2022北京海淀實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二(上)期末數(shù)學(xué)(教師版)

1/12022北京海淀實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二（上）期末數(shù)學(xué)一、選擇題（每題4分）1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.下列直線中，傾斜角為45°的是（）A. B.C. D.3.若直線與直線垂直，則a值為（）A.2 B.1 C. D.4.已知數(shù)列滿足，且，那么等于（）A. B. C. D.或5.如圖，在四面體中，，，，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則可用向量，，表示為（）A B.C. D.6.平面與平面平行的充分條件可以是（）A.平面內(nèi)有一條直線與平面平行B.平面內(nèi)有兩條直線分別與平面平行C平面內(nèi)有無數(shù)條直線分別與平面平行D.平面內(nèi)有兩條相交直線分別與平面平行7.若雙曲線（，）的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.28.已知球O的半徑為2，球心到平面的距離為1，則球O被平面截得的截面面積為（）A. B. C. D.9.如圖，在三棱錐中，平面ABC，，，，則點(diǎn)A到平面PBC的距離為（）A.1 B. C. D.10.如圖，，是平面上的兩點(diǎn)，且，圖中的一系列圓是圓心分別為，的兩組同心圓，每組同心圓的半徑分別是，，，，，，，，是圖中兩組同心圓的部分公共點(diǎn)，若點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的橢圓上，則（）A.點(diǎn)和都在橢圓上 B.點(diǎn)和都在橢圓上C.點(diǎn)和都在橢圓上 D.點(diǎn)和都在橢圓上11.設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，過總能作圓的切線，則的最大值為（）A. B.1 C. D.12.某綜合實(shí)踐小組設(shè)計(jì)了一個“雙曲線型花瓶”.他們的設(shè)計(jì)思路是將某雙曲線的一部分（圖1中A，C之間的曲線）繞其虛軸所在直線l旋轉(zhuǎn)一周，得到花瓶的側(cè)面，花瓶底部是平整的圓面，如圖2.該小組給出了圖1中的相關(guān)數(shù)據(jù)：，，，，，其中B是雙曲線的一個頂點(diǎn).小組中甲?乙?丙?丁四位同學(xué)分別用不同的方法估算了該花瓶的容積（忽略瓶壁和底部的厚度），結(jié)果如下表所示學(xué)生甲乙丙丁估算結(jié)果（）其中估算結(jié)果最接近花瓶的容積的同學(xué)是（）（參考公式：，，）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁二、填空題（每題5分）13.復(fù)數(shù)的實(shí)部為_________．14.圓的圓心坐標(biāo)為___________；半徑為___________.15.在棱長為1的正方體中，___________.16.若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值是_______________.17.在數(shù)列中，，，則____________．18.如圖，若正方體的棱長為1，則異面直線AC與所成的角的大小是__________；直線和底面ABCD所成的角的大小是__________．19.若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離是4，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是___________.20.已知雙曲線M的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸.從以下三個條件中任選兩個條件，并根據(jù)所選條件求雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程.①一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為；②經(jīng)過點(diǎn)；③離心率為.你選擇的兩個條件是___________，得到的雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________.21.橢圓的右焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)、，則的面積的最大值為___________.22.關(guān)于方程所表示的曲線，下列說法正確的是__________．①關(guān)于軸對稱；②關(guān)于軸對稱；③關(guān)于原點(diǎn)對稱；④關(guān)于直線對稱．23.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2－2n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.24.如圖，在矩形中，，，將沿BD所在的直線進(jìn)行翻折，得到空間四邊形.給出下面三個結(jié)論：①在翻折過程中，存在某個位置，使得；②在翻折過程中，三棱錐的體積不大于；③在翻折過程中，存在某個位置，使得異面直線與所成角45°.其中所有正確結(jié)論的序號是___________.三、解答題（8分分分分分）25.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O以原點(diǎn)為圓心，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求圓O的方程；（2）若直線與圓O交于兩點(diǎn)A，B，求弦長.26.如圖，在直三棱柱中，，，.M為側(cè)棱中點(diǎn)，連接，，CM.（1）證明：AC平面；（2）證明：平面；（3）求二面角的大小.27.已知拋物線C：經(jīng)過點(diǎn).（1）求拋物線C的方程及其準(zhǔn)線方程；（2）經(jīng)過拋物線C的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于兩點(diǎn)M，N，且與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)Q.若，求直線l的方程.28.已知橢圓（）的離心率為，一個焦點(diǎn)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為原點(diǎn)，直線（）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為.證明：是等腰直角三角形.

