高考數(shù)學(xué) 千錘百煉5

第81煉排列組合——尋找合適的模型

在排列組合問(wèn)題中，有一些問(wèn)題如果直接從題目入手，處理起來(lái)比較繁瑣。但若找到解

決問(wèn)題的合適模型，或?qū)?wèn)題進(jìn)行等價(jià)的轉(zhuǎn)化。便可巧妙的解決問(wèn)題

一、典型例題：

例1：設(shè)集合A由〃個(gè)元素構(gòu)成，即4={4，生，…，可卜則A所有子集的個(gè)數(shù)為

思路：可將組成子集的過(guò)程視為A中的元素一個(gè)個(gè)進(jìn)行選擇，要不要進(jìn)入到這個(gè)子集當(dāng)中，

所以第一步從。?開(kāi)始，有兩種選擇，同樣后面的。2M3,…，4,都有兩種選擇，所以總數(shù)

N=2x2x…x2=2"個(gè)

答案：T

例2：已知S={l,2,3,??,,40},AqS且A中有三個(gè)元素，若A中的元素可構(gòu)成等差數(shù)列,

則這樣的集合A共有()個(gè)

A.460B.760C.380D.190

思路：設(shè)4中構(gòu)成等差數(shù)列的元索為a,b,c,則有力=a+c,由此可得。,c應(yīng)該同奇同偶，

而當(dāng)同奇同偶時(shí)，則必存在中間項(xiàng)人，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橹恍柙?—40中尋找同奇同偶數(shù)

的情況。?同為奇數(shù)的可能的情況為點(diǎn)，同為偶數(shù)的可能的情況為心，所以一共有

2?點(diǎn)=380種

答案：C

例3：設(shè)集合4{(不忍,毛/4，毛)1%￡{一1，°，1}/={1，2,3,4,5}},那么集合A中滿足條件

“1W㈤+國(guó)+國(guó)+|司+岡43”的元素個(gè)數(shù)為()

A.60B.90C.120D.130

思路：因?yàn)棰?0或國(guó)=1,所以若1W國(guó)+闖+岡+同+同43,則在

%(i=l,2,3,4,5)中至少有一個(gè)|引=1,且不多于3個(gè)。所以可根據(jù)《中含0的個(gè)數(shù)進(jìn)行分

類(lèi)討論。

①五個(gè)數(shù)中有2個(gè)0,則另外3個(gè)從1,一1中取，共有方法數(shù)為N]=C；"

②五個(gè)數(shù)中有3個(gè)0,則另外2個(gè)從1,—1中取，共有方法數(shù)為N?=C；-22

③五個(gè)數(shù)中有4個(gè)0,則另外1個(gè)從1,一1中取，共有方法數(shù)為N3=C；-2

所以共有"=或"+仁.22+。；.2=130種

答案：D

例4：設(shè)集合A={1,2,3,…,10},設(shè)A的三元素子集中，三個(gè)元素的和分別為4M2,…，凡，

求4+生+…+凡的值

思路：A的三元子集共有C1個(gè)，若按照題目敘述一個(gè)個(gè)相加，則計(jì)算過(guò)于繁瑣。所以不妨

換個(gè)思路，考慮將這些子集中的1,2,…,10各自加在一起，再進(jìn)行匯總。則需要統(tǒng)計(jì)這C士個(gè)

子集中或含有多少個(gè)1,2,???,10。以1為例，合1的子集可視為集合中有元素1,軻下兩個(gè)元

素從9個(gè)數(shù)中任取，不同的選取枸成不同的含1的子集，共有C；個(gè)，所以和為IxC；,同

理，含2的集合有C；,其和為2xC；……,含10的集合有C；個(gè)，其和為10xC；所以

q+%+???+=Cg(1+2+???+10)=1980

答案：1980

例5：身高互不相同的6個(gè)人排成2橫行3縱列，在第一行的每個(gè)人都比他同列的身后的個(gè)

子矮，則所有不同的排法種數(shù)是多少

思路：雖然表面上是排隊(duì)問(wèn)題，但分析實(shí)質(zhì)可發(fā)現(xiàn)，只需要將這六個(gè)人平均分成三組，并且

進(jìn)行排列,即可完成任務(wù)。至于高矮問(wèn)題,在分組之后只需讓個(gè)子矮的站在前面即可。從而

則一

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為分組問(wèn)題。?.二90(種)

答案：90

例6：四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，則由這10點(diǎn)構(gòu)成的直線中，有（）對(duì)異

面直線

A.450B.441C.432D.423

思路：首先要了解一個(gè)結(jié)論，就是在一個(gè)三棱錐中存在3對(duì)異面直線，而不共面的四個(gè)點(diǎn)便

可構(gòu)成一個(gè)三棱錐，尋找不共面的四點(diǎn)只需用總數(shù)減去共面的四點(diǎn)即可。所以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

尋找這10個(gè)點(diǎn)中共面四點(diǎn)的情況。首先4個(gè)面上共面的情況共有4xC：=60,每條棱與對(duì)

棱中點(diǎn)共面情況共有6種，連結(jié)中點(diǎn)所成的中位線中有3對(duì)平行關(guān)系，所以共面，所以四點(diǎn)

