北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《3.7切線長(zhǎng)定理》同步測(cè)試題-附帶答案

第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《3.7切線長(zhǎng)定理》同步測(cè)試題-附帶答案學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________一、單選題1．如圖，與分別相切于點(diǎn)A，B，，則（）A． B．2 C． D．32．如圖，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∠BIC＝130°，則∠BAC＝（）A．60° B．65° C．70° D．80°3．已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB=a＜1，以AB為一邊在圓O內(nèi)作正△ABC，點(diǎn)D為圓O上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且DB=AB=a，DC的延長(zhǎng)線交圓O于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)為（

）A． B．1 C． D．a(chǎn)4．圖，PA、PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，交PA，PB于C、D，若⊙O的半徑為r，△PCD的周長(zhǎng)等于3r，則tan∠APB的值是（

）A． B． C． D．5．如圖，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，點(diǎn)P為CA上的動(dòng)點(diǎn)，連BP，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BP于M．當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（

）A．π B．π C．π D．2π6．如圖是的切線，切點(diǎn)分別為P，C，D．若，則的長(zhǎng)是（）A．2.5 B．3 C．3.5 D．27．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．切線與圓有唯一的公共點(diǎn) B．到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線C．垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn) D．從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等8．如圖，圓的兩條弦相交于點(diǎn)和DB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，下列結(jié)論中成立的是（）A． B．C． D．9．如圖，的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，且，，則的周長(zhǎng)為（）A．18 B．16 C．14 D．1210．如圖，PA和PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段PA和PB上，且AD＝BF，BD＝AE．若∠P＝α，則∠EDF的度數(shù)為（

）A．90°﹣α B．α C．2α D．90°﹣α11．如圖，AB是⊙O的直徑，BD，CD分別是過(guò)⊙O上點(diǎn)B，C的切線，且∠BDC＝110°.連結(jié)AC，則∠A的度數(shù)是(

)A．15° B．30° C．35° D．45°12．如圖，的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，已知的周長(zhǎng)為36．，，則AF的長(zhǎng)為（