參考答案一、選擇題（每題4分）1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算算出，然后可得答案.【詳解】，其對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限故選：B2.下列直線中，傾斜角為45°的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由直線傾斜角得出直線斜率，再由直線方程求出直線斜率，即可求解.【詳解】由直線的傾斜角為45°，可知直線的斜率為，對于A，直線斜率為，對于B，直線無斜率，對于C，直線斜率，對于D，直線斜率，故選：C3.若直線與直線垂直，則a的值為（）A.2 B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩條直線垂直的條件列方程，解方程求得的值.【詳解】由于直線與直線垂直，所以，解得.故選：A4.已知數(shù)列滿足，且，那么等于（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】由通項(xiàng)公式，將代入求n值，注意n的范圍，即可確定n值.【詳解】由題設(shè)，若，可得，若，可得，所以.故選：B5.如圖，在四面體中，，，，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則可用向量，，表示為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用空間向量的基本定理，用，，表示向量．【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，，．故選：B6.平面與平面平行的充分條件可以是（）A.平面內(nèi)有一條直線與平面平行B.平面內(nèi)有兩條直線分別與平面平行C.平面內(nèi)有無數(shù)條直線分別與平面平行D.平面內(nèi)有兩條相交直線分別與平面平行【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面與平面平行的判定定理可判斷.【詳解】對A，若平面內(nèi)有一條直線與平面平行，則平面與平面可能平行或相交，故A錯誤；對B，若平面內(nèi)有兩條直線分別與平面平行，若這兩條直線平行，則平面與平面可能平行或相交，故B錯誤；對C，若平面內(nèi)有無數(shù)條直線分別與平面平行，若這無數(shù)條直線互相平行，則平面與平面可能平行或相交，故C錯誤；對D，若平面內(nèi)有兩條相交直線分別與平面平行，則根據(jù)平面與平面平行的判定定理可得平面與平面平行，故D正確.故選：D.7.若雙曲線（，）的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】先求出漸近線方程，進(jìn)而將點(diǎn)代入直線方程得到a,b關(guān)系，進(jìn)而求出離心率.【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，而一條漸近線過點(diǎn)，則，.故選：A.8.已知球O的半徑為2，球心到平面的距離為1，則球O被平面截得的截面面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑即可求解.【詳解】由球的性質(zhì)可知，截面圓的半徑為，所以截面的面積.故選：B9.如圖，在三棱錐中，平面ABC，，，，則點(diǎn)A到平面PBC的距離為（）A.1 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為，根據(jù)等體積法求解即可.【詳解】因?yàn)槠矫鍭BC，所以,因?yàn)?，，所以又，，所?所以,設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為，則,即,，故選：A10.如圖，，是平面上的兩點(diǎn)，且，圖中的一系列圓是圓心分別為，的兩組同心圓，每組同心圓的半徑分別是，，，，，，，，是圖中兩組同心圓的部分公共點(diǎn)，若點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的橢圓上，則（）A.點(diǎn)和都在橢圓上 B.點(diǎn)和都在橢圓上C.點(diǎn)和都在橢圓上 D.點(diǎn)和都在橢圓上【答案】C【解析】【分析】由，即橢圓中的，然后根據(jù)定義逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的橢圓上，所以，即橢圓中的因?yàn)?，，所以在橢圓上故選：C11.設(shè)為直線上任意一點(diǎn)，過總能作圓的切線，則的最大值為（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系以及直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，即可求得的最大值.【詳解】因?yàn)檫^過總能作圓的切線，故點(diǎn)在圓外或圓上，也即直線與圓相離或相切，則，即，解得，故的最大值為.故選：D.12.某綜合實(shí)踐小組設(shè)計(jì)了一個“雙曲線型花瓶”.他們的設(shè)計(jì)思路是將某雙曲線的一部分（圖1中A，C之間的曲線）繞其虛軸所在直線l旋轉(zhuǎn)一周，得到花瓶的側(cè)面，花瓶底部是平整的圓面，如圖2.該小組給出了圖1中的相關(guān)數(shù)據(jù)：，，，，，其中B是雙曲線的一個頂點(diǎn).小組中甲?乙?丙?丁四位同學(xué)分別用不同的方法估算了該花瓶的容積（忽略瓶壁和底部的厚度），結(jié)果如下表所示學(xué)生甲乙丙丁估算結(jié)果（）其中估算結(jié)果最接近花瓶的容積的同學(xué)是（）（參考公式：，，）

