2024年上海中學自主招生考試數(shù)學卷試題真題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁上海中學2024年自招題數(shù)學1．已知a、b和c是的三邊，，，方程兩根之差是，求的底角的度數(shù)．2．已知關于x和y的方程組有正整數(shù)解，求整數(shù)a的值．3．已知平面上有三個圓和三條直線，求它們的交點個數(shù)的最大值．4．已知I是的內(nèi)心，交于D，交于E，，求長度．5．已知二次函數(shù)滿足對任意實數(shù)x都有，，求的值．6．已知，圖象頂點為A，與x軸交于B和C，是等邊三角形，求a的值．7．如圖，已知一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，且與反比例函數(shù)交于A和B點，交y軸于C點，，(1)求反比例函數(shù)的解析式；(2)已知點A點橫坐標是m，的面積是S，求S關于m的函數(shù)解析式；(3)已知的面積是，判斷過A和B點的拋物線在x軸上截得的線段長度能否等于3．如果能，求其解析式；如果不能，請說明理由．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【分析】本題考查了一元二次方程的應用及根與系數(shù)的關系，首先利用根與系數(shù)的關系得到兩根與系數(shù)的式子，然后根據(jù)方程的兩根之差是得到，代入得到的a、b的關系，從而確定底角的度數(shù)．【詳解】解：設方程的兩根分別為m、n，，方程兩根之差是，，整理得，即，，即，是底邊為b的等腰三角形，由圖可知，，的底角．2．1或2或4或10【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解，解二元一次方程組，利用有理數(shù)的整除的性質(zhì)解答是解題的關鍵．利用加減法求出方程組的解，利用已知條件得到關于a的關系式，利用有理數(shù)的整除的性質(zhì)解答即可得出結(jié)論【詳解】解：，由得：，∴當時，，∵有正整數(shù)解∴，且或2或3或4或6或12∴，當，則，此時，（舍）；當，則，此時，（舍）；當，則，此時，；當，則，此時，；當，則，此時，；當，則，此時，，∴整數(shù)a的值為1或2或4或10．3．三個圓和三條直線的交點個數(shù)的最大值為．【分析】本題考查了直線與圓的位置關系，圓與圓的位置關系，掌握相關知識是解題的關鍵．【詳解】解：∵兩條直線最多有1個交點，∴三條直線兩兩之間最多有3個交點，∵兩個圓最多有2個交點，∴三個圓兩兩之間最多有6個交點，∵一條直線與一個圓最多有2個交點，∴一條直線與三個圓最多有6個交點，∴三條直線與三個圓最多有18個交點，∴三個圓和三條直線最多有：個交點，∴三個圓和三條直線的交點個數(shù)的最大值為．4．2【分析】連接，可得出，由三角形內(nèi)心的定義可得出，，由同弧所對的圓周角相等可得出，進而利用三角形外角的定義以及等量代換，等邊對等角得出，再證明，由相似三角形的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：連接，∵，∴，∵I是的內(nèi)心，∴，，∵和都對應弧，∴，又∵，∴．∵，∴，又，∴，∴，∴，【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)心的定義，同弧所對的圓周角相等，相似三角形的判定以及性質(zhì)，三角形外角的定義以及性質(zhì)等知識．掌握三角形內(nèi)心的定義是解題的關鍵．5．【分析】本題主要考查了求函數(shù)解析式、求函數(shù)值等知識點，靈活運用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式成為解題的關鍵．由可得，設，再運用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式，最后求出的函數(shù)值即可．【詳解】解：∵，∴，設，∵，∴，解得：，∴，∴．6．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與等邊三角形綜合．熟練掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關系，等邊三角形的性質(zhì)，含30度的直角三角形性質(zhì)，是解題關鍵．令，求出，配方，得到對稱軸為直線，頂點，根據(jù)是等邊三角形，得到，得到，即可求得．【詳解】如圖，設點B在點C的左側(cè)，拋物線對稱軸交x軸于點D．當時，．∴．∴．∵，∴拋物線的對稱軸為直線，頂點坐標為．∴．∵是等邊三角形，∴．∴．∴．∴．解得（舍去）或．故．7．(1)(2)(3)不能，理由見解析【分析】（1過點B作軸于點H，由，可得，可求得；設反比例函數(shù)的解析式為：，將代入即可求解；（2）由題意得，可求出直線的解析式為：得出，根據(jù)即可求解；（3）由題意得，設過A和B點的拋物線的解析式為：，可推出；設拋物線與x軸的交點分別為，若過A和B點的拋物線在x軸上截得的線段長度等于3，則，即；結(jié)合根與系數(shù)的關系可得，判斷此一元二次方程有無實數(shù)根即可求解；【詳解】（1）解：過點B作軸于點H，如圖所示：∵，，∴，∵∴，∴，設反比例函數(shù)的解析式為：∴，∴反比例函數(shù)的解析式為：（2）解：∵點A橫坐標是m，且點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，設直線的解析式為：，則，解得：，∴直線的解析式為：，∴，∴（3）解：由解得：，∴，∴，解得：，∵，即：，∴，∴，設過A和B點的拋物線的解析式為：，則，解得：，設拋物線與x軸的交點分別為，若過A和B點的拋物線在x軸上截得的線段長度等于3，則，∴，即，由得：，∴，整理得：，∵，∴過A和B點