）A．4 B．5 C．9 D．13二、填空題13．《九章算術(shù)》中記載：“今有勾六步，股八步．問(wèn)勾中容圓徑幾何？”譯文：今有一個(gè)直角三角形，勾（短直角邊）長(zhǎng)為6步，股（長(zhǎng)直角邊）長(zhǎng)為8步，則該直角三角形內(nèi)切圓的直徑是等于步．14．如圖，從⊙O外一點(diǎn)P引圓的兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，點(diǎn)C是劣弧AB上一點(diǎn)，過(guò)C的切線交PA，PB于M，N.若⊙O的半徑為2，∠P＝60°，則△PMN的周長(zhǎng)為.15．已知△ABC中，⊙I為△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，則點(diǎn)A到圓上的最近距離等于．16．如圖，是的兩條切線，A、B是切點(diǎn)，若，，則的半徑等于．17．如圖，已知⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，∠BAC=50o，則∠BOC為度．三、解答題18．如圖，已知，是的直徑，，與的邊，分別交于點(diǎn)，，連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，．（1）求證：是的切線；（2）若，求的值；（3）在（2）的條件下，若的平分線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，求的值．19．如圖，是的直徑，過(guò)外一點(diǎn)作的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，連接，．（1）求證：；（2）連接，，若，，，求的長(zhǎng)．20．如圖，在中，，為邊上一點(diǎn)，以為圓心，長(zhǎng)為半徑的與邊相切于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）連接，若，，求線段的長(zhǎng)．21．如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB=18cm，BC=28cm，CA=26cm，求AF、BD、CE的長(zhǎng)．22．如圖，已知BC⊥AC，圓心O在AC上，點(diǎn)M與點(diǎn)C分別是AC與⊙O的交點(diǎn)，點(diǎn)D是MB與⊙O的交點(diǎn)，點(diǎn)P是AD延長(zhǎng)線與BC的交點(diǎn)，且．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）若AD=12，AM=MC，求的值．如圖，直線AB、BC、CD分別與⊙O相切于E、F、G，且AB∥CD，OB=6cm，OC=8cm．求：23．∠BOC的度數(shù)；24．BE+CG的長(zhǎng)；25．⊙O的半徑．26．如圖，是的直徑，．（1）求證：是的切線；（2）若點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求的值．參考答案題號(hào)12345678910答案BDBBABCDAD題號(hào)1112答案CA1．B【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，由此推出是等邊三角形，即可得到答案．【詳解】解：∵與分別相切于點(diǎn)A，B，∴，∵，∴是等邊三角形，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了切線長(zhǎng)定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟記切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)接圓得到∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠IBC+∠ICB，求出∠ACB+∠ABC的度數(shù)即可；【詳解】解：∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴∠ABC＝2∠IBC，∠ACB＝2∠ICB，∵∠BIC＝130°，∴∠IBC+∠ICB＝180°﹣∠CIB＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝2×50°＝100°，∴∠BAC＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝80°．故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心，掌握三角形的內(nèi)心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3．B【分析】連接OA、OB、OE、EB，通過(guò)證△EAC≌△OAB，得AE=OA，從而求出EA的長(zhǎng)；【詳解】解：連接OA、OB、OE、EB，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°；∵AB=BD，∴，∴∠AEB=∠BED；∵∠AOB=2∠AEB；∴∠AED=∠AOB；∵BC=AB=BD，∴∠D=∠BCD；∵四邊形EABD內(nèi)接于⊙O，∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°；又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形；在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB，則有∠ECA=∠OBA，∵AC=AB，∴△EAC≌△OAB；∴AE=OA=1．故選B．【點(diǎn)睛】此題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大；能夠發(fā)現(xiàn)并證得△EAC≌△OAB是解答此題的關(guān)鍵．4．B【分析】利用輔助線構(gòu)造直角三角形和相似三角形進(jìn)行邊的求解和角的轉(zhuǎn)化即可．【詳解】：如圖，連接PO，AO，取PO中點(diǎn)G，連接AG，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥PO于點(diǎn)H，∵PA、PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，CD切⊙O于點(diǎn)E，∴PA=PB，CA=CE，DB=DE，∠APO=∠BPO，∠OAP=90o.∵△PCD的周長(zhǎng)等于3r，∴PA=PB=.∵⊙O的半徑為r，∴在Rt△APO中，由勾股定理得∴.∵∠OHA=∠OAP=90o,∠HOA=∠AOP,∴△HOA∽△AOP.∴,即，∴，∴；∵∠AGH=2∠APO=∠APB,∴.故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了以下內(nèi)容：1.切線的性質(zhì)；2.切線長(zhǎng)定理；3.勾股定理；4.相似三角形的判定和性質(zhì)；5.銳角三角函數(shù)定義；6.直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)；7.