共面的情況共有4C；十6+3=69種，所以四點(diǎn)不共面的情況有。；）-69=141種，從而異

面直線的對(duì)數(shù)為N=141x3=423種

答案：D

小煉有話說(shuō)：要熟悉異面直線問(wèn)題的轉(zhuǎn)化：即異面T三棱錐T四點(diǎn)不共面T四點(diǎn)共面，從

而將所考慮的問(wèn)題簡(jiǎn)單化

例7：設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于左wA,如果Z—1走A且￡+1任A,那么稱(chēng)女是

集合A的一個(gè)“孤立元”，給定S=｛1,2,3,4,5,6,7,8｝,則S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中,

其元素都是“孤立元”的集合個(gè)數(shù)是（）

A.6B.15C.20D.25

思路：首先要理解“欠則攵一1￡A且欠+1任A”，意味著“獨(dú)立元”不含相鄰的數(shù)，

元素均為獨(dú)立元，則說(shuō)明3個(gè)元素彼此不相鄰，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不相鄰取元素問(wèn)題，利用

插空法可得：C；=20種

答案：C

例8：圓周上有20個(gè)點(diǎn)，過(guò)任意兩點(diǎn)連接一條弦，這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多有多少個(gè)

思路：本題可從另一個(gè)角度考慮交點(diǎn)的來(lái)源，一個(gè)交點(diǎn)由兩條弦構(gòu)成，也就用去圓上4個(gè)點(diǎn)，

而這四個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)四邊形，在這個(gè)四邊形中，只有對(duì)角線的交點(diǎn)是在圓內(nèi)，其余均在

圓上，所以有多少個(gè)四邊形就會(huì)有多少個(gè)對(duì)角線的交點(diǎn)，從而把交點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓上的點(diǎn)可

組成多少個(gè)四邊形的問(wèn)題，所以共有=4845個(gè)

答案：4845個(gè)

例9：一個(gè)含有10項(xiàng)的數(shù)列｛〃“｝滿足：4=。，4（）=5,?+]—⑷=1,（攵=1,2,…,9），則符

合這樣條件的數(shù)列｛（｝有（）個(gè)

A.30B.35C.36D.40

思路：以=1為人手點(diǎn)可得：4+1二4±1，即可視為在數(shù)軸上，4向左或向右

移動(dòng)一個(gè)單位即可得到4.1，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為從q=0開(kāi)始，點(diǎn)向左或向右移動(dòng)，總共9次達(dá)

到40=5,所以在這9步中，有且只有2步向左移動(dòng)1個(gè)單位，7步向右移動(dòng)1個(gè)單位。

所以不同的走法共有C；=36種，即構(gòu)成36種不同的數(shù)列

答案：36種

例10：方程x+y+z+卬=10的正整數(shù)解有多少組？非負(fù)整數(shù)解有多少組？

思路：本題可將10理解為10個(gè)1相加，而x,y,z,w相當(dāng)于四個(gè)盒子，每個(gè)盒子里裝入了

多少個(gè)1,則這個(gè)變量的值就為多少。從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相同元素分組的模型，可以使用擋

板法得：C；=84種；非負(fù)整數(shù)解相當(dāng)于允許盒子里為空，而擋板法適用于盒子非空的情況，

所以考慮進(jìn)行化歸：x+y+z+w=1()(x+1)+(^+l)+(z+1)+(w+1)=14,則

x+l,y+l,z+l,w+l這四個(gè)盒子非空即可。所以使用擋板法得：3=286種

答案：正整數(shù)解有84種，非負(fù)整數(shù)解有286種

二、歷年好題精選

1、在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，要先后實(shí)施6個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步

或最后一步，程序B和C在實(shí)施時(shí)必須相鄰，則在該實(shí)驗(yàn)中程序順序的編排方法共有()

A.144種B.96種C.48種D.34種

2、現(xiàn)有16張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍(lán)色、綠色卡片各4張.從中任取3張，要求

這3張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多1張.不同取法的種數(shù)為()

A.232B.252C.472D.484

3、在1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字所組成的允許有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)口，其各個(gè)數(shù)字之和為

9的三位數(shù)共有()

A.16個(gè)B.18個(gè)C.19個(gè)D.21個(gè)

4、把座位號(hào)為1、2、3、4、5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一

張，且分給同一人的多張票必須連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為()

A.96B.240C.48D.40

5、某班組織文藝晚會(huì)，準(zhǔn)備從AB等8個(gè)節(jié)目中選出4個(gè)節(jié)目演出，要求：AB兩個(gè)節(jié)

目至少有一個(gè)選中，且4,3同時(shí)途中時(shí)，它們的演出順序不能相鄰，那么不同演出順序的

和數(shù)為()

A.1860B.1320C.1140D.1020

6、某班一天中有6節(jié)課，上午3節(jié)課，下午3節(jié)課，要排出此班一天中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、

物理、體育、藝術(shù)6堂課的課程表，要求數(shù)學(xué)課排在上午，藝術(shù)課排在下午，不同排法種數(shù)

為（）

A.72B.216C.320D.720

7、用0、1、2、3、4這五個(gè)數(shù)字組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩

