高等數(shù)學（慕課版）教案 教學設計-5.3 定積分的換元積分法與分部積分法；5.4 定積分的應用

《高等數(shù)學（慕課版）》教學設計教學內容：定積分的計算完成時間：2025年2月授課信息授課內容授課時長定積分的換元積分法與分部積分法2學時授課形式授課時間理論課授課對象授課地點內容分析定積分的計算是一元函數(shù)積分學的重要內容，承接前面所學的不定積分的計算方法和微積分基本公式，同時為后續(xù)定積分的應用奠定了基礎，在本章中起到了承上啟下的作用。學情分析1、學生已有的知識與能力：(1)已掌握了定積分計算的核心工具——牛頓-萊布尼茨公式；(2)掌握了定積分概念及相關數(shù)學思想。2、學生可能存在的問題及困難：(1)學生對復雜函數(shù)定積分的計算沒有成熟的方法；(2)學生對一些復雜函數(shù)的定積分計算無從下手，具有一定的畏懼感，易排斥抽象復雜函數(shù)的定積分。教學目標知識目標：1、理解定積分的換元積分法與分部積分法；2、熟練運用換元積分法與分部積分法求解定積分；能力目標：會利用換元積分法、分部積分法求定積分素質目標：1、通過學習定積分的積分方法，培養(yǎng)學生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；2、引導學生養(yǎng)成獨立思考和深度思考的良好習慣；樹立學生實事求是、一絲不茍的科學精神。教學重難點教學重點：定積分的換元積分法與分部積分法教學難點：定積分的換元積分法與分部積分法教學方法引導探究法、講授法、問答法、練習法、演示法教學設計課前任務→回顧復習+導入新課（7min）→講授新課（55min）→鞏固提高（25min）→歸納總結（2min）→布置作業(yè)（1min）→課后拓展課程思政設計通過學習定積分的計算方法，滲透“化復雜為簡單”、“摸著石頭過河”等辨證唯物觀，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和大膽試錯的精神。教學過程課前環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)課前任務教師活動學生活動設計意圖課前導學熟記基本積分公式。思考：牛頓-萊布尼茨公式的核心是什么？能否利用該公式直接求解如下定積分0如果不能，思考如何求解；3、預習定積分的計算方法。1、發(fā)布任務：課前兩天學習通發(fā)布任務，并提醒學生接收任務；2、跟蹤提醒：通過學習通觀測任務完成情況，及時督促提醒，把握學生學習難點。按時完成課前任務，明確本節(jié)課個人學習難點。1、鍛煉自學能力：自主學習，掌握易點，發(fā)現(xiàn)難點；2、優(yōu)化教學策略：依據(jù)課前任務完成情況，掌握學情，調整優(yōu)化教學策略。課中環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)教學內容教師活動學生活動設計意圖導入新課【回顧復習】基本積分公式；牛頓-萊布尼茨公式。1、聽寫積分公式；2、帶領學生回顧上節(jié)課所學的牛頓-萊布尼茨公式。認真復習、認真默寫公式。根據(jù)“建構主義理論”，任務的目標性與教學情境的創(chuàng)建，使學生帶著任務學習，有利于激發(fā)學生的求知欲?！疽胄轮繂栴}思考：能否直接利用牛頓-萊布尼茨公式計算0ln2通過課前的思考題導入新課，讓學生意識到對于一些定積分，當原函數(shù)不好求的時候需要先借助積分方法簡化運算。積極思考，體會前面所學過的計算工具的局限性，意識到引入積分方法的必要性。探究新知一、定積分的換元積分法1、方法介紹2、應用1、介紹定積分的換元積分法；定理5.5設函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，函數(shù)滿足條件：(1)，,(2)當(或)時,,(3)在區(qū)間（或）上有連續(xù)的導數(shù),且，則有 .特別強調定積分換元必換限；2、通過例題引導學生學會用定積分的換元積分法求定積分?！纠?.9】-【例5.15】認真聆聽，思考換元積分法在不定積分與定積分中的不同。教師主導，學生主體，引導探究與講授相結合，高效講解本節(jié)課核心新知。定積分的分部積分法1、方法介紹2、應用1、介紹定積分的分部積分法；定理5.6設在上具有連續(xù)的導數(shù)，則簡記為．這就是定積分的分部積分公式．2、通過例題引導學生學會用定積分的分部積分法求定積分?！纠?.16】-【例5.20】認真聆聽，積極思考，在教師的引導下學會用分部積分求定積分。鞏固提高1、用換元積分法求定積分2、用分部積分法求定積分【練習1】、【練習2】1、引導學生對所學的積分方法進行鞏固練習，已達到真正內化的效果；2、留一定時間給學生做習題練習，并講評學生的做題情況。