轉(zhuǎn)換思想的應(yīng)用；解決本題的關(guān)鍵是進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化，得到與∠APB相等的角．5．A【詳解】解：設(shè)AB的中點(diǎn)為Q，連接NQ，如圖所示：∵N為BM的中點(diǎn)，Q為AB的中點(diǎn)，∴NQ為△BAM的中位線，∵AM⊥BP，∴QN⊥BN，∴∠QNB＝90°，∴點(diǎn)N的路徑是以QB的中點(diǎn)O為圓心，AB長(zhǎng)為半徑的圓交CB于D的，∵CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，∴ABCA＝42，∠QBD＝45°，∴∠DOQ＝90°，∴為⊙O的周長(zhǎng)，∴線段BM的中點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：π，故選：A．6．B【分析】利用切線長(zhǎng)定理求解即可．【詳解】解：∵是的切線，切點(diǎn)分別為P，C，D，，∴，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線長(zhǎng)定理，熟知切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．7．C【分析】根據(jù)圓的切線相關(guān)的概念辨析即可．【詳解】A、B、D說(shuō)法均正確；C、垂直于切線的直徑必定過(guò)切點(diǎn)，但是垂直于切線的直線不一定過(guò)切點(diǎn)，故錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圓的切線的判定與性質(zhì)，及切線長(zhǎng)定理，熟記基本概念并準(zhǔn)確判斷是解題關(guān)鍵．8．D【分析】根據(jù)相交弦定理和割線定理即可求解.【詳解】解：由相交弦定理知，由割線定理知,所以D正確，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了相交弦定理和割線定理，熟記定理是解題關(guān)鍵.9．A【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓，切線長(zhǎng)定理，熟練掌握切線長(zhǎng)定理是解題的關(guān)鍵．根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，，，根據(jù)，于是得到的周長(zhǎng)．【詳解】解：∵的內(nèi)切圓與，，分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，∴，，，∵，∴，∴的周長(zhǎng)，故選：A．10．D【分析】根據(jù)切線性質(zhì)，證得≌，通過(guò)等量代換得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由∠P＝α，求得即可．【詳解】解：∵PA和PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，∴PA=PB，∴，即在與中，∵∴≌（SAS），∴，在中，,∵，∴，∵，∴，∵∠P＝α，PA=PB，∴∴在中，，即，∵，∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，通過(guò)全等證明，等量代換求得是解題關(guān)鍵．11．C【分析】首先連接OC，由BD、CD分別是過(guò)⊙O上點(diǎn)B，C的切線，且∠BDC＝110°，利用四邊形內(nèi)角和定理，即可求得∠BOC的度數(shù)，再利用圓周角定理，即可求得答案．【詳解】連接OC，∵BD、CD分別是過(guò)⊙O上點(diǎn)B，C的切線，∴OC⊥CD，OB⊥BD，∴∠OCD=∠OBD=90，∵∠BDC=110，∴∠BOC=360?∠OCD?∠BDC?∠OBD=70，∴∠A=∠BOC=35.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì).12．A【分析】由切線長(zhǎng)定理可得，再分別設(shè)，，根據(jù)三角形的三邊長(zhǎng)度列出方程組求解未知數(shù)即可．【詳解】解：的周長(zhǎng)為36．，，∴,由切線長(zhǎng)定理可得，，設(shè)，，解得：∴；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等；熟練掌握?qǐng)A的切線長(zhǎng)定理是解決本題的關(guān)鍵．13．4【分析】本題考查求直角三角形的內(nèi)切圓的半徑，根據(jù)切線長(zhǎng)定理結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：連接，如下圖：由題意可得、、與相切，，，∴，，∴四邊形為矩形，，又∵，∴矩形為正方形，設(shè)半徑為，則，∴，，∴，解得，∴圓的直徑為步，故答案為：4．14．4【詳解】【分析】連接PO，根據(jù)含有30°的直角三角形性質(zhì)求出PO,再根據(jù)勾股定理求出PA，由切線性質(zhì)推出△PMN的周長(zhǎng)=PA+PB.【詳解】連接PO，因?yàn)?，PA,PB是⊙O的切線，∠P＝60°所以，∠APO=∠P=30°，PA=PB,所以，OP=2OA=2×2=4,所以，在直角三角形APO中，PA=,又因?yàn)镸N與⊙O相切，所以，MC=MA,NC=NB,所以，△PMN的周長(zhǎng)=PA+PB=43【點(diǎn)睛】本題考核知識(shí)點(diǎn)：切線長(zhǎng).解題關(guān)鍵點(diǎn)：熟記圓的切線長(zhǎng)定理.15．【分析】連接IA，IA與⊙I半徑的差即為點(diǎn)A到圓上的最近距離，只需求出IA和⊙I半徑即可得答案．【詳解】解：連接IA，設(shè)AC、BC分別切⊙I于E、D，連接IE、ID，如圖：∵BC＝6，AC＝8，AB＝10，∴BC2+AC2＝AB2∴∠C＝90°∵⊙I為△ABC的內(nèi)切圓，∴∠IEC＝∠IDC＝90°，IE＝ID，∴四邊形IDCE是正方形，設(shè)它的邊長(zhǎng)是x，則IE＝EC＝CD＝ID＝IH＝x，∴AE＝8﹣x，BD＝6﹣x，由切線長(zhǎng)定理可得：AH＝8﹣x，BH＝6﹣x，而AH+BH＝10，∴8﹣x+6﹣x＝10，解得x＝2，∴AH＝6，IH＝2，∴IA＝＝2，∴點(diǎn)A到圓上的最近距離為2﹣2，故答案為：2﹣2．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理、切線長(zhǎng)定理、三角形的內(nèi)切圓等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．16．1【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)求得，，再由直角三角形的性質(zhì)得．【詳解】解：∵是的兩條切線，∴，，∵，∴，∵，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了切線長(zhǎng)定理、切線的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識(shí)要熟練掌握．17．115【詳解】解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分線，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°﹣50°）=65°，∴∠BOC=180°﹣65°=115°．