個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是（）

A.48B.36C.28D.12

8、某賓館安排A、B、C、D、E五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且A、B不能住同

一房間，則不同的安排方法有（）種

A.24B.48C.96D.114

9、（2014重慶八中一月考，2）要從10名男生和5名女生中選出6人組成啦啦隊(duì)，若按性別

分層抽樣且甲男生擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)，則不同的抽樣方法數(shù)是

A.B.C.D.Clt)C5

10、（2015,廣東文）,若集合:

E={(p,q,r,s)|0Wp<s<4,0<q<s<4,0<r〈sS4,p,q,r,seN)

F=v,w)10</<w<4,0<v<卬匕卬wN},用c〃d(X)表示集合X中的

元素個(gè)數(shù)，則cwz/（E）+ca4（F）=（）

A.50B.100C.150D.200

11、（2014,浙江）在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5強(qiáng)無(wú)獎(jiǎng).將這8張獎(jiǎng)券

分配給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)情況有種

12、（2014,安徽）從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為60。的

共有（）

A.24對(duì)B.30對(duì)C.48對(duì)D.60對(duì)

13、（2014,重慶）某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目、2個(gè)小品類(lèi)節(jié)目和1個(gè)相聲類(lèi)節(jié)目

的演出順序，則同類(lèi)節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是（）

A.72B.120C.144D.168

14、（2014,廣東）設(shè)集合人={（冗］,工2，%3/4，/）1%￡{-1，°，1}力=1，2,3,4,5},那么集合A

中滿足條件“14㈤+|%|+匕|+閭+闖"3”的元素個(gè)數(shù)為（）

A.60B.90C.144D.168

15、（2016,哈爾濱六中上學(xué)期期末考試）高一學(xué)習(xí)雷鋒志愿小組共有16人，其中一班、二

班、三班、四班各4人，現(xiàn)在從中任選3人，要求這三人不能是同一個(gè)班級(jí)的學(xué)生，旦在三

班至多選1人，不同的選取法的種數(shù)為（）

A.484B.472C,252D.232

16、集合5={1,2,3,???,20}的4元子集7={4，/，4嗎}中，任意兩個(gè)元素差的絕對(duì)值都

不為1,這樣的4元子集T的個(gè)數(shù)有_____個(gè)

習(xí)題答案：

1、答案：B

解析：氏C相鄰則考慮使用整體法，程序A有要求所以先確定A的位置，共有2種選法，

然后排剩下的元素再排8,C間的順序所以總數(shù)為N=2A：A；=96

2、答案：C

解析：考慮使用間接法，16張卡片任取3張共有種，然后三張卡片同色則不符合要求，

共有種，然后若紅色卡片有2張則不符合要求，共有C：C：2種，所以不同的取法種數(shù)

為：N=C；6-4C：-C：C；2=472

3、答案：A

解析：可按重復(fù)數(shù)字個(gè)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，若沒(méi)有重復(fù)數(shù)字，則數(shù)字只能是1,3,5或2,3,4,

三位數(shù)共有2A；個(gè)；若有兩個(gè)重復(fù)數(shù)字，則數(shù)字為2,2,5和1,4,4,三位數(shù)有2C；=6個(gè)；

若三個(gè)數(shù)字相同，則只有333,所以N=2A；+2C；+1=19

4、答案：A

解析：5張票分給4個(gè)人，則必有一人拿兩張票，所以先確定哪個(gè)人有兩張票，共C：種選

擇，然后確定給哪兩張連號(hào)的票，共4種情況，剩下的票分給3人即可。所以

N=4C：A；=96

5、答案：C

解析：由題可知可分為兩類(lèi)：第一類(lèi)只有一個(gè)選中，則還需從剩下6個(gè)里選出3個(gè)節(jié)

目，然后全排列，所以不同的演出順序有。；《父；第二類(lèi)，4,3同時(shí)選中，則還需從剩

下6個(gè)里選出2個(gè)，然后A,B不相鄰則進(jìn)行插空，所以不同演出順序有綜上

N=+=1140

6、答案：B

解析:先排數(shù)學(xué)與藝術(shù)各有3種共9種,其余的4個(gè)科目全排列有種，所以N=9A：=216

7、答案：C

解析：根據(jù)題意，在0,1,2,3,4中有3個(gè)偶數(shù)，2個(gè)奇數(shù)，可以分3種情況討論：

（1）0被奇數(shù)夾在中間，先考慮奇數(shù)1、3的順序，有2種情況；再將1、0、3看成一個(gè)整

體，與2、4全排列，有&=6科情況；故0被奇數(shù)夾在中間時(shí)，有28=12種情況；

（2）2被奇數(shù)夾在中間，先考慮奇數(shù)1、3的順序，有2種情況；再將1、2、3看成一個(gè)整

體，與0、4全排列，有用=6種情況，其中。在首位的有2種情況，則有6-2=4種排法;

故2被奇數(shù)夾在中間時(shí)，有2x4=8種情況；

（3）4被奇數(shù)夾在中間時(shí)，同2被奇數(shù)夾在中間的情況，有8種情況，

則這樣的五位數(shù)共有12+8+8=28種.