認真聆聽教師對例題的講解；獨立完成練習題，并積極回答，并做好總結整理。分層次設置練習，循序漸進地使學生及時鞏固所學。課堂小結本節(jié)課重點、要點內容總結：定積分的積分方法（與不定積分積分方法的區(qū)別）。和學生一起回顧與強調本節(jié)課重點知識，強化學生學習效果。認真總結，從整體上把握本節(jié)課。診斷、強化課堂學習效果。課后環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)教學活動教師活動學生活動設計意圖拓展任務【書面作業(yè)】課后習題5.3：1、2題【預習】定積分的應用1、發(fā)布任務2、指導協(xié)助了解情況并給予指導。接受任務，查閱課本與資料，認真完成。延拓本次課內容，承接下節(jié)課新知；既鞏固所學，又起到預習作用。教學評價（1）評價構成課程堅持強化過程性評價、探索增值性評價的評價改革要求，著眼于學生長期發(fā)展需要的滿足，將終結性評價與過程性評價相結合，側重過程性評價。（2）評價要素過程性評價主要依托學習通平臺，完成課前、課中和課后全過程學習軌跡記錄和評價。主要包括：課前任務完成、課堂學習活動、課后任務完成情況等要素。（3）評價標準在評價學生時注重“三個結合”：學習過程與學習結果結合、理論知識與實踐能力結合、課程學習成績與學生日常行為素質表現(xiàn)結合教學反思因為前面介紹過不定積分的計算方法，方法上，學生們相對比較熟悉了，所以重點讓學生多練；學生的接受程度不同，所以在例題和練習的設置上一定要分層次，對學生也要進行分層次的指導，提高整體接受程度。板書設計5.3定積分的計算（主板）換元積分法分部積分法（副板）例題+重點步驟《高等數(shù)學（慕課版）》教學設計教學內容：定積分的應用完成時間：2025年2月授課信息授課內容授課時長定積分的應用2學時授課形式授課時間理論課授課對象授課地點內容分析本節(jié)課是在學習了定積分的概念與計算的基礎上，介紹定積分（在幾何上）的應用，它是微積分解決初等數(shù)學問題的一個生動實例，是培養(yǎng)學生應用高等數(shù)學知識解決問題的意識的重要體現(xiàn)。學情分析1、學生已有的知識與能力：(1)已掌握了定積分概念、定積分的幾何意義及相關數(shù)學思想；(2)已學習了定積分的計算的各種方法。2、學生可能存在的問題及困難：(1)學生對復雜函數(shù)定積分的計算有些畏難；(2)邏輯思維能力不夠強,不夠嚴密；空間想象能力差一些。教學目標知識目標：1、理解定積分的微元法；2、了解定積分的在幾何中的應用；3、了解定積分在經濟學中的應用。能力目標：會用定積分求平面圖形的面積、旋轉體的體積素質目標：1、培養(yǎng)學生應用數(shù)學的意識和能力；2、進一步培養(yǎng)學生的邏輯思維能力、空間想象能力以及應用定積分的基本思想解決問題的能力。教學重點重點1、微元法；2、定積分在幾何中的應用。確立依據(jù)“微元法”思想是積分學中重要的思想方法，在實際生活中有非常廣泛的應用；合理有效地利用微元法思想可以使原本復雜的問題變得簡單易行；而平面圖形的面積求解問題是微元法最常見的應用。突出重點的策略明確教學目標；針對學生的認知規(guī)律，采取適當?shù)慕虒W方法和手段，由淺入深、循序漸進的方式，突出重點內容的教學環(huán)節(jié)、安排適當?shù)木毩暤?。教學難點難點平面圖形面積計算中積分變量的選擇問題確立依據(jù)對于平面圖形的面積計算，有時積分變量的選擇并不唯一，而選擇不同的積分變量將會導致積分算式的繁簡程度的不同?？紤]到學生現(xiàn)階段對這類問題的訓練還不夠多，故確定該問題是本節(jié)課的難點。解決難點的策略基于學生的認真規(guī)律，分層次設計例題和練習，講練結合，通過例題和練習加以練習和總結，逐步突破難點。教學方法引導探究法、講授法、問答法、練習法、演示法教學設計課前任務→回顧復習+導入新課（7min）→講授新課（55min）→鞏固提高（25min）→歸納總結（2min）→布置作業(yè)（1min）→課后拓展課程思政設計微元法的思想是通過無限細分來逼近真實值，強調了“化整為零”的思維方式。這種思維方式可以類比到人生中的許多方面，比如面對困難和挑戰(zhàn)時，需要化整為零，逐個突破，啟發(fā)學生樹立正確的方法觀和人生觀。教學過程課前環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)課前任務教師活動學生活動設計意圖課前導學熟記基本積分公式。2、復習定積分的概念和幾何意義，預習新課。