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【解析】【分析】根據(jù)幾何體可分割為圓柱和曲邊圓錐，利用圓柱和圓錐的體積公式對幾何體的體積進(jìn)行估計(jì)即可.【詳解】可將幾何體看作一個以為半徑，高為的圓柱，再加上兩個曲邊圓錐，其中底面半徑分別為，，高分別為,,,,所以花瓶的容積，故最接近的是丁同學(xué)的估算，故選：D二、填空題（每題5分）13.復(fù)數(shù)的實(shí)部為_________．【答案】【解析】【詳解】復(fù)數(shù)，其實(shí)部為.考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、實(shí)部.14.圓的圓心坐標(biāo)為___________；半徑為___________.【答案】①.②.【解析】【分析】配方后可得圓心坐標(biāo)和半徑．【詳解】將圓的一般方程化為圓標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心坐標(biāo)為，半徑為．故答案為：；．15.在棱長為1的正方體中，___________.【答案】1【解析】【分析】根據(jù)向量的加法及向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)求解.【詳解】如圖，在正方體中，，故答案為：116.若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值是_______________.【答案】【解析】【分析】利用一般式方程中兩直線平行的條件，即可得解.【詳解】直線與直線平行，，解得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查一般式方程中兩直線平行的條件，屬于基礎(chǔ)題.若兩條直線的方程是用一般式給出的，設(shè)直線的方程分別為,，則兩直線平行與垂直的結(jié)論如下：（1）若，當(dāng)斜率存在時(shí)，；當(dāng)斜率不存在時(shí)，且；（2）若，當(dāng)斜率存在時(shí)，；當(dāng)斜率不存在時(shí)，或.17.在數(shù)列中，，，則____________．【答案】##【解析】【分析】由遞推式可得是周期為3的數(shù)列，再應(yīng)用周期性求.【詳解】由題設(shè)，，，，…所以是周期為3的數(shù)列，故.故答案為：18.如圖，若正方體的棱長為1，則異面直線AC與所成的角的大小是__________；直線和底面ABCD所成的角的大小是__________．【答案】①.②..【解析】【分析】①通過平行關(guān)系，直線與直線所成角即直線與直線所成角，解三角形即可得解；②根據(jù)線面角定義，通過垂直關(guān)系找出線面角即可.【詳解】作圖：連接交于，連接①在正方體中，，易得為等邊三角形，由與平行且相等，則四邊形為平行四邊形，，直線與直線所成角即直線與直線所成角，所以所成角為；②正方體中，平面，所以就是直線和平面所成的角由于，，等腰直角三角形，所以，所以直線和底面ABCD所成的角的大小.故答案為：①；②.【點(diǎn)睛】此題考查求異面直線所成的角和直線與平面所成角，通過平行線求異面直線夾角，通過垂直關(guān)系根據(jù)定義找出線面角即可求解.19.若拋物線上一點(diǎn)到軸的距離是4，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離是___________.【答案】5【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義知點(diǎn)P到焦點(diǎn)距離等于到準(zhǔn)線的距離即可求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€方程為，所以準(zhǔn)線方程為，所以點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離.故答案為：20.已知雙曲線M的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對稱軸.從以下三個條件中任選兩個條件，并根據(jù)所選條件求雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程.①一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為；②經(jīng)過點(diǎn)；③離心率為.你選擇的兩個條件是___________，得到的雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________.【答案】①.①②或①③或②③②.或或【解析】【分析】選①②，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及頂點(diǎn)坐標(biāo)直接求解，選①③，根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率求出即可得解，選②③，可由頂點(diǎn)坐標(biāo)及離心率得出，即可求解.