8、答案：D

解析：由題可知，5個(gè)人住三個(gè)房間，每個(gè)房間至少住一人，則有（3,1,1）和（2,2,1）兩

種，當(dāng)為（3,1,■時(shí)，有點(diǎn)=60種,A、B住同一房間有何?父=有種，故有60-18=42

種，當(dāng)為（2,2,1）時(shí)，有?看=90種，A、B住同一房間有%=18種,故

有9（）-18=72種，根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理共有42+72=114種

9、答案：A

解析：由分層抽樣可得男生需要4名，女生需要2名，甲男生擔(dān)任隊(duì)長(zhǎng)，則還需要出3名男

生，所以N=C；C；

10、答案：D

解析：分別統(tǒng)計(jì)E,歹中元素的個(gè)數(shù)，在E中，〃4/可取的值由s的值決定，當(dāng)s=4時(shí)

p,g,〃分別可選0,1,2,3,所以有43=64種，當(dāng)s=3時(shí)；同理有33=27種；當(dāng)s=2

時(shí)；同理p,q,r有2-3=8種；當(dāng)$=1時(shí)；同理p、q、r有1種，所以共計(jì)

c?rt/（E）=1+8+27+64=100：在尸中，可知一組，一組，按照E的計(jì)算方式

可得和KW的選擇各有10種，所以mrJ（F）=10x10=100。從而

card（石）+card（F）=200

11、答案：60

解析:可按獲獎(jiǎng)人數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論，若有3人,則一人獲得一張中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券,即M=A；=24,

若2人,則1人獲1個(gè)獎(jiǎng)，1人獲2個(gè)獎(jiǎng)，愀=片?3=36,所以共計(jì)S=60

12、答案：C

解析：正方體的對(duì)角線共有12條，其所成角大致分為0,60.9(r,可使用間接法，2個(gè)一

對(duì)共有C；2=66種選法，其中成0。的有6對(duì)，成90,有12對(duì)，所以成60°的共有

66-12—6=48對(duì)

13、答案：B

解析：不相鄰則“插空”，可歌舞類(lèi)節(jié)月搭架子，因?yàn)楦栉桀?lèi)節(jié)目也不能相鄰，所以另外3

個(gè)節(jié)目插空時(shí)有兩種情況，一種情況為3個(gè)節(jié)目插3個(gè)空，則有2種插法，再安排完順序，

合計(jì)：M=2xA：xA；=72；另一種情況為相聲與一個(gè)小品相鄰，然后與另一個(gè)小品插兩

個(gè)空，則％2=G,饋?隹?看=48,則共計(jì)S=M+>2=120種

14、答案：D

解析:1?|芭|+|七|+闖+同+國(guó)43可知在當(dāng),大2，%3戶(hù)4,均中，玉=±1的情況至少1

個(gè)，最多3個(gè)，從而分1,2,3三種情況討論即可，每種討論都分為兩步，第一步確定幾個(gè)選

0,幾個(gè)選±1；第二步確定選±1的是選1還是一1：N=C；,2+C；?22+C；23=130

15、答案：B

解析：分兩種情況討論，當(dāng)三班沒(méi)人時(shí)，N|=C=-3xC=208,當(dāng)三班恰有一人時(shí)，

N2=C\C-2=264,所以S=M+N2=472

16、答案：Cp

解析：兩個(gè)元素差絕對(duì)值不為一，說(shuō)明T中的四個(gè)元素兩兩不相鄰，所以考慮插空法，剩

下16個(gè)位置共17個(gè)空，選擇四個(gè)孔即可，共有個(gè)

第82煉求二項(xiàng)式展開(kāi)后的某項(xiàng)

一、基礎(chǔ)知識(shí)：

1、二項(xiàng)式(。+8)”(〃€".)展開(kāi)式

（a+bY=C>"+O"%+C；a"%2+…+c[an-rbr+…+C?〃,從恒等式中我們可以

發(fā)現(xiàn)這樣幾個(gè)特點(diǎn)

（1）（a+3”完全展開(kāi)后的項(xiàng)數(shù)為（〃+1）

（2）展開(kāi)式按照〃的指數(shù)進(jìn)行降幕排列，對(duì)于展開(kāi)式中的每一項(xiàng)，〃，匕的指數(shù)呈此消彼長(zhǎng)

的特點(diǎn)。指數(shù)和為〃

（3）在二項(xiàng)式展開(kāi)式中由于按。的指數(shù)進(jìn)行降轅排列，所以規(guī)定“十”左邊的項(xiàng)視為a,

右邊的項(xiàng)為b,比如：（x+1）”與（1+x）”雖然恒等，但是展開(kāi)式卻不同，前者按x的指數(shù)

降暴排列，后者按1的指數(shù)降騫排列。如果是（。―與"，則視為[a+（-與了進(jìn)行展開(kāi)

（4）二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式I”=C/〃-2'（注意是第r+1項(xiàng)）

2、二項(xiàng)式系數(shù)：項(xiàng)前面的C，C：,《稱(chēng)為二項(xiàng)式系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)的和為2"

二項(xiàng)式系數(shù)的來(lái)源：多項(xiàng)式乘法的理論基礎(chǔ)是乘法的運(yùn)算律（分配律，交換律，結(jié)合律），

所以在展開(kāi)時(shí)有這樣一個(gè)特征：每個(gè)因式都必須出項(xiàng)，并且只能出一項(xiàng)，將每個(gè)因式所出的

項(xiàng)乘在一起便成為了展開(kāi)時(shí)中的某項(xiàng)。對(duì)于（a+與”可看作是〃個(gè)（a+。）相乘，對(duì)于?！耙环?/p>