1、發(fā)布任務：課前兩天學習通發(fā)布任務，并提醒學生接收任務；2、跟蹤提醒：通過學習通觀測任務完成情況，及時督促提醒，把握學生學習難點。按時完成課前任務，明確本節(jié)課個人學習難點。1、鍛煉自學能力：自主學習，掌握易點，發(fā)現(xiàn)難點；2、優(yōu)化教學策略：依據(jù)課前任務完成情況，掌握學情，調整優(yōu)化教學策略。課中環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)教學內容教師活動學生活動設計意圖導入新課【回顧復習】基本積分公式；定積分的概念。1、聽寫積分公式；2、帶領學生回顧定積分的概念，分析定積分的數(shù)學定義式的形成，然后嘗試定義的形成過程。從而引出微元法。1、認真復習、認真默寫公式。2、積極思考，再次體會定積分的核心思想。根據(jù)“建構主義理論”，任務的目標性與教學情境的創(chuàng)建，使學生帶著任務學習，有利于激發(fā)學生的求知欲?！疽胄轮?、定積分的概念與幾何意義；2、牛頓-萊布尼茨公式。探究新知一、微元法1、定義2、核心思想基于定積分的定義和幾何意義，通過分析簡化定積分定義的形成步驟：（1）選變量；（2）求微元；（3）求積分。指出像這樣處理和解決問題的方法稱為微元法(元素法)。認真聆聽，思考換元積分法在不定積分與定積分中的不同。教師主導，學生主體，引導探究與講授相結合，高效講解本節(jié)課核心新知。平面圖形的面積1.直接坐標系下平面圖形的面積（1）X型（2）Y型*2.極坐標系下平面圖形的面積1、帶領學生直觀地分析X型區(qū)域下的圖形面積如何求解，再從微元法的角度來求解；Y型區(qū)域同理；(1)在平面直角坐標系中求由曲線,和直線,圍成圖形的面積，其中函數(shù)，在區(qū)間上連續(xù)，且，求得平面圖形面積為 .(2)由曲線,和直線，（）圍成圖形(如圖所示)的面積為： ．2、極坐標系下平面圖形的面積設曲線由表示，求由曲線及射線，所圍圖形的面積為3、通過例題引導學生學會用微元法求平面圖形的面積?！纠?.21】-【例5.24】認真聆聽，積極思考，在教師的引導下學會求解平面圖形的面積。三、體積1.旋轉體的體積（1）繞X軸旋轉（2）繞Y軸旋轉*2.平行截面面積為已知的立體的體積1、介紹旋轉體的定義由一個平面圖形繞這平面內一條直線旋轉一周而成的立體稱為旋轉體，這條直線稱為旋轉軸.2、講解如何用微元法求解旋轉體的體積(1)由連續(xù)曲線,直,及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周而成的旋轉體體積為.(2)由連續(xù)曲線,直線,及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周而成的旋轉體體積為．3、講解如何用微元法求解平行截面面積為已知的立體的體積設該立體在過點,且垂直于軸的兩個平行平面之間，并設過任意一點的截面面積為，這里是連續(xù)函數(shù)，該立體體積為.4、通過例題引導學生練習求解體積【例5.25】-【例5.27】認真聆聽，調動空間想象能力，積極思考教師的問題和新知識的講授。四、經濟問題1.已知變化率求總量問題可利用定積分計算.設總產量的變化率為,則由到時間內生產的總產量為.2.講解例題【例5.28】認真聆聽，積極思考教師的問題和新知識的講授。鞏固提高1、平面圖形的面積計算2、旋轉體的體積求解【練習1】【練習2】1、引導學生對所學新知進行鞏固練習，已達到真正內化的效果；2、留一定時間給學生做習題練習，并講評學生的做題情況。認真聆聽教師對例題的講解；獨立完成練習題，并積極回答，并做好總結整理。分層次設置練習，循序漸進地使學生及時鞏固所學。課堂小結本節(jié)課重點、要點內容總結：微元法，定積分在幾何中的應用（計算公式）。和學生一起回顧與強調本節(jié)課重點知識，強化學生學習效果。認真總結，從整體上把握本節(jié)課。診斷、強化課堂學習效果。課后環(huán)節(jié)教學環(huán)節(jié)教學活動教師活動學生活動設計意圖拓展任務【書面作業(yè)】課后習題1、2、5題【預習】反常積分1、發(fā)布任務2、指導協(xié)助了解情況并給予指導。接受任務，查閱課本與資料，認真完成。延拓本次課內容，承接下節(jié)課新知；既鞏固所學，又起到預習作用。教學評價（1）評價構成課程堅持強化過程性評價、探索增值性評價的評價改革要求，著眼于學生長期發(fā)展需要的滿足，將終結性評價與過程性評價相結合，側重過程性評價。（2）評價要素過程性評價主要依托學習通平臺，完成課前、課中和課后全過程學習軌跡記錄和評價。主要包括：課前任務完成、課堂學習活動、課后任務完成情況等要素。（3）評價標準在評價學生時注重“三個結合”：學習過程