第14頁/共21頁【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，而bn=k—1,k∈N*，則b16,b22n【小問2詳解】Tn,n為偶數(shù)時(shí)，nnn22nnn22n5，顯然=b1=1滿足上式，因此當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn=，第15頁/共21頁19.某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項(xiàng)醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如下的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：利用該指標(biāo)制定一個(gè)檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值c，將該指標(biāo)大于c的人判定為陽性，小于或等于c的人判定為陰性．此檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為p(c)；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為q(c)．假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.（1）當(dāng)漏診率p(c)=0.5％時(shí)，求臨界值c和誤診率q(c)；（2）設(shè)函數(shù)f(c)=p(c)+q(c)，當(dāng)c∈[95,105]時(shí)，求f(c)的解析式，并求f(c)在區(qū)最小值為0.02.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意由第一個(gè)圖可先求出c，再根據(jù)第二個(gè)圖求出c≥97.5的矩形面積即可解出；（2）根據(jù)題意確定分段點(diǎn)100，即可得出f(c)的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出.【小問1詳解】第16頁/共21頁【小問2詳解】f(c)=p(c)+q(c)=(c-95)×0.002+(100-c)×0.01+5×0.002f(c)=p(c)+q(c)=5×0.002+(c-100)×0.012+(10所以f(c)在區(qū)間[95,105]的最小值為0.02.E為BC的中點(diǎn).【答案】（1）證明見解析；【解析】【分析】（1）根據(jù)題意易證BC丄平面ADE，從而證得BC丄DA；（2）由題可證AE丄平面BCD，所以以點(diǎn)E為原點(diǎn)，ED,EB,EA所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面ABD,ABF的一個(gè)法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出.【小問1詳解】連接AE,DE，因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，DB=DC，所以DE丄BC①,△ACD與△ABD均為等邊三角形，第17頁/共21頁:AC=AB，從而AE丄BC②,由①②,AE∩DE=E，AE,DE平面ADE，所以，BC丄平面ADE，而AD平面ADE，所以BC丄DA.【小問2詳解】:AE2+DE2=4=AD2，:AE丄DE，又AE丄BC,DE∩BC=E，DE,BC平面BCD:AE丄平面BCD.以點(diǎn)E為原點(diǎn)，ED,EB,EA所在直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)平面DAB與平面ABF的一個(gè)法向量分別為=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2)，二面角D-AB-F平面角為而因?yàn)樗约从衵2所以二面角D-AB-F的正弦值為.21.已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為離心率為·i5.（1）求C的方程；（2）記C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過點(diǎn)(-4,0)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線MA1與NA2交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)P在定直線上.第18頁/共21頁（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由題意求得a,b的值即可確定雙曲線方程；（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫出直線MA1與NA2的方程，聯(lián)立直線方程，消去y，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)【小問1詳解】設(shè)雙曲線方程為由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，a2雙曲線方程為.【小問2詳解】由(1)可得A1(2,0),A2(2,0)，設(shè)M(x1,y1