意味著在這〃個(gè)（。+〃）中，有（〃―-）個(gè)式子出。，剩下;?個(gè)式子出方，那么這種出法一共

有C；種。所以二項(xiàng)式展開(kāi)式的每一項(xiàng)都可看做是一個(gè)組合問(wèn)題。而二項(xiàng)式系數(shù)便是這個(gè)組

合問(wèn)題的結(jié)果。

3、系數(shù)：是指該項(xiàng)經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)后項(xiàng)前面的數(shù)字因數(shù)

注：（1）在二項(xiàng)式定理中要注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)。二項(xiàng)式系數(shù)是展開(kāi)式通項(xiàng)公式中的

對(duì)于確定的一個(gè)二項(xiàng)式，二項(xiàng)式系數(shù)只由「決定。而系數(shù)是指展開(kāi)并化簡(jiǎn)后最后項(xiàng)前

面的因數(shù)，其構(gòu)成一方面是二項(xiàng)式系數(shù)，同時(shí)還有項(xiàng)本身的系數(shù)。例如：（2x+l）s展開(kāi)式

中第三項(xiàng)為（=C；?（2x）3?產(chǎn)，其中C；為該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù),而7；=C?Q力-?產(chǎn)=80/

化簡(jiǎn)后的結(jié)果80為該項(xiàng)的系數(shù)

（2）二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)的概念不同，但在某些情況下可以相等：當(dāng)二項(xiàng)式中每項(xiàng)的系數(shù)均

為1時(shí)（排除項(xiàng)本身系數(shù)的干擾），則展開(kāi)后二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)相同。例如（x+l）,展開(kāi)式

的第三項(xiàng)為7；=C^（x）312,可以計(jì)算出二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)均為10

3、有理項(xiàng)：系數(shù)為有理數(shù)，次數(shù)為整數(shù)的項(xiàng)，比如2/,」-就是有理項(xiàng)，而派,、豆就不是

5x

有理項(xiàng)。

4、（4+力）”與（〃一匕）〃的聯(lián)系：首先觀察他們的通項(xiàng)公式：

（。+"：*"；…（。-4：&=@i（叫'=（-1丫。"一萬(wàn)

兩者對(duì)應(yīng)項(xiàng)的構(gòu)成是相同的，對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)。其絕對(duì)值相等。所以在考慮

（a-b）n系數(shù)的絕對(duì)值問(wèn)題時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為求（a+b）”系數(shù)的問(wèn)題

5、二項(xiàng)式系數(shù)的最大值：在c;,q,…,c；中，數(shù)值最大的位于這列數(shù)的中間位置。若〃為

奇數(shù)（共有偶數(shù)項(xiàng)），則最大值為中間兩個(gè)，例如〃=5時(shí)，最大項(xiàng)為C；=C；,若〃為偶數(shù)

（共有奇數(shù)數(shù)項(xiàng)），則最大值為中間項(xiàng)，例如〃=6時(shí)，最大項(xiàng)為C；

證明：在…,C：中的最大項(xiàng)首先要比相鄰的兩項(xiàng)大，所以不妨設(shè)最大項(xiàng)為則有

_________ri1

C；NC丁「!（〃-「）?。ㄒ?）![〃_（一1）]]

加二_________n!________A1>1

r!（n-r）!（r+l）![n-（r+1）1!n-rr+1

所以解得：2即4二!巴里

、〃一122

r>----

2

所以當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)（〃=2%—1）,不等式變?yōu)椤兑籌WrWZ,即廠=大一1或r=Z為中間項(xiàng)

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)（〃=2Z）,不等式變?yōu)槌鲆弧?■?,??&+_1,即尸=々為中間項(xiàng)

22

6、系數(shù)的最大值：由于系數(shù)受二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)自身系數(shù)影響，所以沒(méi)有固定的結(jié)論，需要

計(jì)算所得，大致分為兩種情況：

（_+_）”型：不妨設(shè)項(xiàng)的系數(shù)為,則理念與二項(xiàng)式系數(shù)最值類(lèi)似，最大值首先要

P,>P

比相鄰項(xiàng)大，所以有4』一'，再根據(jù)通項(xiàng)公式代入解不等式即可

型：其展開(kāi)式的特點(diǎn)為項(xiàng)的符號(hào)有正有負(fù)，所以在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)有兩種方法：一

p>p

種是只選取其中的正項(xiàng)進(jìn)行比較，但序數(shù)相隔。即〈川-I,在運(yùn)算上較為復(fù)雜；一種

lO匕3

是先考慮系數(shù)絕對(duì)值的最大值，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為（_+_）”的最大值問(wèn)題，然后在考慮符號(hào)

確定系數(shù)最大值。

例1：二項(xiàng)式土-）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是_________

（2出）

方法一：思路：考慮先求出此二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令工的指數(shù)為。，求出廠的值再代

入計(jì)算即可

/\8-/-/二、「J.