度答案是：11518．（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）．【分析】（1）連接DF，由圓周角性質(zhì)可得，則利用平行線的判定與性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)及直角三角形性質(zhì)可推出，即可證得結(jié)論；（2）由相似三角形的判定可得，則推出，由得出，可利用勾股定理求得，即可求出的值；（3）連接MN，并延長(zhǎng)CO與AF，分別相交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q，連接AQ，利用（2）所得結(jié)論及已知分別求得，，，，，，再由相似三角形的判定及性質(zhì)可推出，代入求值后即可求得的值．【詳解】（1）證明：如圖，連接DF，∵是的直徑，∴．∴DF∥AE．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AE∥OC．∴DF∥OC．∴．∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．∴．∴是的切線．（2）解：∵，∴．∴．∴．∴．∵，∴．設(shè)，則．由勾股定理得，即，解得，（不合題意，舍去）．∴．∵，∴．（3）解：連接MN，并延長(zhǎng)CO與AF，分別相交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q，連接AQ，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，，AB∥OC．∴，∵平分，∴．∴．∴．∵∴．∵，∴．∴．∴．∴．∵AB∥OC，∴．∴．∵，∴．在Rt△APO中，由勾股定理得．∴．在Rt△APH中，由勾股定理得．∵，∴．∵，∴．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題屬于圓的綜合問(wèn)題，考查了圓周角定理、切線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及求角的三角函數(shù)值等知識(shí)，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．19．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)定理得到，平分．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到于，即．（2）連接、．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和平角的性質(zhì)得到．進(jìn)而得到．在中，解直角三角形即可.【詳解】（1）證明：∵、與相切于、．∴，平分．在等腰中，，平分．∴于，即．（2）解：連接、．∵∴∴同理：∴．在等腰中，．∴．∵與相切于．∴．∴．在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)和判定，圓周角定理，解直角三角形等，題目比較典型，綜合性比較強(qiáng)，難度適中．20．（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）運(yùn)用切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，題中已知，所以，切于點(diǎn)B，同時(shí)切于點(diǎn)，即可求證；（2）連接，可得，由（1）得，根據(jù)各個(gè)角之間的關(guān)系可得，所以，依據(jù)正切定義可得，再根據(jù)三角形相似判別及性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，又∵經(jīng)過(guò)半徑的外端點(diǎn)，∴切于點(diǎn)，與邊相切于點(diǎn)，∴．（2）解：連接，∵為的直徑，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，即，∵，∴，，又∵，，∴，∴，設(shè)，則，∴，∴（舍去），．即線段的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】題目主要考查切線長(zhǎng)定理、圓內(nèi)三角形基本性質(zhì)、三角函數(shù)、相似三角形的判別及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，難點(diǎn)在于對(duì)定理得熟練掌握理解和對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)的融會(huì)貫通．21．AF=8cm，BD=10cm，CE=18cm【分析】由切線長(zhǎng)定理可得AE=AF，BF=BD，CE=CD，由線段的數(shù)量關(guān)系列出方程，即可求解．【詳解】解：∵△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，∴AE=AF，BF=BD，CE=CD，∵AB=18cm，BC=28cm，CA=26cm，∴AF+BF=18cm，BD+CD=28cm，AE+CE=26cm，∴∴∴AF=8cm，BD=10cm，CE=18cm．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)切圓的有關(guān)問(wèn)題以及切線長(zhǎng)定理的應(yīng)用，根據(jù)切線長(zhǎng)定理列出方程組是解題的關(guān)鍵．22．（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）欲證明PD是⊙O的切線，只要證明OD⊥PA即可解決問(wèn)題；（2）連接CD．由（1）可知：PC=PD，由AM=MC，推出AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，可得R2+122=9R2，推出R=3，推出OD=3，MC=6，由，可得DP=6，再利用相似三角形的性質(zhì)求出MD即可解決問(wèn)題.【詳解】解：（1）如圖，連接OD、OP、CD，∵，∠A=∠A，∴△ADM∽△APO，∴∠ADM=∠APO，∴MD∥PO，∴∠1=∠4，∠2=∠3，∵OD=OM，∴∠3=∠4，∴∠1=∠2，∵OP=OP，OD=OC，∴△ODP≌△OCP，∴∠ODP=∠OCP，∵BC⊥AC，∴∠OCP=90°，∴OD⊥AP，∴PD是⊙O的切線；（2）如圖，連接CD，由（1）可知：PC=PD，∵AM=MC，∴AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，∴R2+122=9R2，∴R=3，∴OD=3，MC=6，∵，∴DP=6，∵O是MC的中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，∴BP=CP=DP=6，∵M(jìn)C是⊙O的直徑，∴∠BDC=∠CDM=90°，在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6，∴BM=6，∵△BCM∽△CDM，∴，即，∴MD=2，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問(wèn)題是關(guān)鍵．23．∠BOC=90°24．10c