【詳解】選①②，由題意則，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：①②；，選①③，由題意，，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，選②③，由題意知，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：①②；或①③；或②③；.21.橢圓的右焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)、，則的面積的最大值為___________.【答案】【解析】【分析】分析可知點(diǎn)、關(guān)于原點(diǎn)對稱，可知當(dāng)、為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí)，的面積取得最大值.【詳解】在橢圓中，，，則，則，由題意可知，、關(guān)于原點(diǎn)對稱，當(dāng)、為橢圓短軸的端點(diǎn)時(shí)，的面積取得最大值，且最大值為.故答案為：.22.關(guān)于方程所表示的曲線，下列說法正確的是__________．①關(guān)于軸對稱；②關(guān)于軸對稱；③關(guān)于原點(diǎn)對稱；④關(guān)于直線對稱．【答案】④【解析】【分析】將方程中的換為，換為方程變?yōu)榕c原方程相同，故曲線關(guān)于直線對稱．【詳解】，將點(diǎn)(x，－y)代入曲線方程得，與原方程不同，故曲線不關(guān)于x軸對稱；將(－x，y)代入曲線方程得，與原方程不同，故曲線不關(guān)于y軸對稱；將(－x，－y)代入曲線方程得，與原方程不同，故曲線不關(guān)于原點(diǎn)對稱；將(y，x)代入曲線方程得，與原方程相同，故曲線關(guān)于直線對稱；故答案為：④．23.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2－2n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.【答案】【解析】【分析】利用數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解即可.【詳解】當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當(dāng)n＝1時(shí)，不滿足上式.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝故答案為：24.如圖，在矩形中，，，將沿BD所在的直線進(jìn)行翻折，得到空間四邊形.給出下面三個結(jié)論：①在翻折過程中，存在某個位置，使得；②在翻折過程中，三棱錐的體積不大于；③在翻折過程中，存在某個位置，使得異面直線與所成角為45°.其中所有正確結(jié)論的序號是___________.【答案】②③【解析】【分析】在矩形中，過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，對于①，連接，假設(shè)存在某個位置，使得，則可得到，進(jìn)而得矛盾，可判斷；對于②在翻折過程中，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，再根據(jù)幾何關(guān)系計(jì)算即可；對于③，由題知，，設(shè)平面與平面所成的二面角為，進(jìn)而得，進(jìn)而得異面直線與所成角的余弦值的范圍為，即可判斷.【詳解】解：如圖1，在矩形中，過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，則在在翻折過程中，形成如圖2的幾何體，故對于①，連接，假設(shè)存在某個位置，使得，由于，，所以平面，所以，這與圖1中的與不垂直矛盾，故錯誤；對于②在翻折過程中，當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐的體積取得最大值，此時(shí)，體積為，故三棱錐的體積不大于，故正確；對于③，，，由②的討論得，所以，所以，設(shè)翻折過程中，平面與平面所成的二面角為，所以，故，由于要使直線與異面直線，所以，所以，所以，所以異面直線與所成角的余弦值的范圍為，由于，所以在翻折過程中，存在某個位置，使得異面直線與所成角為45°.故答案為：②③三、解答題（8分分分分分）25.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O以原點(diǎn)為圓心，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求圓O的方程；（2）若直線與圓O交于兩點(diǎn)A，B，求弦長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩點(diǎn)距離公式即可求半徑，進(jìn)而得圓方程；（2）根據(jù)直線與圓的弦長公式即可求解．【小問1詳解】由，所以圓O的方程為；【小問2詳解】由點(diǎn)O到直線距離為所以弦長26.如圖，在直三棱柱中，，，.M為側(cè)棱的中點(diǎn)，連接，，CM.（1）證明：AC平面；（2）證明：平面；（3）求二面角的大小.【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解；（3）【解析】【分析】小問1：由于，根據(jù)線面平行判定定理即可證明；小問2：以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)向量垂直關(guān)