解："C歸卜［七）（T）'C；-'

依題意可得：8-r--r=0=>r=6

3

常數(shù)項(xiàng)為7；=（g）?（-1?。=7

方法二：思路：對(duì)ft——!=］中的8個(gè)（三一一二］因式所出的項(xiàng)進(jìn)行分配，若最后結(jié)果為

（2出）（2也）

常數(shù)項(xiàng)，則需要兩個(gè)式子出土，六個(gè)式子出-J相乘,

2i/x

6

所以常數(shù)項(xiàng)為：C；=7

答案：7

小煉有話說(shuō)：通過(guò)本題說(shuō)明求二項(xiàng)式展開(kāi)式中某項(xiàng)的兩種主流方法：一是通過(guò)通項(xiàng)公式，

先化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式，再利用題目中所求項(xiàng)的特征求出廠的值，進(jìn)而求解；二是分析展開(kāi)式中每

一項(xiàng)構(gòu)成的本質(zhì)，即每一個(gè)因式僅出一項(xiàng)，然后相乘得到，從而將尋找所求項(xiàng)需要的出項(xiàng)方

案，將其作為一個(gè)組合問(wèn)題求解。

例2：在（丁+g）的展開(kāi)式中，V的系數(shù)是

2-,2（6-r）-r,2-3r

思路一：考慮二項(xiàng)展開(kāi)的通項(xiàng)公式：7；+I=C；（x（x）'=C；x=Qx

33

由所求可得：12—3廠=3=r=3:.T4=Clx=20x

思路二：可將其視為6個(gè)國(guó)式出項(xiàng)的問(wèn)題，若要湊成/，需要3個(gè)/,3個(gè)工

x

所以該項(xiàng)為：=20x3

答案：20

小煉有話說(shuō)：利用二項(xiàng)式定理求某項(xiàng)，通常兩種思路：一種是利用二項(xiàng)式展開(kāi)的通項(xiàng)公式,

結(jié)合條件求出r的值再求出該項(xiàng)；另一種是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為因式如何安排出項(xiàng)的問(wèn)題。

例3：若二項(xiàng)式（X-：）的展開(kāi)式中的第四項(xiàng)等于7,則x的值是

7_r

思路：條件中涉及到項(xiàng)的序數(shù)，那么只能考慮利用通項(xiàng)公式：7；+1=C；xf--l,第四

答案：x=--

5

/、9

例4：已知的展開(kāi)式中V項(xiàng)的系數(shù)為-21,則實(shí)數(shù)4的值為_(kāi)_________

Iax2

思路：先利用通項(xiàng)公式求出1的項(xiàng)，在利用系數(shù)的條件求出。的值即可

解：*產(chǎn)C；尸Cl=C；f-l產(chǎn)2//.9-2r=3=>r=3

\ax）⑺

,38438421c

49UJaQ2

答案：a=-2

2

例5：已知二項(xiàng)式（x+±）"的展開(kāi)式中各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和是16,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是一

x

思路：要想求得展開(kāi)式的某項(xiàng)，首先要先確定〃的取值，先利用二項(xiàng)式系數(shù)和求出〃：2"=16

2\2

即〃=4,再求（工+一）4展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為=24

x

答案：24

例6：(l+x+d)(i—x)5的展開(kāi)式中，/項(xiàng)的系數(shù)為

思路：已知表達(dá)式展開(kāi)式中的每一項(xiàng)由兩部分相乘而成，要想湊得X4,不妨從其中一個(gè)式

子切入進(jìn)行分類(lèi)討論(以(l+x+f)為例)

1：(l+X+f)出1,則(1一H出f,該項(xiàng)為：］.C；.l.(T)4=5f

2：(1+x+f)出X,則(1一力5出/，該項(xiàng)為：xC^l2(-x)3=4-10x4

3：(l+x+f)出則(1一力5出爐，該項(xiàng)為：X2.(^.13(-A:)2=10X4

綜上所述：合并后的f項(xiàng)的系數(shù)為5

例7：(x2-x+l)'0展開(kāi)式中d項(xiàng)的系數(shù)為()

A.-21()B.210C.3()D.-3()

思路：本題不利于直接展開(kāi)所有項(xiàng)，所以考慮將其轉(zhuǎn)化為10個(gè)因式如何分配所出項(xiàng)的問(wèn)題：

若要湊成/有以下幾種可能：

⑴：1個(gè)1個(gè)(_6，8個(gè)1,所得項(xiàng)為：yQoci、-%%3

(2)：3個(gè)(-X),7個(gè)1,所得項(xiàng)為：a(r)3.C；17=—120V

所以丁項(xiàng)的系數(shù)為一210

答案：A

\24

例8:二展開(kāi)式中,有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)共有()項(xiàng)

A.3B.4C.5D.7

思路：有理項(xiàng)是指變量的指數(shù)是整數(shù),所以考慮從通項(xiàng)公式入手:

24-r/]

6-T

4

=&4/=C；4x,其中〃=0,1,2,…,24,r的取值只需要

3

讓6——reZ,則廠=0,4,8,12,16,20,24,所以共有7個(gè)有理項(xiàng)

4

小煉有話說(shuō)：在整理通項(xiàng)公式時(shí)可將x的根式(或倒數(shù))轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)寐，方便進(jìn)行化

簡(jiǎn)。

例9：二項(xiàng)式(2x+展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為

思路：考慮(2x+l『展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為&|=28fC；產(chǎn)"其系數(shù)設(shè)為匕…即

8rPt>P

^+1=2-C；,若要匕+1最大，則首先要大于相鄰項(xiàng)，即｛用一',代入解得r的范圍

4+1—匕2

即可確定出廠的值，從而求出該項(xiàng)

解：加=Q(2x)8-rlr=28-rQx8-r

設(shè)&項(xiàng)的系數(shù)為匕尸28-，C；

匕；28-rC；>2Mr-,)Cr，

若匕?最大，貝叫5=><

［以；匕，228-rC；>2Hr+l)Cf,

8!8!

>29-r_L>3

r!(8-r)!(r-l)!(9-r)!r9-r

=

8!8!

227T

r!(8-r)!(r+l)!|7-r)!.8-rr+\

解得：2Wr?3.“=2或尸=3

.?.經(jīng)檢驗(yàn)：系數(shù)最大的項(xiàng)為(=4=1792*5

答案：1792/

例10：己知g(x)=%++-，+4oM°4(x)=%+々%+?一+439，若

(1+x)(l-2x)'9=(1-x)10g(x)+7?(x),則為=()

A.0B.10x219C,-10x218D.-3x218

思路：由條件中恒等式的特點(diǎn)可得對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等，在(1一力1°8(%)中，與〃9相關(guān)的最

高次項(xiàng)為故以此為突破口求〃9,等式左邊/的系數(shù)為(-2)19+C：；(—2戶(hù)，而右邊/9

的系數(shù)為4+%?C,(一1),所以出十%?喘(-1)9=(一2-+。；；(一21，只需再求出

即)即可，同樣選取含q0的最高次項(xiàng)，即左邊x20的系數(shù)為(一2廣，右邊的系數(shù)

為所以。［0=(-2了9。從而可解得出=-3x2第

答案：D

小煉有話說(shuō)：求。9選擇以哪項(xiàng)作為突破口很關(guān)鍵，要理解選最高次項(xiàng)的目的是為了排除其

他系數(shù)的干擾，如果選擇項(xiàng)的次數(shù)較低，則等式中會(huì)出現(xiàn)生,生,…甚至4。=1，2,???,9）,

不便于求解。本題選擇X?這項(xiàng)時(shí)，僅僅受到4。的干擾，再尋找與60的相關(guān)項(xiàng)（最高次項(xiàng)）

即可解決。

第83煉特殊值法解決二項(xiàng)式展開(kāi)系數(shù)問(wèn)題

一、基礎(chǔ)知識(shí)：

1、含變量的恒等式：是指無(wú)論變量在已知范圍內(nèi)取何值，均可使等式成立。所以通常可對(duì)

變量賦予特殊值得到一些特殊的等式或性質(zhì)

2、二項(xiàng)式展開(kāi)式與原二項(xiàng)式呈恒等關(guān)系，所以可通過(guò)對(duì)變量賦特殊值得到有關(guān)系數(shù)(或二

項(xiàng)式系數(shù))的等式

3、常用賦值舉例：

⑴設(shè)(。+3”=加+*一如+C^an-2b2+…++…+,

①令4=6=1,可得：2〃=C；+C：+…+C；

②令a=i力=-1,可得：ovyvy…+(7丫&,即:

+…+C：=C：+C；+…+C：i(假設(shè)〃為偶數(shù))，再結(jié)合①可得：

W…=2"T

2n

(2)設(shè)/(x)=(2x+1/*=a0+atx-i-a2xH---1-anx

①令x=l,則有：4+4+生+.-+4=(2x1+1)"=/(l),即展開(kāi)式系數(shù)和

②令x=0,則有：4=(2x0+1)"=/(0),即常數(shù)項(xiàng)

③令1=一1,設(shè)〃為偶數(shù)，則有：4-q+%-+…+4=(-1x2+1)”=/(-1)

=>(?0+?2+???+??)-(?1++…+%_])=/(-1)，

即偶次項(xiàng)系數(shù)和與奇次項(xiàng)系數(shù)和的差

由①③即可求出(%+4■*---和(a1+〃3--------的值

二、典型例題：

例1：已知(3%一1)8=%+41+電工2+…+%?一，則+。3+%+“7的值為—

思路：觀察發(fā)現(xiàn)展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的X指數(shù)寐為奇數(shù)，所以考慮令工=1,工=-1,則偶數(shù)

項(xiàng)相同，奇數(shù)項(xiàng)相反，兩式相減即可得到q+。3+。5+。7的值

解：令x=l可得：2?=%+q+…+如①

8

令工=-1可得：4=d0-a1+a2---+%②

①—②可得：2'—4,=2（4+4+%+%）

4+%+6+%=5（2'-4*）

答案：-（28-48）

例2：已知（工2+1）（工一2『=4+4（工-1）+々2（/-1）2+…+4]（工-1）"，則

4+。2+…+〃11的值為（）

A.0B.2C.255D.-2

思路：本題雖然恒等式左側(cè)復(fù)雜，但仍然可通過(guò)對(duì)R賦予特殊值得到系數(shù)的關(guān)系式，觀察所

求式子特點(diǎn)可令1=2,得到/+4+…+%=0,只需再求出％即可。令x=l可得

%=-2,所以4+4+?,,+6[=2

答案：B

234

例3：設(shè)（2X+V5）=?0+axx+a2x+a3x+a4x,貝ij（%+出+%）?—（4+%『的值

為（）

A.16B.-16C.1D.-1

思路：所求（％+叼+%）2_（。|+仆）~=（/+4+/+々3+a4）（a0~a\+。2+4），

在恒等式中令x=l可得：4+4+生+G+/=Q+,令工=一1時(shí)

/—q+%—%+4=（2-0）,所以

（%+42+。4）2-（6+。3）2=（2+&）4（2-&）4=16

答案：A

例4：若（2-3x）'=4+41+?2%2+%/+/x4+%丁>則

⑷+同+同+同+同+國(guó)等于（）

A.55B.-1C.25D.-2$

思路：雖然（2-3葉展開(kāi)式的系數(shù)有正有負(fù)，但（2-3了）5與（2+3x），對(duì)應(yīng)系數(shù)的絕對(duì)值相

同，且（2+3x）,均為正數(shù)。所以只需計(jì)算（2+3x）5展開(kāi)的系數(shù)和即可。令x=l,可得系

數(shù)和為5s,所以⑷+同+同+同+同+悶=5’

答案：A

例5：若(1-2力如4=%+4%+...+/0]4網(wǎng)4,則

(%+4)+(%+%)+…+(%+々2014)=—

思路：所求表達(dá)式可變形為：2013%+(%+4+???+%)]4)，從而只需求出4和系數(shù)和即

可。令X=0可得：4=1,令X=l可得：4+4+…+々2014=1，所以

2013a。+(q)+4+???+^2014)=2014

答案：2014

例6：若C#"6=cj(〃EN),且(2-X)”=4+4X+Q/2+,則

%—4+%一…十(—l)Z〃等于()

A.81B.27C.243D.729

思路：由祟可得2〃+6=〃+2或(2〃+6)+("+2)=20,解得〃=4,所求表

達(dá)式只需令x=-l,可得%—4+%1)4=[2—(―1)]—81

答案：A

220l3

例7若(2x-1戶(hù)”=%+qx+a^x.|-----Ha2013x(xeR)則

1

—F3+-^-+…+02013_/)

222^,23a.2233“一

11

A_____B.------D.

201320134026

思路：所求表達(dá)式中的項(xiàng)呈現(xiàn)2的指數(shù)賽遞增的特點(diǎn)，與恒等式聯(lián)系可發(fā)現(xiàn)令x=1,可得:

2

%+』％+與+—+雷=0,令x=0可得：4=-1,所以4+…+￡^1=i—2，

0222220”°22220132

11，

所以所求表達(dá)式變形為：一十一色—,而qx=G013.(2xl-(-1)20'2=4026x,

2412a\

所以4=4026,從而表達(dá)式的值為」一

4026

答案：D

例8已知(1+尢)+(1+x)+???+(l+x)=4+4%+,??+若

4+。2+…+4-1=29—〃，則〃的值為（）

A.3B.4C.5D.6

2(2"-1)

思路:在恒等式中令x=1可得系數(shù)和%+44-----F=2+2?+?.?+2”=與

2-1

條件聯(lián)系可考慮先求出%M“，令X=0,可得旬=〃，展開(kāi)式中凡為最高次項(xiàng)系數(shù)，所以

(in—\,/.q+生+…+4”_i=2"+'—2—〃—1,所以2"+i—2—〃—1=29—〃，即

2n+,=32,解得〃=4

答案：B

例9：若（2%-3）5=4+4%+?2工2+%丁+為父fa/5,則

%+q+24+3/+44+5a§的值是（）

A.10B.20C.233D.-233

思路：觀察所求式子中6項(xiàng)的系數(shù)剛好與二項(xiàng)展開(kāi)式中為所在項(xiàng)的次數(shù)一致，可聯(lián)想到賽

函數(shù)求導(dǎo)：卜"）'=放1,從而設(shè)f（x）=（2x—3）5,恒等式兩邊求導(dǎo)再令冗=1可解得

4+2a2+3%+4%+5%的值，再在原恒等式中令x=0計(jì)算出/即可

5axa5

解：設(shè)/（x）=（2x-3）=%+\+i^+/d+內(nèi)/+a5x

44

f（x）=5（2x3）2=a}\2a2xI14a/I5a5x

令x=l可得：10=4+2%+3%+4a4+5%

而在（2冗一3）'=g+4%+02冗2+為Y3+Q/4+4爐中，令1=?？傻茫?-35=-243

/.%+q+2a2+3%+4%+5a5=-233

答案：D

例10：若等式（2工-1）劉4=%+4%+42/+~+/01/2°"對(duì)于一切實(shí)數(shù)1都成立，則

111

%+—a+-a>+???+6/20,4)

°23~2015

12

A.----B.----C.----D.0

403020152015

思路：從所求表達(dá)式項(xiàng)的系數(shù)與展開(kāi)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)聯(lián)系起來(lái)可聯(lián)想到在恒等式中兩邊同取不定積

分。例如：==（：.2工3—彳?！ǎ?"）,再利用賦值法令

X=1即可得到所求表達(dá)式的值

解：（2x—l）2O"=%+qx+%/+…+。刈/刈4,兩邊同取不定積分可得:

12015

1/c?\2015―,1213ar

----12.X—1)+C=ClXH--Cl.XH—Cl^X'+???+

4030v70a213220152014

1

令X=1可得：Cd-----=H--H--1

403002CL\13d-y+???+2015%

令x=0可得：-------pC=0=>C=----